Notation additive |
Notation multiplicative |
[ n * Intervalle(k), (n+1) * Intervalle(k) [ |
[ kn, kn+1 [ |
Jusque vers 1750 la musique était considéré comme l'art de l'harmonie et se décrivait par des modèles mathématiques. L'harmonie musicale peut-elle s'expliquer par des règles arithmétiques ? Nous le pensons en grande partie, et cela constitue une approche qui a l'avantage d'être objective, structurante et riche.
La perception de la musique est faite par l'oreille et le cerveau, c'est à dire par un réseau de neurones. Et un tel réseau de neurone est capable de résoudre de manière approché un système d'équations.
En vertu de la loi physiologique sur la percception des fréquences (voir §9), les règles d'harmonie que nous cherchons sont invariantes par transposition. Cela nous permet de ne considérer que des rapports de fréquences.
La fréquence exprimée en Hertz (tours par seconde) est une grandeur mesurable. Le rapport de fréquence est sans unité, et il constitue un intervalle. Les fréquences sont définies ainsi les unes par rapport aux autres selon leurs rapports. L'intervalle nous libère du choix arbitraire d'une unité de fréquence et du choix arbitraire d'une fréquence de référence.
L'intervalle est une succession de deux fréquences à un facteur multiplicatif commun près, autrement dit, un couple projectif de réels. Ce facteur multiplicatif commun correspond en terme musical à une transposition, et correspond mathématiquement à une translation dans une échelle logarithmique des fréquences. L'ensemble des couples de fréquences correspond à l'espace des réels R2 qui est de dimension 2. Et l'ensemble des intervalles correspond à l'espace projectif P(R²) qui est de dimension 1.
L'intervalle est désigné de trois façons possibles :
Si le rapport de fréquence k = f2/f1 est rationnel, l'intervalle peut être désigné de deux autres façons possibles :
On verra par la suite dans quelle mesure on peut étendre ces deux dernières représentations aux valeurs de k algébriques, c'est à dire lorsque k est racine d'un polynôme à coefficient rationnel.
Si l'on fixe une fréquence de référence tel que le 220 Hz par exemple, chaque fréquence peut alors être définie par un facteur multiplicatif de cette fréquence. Et ce facteur multiplicatif représente l'intervalle entre le 220 Hz et la fréquence en question.
Les intervalles ont fait l'objet de nombreuses études depuis l'antiquité. Et nous nous référons à la liste des appellations consultables sur le site suivant :
Liste française des noms d'intervalles : (Kami Rousseau et Manuel Op de Coul.)
L'intervalle 1 désigne l'unisson, c'est à dire deux fréquences identiques.
L'intervalle 2 désigne la montée d'une octave, c'est à dire deux fréquences séparées d'une octave, la seconde fréquence étant obtenue en multipliant par 2 la première fréquence.
L'intervalle 1/2 désigne la descente d'une octave, c'est à dire deux fréquences séparées d'une octave, la seconde fréquence étant obtenue en multipliant par 1/2 la première fréquence.
Si on se fixe une fréquence de référence tel que F0 = 220 Hz, chaque fréquence F est alors désignée par l'intervalle entre la fréquence de référence F0 et la fréquence en question F. Cet intervalle peut s'exprimer par son facteur multiplicatif F/F0 qui est sans unité ou bien par son facteur additif log(F/F0) dont l'unité est déterminée par la base du logarithme utilisée. Par défaut, si aucune unité n'est précisée, l'intervalle s'exprime par son facteur multiplicatif. Ainsi nous pouvons écrire :
Unisson = 1
Octave = 2
Néanmoins les intervalles se placent dans un contexte de représentation logarithmique des fréquences et de leur rapport. Les intervalles se positionnent de manière additive sur un axe. Un octave plus un octave plus un octave vaut l'intervalle 2*2*2 soit l'intervalle 8. D'une manière générale, un intervalle x juste contigü à un intervalle y s'ajoute pour former l'intervalle x*y.
En s'inspirant de la programmation objet, on définie autant de classes qu'il y a de représentation, et dans lesquelles les opérations usuels sont redéfinies selon un sens spécifique.
Le mot fréquence sera relatif à l'axe des fréquences. Et le mot intervalle sera relatif à l'axe logarithmique des fréquences.
