L'harmonique 2 appelé l'octave, est souvent l'un des plus fort harmonique pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par une octave ont donc une affinité très grande, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre. L'harmonique 3 est souvent l'un des plus fort harmonique après l'harmonique 2 pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par un intervalle 3 ont donc une grande affinité, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre. Et ainsi de suite..., mais généralement de moins en moins fort pour les harmoniques de plus en plus élevée.
Les grecs anciens privilègies l'harmonique 2, l'octave, qui est le plus important de tous. Cela explique pourquoi ils ont choisi une échelle se répètant à l'identique à chaque octave.
Puis ils privilègient l'harmonique juste suivant qu'est l'harmonique 3, le plus important après l'octave et, qui ramené à l'octave, correspond à l'intervalle 3/2 appelée la quinte.
Ces deux intervalles 2 et 3 suffisent pour construire l'échelle de Pythagore. Les grecs anciens n'ont pas accordé d'importance aux autres harmoniques qui ne découlent pas de 2 et 3. Ainsi l'octave et la quinte sont les intervalles fondamentaux du système musical grec.
La méthode consiste alors à construire tous les intervalles engendrés par l'intervalle 2 et l'intervalle 3, ils sont de la forme intervalle 2x * 3y avec x et y entier relatif, et à ne retenir que ceux compris dans l'octave, c'est à dire compris entre l'intervalle 1 et l'intervalle 2.
En posant k = log(3)/log(2), nous avons :
2x * 3y ∈ [1,2[
x*log(2)+y*log(3) ∈ [0,log(2)[
x + y*log(3)/log(2) ∈ [0,1[
x + y*k ∈ [0,1[
x = -floor(y*k)
Les intervalles de la forme 2x * 3y se caractérisent à l'octave près par l'unique coordonnée y qui indique le nombre de quintes dont ils sont constitutifs. Ces notes forment la ligne des quintes.
Les premiers intervalles qui apparaissent dans l'ordre de leur complexité sont :
30/20 = Unisson = 1
21/30 = Octave = 2
31/21 = Quinte = 3/2
22/31 = Quarte = 4/3
32/23 = Ton majeur = 9/8
24/32 = Septième mineure de Pythagore = 16/9
33/24 = Sixte majeure de Pythagore = 27/16
25/33 = Tierce mineure de Pythagore = 32/27
...
L'octave est l'intervalle entre l'harmonique 1 et l'harmonique 2.
La quinte est l'intervalle entre l'harmonique 2 et l'harmonique 3.
La quarte est l'intervalle entre l'harmonique 3 et l'harmonique 4.
Le ton majeur est l'intervalle entre l'harmonique 8 et l'harmonique 9.
La septième mineure de Pythagore est l'intervalle entre l'harmonique 9 et l'harmonique 16.
La sixte majeure de Pythagore est l'intervalle entre l'harmonique 16 et l'harmonique 27.
...
Le plus petit intervalle notoire qui apparait est le comma de Pythagore :
Comma de Pythagore = 312/219 ≃ 1.014
La table des intervalles 2x * 3y compris dans l'octave, qui a été faite par Pythagore, a été complétée par Mercator jusqu'à atteindre le degré 242/326. Le degré suivant, qui est 327/242, s'avère séparé du degré précedant 242/326 d'un intervalle trés trés petit appellé comma de Mercator (qui est au moins 6 fois plus petit que le comma de Pythagore).
Comma de Mercator = 353/284 ≃ 1.002
Nicolaus Mercator (1620 Eutin - 1687 Versailles), aussi connu sous son nom allemand Niklaus Kauffman, est un mathématicien allemand du 17e siècle qui a découvert l'échelle égale subdivisant l'octave en 53 degrés. Il a donner son nom à l'unité correspondante. Le mercator vaut un 53ième d'octave et correspond approximativement au comma de Pythagore.
Mercator = 21/53 ≃ 1.013
Le tableau ci-dessous liste les 53 degrés de Pythagore qui constitue une échelle d'intervalles non égales. Les intervalles sont listés dans l'ordre de leur complexité.
Pour chaque degré 2x * 3y se trouve affiché dans les 5 premières colonnes ; x, y, le degré 2x * 3y, le numérateur et le dénominateur de 2x * 3y. Puis se trouve dans la 6 ième colonne, la valeur en 53ième d'octave séparée en une partie entière et un reste qu'il faut ajouter pour obtenir la valeur exacte en 53ième d'octave du degré. Puis se trouve dans l'avant dernière colonne le nom officiel de l'intervalle selon la liste française des noms d'intervalles. Puis se trouve dans la dernière colonne le nom du degré selon Pythagore (en mode de do) .
