16. Les intervalles de Pythagore et de Mercator

L'harmonique 2 appelé l'octave, est souvent l'un des plus fort harmonique pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par une octave ont donc une affinité très grande, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre. L'harmonique 3 est souvent l'un des plus fort harmonique après l'harmonique 2 pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par un intervalle 3 ont donc une grande affinité, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre. Et ainsi de suite..., mais généralement de moins en moins fort pour les harmoniques de plus en plus élevée.

Les grecs anciens privilègies l'harmonique 2, l'octave, qui est le plus important de tous. Cela explique pourquoi ils ont choisi une échelle se répètant à l'identique à chaque octave.

Puis ils privilègient l'harmonique juste suivant qu'est l'harmonique 3, le plus important après l'octave et, qui ramené à l'octave, correspond à l'intervalle 3/2 appelée la quinte.

Ces deux intervalles 2 et 3 suffisent pour construire l'échelle de Pythagore. Les grecs anciens n'ont pas accordé d'importance aux autres harmoniques qui ne découlent pas de 2 et 3. Ainsi l'octave et la quinte sont les intervalles fondamentaux du système musical grec.

La méthode consiste alors à construire tous les intervalles engendrés par l'intervalle 2 et l'intervalle 3, ils sont de la forme intervalle 2x * 3y avec x et y entier relatif, et à ne retenir que ceux compris dans l'octave, c'est à dire compris entre l'intervalle 1 et l'intervalle 2.

En posant k = log(3)/log(2), nous avons :

2x * 3y ∈ [1,2[
x*log(2)+y*log(3) ∈ [0,log(2)[
x + y*log(3)/log(2) ∈ [0,1[
x + y*k ∈ [0,1[
x = -floor(y*k)

Les intervalles de la forme 2x * 3y se caractérisent à l'octave près par l'unique coordonnée y qui indique le nombre de quintes dont ils sont constitutifs. Ces notes forment la ligne des quintes.

Les premiers intervalles qui apparaissent dans l'ordre de leur complexité sont :

30/20 = Unisson = 1
21/30 = Octave = 2
31/21 = Quinte = 3/2
22/31 = Quarte = 4/3
32/23 = Ton majeur = 9/8
24/32 = Septième mineure de Pythagore = 16/9
33/24 = Sixte majeure de Pythagore = 27/16
25/33 = Tierce mineure de Pythagore = 32/27
...

L'octave est l'intervalle entre l'harmonique 1 et l'harmonique 2.
La quinte est l'intervalle entre l'harmonique 2 et l'harmonique 3.
La quarte est l'intervalle entre l'harmonique 3 et l'harmonique 4.
Le ton majeur est l'intervalle entre l'harmonique 8 et l'harmonique 9.
La septième mineure de Pythagore est l'intervalle entre l'harmonique 9 et l'harmonique 16.
La sixte majeure de Pythagore est l'intervalle entre l'harmonique 16 et l'harmonique 27.
...

Le plus petit intervalle notoire qui apparait est le comma de Pythagore :

Comma de Pythagore = 312/219 ≃ 1.014

La table des intervalles 2x * 3y compris dans l'octave, qui a été faite par Pythagore, a été complétée par Mercator jusqu'à atteindre le degré 242/326. Le degré suivant, qui est 327/242, s'avère séparé du degré précedant 242/326 d'un intervalle trés trés petit appellé comma de Mercator (qui est au moins 6 fois plus petit que le comma de Pythagore).

Comma de Mercator = 353/284 ≃ 1.002

Nicolaus Mercator (1620 Eutin - 1687 Versailles), aussi connu sous son nom allemand Niklaus Kauffman, est un mathématicien allemand du 17e siècle qui a découvert l'échelle égale subdivisant l'octave en 53 degrés. Il a donner son nom à l'unité correspondante. Le mercator vaut un 53ième d'octave et correspond approximativement au comma de Pythagore.

Mercator = 21/53 ≃ 1.013

Le tableau ci-dessous liste les 53 degrés de Pythagore qui constitue une échelle d'intervalles non égales. Les intervalles sont listés dans l'ordre de leur complexité.

Pour chaque degré 2x * 3y se trouve affiché dans les 5 premières colonnes ; x, y, le degré 2x * 3y, le numérateur et le dénominateur de 2x * 3y. Puis se trouve dans la 6 ième colonne, la valeur en 53ième d'octave séparée en une partie entière et un reste qu'il faut ajouter pour obtenir la valeur exacte en 53ième d'octave du degré. Puis se trouve dans l'avant dernière colonne le nom officiel de l'intervalle selon la liste française des noms d'intervalles. Puis se trouve dans la dernière colonne le nom du degré selon Pythagore (en mode de do) .