On considère 2 classes ; l'une correspondant à l'axe des fréquences, appelé classe des fréquences, en notation multiplicative, que l'on note de façon nu telle que f, l'autre correspondant à l'échelle logarithmique des fréquences, appelé classe des intervalles, en notation additive, que l'on note entre crochet telle que [f].
Puis on considère 2 autres classes, dérivant des deux premières en intégrant l'aspect projectif ; l'une relatif à l'axe des fréquences, appellé classe des couples projectifs en notation multiplicative, que l'on note entre parenthèses tel que (f1,f2), l'autre relatif à l'axe logarithmique des fréquences, appellé classe des couples projectifs en notation additive, que l'on note entre crochet tel que [f1,f2].
Dans la classe des intervalles, chaque intervalle possède un facteur multiplicatif le définissant.
L'addition de deux intervalles correspond à la multiplication de leur facteur multiplicatif :
Intervalle(x) + Intervalle(y) = Intervalle(x*y)
Intervalle(x) - Intervalle(y) = Intervalle(x/y)
La multiplication d'un intervalle par un réel correspond à l'élévation de son facteur multiplicatif à la puissance de ce réel :
Intervalle(x) * y = Intervalle(xy)
Intervalle(x) / y = Intervalle(x1/y)
La conversion d'un intervalle en une fréquence et inversement sont implicites, mais lors de cette conversion, le contexte change et donc le sens des opérations aussi. Pour lever les ambiguïtés, on adopte dans les équations les conventions d'écriture suivantes :
Délors nous pouvons écrire sans ambiguité les égalités suivantes :
3 + 5 = 8
Intervalle(3) + Intervalle(5) = Intervalle(15)
Intervalle(3) = 3
Intervalle(2) = 53 Mercator
Cent = 21/1200
20 Cent = 21/60
Octave + Octave + Octave = 8
4 Octave + 100 Cent = Intervalle(24) + Inervalle(21/12)
4 Octave + 100 Cent = 249/12
Unisson + Octave = Octave
3ième d'Octave = Octave / 3
3ième d'Octave = Intervalle(21/3)
Octave * 3/5 = 23/5
7 5ième d'Octave = 27/5
7 * 5ième d'Octave = 27/5
Unisson = 0
On ajoute les intervalles en ajoutant leur terme additif (logatithme de rapport de fréquence) dans une même base de logarithme, ou en multipliant leur facteur multiplicatif (rapport de fréquence). Exemples :
3 Octave + 1/2 Octave - 7/4 Octave= (3+1/2-5/4) Octave = 9/4 Octave
Intervalle(23) + Intervalle(21/2) = Intervalle(23*21/2) = Intervalle(27/2)
La classe des intervalles correspond aussi à la classe des fréquences en notation additive, que l'on note entre crochet telle que [f]. L'addition des intervalles correspond à la multiplication des fréquences :
[f1] + [f2] = [f1*f2]
[f1] - [f2] = [f1/f2]
La multiplication par un réel correspond à l'élévation de la fréquence à la puissance de ce réel :
[f1] * x = [f1x ]
[f1] / x = [f11/x ]
Autrment dit :
[f] = Intervalle(f)
[f] == Intervalle(f)
C'est le même objet.
Le couple projectif est un élément de l'espace projectif P(R2). C'est un couple de fréquences (f1,f2) à un facteur multiplicatif commun près. C'est l'intervalle entre f1 et f2, mis sous la forme d'un couple de deux réels (f1,f2), avec la propriété que quelque soit x réel positif non nul, nous avons (f1,f2) = (x*f1,x*f2). Ce qui signifie que l'intervalle est invariant par transposition.
