A partir d'un unique élément, noté `1`, possédant la propriété `1"∗"1"="1`, on engendre un anneau commutatif, avec son opération d'addition `"+"` et de multiplication "∗". L'engendrement se fait sans autre conditions d'égalité, c'est à dire le plus librement possible. Et le résultat en est le corps des rationnelles `QQ`.
On utilise des chevrons `"<...>"` entourant des éléments, pour désigner l'anneau commutatif engendré par ces éléments, le plus librement possible. Puis on quotiente par des égalités, complétant la théorie de l'anneau commutatif. Cela désigne l'anneau commutatif le plus librement engendré par ces éléments modulo ces égalités. Ainsi le corps des rationnels `QQ` se définit comme suit :
`QQ = ("<"1">") / ("{"1"∗"1"="1"}")`
Puis, par extension élémentaire d'anneau commutatif, en ajoutant un élément `i` possédant la propriété `i^2"=" "-"1`, on engendre le corps des complexes rationnels. Chaque élément de ce corps est désigner par un polynôme à coefficient rationnel `a_0"+"a_1i"+"a_2i^2"+"..."+"a_ni^n` qui se simplifie, du fait que `i^2"= -"1`, en un polynôme du premier degrés, c'est à dire une expression de la forme `a"+"ib` où `a` et `b` sont rationnels. C'est pourquoi le corps des complexes rationnelles se note comme suit :
`QQ+iQQ = ("<"1,i">") / ("{"1^2"="1, i^2"=" "-"1"}")`
Etant donné un complexe `z`, sa partie réel est notée `fr(R)(z)=a` et sa partie imaginaire est notée `fr(I)(z)=b`. Et ils forment les coordonnées cartésiennes du complexe `z` notées `(a,b)` correspondant à un vecteur du plan. Les lois d'addition et de produit sont :
`(a,b) + (x,y) = (a"+"x,b"+"y)` `"-"(a,b) = ("-"a,"-"b)` `(a,b)(x,y) = (ax"-"by,ay"+"bx)` `(a,b)^-1 = (a/(a^2"+"b^2), "-"b/(a^2"+"b^2))`
Le conjugué de `z`, qui se note `bar z`, s'obtient en inversant le signe de sa composante imaginaire :
`z = x + iy` `bar z= x - iy`
`fr(R)(z) = (z + barz)/2` `fr(I)(z) = (z - barz)/(2i)`
La conjugaison `z|->barz` et la conjugaison opposée `z|->-barz` sont des automorphismes du corps des complexes, qui respectent donc les opérations :
`bar(z_1+z_2)=bar(z_1)+bar(z_2)`
`bar(z_1z_2)=bar(z_1)bar(z_2)`
Le produit scalaire dans le plan se note à l'aide du symbole `"·"`, nous avons :
`(a+ib)(x+iy)=ax-by+i(ay+bx)` `(a+ib)"·"(x+iy)=ax+by`
`z_1"·"z_2=(z_1 barz_2+z_2barz_1)/2`
La norme réel d'un complexe `z=a+ib` coïncide avec la norme du vecteur, et la distance entre deux complexes `z_1` et `z_2` est donné par `|z_2-z_1|`. Nous avons :
`|z|` `"="` `|a+ib|` `"="` `sqrt(a^2+b^2) = sqrt(zbarz)`
La métrique étant ainsi définie, l'espace complété de `QQ` constitue `RR`, et l'espace complété de `QQ"+"iQQ` constitue `CC`.
On considère le plan vectoriel, un axe central horizontal partant vers la droite, appelé axe des abscisses, et un axe central verticale partant vers le haut, appelé axe des ordonnées.
Ce plan vectoriel s'identifie au corps des complexes, `CC`.
L'axe des abscisses s'appelle l'axe des réels, `RR`.
L'axe des ordonnées s'appellent l'axe des imaginaires, `iRR`.
Un nombre complexe `z` représente un vecteur dans ce plan vectoriel.
Son symétrique selon l'axe des réels s'appelle le conjugué de `z` et se note `barz`.
Les complexes de norme 1 forment le cercle trigonométrique.
Par convention le sens de rotation positif se fait dans le sens trigonométrique
c'est à dire dans le sens inverse de celui de l'aiguille d'une montre.
