19 Complexité d'un intervalle

Comment définir la complexité d'un intervalle rationnel ? On va énumérer un certain nombre de règles décrivant la notion de complexité d'un intervalle rationnel tel qu'on l'entend intuitivement. On note c(x) la complexité de l'intervalle x, où x est un rationnel positif non nul.

1. L'unisson est de complexité nulle.
2. L'intervalle 2 a comme complexité, la plus petite complexité non nul possible
3. On norme la complexité de tel sorte que la complexité de l'intervalle 2 soit égale à 1.
4. L'intervalle 2 est de même complexité que l'intervalle 1/2.

c(1) = 0
∀x∈Q*+  c(x) ≥ c(2) ou x = 1
c(2) = 1
c(2) = c(1/2)

On généralise le principe n°4, en ne faisant pas de distinction de complexité entre une monté et une descente d'un même intervalle.

5. L'intervalle x est de même complexité que l'intervalle 1/x.
6. L'intervalle x*x est deux fois plus compliqué que l'intervalle x.

∀x∈Q*+ c(x) = c(1/x)
∀x∈Q*+ c(x2) = 2*c(x)

On généralise le principe n°6 pour une puissance n entière positive quelconque.

7. Pour n entier positif, l'intervalle xn est n fois plus compliqué que l'intevalle x.

∀x∈Q*+ ∀n∈N  c(xn) = n*c(x)

Grace au principe n° 5, on en déduit la valeur de complexité lorsque n est un entier négatif.

8. Pour n entier relatif, l'intervalle xn est |n| fois plus compliqué que l'intevalle x.

∀x∈Q*+  ∀n∈Z c(xn)=|n|*c(x)

On généralise le principe n°6 au produit de deux rationnels qui ne se simplifient pas. C'est à dire, si x1 = a1/b1 et x2 = a2/b2, et si a1*a2 et b1*b2 sont premier entre eux, alors c(x1*x2) = c(x1) + c(x2)

9. L'intervalle x*y, lorsque le produit des deux rationnels x*y qui ne se simplifie pas, possède une complexité égale à la sommes des complexité des intervalles x et y.

 c(a*b) = c(a) + c(b)
∀(a,b)∈N2  a∧b = 1   =>   c(a/b) = c(a) + c(b)

La suite des valuations p-adique de x est notée (x0, x1, x2, x3...). En décomposant x en produit de nombres premiers x = p0x0 * p1x1 * p2x2 * p3x3... , on déduit le calcule de c(x) en fonction de c(p∀(a,b)∈N20), c(p1), c(p2), c(p3).... que l'on nomme c0, c1, c2, c3.... On rennonce aux règle intuitive n°2 et n°3 faisant que c0, c1, c2, c3..., peuvent être choisie librement parmis les réels positifs.

10. La complexité de x est la somme des valuations p-adique en valeur absolue multipliées par la complexité des intervalles premiers associés qui sont des réels positifs.

c(x) = |x0|*c0 + |x1|*c1 + |x2|*c2 + |x3|*c3...

La formule se simplifie si pour chaque nombre premier pn, on choisie une complexité de l'intervalle pn valant son logarithme, cn = c(pn) = log(pn). La base du logarithme est 2 afin de normer la complexité c(2)=1. On appel cette complexité, la complexité logarithmique.

11. La complexité logarithmique d'un intervalle x/y avec x et y entiers premiers entre eux, vaut la somme des logarithmes log(x) + log(y). Un facteur entier, qu'il soit au dénominateur ou au numérateur d'une fraction réduite contribue pareillement à la complexité simplement en ajoutant sa propre complexité.

∀a∈N  c(a) = log(a)
∀(a,b)∈N2  a∧b = 1 => c(a/b) = log(a) + log(b)

La formule reste entière si pour chaque nombre premier pn, on choisie une complexité de l'intervalle pn valant un nombre entier. On définie trois complexités.

La complexité d'un intervalle constitue-t-elle une distance sur l'ensemble des intervalles ?. Pour le voir, nous allons décrire ce qu'est une distance dans un ensemble, puis ce qu'elle advient dans un groupe lorsqu'elle est invariante par translation.

19.1 la complexité est-elle une métrique ?

Dans un ensemble E, une distance d(.,.) vérifie les 3 axiomes suivants :

  1. Identité des indiscernables : ∀(x,y)∈E2  d(x,y)=0  =>  x=y
  2. Symétrie : ∀(x,y)∈E2  d(x,y) = d(y,x)
  3. Inégalité triangulaire : ∀(x,y,z)∈E3  d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)

Si l'ensemble E est muni d'une structure de Groupe (E, +, -, 0), et si on suppose que la distance vérifie la propriétés supplémentaire suivantes :

  1. Invariance par translation : ∀(x,y,t)∈E2 d(x+t,y+t) = d(x,y)

Alors la distance se met sous une forme unaire |.|d appelée prénorme, d(x,y) = d(0, y-x) = |y-x|d et par abus de langage on note cette prénorme par la fonction unaire de même nom que la distance d(x) = |x|d. Ainsi nous avons d(x, y) = d(y-x).