Echelle de Pythagore comparée à l'échelle égale de Mercator à 53 degrés
x |
y |
Degré |
Numérateur |
Dénominateur |
Mercator
|
Intervalle |
Note |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
+0 |
Unisson |
do |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
53 |
+0 |
Octave |
do |
-1 |
1 |
3/2 |
3 |
2 |
31 |
+0.003 |
Quinte juste |
sol |
2 |
-1 |
22/3 |
4 |
3 |
22 |
-0.003 |
Quarte juste |
fa |
-3 |
2 |
32/23 |
9 |
8 |
9 |
+0.006 |
Ton majeur |
ré |
4 |
-2 |
24/32 |
16 |
9 |
44 |
-0.006 |
Septième mineure de Pythagore |
sib |
-4 |
3 |
33/24 |
27 |
16 |
40 |
+0.009 |
Sixte majeure de Pythagore |
la |
5 |
-3 |
25/33 |
32 |
27 |
13 |
-0.009 |
Tierce mineure de Pythagore |
mib |
-6 |
4 |
34/26 |
81 |
64 |
18 |
+0.012 |
Tierce majeure de Pythagore |
mi |
7 |
-4 |
27/34 |
128 |
81 |
35 |
-0.012 |
Sixte mineure de Pythagore |
lab |
-7 |
5 |
35/27 |
243 |
128 |
49 |
+0.015 |
Septième majeure de Pythagore |
si |
8 |
-5 |
28/35 |
256 |
243 |
4 |
-0.015 |
Limma = Seconde mineure de Pythagore |
réb |
-9 |
6 |
36/29 |
729 |
512 |
27 |
+0.018 |
Triton de Pythagore |
fa# |
10 |
-6 |
210/36 |
1024 |
729 |
26 |
-0.018 |
Quinte diminuée de Pythagore |
solb |
-11 |
7 |
37/211 |
2187 |
2048 |
5 |
+0.021 |
Apotome |
do# |
12 |
-7 |
212/37 |
4096 |
2187 |
48 |
-0.021 |
Octave diminué de Pythagore |
dob |
-12 |
8 |
38/212 |
6561 |
4096 |
36 |
+0.024 |
Quinte augmentée de Pythagore |
sol# |
13 |
-8 |
213/38 |
8192 |
6561 |
17 |
-0.024 |
Quarte diminuée de Pythagore |
fab |
-14 |
9 |
39/214 |
19683 |
16384 |
14 |
+0.027 |
Seconde augmentée de Pythagore |
ré# |
15 |
-9 |
215/39 |
32768 |
19683 |
39 |
-0.027 |
Septième diminuée de Pythagore |
sibb |
-15 |
10 |
310/215 |
59049 |
32768 |
45 |
+0.030 |
Sixte augmentée de Pythagore |
la# |
16 |
-10 |
216/310 |
65536 |
59049 |
8 |
-0.030 |
Tierce diminuée de Pythagore |
mibb |
-17 |
11 |
311/217 |
177147 |
131072 |
23 |
+0.033 |
Tierce augmentée de Pythagore |
mi# |
18 |
-11 |
218/311 |
262144 |
177147 |
30 |
-0.033 |
Sixte diminuée de Pythagore |
labb |
-19 |
12 |
312/219 |
531441 |
524288 |
1 |
+0.036 |
Comma de Pythagore |
si# |
20 |
-12 |
220/312 |
1048576 |
531441 |
52 |
-0.036 |
Neuvième diminuée de Pythagore |
rébb |
-20 |
13 |
313/220 |
1594323 |
1048576 |
32 |
+0.039 |
Quarte double augmentée de Pythagore |
fa## |
21 |
-13 |
221/313 |
2097152 |
1594323 |
21 |
-0.039 |
Quinte double diminuée de Pythagore |
solbb |
-22 |
14 |
314/222 |
4782969 |
4194304 |
10 |
+0.042 |
Unisson double augmenté de Pythagore |
do## |
23 |
-14 |
223/314 |
8388608 |
4782969 |
43 |
-0.042 |
Octave double diminué de Pythagore |
dobb |
-23 |
15 |
315/223 |
14348907 |
8388608 |
41 |
+0.045 |
Quinte double augmentée de Pythagore |
sol## |
24 |
-15 |
224/315 |
16777216 |
14348907 |
12 |
-0.045 |
Quarte double diminuée de Pythagore |
fabb |
-25 |
16 |
316/225 |
43046721 |
33554432 |
19 |
+0.048 |
Seconde double augmentée de Pythagore |
ré## |
26 |
-16 |
226/316 |
67108864 |
43046721 |
34 |
-0.048 |
Septième double diminuée de Pythagore |
sibbb |
-26 |
17 |
317/226 |
129140163 |
67108864 |
50 |
+0.051 |
Sixte double augmentée de Pythagore |
la## |
27 |
-17 |
227/317 |
134217728 |
129140163 |