Echelle de Pythagore comparée à l'échelle égale de Mercator à 53 degrés

x
y
Degré
Numérateur
Dénominateur
Mercator
Intervalle
Note
0
0
1
1
1
0
+0

Unisson

do
1
0
2
2
1
53
+0

Octave

do
-1
1
3/2
3
2
31
+0.003

Quinte juste

sol
2
-1
22/3
4
3
22
-0.003

Quarte juste

fa
-3
2
32/23
9
8
9
+0.006

Ton majeur

4
-2
24/32
16
9
44
-0.006

Septième mineure de Pythagore

sib
-4
3
33/24
27
16
40
+0.009

Sixte majeure de Pythagore

la
5
-3
25/33
32
27
13
-0.009

Tierce mineure de Pythagore

mib
-6
4
34/26
81
64
18
+0.012

Tierce majeure de Pythagore

mi
7
-4
27/34
128
81
35
-0.012

Sixte mineure de Pythagore

lab
-7
5
35/27
243
128
49
+0.015

Septième majeure de Pythagore

si
8
-5
28/35
256
243
4
-0.015

Limma = Seconde mineure de Pythagore

b
-9
6
36/29
729
512
27
+0.018

Triton de Pythagore

fa#
10
-6
210/36
1024
729
26
-0.018

Quinte diminuée de Pythagore

solb
-11
7
37/211
2187
2048
5
+0.021

Apotome

do#
12
-7
212/37
4096
2187
48
-0.021

Octave diminué de Pythagore

dob
-12
8
38/212
6561
4096
36
+0.024

Quinte augmentée de Pythagore

sol#
13
-8
213/38
8192
6561
17
-0.024

Quarte diminuée de Pythagore

fab
-14
9
39/214
19683
16384
14
+0.027

Seconde augmentée de Pythagore

#
15
-9
215/39
32768
19683
39
-0.027

Septième diminuée de Pythagore

sibb
-15
10
310/215
59049
32768
45
+0.030

Sixte augmentée de Pythagore

la#
16
-10
216/310
65536
59049
8
-0.030

Tierce diminuée de Pythagore

mibb
-17
11
311/217
177147
131072
23
+0.033

Tierce augmentée de Pythagore

mi#
18
-11
218/311
262144
177147
30
-0.033

Sixte diminuée de Pythagore

labb
-19
12
312/219
531441
524288
1
+0.036

Comma de Pythagore

si#
20
-12
220/312
1048576
531441
52
-0.036

Neuvième diminuée de Pythagore

bb
-20
13
313/220
1594323
1048576
32
+0.039

Quarte double augmentée de Pythagore

fa##
21
-13
221/313
2097152
1594323
21
-0.039

Quinte double diminuée de Pythagore

solbb
-22
14
314/222
4782969
4194304
10
+0.042

Unisson double augmenté de Pythagore

do##
23
-14
223/314
8388608
4782969
43
-0.042

Octave double diminué de Pythagore

dobb
-23
15
315/223
14348907
8388608
41
+0.045

Quinte double augmentée de Pythagore

sol##
24
-15
224/315
16777216
14348907
12
-0.045

Quarte double diminuée de Pythagore

fabb
-25
16
316/225
43046721
33554432
19
+0.048

Seconde double augmentée de Pythagore

##
26
-16
226/316
67108864
43046721
34
-0.048

Septième double diminuée de Pythagore

sibbb
-26
17
317/226
129140163
67108864
50
+0.051

Sixte double augmentée de Pythagore

la##
27
-17
227/317
134217728
129140163
3
-0.051

Tierce double diminuée de Pythagore

mibbb
-28
18
318/228
387420489
268435456
28
+0.054

Tierce double augmentée de Pythagore

mi##
29
-18
229/318
536870912
387420489
25
-0.054

Sixte double diminuée de Pythagore

labbb
-30
19
319/230
1162261467
1073741824
6
+0.057

 

si##
31
-19
231/319
2147483648
1162261467
47
-0.057
 
bbb
-31
20
320/231
3486784401
2147483648
37
+0.060
 
fa##
32
-20
232/320
4294967296
3486784401
16
-0.060
 
solbbb
-33
21
321/233
10460353203
8589934592
15
+0.063
 
do###
34
-21
234/321
17179869184
10460353203
38
-0.063
 
dobbb
-34
22
322/234
31381059609
17179869184
46
+0.066
 
sol###
35
-22
235/322
34359738368
31381059609
7
-0.066
 
fabbb
-36
23
323/236
94143178827
68719476736
24
+0.069
 
###
37
-23
237/323
137438953472
94143178827
29
-0.069
 
sibbbb
-38
24
324/238
282429536481
274877906944
2
+0.072
 
la###
39
-24
239/324
549755813888
282429536481
51
-0.072
 
mibbbb
-39
25
325/239
847288609443
549755813888
33
+0.075
 
mi###
40
-25
240/325
1099511627776
847288609443
20
-0.075
 
labbbb
-41
26
326/241
2541865828329
2199023255552
11
+0.078
 
si###
42
-26
242/326
4398046511104
2541865828329
42
-0.078
 
bbbb

-42
27
327/242
7625597484987
4398046511104
42
+0.081

C'est une coïncidence extraordinaire que les degrés de l'échelle de Pythagore et les degrés de l'échelle égale de Mercator coïncident avec un écart toujours trés faible, plus faible que le 12ième de mercator.