Dans la classe des couples projectifs en notation multiplicative, l'addition des intervalles se note en multipliant les couples projectifs. Cette multiplication correspond alors à la multiplication composante par composante :
(a,b) * (u,v) = (a*u, b*v)
(a,b) / (u,v) = (a/u, b/v)
L'élévation à la puissance d'un réel correspond à l'élévation de chaque composante à la puissance de ce réel :
(a,b)x = (ax, bx)
(a,b)1/x = (a1/x, b1/x)
La conversion d'un couple projectif en un réel et inversement sont implicites. Nous pouvons écrire par exemples :
(a,b) = b/a
(2,3) = (4,6) = (20,30) = (10,15) = (2/5, 3/5) = 3/2
(2,3) = (1,3/2) = 3/2 = Quinte juste
(3,2) = 2/3 = Quarte juste = - Quinte juste
(1,2) = 2 = Octave
(2,3) * (4,5) = (8,15) = 15/8
(3,4)2 = (9,16) = 16/9 = Septième mineure de Pythagore
(21/12, 28/12) = (1, 27/12)
(21/12, 28/12) = 27/12
(21/12, 28/12) = Quinte tempérée
La conversion du couple projectif en un intervalle et inversement sont implicites. Mais par contre, il est inderdit d'ajouter ou de multiplier un couple projectif en notation multiplicative avec un réel, car on ne serait pas qu'elle opération choisir. Ces opérations seront réservées pour d'autres fonctionnalités.
Nous pouvons écrire par exemples :
(2,3) - Octave = (2,3) / (1,2) = (2,3/2)
(4,5) + Quinte juste = (4,5) * (2,3) = (8,15)
(4,5) * (3,2) = (4,5) + Quinte juste
(4,5) * (3,2) = Tierce majeur + (3,2)
Dans la classe des couples projectifs en notation additive, l'addition de deux couples projectifs correspond à la multiplication composante par composante :
[a,b] + [u,v] = [a*u, b*v]
[a,b] - [u,v] = [a/u, b/v]
La multiplication par un réel correspond à l'élévation de chaque composante à la puissance de ce réel :
[a,b] * x = [ax, bx]
[a,b] / x = [a1/x, b1/x]
La conversion d'un couple projectif en un réel et inversement sont implicites. Nous pouvons écrire par exemples :
[a,b] = b/a
[2,3] = [20,30]
[2,3] = Quinte juste
[1,2] = 2 = Octave
[2,3] + [4,5] = [8,15] = 15/8
[3,4] * 2 = [32,42] = [9,16] = 16/9 = Septième mineure de Pythagore
[21/12, 28/12] = 27/12 = Quinte tempérée
La conversion de l'intervalle en un couple projectif et inversement sont implicites. Mais parcontre il est inderdit d'ajouter un couple projectif avec un réel, car on ne serait pas qu'elle addition choisir, celle des réels en convertissant le couple projectif en son facteur multiplicatif, ou bien celle des couples projectifs en convertissant le réel en couple projectif. Cette opération est réservée pour une autre fonctionnalité.
Nous pouvons écrire par exemples :
(2,3) - Octave = (2,3) - (1,2) = (2,3/2)
(4,5) + Quinte juste = (4,5) + (2,3) = (8,15)
Les deux classes de couples projectifs sont identiques, seuls le nom des opérations internes changent. La conversion de l'un en l'autre est implicite. Cela correspond au passage de la notation additive à la notation multiplicative et inversement. Mais parcontre il est inderdit d'ajouter ou de multipier un couple projectif additif avec un couple projectif multiplicatif, car on ne serait quelle opération prendre.
Nous pouvons écrire par exemples :
(2,3) = [2,3]
(4,5) * (2,3) = [4,5] + [2,3]
(2,3)6 = 6 * [2,3]
L'axe des fréquences dépend du choix d'une fréquence de référence F0. Parcontre l'axe des intervalles est indépendant de ce choix, la référence étant dans ce cas, 1, l'élément neutre de la multiplication. Et en prenant un intervalle étalon k, on subdivise implicitement l'ensemble des intervalles en une succession contigüe d'intervalles k :
Intuitivement un intervalle désigne un segment. Et si on souhaite désigner les points sur cet axe, que ce soit en notation additive -3*k, -2*k, -k, 0, k, 2*k, 3*k, ou en notation multiplicative k-3, k-2, k-1, 1, k, k2, k3, on parlera plutôt de degrés ou de notes.
Si on fixe une fréquences de référence F0, cette subdivision peut alors se traduire sur l'axe des fréquences :
L'intervalle (f1,f2) est orienté. C'est à dire qu'il y a un ordre mettant f1 en première place et f2 en seconde place. Cet ordre peut être temporelle comme dans un arpège, ou simplement logique.