3 |
-0.051 |
Tierce double diminuée de Pythagore |
mibbb |
-28 |
18 |
318/228 |
387420489 |
268435456 |
28 |
+0.054 |
Tierce double augmentée de Pythagore |
mi## |
29 |
-18 |
229/318 |
536870912 |
387420489 |
25 |
-0.054 |
Sixte double diminuée de Pythagore |
labbb |
-30 |
19 |
319/230 |
1162261467 |
1073741824 |
6 |
+0.057 |
|
si## |
31 |
-19 |
231/319 |
2147483648 |
1162261467 |
47 |
-0.057 |
rébbb |
|
-31 |
20 |
320/231 |
3486784401 |
2147483648 |
37 |
+0.060 |
fa## |
|
32 |
-20 |
232/320 |
4294967296 |
3486784401 |
16 |
-0.060 |
solbbb |
|
-33 |
21 |
321/233 |
10460353203 |
8589934592 |
15 |
+0.063 |
do### |
|
34 |
-21 |
234/321 |
17179869184 |
10460353203 |
38 |
-0.063 |
dobbb |
|
-34 |
22 |
322/234 |
31381059609 |
17179869184 |
46 |
+0.066 |
sol### |
|
35 |
-22 |
235/322 |
34359738368 |
31381059609 |
7 |
-0.066 |
fabbb |
|
-36 |
23 |
323/236 |
94143178827 |
68719476736 |
24 |
+0.069 |
ré### |
|
37 |
-23 |
237/323 |
137438953472 |
94143178827 |
29 |
-0.069 |
sibbbb |
|
-38 |
24 |
324/238 |
282429536481 |
274877906944 |
2 |
+0.072 |
la### |
|
39 |
-24 |
239/324 |
549755813888 |
282429536481 |
51 |
-0.072 |
mibbbb |
|
-39 |
25 |
325/239 |
847288609443 |
549755813888 |
33 |
+0.075 |
mi### |
|
40 |
-25 |
240/325 |
1099511627776 |
847288609443 |
20 |
-0.075 |
labbbb |
|
-41 |
26 |
326/241 |
2541865828329 |
2199023255552 |
11 |
+0.078 |
si### |
|
42 |
-26 |
242/326 |
4398046511104 |
2541865828329 |
42 |
-0.078 |
rébbbb |
-42 |
27 |
327/242 |
7625597484987 |
4398046511104 |
42 |
+0.081 |
C'est une coïncidence extraordinaire que les degrés de l'échelle de Pythagore et les degrés de l'échelle égale de Mercator coïncident avec un écart toujours trés faible, plus faible que le 12ième de mercator.
Et une autre règle nous permet de faire des calculs exactes. Dans le tableau, la valeur en 53ième d'octave est séparée en deux partie, l'une entière qui en est l'arrondi à l'entier le plus près, et l'autre représentant le reste qu'il faut ajouter pour obtenir la valeur exacte en 53ième d'octave. Ce reste s'avère exactement égale à y epsilon où un epsilon est un intervalle égale au comma de Mercator divisé par 53 :
Epsilon = Comma de Mercator / 53
Epsilon = (353/284 )1/53
Epsilon = 3 / 284/53
Epsilon = 53*log(3 / 284/53 )/log(2) Mercator
Epsilon = 53*(log(3) - 84*log(2))/log(2) Mercator
Epsilon = (53*log(3)/log(2) - 84) Mercator
Epsilon ≃ 0.003 Mercator
Ainsi nous avons les égalités exactes suivantes tirées du tableau :
Quinte juste = 31 Mercator + Epsilon
Quarte juste = 22 Mercator - Epsilon
Ton majeur = 9 Mercator + 2 Epsilon
Limma = 4 Mercator - 5 Epsilon
Apotome = 5 Mercator + 7 Epsilon
Comma de Pythagore = Mercator + 12 Epsilon
Comma de Mercator = 53 Epsilon
Pour poser des égalités exactes et non approchée, il faut soit donner la valeur numérique exacte en 53ième d'octave ou bien utiliser epsilon comme ci-dessus. Mais l'écriture est un peu lourde. On adopte alors une écriture plus légère sous forme d'un couple entre crochet composé d'un premier terme indiquant un nombre de mercator, et d'un second terme indiquant un nombre d'epsilon. On nomme cette écriture le vecteur de décomposition mercator_epsilon.