On remarque que l'Inégalité triangulaire ∀(x,y,z)∈E3  d(y, x) + d(z, y) ≥ d(z, x) est équivalent à ∀(x,y)∈E2 d(x) + d(y) ≥ d(x+y). Les 3 conditions se réécrivent comme suit :

  1. Séparation : ∀x∈E  d(x)=0 => x=0
  2. Symétrie : ∀(x,y)∈E2  d(x) = d(-x)
  3. Inégalité triangulaire : ∀(x,y)∈E2  d(x) + d(y) ≥ d(x+y)

Et la propriété d'invariance par translation permet de construire la distance à partir de la prénorme :

  1. Invariance par translation : ∀(x,y)∈E2  d(x, y) = d(y-x)

Maintenant, si on réécrit la structure de groupe de l'ensemble E en notation multiplivative, c'est à dire Groupe (E, *, /, 1), les précédentes translations s'appellent maintenant des transpositions, et les 3 conditions se réécrivent comme suit :

  1. Séparation : ∀x∈E d(x)=0 => x=1
  2. Symétrie : ∀x∈E d(x) = d(1/x)
  3. Inégalité triangulaire : ∀(x,y)∈E2  d(x) + d(y) ≥ d(x*y)

Et l'invariance par transposition définie la distance à partir de la prénorme comme suit :

  1. Invariance par transposition : ∀(x,y)∈E2  d(x,y) = d(y/x)

La définition de la complexité obéit-elle à ces 3 conditions ? Nous avons E = Q*+. La règle intuitive n°10 entraine la première condition. La règle intuitive n°5 correspond à la seconde condition. Et la règle intuitive n°9 & n°10 entraine la troisième condition. Et comme nous considérons la complexité de l'intervalle séparant deux notes, nous avons bien la propriété d'invariance par transposition.

En conclusion, les différentes mesures de complexité de l'intervalle x définie par c(x) = |x0|*c0 + |x1|*c1 + |x2|*c2 + |x3|*c3...(x0, x1, x2, x3...) est la suite des valuations p-adiques de x, constituent des métriques en notation multiplicative sur l'ensemble des intervalles rationnels. La métrique est déterminée par le choix des valeurs (c0, c1, c2, c3...) qui sont les mesures de complexité des intervalles premiers. On appelle ces métriques, des complexités.

Elles possèdent trois propriétés supplémentaires :

  1. Prénorme : ∀x∈Q*+ ∀n∈N  d(xn)=|n|*d(x)
  2. Morphisme entier : ∀(a,b)∈N*+ 2 d(a*b) = d(a) + d(b)
  3. Morphisme arithmétique : ∀(a,b)∈N*+ 2  a∧b=1 => d(a/b) = d(a) + d(b)

En conclusion les complexités vérifient :

Définition de la complexité
Théorie

La prénorme c(.) est définie par :

∀x∈Q*+ c(x) = |x0|*c0 + |x1|*c1 + |x2|*c2 + |x3|*c3...

(x0, x1, x2, x3...) est la suite des valuations p-adiques de x, et où (c0, c1, c2, c3...) sont les mesures de complexité des intervalles premiers, ce sont des paramètres préalablement fixés.

La distance c(.,.) est définie à partir de la prénorme par :

∀x∈Q*+c(a,b) = c(a/b)

  1. Séparation : ∀x∈Q*+  c(x)=0 => x=1
  2. Symétrie : ∀x∈Q*+  c(x) = c(1/x)
  3. Inégalité triangulaire : ∀(x,y)∈Q*+2  c(x) + c(y) ≥ c(x*y)
  4. Invariance par transposition : ∀(x,y)∈Q*+ 2   c(x,y) = c(x/y)
  1. Prénorme : ∀x∈Q*+ ∀n∈N  c(xn)=|n|*c(x)
  2. Morphisme entier : ∀(a,b)∈N*+ 2 c(a*b) = c(a) + c(b)
  3. Morphisme arithmétique : ∀(a,b)∈N*+ 2  a∧b=1 => c(a/b) = c(a) + c(b)

Il existe une raison intuitive qui prouve que la notion de complexité est une notion de distance. La complexité d'un intervalle traduit l'effectivité du calcul nécessaire pour calculer la note finale à partir de la note initiale. Et l'on choisi le chemin le plus court parmis tous les chemins possibles. Si on se restreint aux seuls chemins symétriques, c'est à dire de tel sorte que le calcul de l'intervalle opposée soit de même effectivité, alors cette heuristique définie la complexité symétrique minimum, une complexité vérifiant nécessairement les règles d'inégalité triangulaires, de symétrie et de séparation, propres à la définition d'une distance.

20. Le mode de ré

Il existe un mode particulièrement simple qui sert à la construction de l'échelle de Pyrthagore, c'est le mode de , où la tonique, la première note qui marque le début de l'intervalle de base, est la plus proche, en terme de complexité, de toutes les autres notes du modes dans l'intervalle de base.

On reconstruit ainsi la gamme de Pythagore en limitant les choix arbitraires. On choisie l'octave comme intervalle de base, l'intervalle de complexité non nulle la plus faible, puis on ne considère que les harmoniques 2 et 3. Et on choisie une mesure simple de la complexité du degré 2x * 3y qui est posée égale à :

|x| + |y|

Cette mesure introduit un ordre. On construit les degrés selon cet ordre à partir de l'unisson.

x
y
Degré 2x * 3y
Complexité
Nom
Note
≃ 12ième
d'octave
≃ 53ième
d'octave
0
0
1
1
0

Unisson

0
0
-1
1
3/2
3/2
2

Quinte juste

la
7
31
2
-1
22/3
4/3
3

Quarte juste

sol
5
22
-3
2
32/23
9/8
5

Ton majeur

mi
2
9
4
-2
24/32
16/9
6

Septième mineure

do
10
44
-4
3
33/24
27/16
7

Sixte majeure

si
9
40
5
-3
25/33
32/27
8

Tierce mineure

fa
3
13
-6
4
34/26
81/64
10

Tierce majeure

fa#
4
18
7
-4
27/34
128/81
11

Sixte mineure

sib
8
35
-7
5
35/27
243/128
12

Septième majeure

do#
11
49
8
-5
28/35
256/243
13

Seconde mineure

mib
1
4
-9
6
36/29
729/512
15

Triton

sol#
6
27

Et on s'arrète pour l'instant au degrés 36/29, car le degrés suivant 210/36 s'avère séparé de ce dernier d'un intervalle trés petit égal au comma de Pythagore, et donc ne peut être retenu pour constituer un degré à part entière dans une échelle ayant un nombre de degrés recherché de l'ordre de dix et voulant être relativement proche d'une échelle égale.