Et une autre règle nous permet de faire des calculs exactes. Dans le tableau, la valeur en 53ième d'octave est séparée en deux partie, l'une entière qui en est l'arrondi à l'entier le plus près, et l'autre représentant le reste qu'il faut ajouter pour obtenir la valeur exacte en 53ième d'octave. Ce reste s'avère exactement égale à y epsilon où un epsilon est un intervalle égale au comma de Mercator divisé par 53 :

Epsilon = Comma de Mercator / 53
Epsilon = (353/284 )1/53
Epsilon = 3 / 284/53
Epsilon = 53*log(3 / 284/53 )/log(2) Mercator
Epsilon = 53*(log(3) - 84*log(2))/log(2) Mercator
Epsilon = (53*log(3)/log(2) - 84) Mercator
Epsilon ≃ 0.003 Mercator

Ainsi nous avons les égalités exactes suivantes tirées du tableau :

Quinte juste = 31 Mercator + Epsilon
Quarte juste = 22 Mercator - Epsilon
Ton majeur = 9 Mercator + 2 Epsilon

Limma = 4 Mercator - 5 Epsilon
Apotome = 5 Mercator + 7 Epsilon
Comma de Pythagore = Mercator + 12 Epsilon

Comma de Mercator = 53 Epsilon

Pour poser des égalités exactes et non approchée, il faut soit donner la valeur numérique exacte en 53ième d'octave ou bien utiliser epsilon comme ci-dessus. Mais l'écriture est un peu lourde. On adopte alors une écriture plus légère sous forme d'un couple entre crochet composé d'un premier terme indiquant un nombre de mercator, et d'un second terme indiquant un nombre d'epsilon. On nomme cette écriture le vecteur de décomposition mercator_epsilon.

16.1. Le vecteur de décomposition mercator_ epsilon

Les intervalles de Pythagore sont les intervalles 2x * 3y compris dans l'octave. Si on choisie un mode, tel le mode de , on verra que l'on peut nommer ces intervalles avec une notation classique :

ré = 1
la = 3/2
sol = 4/3
mi = 9/8
do = 16/9
si = 27/16
fa = 32/27
fa# = 81/64
sib = 128/81
do# = 243/128
mib = 256/243
sol# = 729/512
lab = 1024/729
# = 2187/2048

Dans l'octave, chaque note est alors déterminée par son unique valeur y qui précise sa position dans la ligne des quintes modulo l'octave. Les notes se positionnent sur la ligne des quintes comme suit :

-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
 rébb
 labb
 mibb
 sibb
 fa
 do
solb
 ré
 la
 mi
 si
  fa 
  do 
 sol 
  ré  
  la 
  mi 
  si 
 fa
 do
 sol#
 ré# 
 la
 mi
 si
 fa##
 do##
sol##
 ré##

On pose la constante k = log(3)/log(2). La note correspondant à y est le degré 2x * 3y où :

x = - floor(y*k)

On ne reste pas confiné dans l'octave, et on considère tous les degrés de la forme 2x * 3y avec x et y entiers relatifs. On peut alors utiliser la même notation classique des notes, en mode de , mais en spécifiant l'octave par un indice démarrant à zéro, l'absence d'indice désignant zéro. Ainsi par exemple nous avons :

Octave = ré1
2 * Octave = ré2
fa3 + 3*Octave = fa6
mi2 = 32 / 2

Pour convertir un rapport de fréquence r en mercator, on utilise la formule suivante :

r = 53*log(r)/log(2) Mercator

Et nous pouvons calculer la valeur de l'intervalle 2x * 3y en mercator

2x * 3y = (53 * log(2x * 3y ) / log(2)) * Mercator
2x * 3y = 53 * (x + y*k) * Mercator

C'est une coïncidence extraordinaire que les 53 premiers degrés de l'échelle de Pythagore et les 53 degrés de l'échelle égale de Mercator coïncident avec un écart toujours trés faible, plus faible que le 12ième de mercator. Et l'écart en question s'avère exactement égale à y epsilon, où epsilon est le comma de Mercator divisé par 53 :

y∈[-26,26]    =>    2x * 3y = round(53 * (x + y*k)) * Mercator + y * Epsilon

Cette règle n'est plus vrai lorsque |y| devient grand.