Les intervalles de Pythagore sont les intervalles 2x * 3y compris dans l'octave. Si on choisie un mode, tel le mode de ré, on verra que l'on peut nommer ces intervalles avec une notation classique :
ré = 1
la = 3/2
sol = 4/3
mi = 9/8
do = 16/9
si = 27/16
fa = 32/27
fa# = 81/64
sib = 128/81
do# = 243/128
mib = 256/243
sol# = 729/512
lab = 1024/729
ré# = 2187/2048
Dans l'octave, chaque note est alors déterminée par son unique valeur y qui précise sa position dans la ligne des quintes modulo l'octave. Les notes se positionnent sur la ligne des quintes comme suit :
-14 |
-13 |
-12 |
-11 |
-10 |
-9 |
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
rébb |
labb |
mibb |
sibb |
fab |
dob |
solb |
réb |
lab |
mib |
sib |
fa |
do |
sol |
ré |
la |
mi |
si |
fa# |
do# |
sol# |
ré# |
la# |
mi# |
si# |
fa## |
do## |
sol## |
ré## |
On pose la constante k = log(3)/log(2). La note correspondant à y est le degré 2x * 3y où :
x = - floor(y*k)
On ne reste pas confiné dans l'octave, et on considère tous les degrés de la forme 2x * 3y avec x et y entiers relatifs. On peut alors utiliser la même notation classique des notes, en mode de ré, mais en spécifiant l'octave par un indice démarrant à zéro, l'absence d'indice désignant zéro. Ainsi par exemple nous avons :
Octave = ré1
2 * Octave = ré2
fa3 + 3*Octave = fa6
mi2 = 32 / 2
Pour convertir un rapport de fréquence r en mercator, on utilise la formule suivante :
r = 53*log(r)/log(2) Mercator
Et nous pouvons calculer la valeur de l'intervalle 2x * 3y en mercator
2x * 3y = (53 * log(2x * 3y ) / log(2)) * Mercator
2x * 3y = 53 * (x + y*k) * Mercator
C'est une coïncidence extraordinaire que les 53 premiers degrés de l'échelle de Pythagore et les 53 degrés de l'échelle égale de Mercator coïncident avec un écart toujours trés faible, plus faible que le 12ième de mercator. Et l'écart en question s'avère exactement égale à y epsilon, où epsilon est le comma de Mercator divisé par 53 :
y∈[-26,26] => 2x * 3y = round(53 * (x + y*k)) * Mercator + y * Epsilon
Cette règle n'est plus vrai lorsque |y| devient grand.
Calculons la valeur d'un epsilon :
Epsilon = Comma de Mercator / 53
Epsilon = Intervalle(353/284) / 53
Epsilon = (353/284 )(1/53)
Epsilon = 3 / 284/53Comma de Mercator = Intervalle(353/284)
Comma de Mercator = 53*ln(353/284)/ln(2) * Mercator
Comma de Mercator = 53*(53*ln(3) - 84*ln(2))/ln(2) * Mercator
Comma de Mercator = 53*(53*k - 84) * MercatorEpsilon = (53*k - 84) * Mercator
Epsilon = ≃ 0.003 * Mercator
Intéressons-nous à l'intervalle m*Mercator qu'il faut ajouter à y*ε pour obtenir l'intervalle 2x * 3y
2x * 3y = m*Mercator + y*Epsilon
m*Mercator = 2x * 3y - y*Epsilon
m*Mercator = 53 * (x + y*k) * Mercator - y * (53*k - 84) * Mercator
m = 53*x + 53*y*k - 53*y*k + 84*y
m = 53*x + 84*y
Le caractère extraordinaire de la propriété tient dans les trois fait suivants ; que m est entier, que le mercator n'est pas trop petit (53ième d'octave) et que un epsilon est tout petit, ce qui a pour conséquence que m correspond au nombre entier arrondie de mercator le plus proche de l'intervalle 2x * 3y tant que y epsilon reste en norme inférieur à 1/2 mercator, c'est à dire tant que |y|≤165.
Ainsi pour tout entier relatif x, y, nous avons l'égalité suivante :
2x * 3y = (53*x + 84*y) Mercator + y Epsilon
Nous avons donc deux systèmes de coordonnés entière en notation additive que sont :
[x,y] est le vecteur de décomposition du degré 2x * 3y
[53*x + 84*y, y] est le vecteur de décomposition mercator_epsilon du degré 2x * 3y .
Les intervalles 2x * 3y s'ajoutent facilement grâce à leur vecteur de décomposition [x,y], ou à leur vecteur de décomposition mercator_epsilon [53*x + 84*y, y], ou à leur évaluation en 53ième d'octave 53 * log(2x * 3y ) / log(2), ou à leur évaluation approchée en nombre entier de 53ième d'octave round (53 * log(2x * 3y ) / log(2)) qui est égale à 53*x + 84*y lorsque |y|≤165.