Mais l'échelle de Pythagore peut avoir un nombre de notes que l'on veut. La seul contrainte est que les notes dans l'intervalle de base (selon le mode de ) soient les plus proches, en terme de complexité, de la première note appellée et constituant la tonique. La tonique est la note, correspondant à l'unisson, qui délimite le début de l'intervalle de base.

Ainsi on obtient les 12 premiers degrés compris dans l'octave qui sont les plus proches, en terme de complexité, de la première note appelée .

Les 7 premiers degrés les plus proche de la tonique en terme de complexité, comprennent les notes (0, 31, 22, 9, 44, 40, 13) et s'ordonnent en (0, 9 13, 22, 31, 40, 44) puis en succession de sauts (9, 4, 9, 9, 9, 4, 9). Mais ces expressions en mercator sont seulement approchées, l'expression exacte est donnée par (T, L, T, T, T, L, T)L désigne le limma et T désigne le ton majeur qui est égale à un apotome plus un limma.

L'apotome est appelé demi-ton chromatique ou plus simplement dièse. Le limma est appelé demi-ton diatonique, ce nom vient du fait qu'il est placé dans la gamme à 7 degrés entre deux tons.

Les degrés de Pythagore, qu'ils soient dans l'octave ou en dehors, sont de la forme 2x * 3y avec x, y entiers relatifs, et s'expriment en une somme d'un nombre entier de mercator et d'un nombre entier d'epsilon. Le nombre entier de mercator est égale à 53*x + 84*y et le nombre entier d'epsilon est égale à y. En résumé :

Mercator = 21/53

Epsilon = (353/284 )1/53

2x * 3y   =   (53*x + 84*y) Mercator + y Epsilon

2x * 3y   =   2(53*x + 84*y)/53 * (353/284 )y/53

Quelques exemples :

Intervalle
Somme de
mercator et d'epsilon
Facteur
Ton majeur
9 Mercator + 2 Epsilon
32/23
Limma
4 Mercator - 5 Epsilon
28/35
Apotome
5 Mercator + 7 Epsilon
37/211
Comma
1 Mercator + 12 Epsilon
312/219

On peut exprimer epsilon en mercator :

Epsilon = 3 / 2(84/53)
Epsilon = (53*log(3)/log(2) - 84) Mercator
Epsilon ≃ 0.003 Mercator

C'est pourquoi les espilon peuvent être négligés devant les mercator.

La succession de sauts étant (T, L, T, T, T, L, T), les 7 premiers degrés forment donc bien le mode de . On nomme les degrés dans l'ordre de leur hauteur (ré, mi fa, sol, la, si, do) comme suit :

Intervalle
Ton
majeur
Demi-ton
diatonique
Demi-ton
chromatique
[x,y]
[-3,2]
[8,-5]
[-11,7]
2x * 3y
32/23
28/35
37/211
Rapport
9/8
256/243
2187/2048
Mercator
9
4
5
Intervalle
Unisson
Seconde
Tierce
Quarte
Quinte
Sixte
Septième
Octave
Note
mi
fa
sol
la
si
do
1
[x,y]
[0,0]
[-3,2]
[5,-3]
[2,-1]
[-1,1]
[-4,3]
[4,-2]
[1,0]
2x * 3y
1
32/23
25/33
22/3
3/2
33/24
24/32
2
Rapport
1
9/8
32/27
4/3
3/2
27/16
16/9
2
Mercator
0
9
18
22
31
40
49
53

Lorsque l'on est dans le mode de , les notes étant relative au mode choisi, le do se trouve être la note la plus aigüe. La différence avec le mode de do provient du fait que l'on a translaté l'intervalle de base, faisant que le do1 est devenu le do.

On nomme les autres notes à partir de ces 7 notes (ré, mi, fa, sol, la, si, do) en ajoutant des dièses (+5 Mercator +7 Epsilon) ou des bémoles (-5 Mercator -7 Epsilon) à volonté. Les noms officielles des intervalles de Pythagore sont définie à partir du mode de do, c'est pourquoi ils apparaissent ici translatés de tel sorte que l'unisson (la tonique) correspond au , puisque nous sommes dans le mode de .

Le mode de posséde comme propriété, que les degrés choisis sont les plus proches, en terme de complexité, vis-à-vis de la tonique (première note) appelée . La tonique par définitions délimite le début de l'intervalle de base et correspond à l'unisson.

C'est ce mode qui va être utilisé pour accorder un piano au tempérament pythagoréen. En réordonnant les notes selon leur hauteur, on obtient la disposition des touches du piano.

x
y
Degré 2x * 3y
Complexité
Nom
Note
≃ 12ième
d'octave
Mercator
0
0
1
1
0

Unisson

0
0
8
-5
28/35
256/243
13

Seconde mineure

mib
1
4
-3
2
32/23
9/8
5

Ton majeur

mi
2
9
5
-3
25/33
32/27
8

Tierce mineure

fa
3
13
-6
4
34/26
81/64
10

Tierce majeure

fa#
4
18
2
-1
22/3
4/3
3

Quarte juste

sol
5
22
-9
6
36/29
729/512
15

Triton

sol#
6
27
-1
1
3/2
3/2
2

Quinte juste

la
7
31
7
-4
27/34
128/81
11

Sixte mineure

sib
8
35
-4
3
33/24
27/16
7

Sixte majeure

si
9
40
4
-2
24/32
16/9
6

Septième mineure

do
10
44
-7
5
35/27
243/128
12

Septième majeure

do#
11
49
1
0
2
2
1

Octave

1
12
53

Il existe deux métriques :

Voici la liste des intervalles compris dans l'octave selon leur niveau de complexité, et qui s'avère trés proche de l'échelle égale de Mercator à 53 degrés :