Calculons la valeur d'un epsilon :

Epsilon = Comma de Mercator / 53
Epsilon = Intervalle(353/284) / 53
Epsilon = (353/284 )(1/53)
Epsilon = 3 / 284/53

Comma de Mercator = Intervalle(353/284)
Comma de Mercator = 53*ln(353/284)/ln(2) * Mercator
Comma de Mercator = 53*(53*ln(3) - 84*ln(2))/ln(2) * Mercator
Comma de Mercator = 53*(53*k - 84) * Mercator

Epsilon = (53*k - 84) * Mercator
Epsilon = ≃ 0.003 * Mercator

Intéressons-nous à l'intervalle m*Mercator qu'il faut ajouter à y*ε pour obtenir l'intervalle 2x * 3y

2x * 3y = m*Mercator + y*Epsilon
m*Mercator = 2x * 3y - y*Epsilon
m*Mercator = 53 * (x + y*k) * Mercator - y * (53*k - 84) * Mercator
m = 53*x + 53*y*k - 53*y*k + 84*y
m = 53*x + 84*y

Le caractère extraordinaire de la propriété tient dans les trois fait suivants ; que m est entier, que le mercator n'est pas trop petit (53ième d'octave) et que un epsilon est tout petit, ce qui a pour conséquence que m correspond au nombre entier arrondie de mercator le plus proche de l'intervalle 2x * 3y tant que y epsilon reste en norme inférieur à 1/2 mercator, c'est à dire tant que |y|≤165.

Ainsi pour tout entier relatif x, y, nous avons l'égalité suivante :

2x * 3y   =   (53*x + 84*y) Mercator + y Epsilon

Nous avons donc deux systèmes de coordonnés entière en notation additive que sont :

[x,y] est le vecteur de décomposition du degré 2x * 3y
[53*x + 84*y, y] est le vecteur de décomposition mercator_epsilon du degré 2x * 3y .

16.2. Règles de calcule sur les intervalles

Les intervalles 2x * 3y s'ajoutent facilement grâce à leur vecteur de décomposition [x,y], ou à leur vecteur de décomposition mercator_epsilon [53*x + 84*y, y], ou à leur évaluation en 53ième d'octave 53 * log(2x * 3y ) / log(2), ou à leur évaluation approchée en nombre entier de 53ième d'octave round (53 * log(2x * 3y ) / log(2)) qui est égale à 53*x + 84*y lorsque |y|≤165.

Par exemple, le limma (qui correspond au demi-ton diatonique) se combine avec l'apotome (qui correspond au demi-ton chromatique) pour donner le ton majeur :

Nom : 
 Ton majeur
=
Limma
+
Apotome
Facteur multiplicatif :
9/8
=
256/243
*
2187/2048
Facteur multiplicatif :
32/23
=
28/35
*
37/211
Vecteur : 
[-3,2]
=
[8,-5]
+
[-11,7]
Mercator_ε :  
[9,2]
=
[4,-5]
+
[5,7]
Mercator :
 9  
≃ 
+
 5

Voici quelques autres exemples :

Nom : 
Tierce majeur de Pythagore
=
2 Ton majeur
Facteur multiplicatif :
81/64
=
(9/8)2
Facteur multiplicatif :
34/26
=
(32/23)2
Vecteur : 
[-6,4] 
=
2 * [-3,2]
Mercator_ε :    
 [18,4]  
2 * [9,2]
Mercator :
18
≃ 
2 * 9


Nom : 
Quarte juste
=
2 Apotome
+
3 Limma
Facteur multiplicatif :
4/3
=
(2187/2048)2
*
(256/243)3
Facteur multiplicatif :
22/31
=
(37/211)2
*
(28/35)3
Vecteur : 
[2,-1] 
=
2 * [-11,7]
+
3 * [8,-5]
Mercator_ε :    
 [22,-1]   
2 * [5,7]
+
3 * [4,-5]
Mercator :
22
≃ 
2 * 5
+
3 * 4 


Nom : 
Quinte juste
=
3 Apotome
+
4 Limma
Facteur multiplicatif :
3/2
=
(2187/2048)3
*
(256/243)4
Facteur multiplicatif :
31/21
=
(37/211)3
*
(28/35)4
Vecteur : 
[-1,1] 
=
3 * [-11,7]
+
4 * [8,-5]
Mercator_ε :    
 [31,1]   
3 * [5,7]
+
4 * [4,-5]
Mercator :
31
≃ 
3 * 5
+
4 * 4 