Par exemple, le limma (qui correspond au demi-ton diatonique) se combine avec l'apotome (qui correspond au demi-ton chromatique) pour donner le ton majeur :
Nom : | Ton majeur |
= |
Limma |
+ |
Apotome |
Facteur multiplicatif : | 9/8 |
= |
256/243 |
* |
2187/2048 |
Facteur multiplicatif : | 32/23 |
= |
28/35 |
* |
37/211 |
Vecteur : | [-3,2] |
= |
[8,-5] |
+ |
[-11,7] |
Mercator_ε : | [9,2] |
= |
[4,-5] |
+ |
[5,7] |
Mercator : | 9 |
≃ |
4 |
+ |
5 |
Voici quelques autres exemples :
Nom : | Tierce majeur de Pythagore |
= |
2 Ton majeur |
Facteur multiplicatif : | 81/64 |
= |
(9/8)2 |
Facteur multiplicatif : | 34/26 |
= |
(32/23)2 |
Vecteur : | [-6,4] |
= |
2 * [-3,2] |
Mercator_ε : | [18,4] |
= |
2 * [9,2] |
Mercator : | 18 |
≃ |
2 * 9 |
Nom : | Quarte juste |
= |
2 Apotome |
+ |
3 Limma |
Facteur multiplicatif : | 4/3 |
= |
(2187/2048)2 |
* |
(256/243)3 |
Facteur multiplicatif : | 22/31 |
= |
(37/211)2 |
* |
(28/35)3 |
Vecteur : | [2,-1] |
= |
2 * [-11,7] |
+ |
3 * [8,-5] |
Mercator_ε : | [22,-1] |
= |
2 * [5,7] |
+ |
3 * [4,-5] |
Mercator : | 22 |
≃ |
2 * 5 |
+ |
3 * 4 |
Nom : | Quinte juste |
= |
3 Apotome |
+ |
4 Limma |
Facteur multiplicatif : | 3/2 |
= |
(2187/2048)3 |
* |
(256/243)4 |
Facteur multiplicatif : | 31/21 |
= |
(37/211)3 |
* |
(28/35)4 |
Vecteur : | [-1,1] |
= |
3 * [-11,7] |
+ |
4 * [8,-5] |
Mercator_ε : | [31,1] |
= |
3 * [5,7] |
+ |
4 * [4,-5] |
Mercator : | 31 |
≃ |
3 * 5 |
+ |
4 * 4 |
Nom : | Quinte juste |
= |
3 Ton Majeur |
+ |
Limma |
Facteur multiplicatif : | 3/2 |
= |
(9/8)3 |
* |
256/243 |
Facteur multiplicatif : | 31/21 |
= |
(32/23)3 |
* |
28/35 |
Vecteur : | [-1,1] |
= |
3 * [-3,2] |
+ |
[8,-5] |
Mercator_ε : | [31,1] |
= |
3 * [9,2] |
+ |
[4,-5] |
Mercator : | 31 |
≃ |
3 * 9 |
+ |
4 |
Nom : | Octave |
= |
5 Apotome |
+ |
7 Limma |
Facteur multiplicatif : | 2 |
= |
(2187/2048)5 |
* |
(256/243)7 |
Facteur multiplicatif : | 21/30 |
= |
(37/211)5 |
* |
(28/35)7 |
Vecteur : | [1,0] |
= |
5 * [-11,7] |
+ |
7 * [8,-5] |
Mercator_ε : | [53,0] |
= |
5 * [5,7] |
+ |
7 * [4,-5] |
Mercator : | 53 |
≃ |
5 * 5 |
+ |
7 * 4 |
Nom : | Intervalle(3) |
= |
Octave |
+ |
Sixte diminuée de Pythagore |
+ |
Comma de Pythagore |
Facteur multiplicatif : | 3 |
= |
2 |
* |
262144/177147 |
* |
531441/524288 |
Facteur multiplicatif : | 31/20 |
= |
21/30 |
* |
218/311 |
* |
312/219 |
Vecteur : | [0,1] |
= |
[1,0] |
+ |
[18,-11] |
+ |
[-19,12] |
Mercator_ε : | [84,1] |
= |
[53,0] |
+ |
[30, -11] |
+ |
[1,12] |
Mercator : | 84 |
≃ |
53 |
+ |
30 |
+ |
1 |
Les grecs anciens considèrent comme consonnant seulement l'octave, la quinte et la quarte. Ils ont construit leur gamme par des intervalles successifs de quintes modulo l'octave.