                                                 
  
c
x
y
Note
m
  
c
x
y
Note
m
  
c
x
y
Note
m
  
c
x
y
Note
m
  
 
0
0
0
0
 
19
12
-7
b
48
  37 23 -14
bb
43   55 34 -21
bbb
38  
 
2
-1
1
la
31
 
20
-12
8
la#
36
  38 -23 15
la##
41   56 -34 22
la###
46  
 
3
2
-1
sol
22
 
21
13
-8
solb
17
  39 24 -15
solbb
12   57 35 -22
solbbb
7  
 
5
-3
2
mi
9
 
23
-14
9
mi#
14
  41 -25 16
mi##
19   59 -36 23
mi###
24  
 
6
4
-2
do
44
 
24
15
-9
dob
39
  42 26 -16
dobb
34   60 37 -23
dobbb
29  
 
7
-4
3
si
40
 
25
-15
10
si#
45
  43 -26 17
si##
50   62 -38 24
si###
2  
 
8
5
-3
fa
13
 
26
16
-10
fab
8
  44 27 -17
fabb
3   63 39 -24
fabbb
51  
 
10
-6
4
fa#
18
 
28
-17
11
fa##
23
  46 -28 18
fa###
28   64 -39 25
fa####
33  
 
11
7
-4
sib
35
 
29
18
-11
sibb
30
  47 29 -18
sibbb
25   65 40 -25
sibbbb
20  
 
12
-7
5
do#
49
 
31
-19
12
do##
1
  49 -30 19
do###
6   67 -41 26
do####
11  
 
13
8
-5
mib
4
 
32
20
-12
mibb
52
  50 31 -19
mibbb
47   68 42 -26
mibbbb
42  
 
15
-9
6
sol#
27
 
33
-20
13
sol##
32
  51 -31 20
sol###
37              
 
16
10
-6
lab
26
 
34
21
-13
labb
21
  52 32 -20
labbb
16              
 
18
-11
7
#
5
  36 -22 14
##
10   53 -33 21
###
15              
                                                 

c : Complexité entière de l'intervalle, c = |x| + |y|
x : Nombre entier d'intervalles 2
y : Nombre entier d'intervalles 3
Note : Nom de l'intervalles selon le mode de
m
: Nombre entier de mercator, m = 53*x + 84*y
2x * 3y : Intervalle en notation multiplicative
m Mercator + y Epsilon
: Intervalle en somme de mercator et d'epsilon

Si |y|<165 alors m est égale au nombre entier de mercator le plus proche.

Le tableau se calcule selon les règles suivantes :

y parcours tous les entiers
x = - floor(y*k)
c = |x|+|y|
m = 53*x+84*y

Le calcul de la dénomination pythagoréenne se fait en effectuant la division entière de y par 7. Selon les valeurs de (y mod 7) et de (y ÷ 7), nous déterminons le nom pythagoréen de la note en mode de :

(y mod 7) Note
0
1
la
2
sol
3
si
4
fa
5
do
6
sol
(y ÷ 7) Modificateur
...
...
-3
bbb
-2
bb
-1
b
0
1
#
2
##
3
###
...
...

La dénomination pythagoréenne en mode de de la note possède donc une représentation numérique sous forme d'un triplet (y mod 7, y÷7, n), où n indique le nombre d'octaves transposées. Nous avons

n = floor(x+y*k)

http://www.jeanpierrepoulin.com

21. La complexité perçue comme une distance

Nous ne restons pas confiné dans l'octave. Les notes dans les octaves au-dessus sont indicées par n, leur coordonné x est augmenté de n, et leur mesure en mercator est augmenté de n*53. Chaque note peut ainsi être définie soit par son facteur multiplicatif 2x*3y, soit par son vecteur de décomposition [x,y], soit par son vecteur de décomposition mercator_epsilon [m,y]m = 53*x + 84*y, soit par sa notation pythagoréenne en mode de avec un indice indiquant le nombre d'octaves transposés, et dont la représentation numérique est (y mod 7, y÷7, n) avec n = floor(x+y*k).

L'ensemble de ces notes représentées par leur vecteur de décomposition [x,y], couvrent Z2 en le munissant de plusieurs métriques, l'une est la hauteur, une métrique de dimenssion 1, et les autres sont des complexités, des métriques pouvant être de dimenssion 2.

6
sol#-3
sol#-2
sol#-1
sol#
sol#1
sol#2
sol#3
sol#4
5
do#-4
do#-3
do#-2
do#-1
do#
do#1
do#2
do#3
do#4
4
fa#-4
fa#-3
fa#-2
fa#-1
fa#
fa#1
fa#2
fa#3
fa#4
3
si-4
si-3
si-2
si-1
si
si1
si2
si3
si4
2
mi-4
mi-3
mi-2
mi-1
mi
mi1
mi2
mi3
mi4
1
la-4
la-3
la-2
la-1
la
la1
la2
la3
la4
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
sol-4
sol-3
sol-2
sol-1
sol
sol1
sol2
sol3
sol4
-2
do-4
do-3
do-2
do-1
do
do1
do2
do3
do4
-3
fa-4
fa-3
fa-2
fa-1
fa
fa1
fa2
fa3
fa4
-4
sib-4
sib-3
sib-2
sib-1
sib
sib1
sib2
sib3
sib4
-5
mib-4
mib-3
mib-2
mib-1
mib
mib1
mib2
mib3
mib4
-6
lab-4
lab-3
lab-2
lab-1
lab
lab1
lab2
lab3
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

La distance mesurant la hauteur est définie par la prénorme h([x,y]) = x + y*k où la constante k est égale à k = log(3)/log(2). La distance mesurant la complexité est définie par la prénorme c([x,y]) = |x|*c0 + |y|*c1, où c0 et c1 sont les mesures de complexité des intervalles 2 et 3, fixés arbitrairement.