Nom : 
Quinte juste
=
3 Ton Majeur
+
Limma
Facteur multiplicatif :
3/2
=
(9/8)3
*
256/243
Facteur multiplicatif :
31/21
=
(32/23)3
*
28/35
Vecteur : 
[-1,1] 
=
3 * [-3,2]
+
[8,-5]
Mercator_ε :    
 [31,1]   
3 * [9,2]
+
[4,-5]
Mercator :
31
≃ 
3 * 9  
+


Nom : 
Octave
=
5 Apotome
+
7 Limma
Facteur multiplicatif :
2
=
(2187/2048)5
*
(256/243)7
Facteur multiplicatif :
21/30
=
(37/211)5
*
(28/35)7
Vecteur : 
[1,0] 
=
5 * [-11,7]
+
7 * [8,-5]
Mercator_ε :    
 [53,0]   
5 * [5,7]
+
7 * [4,-5]
Mercator :
53
≃ 
5 * 5
+
7 * 4 


Nom : 
Intervalle(3)
=
Octave
+
Sixte diminuée de Pythagore
+
Comma de Pythagore
Facteur multiplicatif :
3
=
2
*
262144/177147
*
531441/524288
Facteur multiplicatif :
31/20
=
21/30
*
218/311
*
312/219
Vecteur : 
[0,1] 
=
[1,0] 
+
[18,-11]
+
[-19,12]
Mercator_ε :    
 [84,1]   
 [53,0]   
+
[30, -11]
+
[1,12]
Mercator :
84
≃ 
53
+
30
+
1



17. La gamme pythagoricienne

Les grecs anciens considèrent comme consonnant seulement l'octave, la quinte et la quarte. Ils ont construit leur gamme par des intervalles successifs de quintes modulo l'octave.

Les 4 premiers harmoniques (1, 2, 3, 4) correspondent pour le do1 exactement aux notes (do1, do2, sol2, do3). Voilà pourquoi le do engendre le sol, et qu'il est naturel de construire les notes par quintes successives.

Une succession de 6 quintes s'exprime en la liste de sauts (3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 3/2) puis s'exprime en la liste de degrés (1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32, 729/64) qui modulo l'octave donne (1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, 243/128, 729/512) et en réordonnant les degrés selon leur hauteur, donne (1, 9/8, 81/64, 729/512, 3/2, 27/16, 243/128) puis s'exprime à nouveau en la liste de sauts (9/8, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 256/243) le dernier nombre correspondant au saut du dernier degrés dans l'octave à l'octave.

Ainsi une succession de 6 quintes ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles : (9/8, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 256/243). C'est l'échelle pythagoricienne. Elle contient deux types d'intervalles, le ton majeur 9/8 et le limma 256/243 aussi appellé demi-ton diatonique, puisque placé entre deux tons, que l'on désignent aussi par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave respectivement 9 et 4.

Intervalle
Ton
majeur
Demi-ton
diatonique
[x,y]
[-3,2]
[8,-5]
2x * 3y
32/23
28/35
Rapport
9/8
256/243
Mercator
9
4

Comme l'harmonie musical est invariante par transposition, l'échelle est définie à une permutation circulaire près. Et chaque permutation circulaire correspond à un mode distinct.

Le nom "octave" signifie la huitème notes. Cela s'explique après la construction du système de Pythagore qui propose une échelle majeure composée de 7 degrés, le 8ième degré étant la première note de l'octave au dessus.

17.1 Le mode majeur

Le mode obtenu par la construction de 6 quintes modulo l'octave, puis réordonnées, s'exprime en mercator par (9,9,9,4,9,9,4) et s'appelle le mode de fa. Mais ce n'est pas celui-là que les pythagoriciens ont choisie. Ils ont choisie un autre mode par une permutation circulaire. Le mode majeur pythagoricien est (9,9,4,9,9,9,4), et s'appelle le mode de do. Ce mode peut être obtenu directement par 6 quintes modulo l'octave en partant de moins une quinte au lieu de l'unisson. Puis ils ont nommé les notes dans l'ordre de leur hauteur :

Intervalle
Unisson
Ton majeur
Tierce majeure
de Pythagore
Quarte juste
Quinte juste
Sixte majeure
de Pythagore
Septième majeure
de Pythagore
Octave
Note
do
mi
fa
sol
la
si
do
[x,y]
[0,0]
[-3,2]
[-6,4]
[2,-1]
[-1,1]
[-4,3]
[-7,5]
[1,0]
2x * 3y
1
32/23
34/26
22/3
3/2
33/24
32/23
2
Rapport
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
Mercator
0
9
18
22
31
40
49
53

Pour parachever la définition de la gamme majeur pythagoricienne, il conviendrait de fixer une note de référence telle le la3 à 440Hz.

La gamme est définie de façon absolue et se répète selon un intervalle de base, ici l'octave.