Les 4 premiers harmoniques (1, 2, 3, 4) correspondent pour le do1 exactement aux notes (do1, do2, sol2, do3). Voilà pourquoi le do engendre le sol, et qu'il est naturel de construire les notes par quintes successives.
Une succession de 6 quintes s'exprime en la liste de sauts (3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 3/2) puis s'exprime en la liste de degrés (1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32, 729/64) qui modulo l'octave donne (1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, 243/128, 729/512) et en réordonnant les degrés selon leur hauteur, donne (1, 9/8, 81/64, 729/512, 3/2, 27/16, 243/128) puis s'exprime à nouveau en la liste de sauts (9/8, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 256/243) le dernier nombre correspondant au saut du dernier degrés dans l'octave à l'octave.
Ainsi une succession de 6 quintes ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles : (9/8, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 256/243). C'est l'échelle pythagoricienne. Elle contient deux types d'intervalles, le ton majeur 9/8 et le limma 256/243 aussi appellé demi-ton diatonique, puisque placé entre deux tons, que l'on désignent aussi par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave respectivement 9 et 4.
Intervalle Ton
majeur Demi-ton
diatonique [x,y] [-3,2] [8,-5] 2x * 3y 32/23 28/35 Rapport 9/8 256/243 Mercator 9 4
Comme l'harmonie musical est invariante par transposition, l'échelle est définie à une permutation circulaire près. Et chaque permutation circulaire correspond à un mode distinct.
Le nom "octave" signifie la huitème notes. Cela s'explique après la construction du système de Pythagore qui propose une échelle majeure composée de 7 degrés, le 8ième degré étant la première note de l'octave au dessus.
Le mode obtenu par la construction de 6 quintes modulo l'octave, puis réordonnées, s'exprime en mercator par (9,9,9,4,9,9,4) et s'appelle le mode de fa. Mais ce n'est pas celui-là que les pythagoriciens ont choisie. Ils ont choisie un autre mode par une permutation circulaire. Le mode majeur pythagoricien est (9,9,4,9,9,9,4), et s'appelle le mode de do. Ce mode peut être obtenu directement par 6 quintes modulo l'octave en partant de moins une quinte au lieu de l'unisson. Puis ils ont nommé les notes dans l'ordre de leur hauteur :
Intervalle Unisson Ton majeur Tierce majeure
de Pythagore Quarte juste Quinte juste Sixte majeure
de Pythagore Septième majeure
de Pythagore Octave Note do ré mi fa sol la si do [x,y] [0,0] [-3,2] [-6,4] [2,-1] [-1,1] [-4,3] [-7,5] [1,0] 2x * 3y 1 32/23 34/26 22/3 3/2 33/24 32/23 2 Rapport 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 Mercator 0 9 18 22 31 40 49 53
Pour parachever la définition de la gamme majeur pythagoricienne, il conviendrait de fixer une note de référence telle le la3 à 440Hz.
La gamme est définie de façon absolue et se répète selon un intervalle de base, ici l'octave.
Le mode est définie à une transposition près, mais avec le choix d'un degrés servant de commencement, appelée tonique, et se répète selon un intervalle de base.
L'échelle est définie à une transposition près et à une permutation circulaire prés, et se répète selon un intervalle de base.
La différence entre le mode et l'échelle tient dans le choix d'un commencement appellé tonique. Le degré est défini comme un intervalle. Le premier degré appelé tonique est défini comme étant l'unisson. Un degré quelconque est défini comme l'intervalle entre le premier degrés et lui-même. La note est le nom donné au degré.
Les degrés sont numérotés à partir de 1 d'une façon générale comme suit : (1,2,3,4,5...) ou (a,b,c,d,e...) ou (Unisson ou Prime, Seconde, Tierce, Quarte...)
Le mode majeure de Pythagore contient 7 degrés nommés (do, ré, mi, fa, sol, la, si) définis sur l'octave :
Le ton majeur pourrait s'appeller la seconde majeur. Voila l'origine des noms des intervalles de Pythagore.
Le mode majeur de Pythagore (do, ré, mi, fa, sol, la, si), appellé mode de do, s'exprime en 53ième d'octave par la liste de degrés (0, 9, 18, 22, 31, 40, 49), puis s'exprime par la succession de sauts entre degrés (9, 9, 4, 9, 9, 9, 4). Le dernier nombre correspond à l'intervalle entre le si et le do de l'octave au dessus. Cette dernière représentation a l'avantage de préciser explicitement l'intervalle de base 9+9+4+9+9+9+4 = 53 qui est l'octave.
Les notes do, ré, mi... ici mentionnées ne sont pas absolues mais relatives les une aux autres. Contrairement à la gamme, le mode ne fixe pas de fréquence absolue, et est défini à une transposition près.