Dans la complexité iso-adique définie par la prénorme c([x,y]) = |x| + |y|, les boules sont représentés par des losanges. Ainsi par exemple, les notes équidistantes de la note selon cette complexité sont :

Complexité
|x|+|y|
Notes équidistantes de ré
1
sol-2, ré-1, la, ré1
2
do-4, sol-3, ré-2, sol-1, la, ré2, la2, mi3
3
fa-5, do-5, sol-4, ré-3, do-3, la-1, sol, mi2, ré3, la3, mi4, si4
4
sib-7, fa-6, do-6, sol-5, ré-4, fa-4, la-2, do-2, mi1, sol1, si3, ré4, la4, mi5, si5, fa#6
5
mib-8, sib-8, fa-7, do-7, sol-6, sib-6, ré-5, fa-3, la-3, do-1, mi, sol2, si2, ré5, fa#5, la5, mi6, si6, fa#7, do#7

Dans la complexité logarithmique définie par la prénorme c([x,y]) = ln(2)*|x| + ln(3)*|y|, les boules sont représentés par des losanges applatis selon l'axe des y. Ainsi par exemple, les notes équidistantes de la note selon cette complexité sont :

Complexité
|x|*0.7 + |y|*1.1
Notes équidistantes
de ré
0.7
-1, ré1
1.1
sol-2, la1
1.4
-2, ré2
1.8
sol-3, sol-1, la , la2
2.1
-3, ré3
2.2
do-4, mi3
2.5
sol-4, la-1, sol , la3
2.8
-4, ré4
Complexité
|x|*0.7 + |y|*1.1
Notes équidistantes
de ré
2.9
do-5, do-3, mi2, mi4
3.2
sol-5, la-2, sol1 , la4
3.3
fa-5, si4
3.5
-5, ré5
3.6
do-6, do-2, mi1, mi5
3.9
sol-6, la-3, sol2 , la5
4
fa-6, fa-4, si3, si5
4.2
-6, ré6
Complexité
|x|*0.7 + |y|*1.1
Notes équidistantes
de ré
4.3
do-7, do-1, mi, mi6
4.4
sib-7, fa#6
4.6
sol-7, la-4, sol3 , la6
4.7
fa-7, fa-3, si2, si6
4.9
-7, ré7
5
do-8, mi-1, do, mi7
5.1
sib-8, sib-6, fa#5, fa#7

Dans la complexité naturelle définie par la prénorme c([x,y]) = 2*|x| + 3*|y|, les boules sont représentés par des losanges un peu plus encore applatis selon l'axe des y. Ainsi par exemple, les notes équidistantes de la note selon cette complexité sont :

Complexité
2*|x| + 3*|y|
Notes équidistantes
de ré
2
-1, ré1
3
sol-2, la1
4
-2, ré2
5
sol-3, sol-1, la , la2
6
do-4, ré-3, ré3, mi3
Complexité
2*|x| + 3*|y|
Notes équidistantes
de ré
7
sol-4, la-1, sol , la3
8
do-5, ré-4, do-3, mi2, ré4, mi4
9
fa-5, sol-5, la-2, sol1, la4, si4
10
do-6, ré-5, do-2, mi1, ré5, mi5
11
fa-6, sol-6, fa-4, la-3, sol2, si3, la5, si5
Complexité
2*|x| + 3*|y|
Notes équidistantes
de ré
12
sib-7, do-7, ré-6, do-1, mi, ré6, mi6, fa#6
13
fa-7, sol-7, la-4, fa-3, si2, sol3, la6, si6
14
sib-8, do-8, ré-7, sib-6, mi-1, do, fa#5, ré7, mi7

Si on reste confiné dans l'octave, les notes forment alors un chemin dans le plan Z2 en effectuant des sauts de puce qui pour la complexité s'ajoute de façon monotone. Voici l'axe des quintes représentés sur une echelle de complexité selon la prénorme c([x,y]) = |x| + |y|. Chaque case correspond à une distance de complexité de 1 :

fab  .  dob  .   .  solb  .  b  .   .  lab  .   .  mib  .  sib  .   . 
fa
 . 
do
 . 
 . 
sol
 . 
 . 
 . 
la
 . 
 . 
mi
 . 
si
 .   .  fa#  .  do#  .   .  sol#  .   .  #  .  la#  .   .  mi#  .  si#

Cela forme un espace à une dimension. On peut enrichire cette espace en intégrant des notes supplémentaire de l'octave au dessus mais en s'assurant toujours de la monotonie du cheminement de la complexité. C'est à dire lorsque l'on parcours l'espace à une dimension de gauche à droite, il faut qu'à chaque note rencontrée, x décroit ou reste stationnaire et que y croit ou reste stationnaire. Le cheminement doit être une courbe monotone en escalier, tel que déssinée en rose dans le tableau. Nous avons :

lab2
lab1
lab
mib2
mib1
mib
sib1
sib
fa2
fa1
fa
do1
do
sol2
sol1
sol
2
1
la1 
la
mi2
mi1
mi
si1
si
fa#2
fa#1
fa#
do#1
do#
sol#2
sol#1
sol#

 

22. La tempérance

Si on convient d'une transformation des notes afin de les ramener à l'échelle égale de 12 notes, par une sorte d'anamorphose, alors les bémols et les dièses vont se recouvrir comme suit :

fab = mi
dob = si
solb = fa#
b = do#
lab = sol#
mib = ré#
sib = la#
fa = mi#
do = si#

On courcicuite la métrique en identifiant le lab au sol#, comme si on recourbait l'espace en un cercle pour réunir ces deux points. On remarque alors que les autres points mentionnés précédement coïncident à la suite de ce courcicuit.

La nouvelle distance est définie comme étant la distance minimum par l'un ou l'autre chemin, car l'espace étant un cercle, il existe deux chemins simples pour passer d'un point à un autre. Chaque case correspond à une distance de complexité 1 :

L'échelle est rendue égale. Les notes sont numérotées de 0 à 11 selon leur hauteur exprimées en 12ième d'octave. Les notes (0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7) correspondent à une liste de saut (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5) modulo l'octave, le dernier saut passant à la première note de l'octave au dessus.