Le mode est définie à une transposition près, mais avec le choix d'un degrés servant de commencement, appelée tonique, et se répète selon un intervalle de base.

L'échelle est définie à une transposition près et à une permutation circulaire prés, et se répète selon un intervalle de base.

La différence entre le mode et l'échelle tient dans le choix d'un commencement appellé tonique. Le degré est défini comme un intervalle. Le premier degré appelé tonique est défini comme étant l'unisson. Un degré quelconque est défini comme l'intervalle entre le premier degrés et lui-même. La note est le nom donné au degré.

Les degrés sont numérotés à partir de 1 d'une façon générale comme suit : (1,2,3,4,5...) ou (a,b,c,d,e...) ou (Unisson ou Prime, Seconde, Tierce, Quarte...)

Le mode majeure de Pythagore contient 7 degrés nommés (do, ré, mi, fa, sol, la, si) définis sur l'octave :

  1. L'unisson constitue le 1er degré (do).
  2. Le ton majeur constitue le 2ième degré ().
  3. La tierce majeure constitue le 3ième degré (mi).
  4. La quarte juste constitue le 4ième degré (fa).
  5. La quinte juste constitue le 5ième degré (sol).
  6. La sixte majeure constitue le 6ième degré (la).
  7. La septième majeure constitue le 7ième degré (si).
  8. L'octave constitue le 8ième degré (do1).

Le ton majeur pourrait s'appeller la seconde majeur. Voila l'origine des noms des intervalles de Pythagore.

Le mode majeur de Pythagore (do, ré, mi, fa, sol, la, si), appellé mode de do, s'exprime en 53ième d'octave par la liste de degrés (0, 9, 18, 22, 31, 40, 49), puis s'exprime par la succession de sauts entre degrés (9, 9, 4, 9, 9, 9, 4). Le dernier nombre correspond à l'intervalle entre le si et le do de l'octave au dessus. Cette dernière représentation a l'avantage de préciser explicitement l'intervalle de base 9+9+4+9+9+9+4 = 53 qui est l'octave.

Les notes do, ré, mi... ici mentionnées ne sont pas absolues mais relatives les une aux autres. Contrairement à la gamme, le mode ne fixe pas de fréquence absolue, et est défini à une transposition près.

17.2. Les altérations dièse et bémol

Pythagore définie le dièse comme l'altération se produisant après 7 quintes ramenés à l'octave par transposition d'octave. La suite des quintes produit fa, do, sol, ré, la, mi, si, et la quinte suivante qui est la 7ième quinte redonne un fa altéré nommé fa#, de même pour les autres notes. Et il définie le bémol comme l'altération se produisant après 7 quartes modulo l'octave. Toutes les notes se définissent ainsi sur la ligne des quintes :

216/310
215/39
213/38
212/37
210/36
28/35
27/34
25/33
24/32
 22/3
  1  
 3/2 
32/23
33/24
34/26
35/27
36/29
37/211
38/212
39/214
310/215
311/217
312/219
313/220
314/222
8
39
17
48
26
4
35
13
44
22
0
31
9
40
18
49
27
5
36
14
45
23
1
32
10
mibb
sib
fab
dob
solb
b
lab
mib
sib
fa
do
 sol
la
mi
si
fa#
do#
sol#
#
la#
mi#
si#
fa##
do##

Cette définition du dièse et du bémol permet de nommer tous les degrés et montre que le dièse est égale à 37/211 et correspond à 7 quintes modulo l'octave, et que le bémol est égale à 211/37 et correspond à 7 quartes modulo l'octave.

Le ton majeur et le demi-ton diatonique définissent la gamme à 7 notes. Puis le dièse, appellé aussi apotome ou demi-ton chromatique, permet de définir les autres notes. Le ton majeur est égale à la somme du demi-ton diatonique aussi appelé limma, et du demi-ton chromatique aussi appellé apotome. Le demi-ton diatonique est plus petit que le demi-ton chromatique. Le demi-ton chromatique est égale à la somme du demi-ton diatonique et du comma.

Intervalle
Ton majeur
Demi-ton
diatonique
Demi-ton
chromatique
Comma
[x,y]
[-3,2]
[8,-5]
[-11,7]
[-19,12]
2x * 3y
32/23
28/35
37/211
312/219
Rapport
9/8
256/243
2187/2048
531441/524288
Mercator
9
4
5
1

Le dièse correspond approximativement à +5 mercators. Et le comma de Pythagore correspond approximativement à +1 mercator.