Contrairement à un arpège ou à un intervalle, dans un accord, les deux fréquences sont jouées simultanément et il n'y a pas d'ordre ni temporelle ni logique entre eux. Un accord de deux fréquences f1 et f2 n'est par orienté. On le représente par le doublon {f1,f2}. Et nous avons {f1,f2} = {f2,f1}, et quelque soit x et y réels positifs non nuls, {x*f1,x*f2} = {y*f2,y*f1}, car la qualité musicale de l'accord seul, est invariant par transposition. Cela correspond à un intervalle évalué additivement toujours de façon positive. On parlera d'intervalle en valeurs absolue.
Le savart est une échelle logarithmique des fréquences du nom de son inventeur, M. Félix Savart, physicien français (Mézières, 1791 - Paris, 1841) (célèbre pour sa loi de Biot & Savart sur le champ magnétique). On peut le définir par son étalon, appellé le savart, et valant un millième de l'intervalle 10.
Savart = 1000ième d'Intervalle(10)
Savart = Intervalle(10) / 1000
Savart = Intervalle(101/1000)
Savart = 101/1000
Comme pour les décibels, ont pourrait le définir de façons absolu en prenant une fréquence de référence w1. L'intervalle entre deux fréquences w1 et w2, exprimé en savart, s'obtient par la formule suivante :
x = 1000 * log( w2/w1) / log(10)
w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en savart.
log : Logarithme quelconque (log(x)/log(10) est égale au logarithme en base 10 de x).
En vertu de la loi physiologique fondamentale (voir §9), qui affirme que notre perception d'un accord entre deux sons, mesure les rapports de fréquence et non les différences de fréquence, et en vertu d'une loi physiologique plus générale qui montre que la sensation varie comme le logarithme de l'excitation (sensibilité différentielle) : Sensation = k × log(Excitation). Le savart traduit la sensation physiologique de la hauteur sonore : Une augmentation de ~301 savarts correspond à un doublement de la sensation de hauteur du son qui correspond au doublement de la fréquence, et une diminution de ~301 savarts correspond à une division par deux de la sensation de hauteur du son qui correspond à une division par 2 de la fréquence. D'où l'analogie avec la définition du décibel, sauf que M. Savart n'a pas pris l'octave comme étalon, mais le millième de l'intervalle 10. Ce qui fait que le doublement de la fréquence du son correspond à un nombre non entier de savart, 301,03…. et que la multiplication par 10 de la fréquences du son correspond à une augmentation de 1000 savarts
Sachez que ½ savart est considéré comme indiscernable à l'oreille (ce qui n'est pas exacte à cause des battements).
Si un auditeur s'approche de la source sonore en marchant à 1 m/s. A cause du déplacement Doppler, les sons perçus sont décalés de 1,3 savart (soit à peu près d'un quart de comma).
Le savart entier est une échelle égale (ou dite tempérée) des sons correspondant à une division de l'Intervalle 10 en 1000 unités égales. En changeant cette constante ou bien en changeant la base du logarithme, on obtient toutes les échelles égales. Une échelle égale est complètement définie par la taille de son étalon :
x = N * log( w2/w1) / log(B)
w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
B : Intervalle de base.
N : Nombre d'unités par intervalle B.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimée en N-ième d' intervalle B.
Intevalle(B) / N : Étalon en notation additive.
B1/N : Étalon en notation multiplicative.
Voici quelques échelles égales parmis les plus courantes :
Les étalons sont décrit par leur facteur multiplicatif :
Si on ne veut faire aucun choix arbitraire, on choisie comme unité additive le néper :
x = ln( w2/w1)
w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en néper.
ln : Log néperien.
Le néper (noté Np), est utilisée en dehors de toutes considération physiologique pour exprimer le logarithme néperien d'un rapport de même espèce. On choisie la base néperienne du logarithme, c'est la base e=2.7182818284..., car elle est la seule a présenter les propriétés mathématiques remarquables suivantes :
ln(ex)=x
d(ex)/dx=ex
d(ln(x))/dx=1/x
Elle peut servir d'échelle pour mesurer les autres échelles égales :
multiplicatif
additif
en Néper