Comment transporter notre notion de complexité à travers cette anamorphose ?. Il est possible que l'anamorphose déplace les notes quelque peu sur le cercle de complexité, mais comme nous n'avons aucune idée sur la question, nous commençons par considérérer le cas le plus simple ou rien n'est modifier.

On remarque alors que les intervalles exprimés en 12ième d'octave, c'est à dire en nombre de demi-ton tempérés, ont une même mesure sur le cercle de complexité. Par exemple l'intervalle de 3 demi-ton correspond à l'intervalle séparant la note 0 de la note 3, ou séparant la note 1 de la note 4, ou séparant la note 2 de la note 5 etc., et ont toute une distance de 8 cases, c'est à dire une complexité égale à 8. Cette cohérence nous permet de déduire du schéma ci-dessus, la complexité des intervalles de 0 à 11 demi-ton :

h
Intervalle
c(h)
0
Prime
0
1
Seconde mineur
13
2
Seconde majeur
5
3
Tierce mineur
8
4
Tierce majeur
10
5
Quarte
3
6
Triton
15
7
Quinte
2
8
Sixte mineur
11
9
Sixte majeur
7
10
Septième mineur
6
11
Septième majeur
12
c(h)
Intervalle
h
0
Prime
0
2
Quinte
7
3
Quarte
5
5
Seconde majeur
2
6
Septième mineur
10
7
Sixte majeur
9
8
Tierce mineur
3
10
Tierce majeur
4
11
Sixte mineur
8
12
Septième majeur
11
13
Seconde mineur
1
15
Triton
6

Dans l'échelle égalle, les notes sont toutes égales, ou plus exactement, on peut transposer un intervalle d'un nombre quelconque de demi-ton, ainsi que changer son signe, sans modifier sa complexité. La complexité c(h) définie par le tableau précédent, définie bien une distance, c'est à dire vérifie les 3 propriétés de la prénorme :

  1. Séparation : ∀x∈E  c(x)=0 => x=0
  2. Symétrie : ∀(x,y)∈E2  c(x) = c(-x)
  3. Inégalité triangulaire : ∀(x,y)∈E2  c(x) + c(y) ≥ c(x+y)

Si on ne reste pas confiné dans l'octave, les notes représentées par leur vecteur de décomposition forment non pas une droite mais le plan discret Z2. Et le même raisonnement peut-être appliqué à ce plan. On replit le plan de tel sorte que la ligne des lab corresponde à la ligne des sol#. Le lab doit aller sur le sol# et le lab1 doit aller sur le sol#1, etc.. On obtient un cylindre. La métrique sur ce cylindre est obtenue en prenant le chemin le plus court possible exprimé dans l'espace plan avant la transformation mais en prenant compte des nouvelles connexions et donc des nouveaux chemins possibles.

6
-30
-18
-6
6
18
30
42
54
5
-37
-25
-13
-1
11
23
35
47
59
4
-44
-32
-20
-8
4
16
28
40
52
3
-39 -27 -15 -3
9
21 33 45 57
2
-46 -34 -22 -10
2
14 26 38 50
1
-41 -29 -17 -5
7
19 31 43 55
0
-48
-36
-24
-12
0
12
24
36
48
-1
-43 -31 -19 -7
5
17 29 41 53
-2
-38 -26 -14 -2
10
22 34 46 58
-3
-45 -33 -21 -9
3
15 27 39 51
-4
-40
-28 -16 -4
8
20 32 44 56
-5
-47 -35 -23 -11
1
13 25 37 49
-6
-42
-30
-18
-6
6
18
30
42
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Les notes sont exprimées en 12ième d'octave, c'est à dire en nombre de demi-ton, mais possède toujours une deuxième valeur qu'est leur valeur pythagoréenne d'origine 2x*3y , avant l'anamorphose. A ce stade on n'a pas encore choisie précisement la prénorme définissant la complexité. La prénorme est de la forme suivante :

c(2x*3y) = |x|*c0 + |y|*c1

c0 et c1 sont les complexités des intervalles premiers que sont l'octave et l'intervalle 3. Ces deux paramètres sont posés arbitrairement, et définissent autant de notions de complexité différentes.

L'espace étant un cylindre, il existe deux chemins simples pour passer d'un point à un autre. Chaque case correspond à une distance de complexité iso-adique d'1. Chaque case peut être parcourue d'une distance de complexité c0 selon l'axe des x, ou d'une distance de complexité de c1 selon l'axe de y. Et la diagonale d'une case possède une distance de complexité de c0+c1.

Dans le tableau, l'incrémentation sur l'axe des x correspond à un saut d'un octave valant 12 demi-ton, et l'incrémentation sur l'axe des y correspond à un saut d'intervalle 3 valant 19 demi-ton. L'enroulement du plan puis le collage en un cylindre correspond à une opération de modulo [-19, 12] sur le plan discret Z2.

Etant donné un intervalle [x,y]=2x*3y, le point [x,y] est définie modulo [-19,12]. La hauteur exprimée en 12ième d'octave est :

z = 12*x + 19*y

et la complexité est minimum tel que :

c = |x|*c0+|y|*c1

Autrement dit :

c = min(|x-19*k|*c0+|y+12*k|*c1 ; k∈Z)