Dièse + Bémol = Unisson

Dièse  ≃  5 Mercator

Dièse = 37/211
Bémol = 211/37

17.3 Les modes

Le mode de do, a été construit par 6 quintes en plaçant la tonique en deuxième place dans la succession des quintes, voir les 7 notes en rose (fa, do, sol, ré, la, mi, si) dans le tableaux des quintes, qui réordonnées selon leur hauteur, donne (do, ré, mi, fa, sol, la, si). Puis les autres notes ont été nommées par répétition en utilisant les dièses et les bémols.

Comme il y a 7 degrés, il y a 7 permutations circulaires possibles correspondant à 7 modes :

Nom du mode
Sauts
Degrés
Notes nommées
selon le mode de do
Mode de do
(9,9,4,9,9,9,4)
(0,9,18,22,31,40,49)
(do, ré, mi, fa, sol, la, si)
Mode de
(9,4,9,9,9,4,9)
(0,9,13,22,31,40,44)
(do, ré, mib, fa, sol, la, sib)
Mode de mi
(4,9,9,9,4,9,9)
(0,4,13,22,31,35,44)
(do, réb, mib, fa, sol, lab, sib)
Mode de fa
(9,9,9,4,9,9,4)
(0,9,18,27,31,40,49)
(do, ré, mi, fa#, sol, la, si)
Mode de sol
(9,9,4,9,9,4,9)
(0,9,18,22,31,40,44)
(do, ré, mi, fa, sol, la, sib)
Mode de la
(9,4,9,9,4,9,9)
(0.9.13,22,31,35,44)
(do, ré, mib, fa, sol, lab, sib)
Mode de si
(4,9,9,4,9,9,9)
(0,4,13,22,26,35,44)
(do, réb, mib, fa, solb, lab, sib)
Théorique de la musique http://www.theoriedelamusique.com

17.4 Mode majeur et mode mineur

Le mode majeur est le mode de do. Le mode mineur est le mode de mi. C'est choix sont arbitraires. Voici la valeur en 53ième d'octave des degrés du mode majeur (mode de do) et mineur (mode de mi)

Degrés
Unisson
Seconde
Tierce
Quarte
Quinte
Sixte
Septième
Octave
Mode majeur
0
9
18
22
31
40
49
53
Mode mineur
0
4
13
22
31
35
44
53

Ainsi l'unisson, la quarte, la quinte et l'octave sont à la fois majeur et mineur, et sont dit juste. La seconde mineur vaut la seconde majeur moins un demi-ton chromatique. La tierce mineur vaut la tierce majeur moins un demi-ton chromatique. La sixte mineur vaut la sixte majeur moins un demi-ton chromatique. Et la septième mineur vaut la septième majeur moins un demi-ton chromatique.

Le degré est qualifié d'augmenté s'il est augmenté d'un demi-ton chromatique (dièse), et il est qualifié de diminué s'il est diminué d'un demi-ton chromatique (bémol). Le degré est qualifié de double augmenté s'il est augmenté de 2 demi-tons chromatiques (2 dièses), et il est qualifié de double diminué s'il est diminué de 2 demi-ton chromatique (2 bémols).

Le mode mineur, qui est le mode de mi, comprend l'unisson, l'octave, la quarte, et la quinte, qui sont à la fois majeur et mineur, et la seconde mineur, la tierce mineur, la sixte mineur et la septième mineur. Le mode mineur de Pythagore contient 7 degrés nommés (do, réb, mib, fa, sol, lab, sib)  définis sur l'octave :

  1. L'unisson constitue le 1er degré (do)
  2. La seconde mineure constitue le 2ième degré (b)
  3. La tierce mineure constitue le 3ième degré (mib)
  4. La quarte juste constitue le 4ième degré (fa)
  5. La quinte juste constitue le 5ième degré (sol)
  6. La sixte mineure constitue le 6ième degré (lab)
  7. La septième mineur constitue le 7ième degré (sib)
  8. L'octave constitue le 8ième degré (do1)

Voila l'origine des noms des intervalles de Pythagore.

Le mode est définie à une transposition près. Le mode mineur de Pythagore est identique au mode de mi.

(do, réb, mib, fa, sol, lab, sib) + mi     =    (mi, fa, sol, la, si, do1, ré1)
   (0, 4, 13, 22, 31, 35, 44)   +  18     =   (18, 22, 31, 40, 49, 53, 62)