Pythagore définie le dièse comme l'altération se produisant après 7 quintes ramenés à l'octave par transposition d'octave. La suite des quintes produit fa, do, sol, ré, la, mi, si, et la quinte suivante qui est la 7ième quinte redonne un fa altéré nommé fa#, de même pour les autres notes. Et il définie le bémol comme l'altération se produisant après 7 quartes modulo l'octave. Toutes les notes se définissent ainsi sur la ligne des quintes :
216/310 |
215/39 |
213/38 |
212/37 |
210/36 |
28/35 |
27/34 |
25/33 |
24/32 |
22/3 |
1 |
3/2 |
32/23 |
33/24 |
34/26 |
35/27 |
36/29 |
37/211 |
38/212 |
39/214 |
310/215 |
311/217 |
312/219 |
313/220 |
314/222 |
8 |
39 |
17 |
48 |
26 |
4 |
35 |
13 |
44 |
22 |
0 |
31 |
9 |
40 |
18 |
49 |
27 |
5 |
36 |
14 |
45 |
23 |
1 |
32 |
10 |
mibb |
sib |
fab |
dob |
solb |
réb |
lab |
mib |
sib |
fa |
do |
sol |
ré |
la |
mi |
si |
fa# |
do# |
sol# |
ré# |
la# |
mi# |
si# |
fa## |
do## |
Cette définition du dièse et du bémol permet de nommer tous les degrés et montre que le dièse est égale à 37/211 et correspond à 7 quintes modulo l'octave, et que le bémol est égale à 211/37 et correspond à 7 quartes modulo l'octave.
Le ton majeur et le demi-ton diatonique définissent la gamme à 7 notes. Puis le dièse, appellé aussi apotome ou demi-ton chromatique, permet de définir les autres notes. Le ton majeur est égale à la somme du demi-ton diatonique aussi appelé limma, et du demi-ton chromatique aussi appellé apotome. Le demi-ton diatonique est plus petit que le demi-ton chromatique. Le demi-ton chromatique est égale à la somme du demi-ton diatonique et du comma.
Intervalle Ton majeur Demi-ton
diatonique Demi-ton
chromatique Comma [x,y] [-3,2] [8,-5] [-11,7] [-19,12] 2x * 3y 32/23 28/35 37/211 312/219 Rapport 9/8 256/243 2187/2048 531441/524288 Mercator 9 4 5 1
Le dièse correspond approximativement à +5 mercators. Et le comma de Pythagore correspond approximativement à +1 mercator.
Dièse + Bémol = Unisson
Dièse ≃ 5 Mercator
Dièse = 37/211
Bémol = 211/37
Le mode de do, a été construit par 6 quintes en plaçant la tonique en deuxième place dans la succession des quintes, voir les 7 notes en rose (fa, do, sol, ré, la, mi, si) dans le tableaux des quintes, qui réordonnées selon leur hauteur, donne (do, ré, mi, fa, sol, la, si). Puis les autres notes ont été nommées par répétition en utilisant les dièses et les bémols.
Comme il y a 7 degrés, il y a 7 permutations circulaires possibles correspondant à 7 modes :
Nom du mode Sauts Degrés Notes nommées
selon le mode de do Mode de do (9,9,4,9,9,9,4) (0,9,18,22,31,40,49) (do, ré, mi, fa, sol, la, si) Mode de ré (9,4,9,9,9,4,9) (0,9,13,22,31,40,44) (do, ré, mib, fa, sol, la, sib) Mode de mi (4,9,9,9,4,9,9) (0,4,13,22,31,35,44) (do, réb, mib, fa, sol, lab, sib) Mode de fa (9,9,9,4,9,9,4) (0,9,18,27,31,40,49) (do, ré, mi, fa#, sol, la, si) Mode de sol (9,9,4,9,9,4,9) (0,9,18,22,31,40,44) (do, ré, mi, fa, sol, la, sib) Mode de la (9,4,9,9,4,9,9) (0.9.13,22,31,35,44) (do, ré, mib, fa, sol, lab, sib) Mode de si (4,9,9,4,9,9,9) (0,4,13,22,26,35,44) (do, réb, mib, fa, solb, lab, sib)
Le mode majeur est le mode de do. Le mode mineur est le mode de mi. C'est choix sont arbitraires. Voici la valeur en 53ième d'octave des degrés du mode majeur (mode de do) et mineur (mode de mi)
Degrés Unisson Seconde Tierce Quarte Quinte Sixte Septième Octave Mode majeur 0 9 18 22 31 40 49 53 Mode mineur 0 4 13 22 31 35 44 53
Ainsi l'unisson, la quarte, la quinte et l'octave sont à la fois majeur et mineur, et sont dit juste. La seconde mineur vaut la seconde majeur moins un demi-ton chromatique. La tierce mineur vaut la tierce majeur moins un demi-ton chromatique. La sixte mineur vaut la sixte majeur moins un demi-ton chromatique. Et la septième mineur vaut la septième majeur moins un demi-ton chromatique.