On calcul ainsi la complexité iso-adique (c0=1, c1=1) des intervalles de Pythagore ramenés en l'échelle égale par anamorphose et s'étalant sur 6 octaves :

h
Intervalle
c(h)
0
Prime
0
1
Seconde mineur
13
2
Seconde majeur
5
3
Tierce mineur
8
4
Tierce majeur
10
5
Quarte
3
6
Triton
15
7
Quinte
2
8
Sixte mineur
11
9
Sixte majeur
7
10
Septième mineur
6
11
Septième majeur
12
h
Intervalle
c(h)
12
Huitième
1
13
Neuvième mineur
14
14
Neuvième majeur
4
15
Dixième mineur
9
16
Dixième majeur
9
17
Onzième
4
18
3 Triton
14
19
Douzième
1
20
Treizième mineur
12
21
Treizième majeur
6
22
Quatorzième mineur
7
23
Quatorzième majeur
11
h
Intervalle
c(h)
24
Quinzième
2
25
Seizième mineur
15
26
Seizième majeur
3
27
Dix-septième mineur
10
28
Dix-septième majeur
8
29
Dix-huitième
5
30
5 Triton
13
31
Dix-neuvième
2
32
Vingtième mineur
13
33
Vingtième majeur
5
34
Vingt-et-unième mineur
8
35
Vingt-et-unième majeur
10
h
Intervalle
c(h)
36
Vingt-deuxième
3
37
Vingt-troisième mineur
15
38
Vingt-troisième majeur
2
39
Vingt-quatrième mineur
11
40
Vingt-quatrième majeur
7
41
Vingt-cinquième
6
42
7 Triton
12
43
Vingt-sixième
3
44
Vingt-septième mineur
14
45
Vingt-septième majeur
4
46
Vingt-huitième mineur
9
47
Vingt-huitième majeur
9
h
Intervalle
c(h)
48
Vingt-neuvième
4
49
Trentième mineur
14
50
Trentième majeur
3
51
Trente-et-unième mineur
12
52
Trente-et-unième majeur
6
53
Trente-deuxième
7
54
9 Triton
11
55
Trente-troisième
4
56
Trente-quatrième mineur
15
57
Trente-quatrième majeur
3
58
Trente-cinquième mineur
10
59
Trente-cinquième majeur
8
h
Intervalle
c(h)
60
Trente-sixième
5
61
Trente-septième mineur
13
62
Trente-septième majeur
4
63
Trente-huitème mineur
13
64
Trente-huitème majeur
5
65
Trente-neuvième
8
66
11 Triton
10
67
Quarantième
5
68
Quarante-et-unième mineur
15
69
Quarante-et-unième majeur
4
70
Quarante-deuxième mineur
11
71
Quarante-deuxième majeur
7

Puis on les met dans l'ordre de leur complexité. La progression est régulière, les notes distinctes de l'unisson d'une complexité c sont au nombre de 4*c. Voici la liste des premiers intervalles restreint aux intervalles positifs inférieurs ou égals à 6 octaves :

c(h)
Intervalle
h
0
Prime
0
1
Huitième
12
Douzième
19
2
Quinte
7
Quinzième
24
Dix-neuvième
31
Vingt-troisième majeur
38
3
Quarte
5
Seizième majeur
26
Vingt-deuxième
36
Vingt-sixième
43
Trentième majeur
50
Trente-quatrième majeur
57
c(h)
Intervalle
h
4
Neuvième majeur
14
Onzième
17
Vingt-septième majeur
45
Vingt-neuvième
48
Trente-troisième
55
Trente-septième majeur
62
Quarante-et-unième majeur
69
5
Seconde majeur
2
Dix-huitième
29
Vingtième majeur
33
Trente-sixième
60
Trente-huitème majeur
64
Quarantième
67
c(h)
Intervalle
h
6
Septième mineur
10
Treizième majeur
21
Vingt-cinquième
41
Trente-et-unième majeur
52
Quarante-troisième
72
7
Sixte majeur
9
Quatorzième mineur
22
Vingt-quatrième majeur
40
Trente-deuxième
53
Quarante-deuxième majeur
71
8
Tierce mineur
3
Dix-septième majeur
28
Vingt-et-unième mineur
34
Trente-cinquième majeur
59
Trente-neuvième
65
c(h)
Intervalle
h
9
Dixième mineur
15
Dixième majeur
16
Vingt-huitième mineur
46
Vingt-huitième majeur
47
10
Tierce majeur
4
Dix-septième mineur
27
Vingt-et-unième majeur
35
Trente-cinquième mineur
58
11 Triton
66
11
Sixte mineur
8
Quatorzième majeur
23
Vingt-quatrième mineur
39
9 Triton
54
Quarante-deuxième mineur
70
c(h)
Intervalle
h
12
Septième majeur
11
Treizième mineur
20
7 Triton
42
Trente-et-unième mineur
51
13
Seconde mineur
1
5 Triton
30
Vingtième mineur
32
Trente-septième mineur
61
Trente-huitème mineur
63
14
Neuvième mineur
13
3 Triton
18
Vingt-septième mineur
44
Trentième mineur
49
15
Triton
6
Seizième mineur
25
Vingt-troisième mineur
37
Trente-quatrième mineur
56
Quarante-et-unième mineur
68

A partir de la complexité 15, se produit un saut. La complexité 16 n'est pas atteinte à moins de 15 octaves.

Pour la complexité naturelle (c0=2,c1=3), Voici la liste des premiers intervalles de Pythagore ramenés en l'échelle égale par anamorphose et restreint aux intervalles positifs inférieurs ou égals à 6 octaves :