Soit `k` un complexe quelconque. On définie la fonction de `CC"→"CC` appellée exponentielle de base `e^k` et que l'on note `z"↦"e^(kz)` comme étant la fonction qui envoit `0` sur `1` et dont la dérivé est égale à `k` fois elle-même :
`((f(0)"="1),(AAz "∈" CC"," d/dzf(z)"="kf(z))) <=> AAz "∈" CC, f(z)"="e^(kz)`
La fonction `g` de `RR->CC` définie par `g(x)"="cos(x)"+"isin(x)`, satisfait ces conditions pour `k"="i`.
`g(x) = cos(x)"+"isin(x)` `g(0) = 1` `d/dx g(x) = -sin(x)"+"icos(x)` `d/dx g(x) = i(isin(x)"+"cos(x))` `d/dx g(x) = i g(x)`
Donc elle est égale à l'exponentielle de base `e^i`. Ainsi est démontré la formule d'Euler attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (Bâle, 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) :
`e^(ix) = cos(x)+isin(x)`
Le nombre complexe `e^(ix)` est de norme `1`. Il parcourt dans le plan le cercle de rayon `1` dans le sens trigonométrique lorsque `x` parcours les valeurs croissantes de `0` à `2pi`.
Soit `a` un réel positif et `varphi` un réel compris entre `0` et `2pi`. Le nombre complexe `z"="ae^(ivarphi)` possède une norme égale à `|z|"="a` et un argument égale à `"arg"(z)"="varphi`, ce que nous résumons par l'expression `z = [a, varphi]` qui met en exergue les coordonnées polaires :
`z = ae^(ivarphi)`
`z = [a, varphi]`
`|z| = a`
`arg(z) = varphi`
Et nous avons la règle de produit suivante :
` ae^(iA)be^(iB)= ab e^(i(A+B))`
`[a,A][b,B] = [ab,A+B]`
Il découle de la formule d'Euler, une identité remarquable (publiée par Euler en 1748) qui associe les symboles `0,1,e,i,pi,"+","*","^","="`, et qui s'appelle l'identité d'Euler :
`e^(ipi) + 1 = 0`
Remarquez que chaque symbole dans l'identité d'Euler n'est utilisé qu'une et une seul fois.
Les complexes de norme `1` sont de la forme suivante `e^(i varphi) = [1,varphi]`. Lorsqu'on multiplie un complexe `z` par `e^(ivarphi)`, on augmente son argument de `varphi`, oppérant ainsi une rotation dans le sens trigonométrique d'un angle `varphi` exprimé en radian.
`ae^(i psi) e^(ivarphi) = a e^(i(psi+varphi))`
`[a,psi][1,varphi]=[a,psi+varphi]`
La multiplication par `i= e^(i(pi)/2)` correspond à une rotation d'un quart de tour dans le sens trigonométrique. La multiplication par `"-"1= e^(ipi)` correspond à une rotation d'un demi-tour, la multiplication par `"-"i= e^(i(3pi)/2)` correspond à une rotation de trois quart de tour, ou soit d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre.
Soit `n` un entier strictement positif. Les solutions de l'équation `z^n=1` sont :
`{1, e^(i2pi1/n),e^(i2pi2/n), e^(i2pi 3/n), ... ,e^(i2pi (n-1)/n) }`
`{[1, 0], [1,2pi1/n], [1,2pi2/n], [1,2pi3/n], ..., [1,2pi (n-1)/n]}`
Ces solutions forment `n` points régulièrement espacés sur le cercle trigonométrique et comprenant le point `1`. La solution `e^(i(2pi)/n)` est une racine `n`-ième de l'unité dite génératrice, car ses puissances de `1` à `n` vont calculer toutes les autres racines `n`-ième de `1`. Inversement, on définie le calcul de `1^(1/n)` comme produisant ces `n` images.