Le degré est qualifié d'augmenté s'il est augmenté d'un demi-ton chromatique (dièse), et il est qualifié de diminué s'il est diminué d'un demi-ton chromatique (bémol). Le degré est qualifié de double augmenté s'il est augmenté de 2 demi-tons chromatiques (2 dièses), et il est qualifié de double diminué s'il est diminué de 2 demi-ton chromatique (2 bémols).
Le mode mineur, qui est le mode de mi, comprend l'unisson, l'octave, la quarte, et la quinte, qui sont à la fois majeur et mineur, et la seconde mineur, la tierce mineur, la sixte mineur et la septième mineur. Le mode mineur de Pythagore contient 7 degrés nommés (do, réb, mib, fa, sol, lab, sib) définis sur l'octave :
Voila l'origine des noms des intervalles de Pythagore.
Le mode est définie à une transposition près. Le mode mineur de Pythagore est identique au mode de mi.
(do, réb, mib, fa, sol, lab, sib) + mi = (mi, fa, sol, la, si, do1, ré1)
(0, 4, 13, 22, 31, 35, 44) + 18 = (18, 22, 31, 40, 49, 53, 62)
On donne également des noms aux degrés dans les octaves au dessus, en continuant la numérotation avec le mode mineur ou majeur. Voici les noms des degrés avec leur hauteur h approximé en 12-ième d'octaves :
|
|
|
|
|
|
Cette numérotation correspond au nombre de touches blanches sur un piano. Par exemple, la vingt-troisième majeur correspond à la vingt-troisième touche blanches après le do, et la vingt-troisième mineur correspond à la touche noir juste avant.
On s'intéresse aux échelles périodique sur l'axe logarithmique des fréquences définie à une transposition près. L'échelle a donc une période appellé intervalle de base qui est subdivisé par une suite de plus petits intervalles (k0, k1, k2, k3...).
L'échelle permet de définir une suite croissante d'intervalles appelés degrés, se répetant à chaque intervalle de base successif, mais elle ne précise pas de commencement. L'échelle est définie à une transposition près. Cela est voulu car l'harmonie musicale est invariante par transposition. Il en résulte que l'échelle est définie à une permutation circulaire près de sa subdivision.
Ainsi on donne le nom d'échelle à une subdivision d'un intervalle de base par une suite de plus petits intervalles, à une permutation circulaire près.
Parmi les permutations circulaires possibles, on va en choisire une, et cela déterminera un mode. L'intervalle de base transposé s'appellera une gamme. Après ce choix nous pouvons nommer chaque degrés compris dans la gamme avec un nom générique ; unisson pour le 1er degrés, seconde pour le 2ième degrés, tierce pour le 3ième degrés, quarte pour le 4ième degrés etc., ou selon les lettres de l'alphabet, A, B, C, D..., ou selon des noms de note do, ré, mi, fa....
Néanmoins, il est plus judicieux de numéroter les degrés en commençant par 0, le 0 correspondant à l'unisson en notation additive. C'est pourquoi on propose cette numérotation supplémentaire dite à zéro.
L'échelle se caractérise par la succession des sauts entre degrés se succédants mais sans définir de commencement, c'est à dire à une permutration circulaire près. Par exemple, l'échelle majeur de Pythagore (do, ré, mi, fa, sol, la, si) possède comme intervalle de base l'octave, et peut être estimé en 53ième d'octave par une liste croissante de degrés (0, 9, 18, 22, 31, 40, 49), puis s'exprime par la succession de sauts entre degrés (9, 9, 4, 9, 9, 9, 4), le dernier saut correspondant à l'intervalle entre le si et le do de l'octave au dessus. Cette dernière représentation a l'avantage de préciser explicitement l'intervalle de base 9+9+4+9+9+9+4 = 53 qui est ici l'octave.
L'échelle est invariante par permutation circulaire de sa subdivision, car elle se répète à l'identique indéfiniement et aucune position de départ n'est mentionnées. On choisie alors, pour les cataloguées, un représentant unique, appelé signature, qui correspond à un mode particulier. Ce représentant est choisi comme étant la suite minimum des sauts selon l'ordre big-endian. Pour l'échelle majeur de Pythagore, la signature est (4, 9, 9, 4, 9, 9, 9). L'échelle est parfaitement définie par sa signature.