c(h)
Intervalle
h
0
Prime
0
2
Huitième
12
3
Douzième
19
4
Quinzième
24
5
Quinte
7
Dix-neuvième
31
6
Vingt-deuxième
36
Vingt-troisième majeur
38
7
Quarte
5
Vingt-sixième
43
8
Seizième majeur
26
Vingt-neuvième
48
Trentième majeur
50
9
Onzième
17
Trente-troisième
55
Trente-quatrième majeur
57
c(h)
Intervalle
h
10
Neuvième majeur
14
Trente-sixième
60
Trente-septième majeur
62
11
Dix-huitième
29
Vingt-septième majeur
45
Quarantième
67
Quarante-et-unième majeur
69
12
Seconde majeur
2
Quarante-troisième
72
13
Vingtième majeur
33
Vingt-cinquième
41
14
Septième mineur
10
Trente-huitème majeur
64
15
Treizième majeur
21
Trente-deuxième
53
c(h)
Intervalle
h
16
Quatorzième mineur
22
Trente-et-unième majeur
52
17
Sixte majeur
9
Trente-neuvième
65
18
Vingt-et-unième mineur
34
Vingt-quatrième majeur
40
19
Tierce mineur
3
Quarante-deuxième majeur
71
20
Dix-septième majeur
28
Vingt-huitième mineur
46
21
Dixième mineur
15
Trente-cinquième majeur
59
22
Dixième majeur
16
Trente-cinquième mineur
58
23
Dix-septième mineur
27
Vingt-huitième majeur
47
c(h)
Intervalle
h
24
Tierce majeur
4
Quarante-deuxième mineur
70
25
Vingt-et-unième majeur
35
Vingt-quatrième mineur
39
26
Sixte mineur
8
11 Triton
66
27
Quatorzième majeur
23
Trente-et-unième mineur
51
28
Treizième mineur
20
9 Triton
54
29
Septième majeur
11
Trente-huitème mineur
63
30
Vingtième mineur
32
7 Triton
42
31
Seconde mineur
1
c(h)
Intervalle
h
32
5 Triton
30
Vingt-septième mineur
44
33
Neuvième mineur
13
Trente-septième mineur
61
34
3 Triton
18
Trente-quatrième mineur
56
35
Seizième mineur
25
Trentième mineur
49
36
Triton
6
Quarante-et-unième mineur
68
37
Vingt-troisième mineur
37

A partir de la complexité 37, se produit un saut. La complexité 38 n'est pas atteinte à moins de 19 octaves.

 

23) L'anamorphose simplificatrice

Une autre alternative plus simple existe. On suppose que l'anamorphose va déplacer les notes quelque peu afin qu'elles se répartissent de façon deux à deux équidistante sur le cercle de complexité. Comme dans l'échelle égalle les notes sont toutes égales, l'hypothèse est pertinente. L'anamorphose n'est-t-elle pas le moyen idéale pour adapter continument un shéma sur un autre ?

Chaque case correspond alors à une distance de complexité iso-adique de 31/12

On déduit de ce schéma, la complexité iso-adique des intervalles de Pythagore ramenés à l'échelle égale par anamorphose simplificatrice. Par exemple l'intervalle de 3 demi-ton correspond à l'intervalle séparant la note 0 de la note 3, ou séparant la note 1 de la note 4, ou séparant la note 2 de la note 5, etc.. Et cette séparation est de 3 cases. Donc la complexité de cet intervalle est de 3 cases (ou de 3 * 31/12). Nous avons :

h
Intervalle
c(h)
0
Prime
0
1
Seconde mineur
5
2
Seconde majeur
2
3
Tierce mineur
3
4
Tierce majeur
4
5
Quarte
1
6
Triton
6
7
Quinte
1
8
Sixte mineur
4
9
Sixte majeur
3
10
Septième mineur
2
11
Septième majeur
5

Pour un intervalle z exprimé en en un nombre entier de 12-ième d'octave, s'il ne dépasse pas le demi-octave, sa complexité est donnée par la division par 5 de cet entier dans l'anneau Z/12Z. Parcontre s'il dépasse le demi-octave, on remarque que la complexité de z est alors égale à la division par 5 de 12-z dans l'anneau Z/12Z, comme si un autre chemin en courcircuitant par l'octave au dessus était possible.

c(h) = min(h/5, (12-h)/5) dans Z/12Z

On obtient ainsi la liste des intervalles selon l'odre de complexité :

h
Intervalle
c(h)
0
Prime
0
1
Seconde mineur, Septième majeur
5
2
Seconde majeur , Septième mineur
2
3
Tierce mineur , Sixte majeur
3
4
Tierce majeur, Sixte mineur
4
5
Quarte, Quinte
1
6
Triton
6
c(h)
Intervalle
h
0
Prime
0
1
Quarte, Quinte
5
2
Seconde majeur , Septième mineur
2
3
Tierce mineur , Sixte majeur
3
4
Tierce majeur, Sixte mineur
4
5
Seconde mineur, Septième majeur
1
6
Triton
6

 

24) La formalisation des complexités

La complexité d'un intervalle traduit l'effectivité du calcul nécessaire pour calculer le point d'arrivée à partir du point de départ. Et on choisi le chemin le plus court parmis tous les chemins possibles. Si on se restreint aux seuls chemins symétriques, c'est à dire de tel sorte que le calcul de l'intervalle opposée soit de même effectivité, alors cette heuristique définie la complexité symétrique minimum, une complexité qui vérifie nécessairement les règles d'inégalité triangulaires, de symétrie et de séparation, propres à la définition d'une distance, et qui est donc une distance.

Soit E un groupe de points représentant les notes dans une échelle logarithmique. Soit P un groupe de bijection calculables de E dans E. On munie P d'une valuation v vérifiant :

v(p1-1) = v(p)
v(p°q) = v(p)+v(q)

La valuation représente l'effectivité du calcul de p, c'est à die la complexité du chemin p. On définie la complexité d'un intervalle (a,b) comme étant la valuation de la bijection de plus faible valuation envoyant a sur b, c'est à dire la complexité du chemin de plus faible complexité passant de a à b :

c(a,b) = min(v(p) ; p∈P et p(a)=b)

On souhaite que la complexité soit invariante par translation sur l'ensemble des points, ce qui correspond en terme musical à l'invariance de la complexité d'un intervalle à une transposition près. Il existe un moyen simple de s'assure de cette invariance, il suffit de ne considérer uniquement les bijections invariantes par translation :

p(x+t) = p(x)+t

 

---- 7 septembre 2013 ----

 

 

Chapitre suivant : "Les échelles (suite) "

Dominique Mabboux-Stromberg (juin 2013)