On donne également des noms aux degrés dans les octaves au dessus, en continuant la numérotation avec le mode mineur ou majeur. Voici les noms des degrés avec leur hauteur h approximé en 12-ième d'octaves :

h
Degré
0
Prime
1
Seconde mineur
2
Seconde majeur
3
Tierce mineur
4
Tierce majeur
5
Quarte
6
Triton
7
Quinte
8
Sixte mineur
9
Sixte majeur
10
Septième mineur
11
Septième majeur
h
Degré
12
Huitième
13
Neuvième mineur
14
Neuvième majeur
15
Dixième mineur
16
Dixième majeur
17
Onzième
18
3 Triton
19
Douzième
20
Treizième mineur
21
Treizième majeur
22
Quatorzième mineur
23
Quatorzième majeur
h
Degré
24
Quinzième
25
Seizième mineur
26
Seizième majeur
27
Dix-septième mineur
28
Dix-septième majeur
29
Dix-huitième
30
5 Triton
31
Dix-neuvième
32
Vingtième mineur
33
Vingtième majeur
34
Vingt-et-unième mineur
35
Vingt-et-unième majeur
h
Degré
36
Vingt-deuxième
37
Vingt-troisième mineur
38
Vingt-troisième majeur
39
Vingt-quatrième mineur
40
Vingt-quatrième majeur
41
Vingt-cinquième
42
7 Triton
43
Vingt-sixième
44
Vingt-septième mineur
45
Vingt-septième majeur
46
Vingt-huitième mineur
47
Vingt-huitième majeur
h
Degré
48
Vingt-neuvième
49
Trentième mineur
50
Trentième majeur
51
Trente-et-unième mineur
52
Trente-et-unième majeur
53
Trente-deuxième
54
9 Triton
55
Trente-troisième
56
Trente-quatrième mineur
57
Trente-quatrième majeur
58
Trente-cinquième mineur
59
Trente-cinquième majeur
h
Degré
60
Trente-sixième
61
Trente-septième mineur
62
Trente-septième majeur
63
Trente-huitème mineur
64
Trente-huitème majeur
65
Trente-neuvième
66
11 Triton
67
Quarantième
68
Quarante-et-unième mineur
69
Quarante-et-unième majeur
70
Quarante-deuxième mineur
71
Quarante-deuxième majeur

Cette numérotation correspond au nombre de touches blanches sur un piano. Par exemple, la vingt-troisième majeur correspond à la vingt-troisième touche blanches après le do, et la vingt-troisième mineur correspond à la touche noir juste avant.

18. Les échelles et les modes.

On s'intéresse aux échelles périodique sur l'axe logarithmique des fréquences définie à une transposition près. L'échelle a donc une période appellé intervalle de base qui est subdivisé par une suite de plus petits intervalles (k0, k1, k2, k3...).

L'échelle permet de définir une suite croissante d'intervalles appelés degrés, se répetant à chaque intervalle de base successif, mais elle ne précise pas de commencement. L'échelle est définie à une transposition près. Cela est voulu car l'harmonie musicale est invariante par transposition. Il en résulte que l'échelle est définie à une permutation circulaire près de sa subdivision.

Ainsi on donne le nom d'échelle à une subdivision d'un intervalle de base par une suite de plus petits intervalles, à une permutation circulaire près.

Parmi les permutations circulaires possibles, on va en choisire une, et cela déterminera un mode. L'intervalle de base transposé s'appellera une gamme. Après ce choix nous pouvons nommer chaque degrés compris dans la gamme avec un nom générique ; unisson pour le 1er degrés, seconde pour le 2ième degrés, tierce pour le 3ième degrés, quarte pour le 4ième degrés etc., ou selon les lettres de l'alphabet, A, B, C, D..., ou selon des noms de note do, ré, mi, fa....

 

Néanmoins, il est plus judicieux de numéroter les degrés en commençant par 0, le 0 correspondant à l'unisson en notation additive. C'est pourquoi on propose cette numérotation supplémentaire dite à zéro.

L'échelle se caractérise par la succession des sauts entre degrés se succédants mais sans définir de commencement, c'est à dire à une permutration circulaire près. Par exemple, l'échelle majeur de Pythagore (do, ré, mi, fa, sol, la, si) possède comme intervalle de base l'octave, et peut être estimé en 53ième d'octave par une liste croissante de degrés (0, 9, 18, 22, 31, 40, 49), puis s'exprime par la succession de sauts entre degrés (9, 9, 4, 9, 9, 9, 4), le dernier saut correspondant à l'intervalle entre le si et le do de l'octave au dessus. Cette dernière représentation a l'avantage de préciser explicitement l'intervalle de base 9+9+4+9+9+9+4 = 53 qui est ici l'octave.

L'échelle est invariante par permutation circulaire de sa subdivision, car elle se répète à l'identique indéfiniement et aucune position de départ n'est mentionnées. On choisie alors, pour les cataloguées, un représentant unique, appelé signature, qui correspond à un mode particulier. Ce représentant est choisi comme étant la suite minimum des sauts selon l'ordre big-endian. Pour l'échelle majeur de Pythagore, la signature est (4, 9, 9, 4, 9, 9, 9). L'échelle est parfaitement définie par sa signature.

 

Chapitre suivant : "Complexité"

Dominique Mabboux-Stromberg (juin 2013)