Considérons maintenant un complexe quelconque que l'on met sous la forme polaire `ae^(ivarphi)`. Les solutions de l'équation `z^n=ae^(ivarphi)` sont :
`{a^(1/n)e^(i(varphi/n + 2pi 1/n)),a^(1/n)e^(i(varphi/n + 2pi 2/n)), a^(1/n)e^(i(varphi/n + 2pi 3/n)), ... ,a^(1/n)e^(i(varphi/n + 2pi n/n)) }`
`{[a^(1/n),varphi/n "+" 2pi1/n], [a^(1/n),varphi/n "+" 2pi2/n], [a^(1/n),varphi/n "+" 2pi3/n], ..., [a^(1/n),varphi/n "+" 2pi n/n]}`
Ces solutions forment `n` points régulièrement espacés sur le cercle de norme `a^(1/n)` et comprenant le point `a^(1/n)e^(ivarphi/n)`. Inversement, on définie le calcul de `(ae^(ivarphi))^(1/n)` comme produisant ces `n` images.
Il existe un moyen simple d'engendrer une sinusoïde en utilisant les nombres complexes. En faisant croître régulièrement l'argument d'un complexe `z`, on fait tourner dans le plan vectoriel et dans le sens trigonométrique le vecteur `z` avec une vitesse de rotation constante, on obtient un mouvement régulier le long d'un cercle de rayon `|z|`, et sa projection sur un axe central engendre une sinusoïde. Réciproquement, un vecteur tournant dans le plan vectoriel s'obtient en sommant deux sinusoïde de même amplitude et de même fréquence mais déphasé d'un quart de tour, placé sur des axes centraux perpendiculaires. La sinusoïde qui est une application de `RR"→"RR` est appelé le signale réel, et le vecteur tournant qui est une application de `RR"→"CC`est appellé le signal complexe.
L'axe des champs étudié jusqu'ici est le corps des réels `RR` qui est inclus dans le corps des complexes `CC`. La description du corps des complexes faite précédement nous montre comment étendre naturellement un signale réel en un signale complexe. Considérons le signal réel `U` suivant :
`U = a cos(kt)`
Celui-ci s'étend naturellement en le signale complexe suivant :
`S= ae^(ikt)`
`S= cos(kt)"+"isin(kt)`
C'est un complexe dont l'argument varie de façon uniforme avec le temps. Et la projection sur l'axe des réels permet de retrouver le signale réel :
`U = fr(R)(S)`
L'avantage de cette extension tient dans le fait que la fonction exponentielle est une série particulièrement simple, pour rappel :
`e^x = 1+x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!) + ...`
En posant par convention que `0! = 1! = 1` et que `x^0=1`, nous avons :
`e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)`
Un signal complexe `S` de fréquence `k`, d'amplitude `a` et de phase initiale `varphi` se définit donc comme suit :
`S"←"t`
`S = ae^(ikt)`
Les dérivées du signal complexe `S` sont :
`S = ae^(ikt)`
`dotS = ik a e^(ikt)`
`ddotS = -k^2 a e^(ikt)`
`S^("("n")") = (ik)^n a e^(ikt)`
On remarque alors que cette variables d'état complexe `S` satisfait l'équation différentiel suivante :
`dotS=ikS`
Et cette équation différentielle est du premier ordre. Ainsi l'extension des signaux de `RR"→"RR` à `RR"→"CC` nous permet de réduire l'ordre de leur équation différentielle de `2` à `1`.
Fort de cette puissance unificatrice et simplificatrice qu'apporte le corps des complexes, nous revisitons l'équation différentielle linéaire vue au chapitre précédent. Le signal `U` est la partie réel du signal complexe `S`. Et ce signale complexe `S` est définie par l'équation différentielle suivante :
`S"←"t`
`dotS=ik(S - S_0)`
Le signal réel est :
`U"="fr(R)(S)`
La composante constante signal complexe est `S_0`. La composante constante du signal réel est :
`U_0"="fr(R)(S_0)`
Voyons maintenant comment exprimer une énergie proportionnelle au carré de l'amplitude.
L'amplitude du signal est donnée par la norme du signal dans lequel on a enlevé la composante constante. Cela est encore vrai pour le signale complexe :
`a"="|S"-"S_0|`
Or `|dotS| "=" k|S "-" S_0|`, donc `|dotS| "=" ka`, et constitue donc une valeur proportionnelle à l'amplitude. La recherche de solution simple fait que `|dotS|` est un bon candidat pour l'énergie `E`. Nous optons pour cette définition :
`E"="|dotS|"="ka`