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Du signal
à
l'équation du monde

Le signal


1. Introduction

Une discution sur la génèse du monde, évidement incomplète, ou comment trouver un cheminement conceptuel simple passant par des étapes intermédiaires et aboutissant aux équations du monde en vogue actuellement. Un parallèle entre la didactique et le mythe, sur l'intelligibilité du monde en procédant à des analogies que seuls portent les rêves capables de mettre à égalité tous les égos et de transcender toutes les frontières. Un ordonnancement de nos connaissances en un fil conducteur, en une chaine causale où chaque principe découle de source. Une reformulation des fondements de la physique à la lumière des connaissances d'aujourd'hui dans un esprit ouvert qui se veut démocratique.

On y discute des mathématiques, de leurs rôles dans la conception du monde intelligible et de la forme des équations physiques qui doivent être homogènes, comprenant plusieurs espèces ou dimensions, conceptualisant des espaces. On propose différentes conceptions du temps. On présente ce qu'est un signal périodique et sa décomposition en sommes de ses harmoniques,

Qu'est ce qu'un état d'équilibre, qu'est ce qu'une constante ?, C'est quelque chose qui se répète, d'où l'étude des signaux périodiques que l'on promeut comme principe de constance.

Puis on traite des ondes, de l'échange d'information et de la quantification, pour aboutir aux ondes éléctromagnétiques et aux photons dans le vide, qui, tel le Lapin blanc, nous ouvre un chemin tout tracé aux pays des merveilles, pour y découvrir la relativité générale, les forces électriques, la mécanique, les invariants, les équations de Maxwell-Lorentz, à une, deux, trois, puis quatre dimensions, la relativité restreinte, la notion de repère et les symétries de l'univers, et la mécanique quantique, le tout en une présentation didactique se voulant être capable de se dispenser de connaissance préalable, ordonnançant les concepts en une génèse sans rupture ni à-coups en exposant à chaque étape les principes du paradigme.

2. Mathématiques

Les structures mathématiques on l'air d'exister indépendament du monde, comme si elles pré-existaient, et donnaient alors au monde une contrainte à la fois innée et immanente, car elles semblent bien propre à la nature du monde. Et ce sont les structures mathématiques de corps et d'espace qui vont jouer un rôle prédéterminant dans cette première phase de la génèse que nous explorons par notre intuition.

Mais la nature du monde est assurément plus complexe puisqu'elle doit ce justifier par elle-même dans un processus que nous tentons d'éclairer. Il n'en reste pas moins que les outils mathématiques connus vont nous permettre d'approcher cette complexité. Et on commence par le groupe libre monogène, constituant les entiers relatifs `ZZ`, une construction itérative à partir d'une unité, et qui s'étend en le corps des rationnels `QQ`, puis en le corps des réels `RR`, puis en le corps des complexes `CC`, puis en le corps non-commutatif des quaternions `bbbH`.

Le signal est ce qui porte l'information, tel un message, et l'idée de constance ou d'état d'équilibre se traduit par la répétition du même message indéfiniment. Ce qui nous amène tout naturellement à concevoir comme première étape d'intelligibilité du monde, le concept de signal périodique qui s'écoule à travers le temps.

Cela désigne deux espèces ou dimensions, l'espèce désignant le temps qui est noté `sfT`, et l'espèce désignant la valeur du signal qui est un potentiel et qui est noté `sfP`. Et pour chacune de ces espèces, il convient de définir une unité, ce que fait le système international d'unité, en définissant la seconde notée `"s"` pour le temps, et le volt noté `"V"` pour le potentiel. Ces unités, tels des objets mathématiques, se comportent alors comme des éléments générateurs de structures mathématiques, formant une sorte de squelette révèlant l'intelligibilité du monde physique.

On représente le temps par l'axe `"s"RR`. Une valeur de temps `t` est le produit de l'unité `"s"` par un nombre réel sans unité. On représente le potentiel par l'axe `"V"RR`. Une valeur de signal à un instant `t` est le produit de l'unité `"V"` par un nombre réel sans unité. Le signal évolue en fonction du temps. Il est représenté par une variable d'état fonction de `t` exprimé en seconde, que l'on note `U(t)` et qui est exprimé en volt.

Si on s'est fixé un système d'unité cohérent et que les équations sont bien homogènes, il est alors possible de faire abstraction des unités, puisqu'il est possible de les retrouver, ce qui se fait dans la pratique. Mais dans notre phase de recherche, il est plus judicieux de les introduire de façon formelle comme des éléments mathématiques susceptibles de construire toutes sortes de structure mathématique.

Le choix de `RR` est arbitraire. On a choisit la structure monogène la plus libre, la plus simple et la plus complète par simplicité abstractive dans le but de pouvoir circonscrire la réalité par une structure mathématique plus vaste qu'elle. Et les premières variantes qui seront envisagées remettrons en cause le caractère infini inné de ces structures quelque peu incompatible avec le concept de génèse. Puis la relativité générale perfectionnera ces structures initialement rigides en les déformant.

3. Signal périodique

Un signal périodique quelconque `U(t)` se décompose en la somme infinie de ses harmoniques entiers `0, 1, 2, 3, 4,...` appelée somme des harmoniques ou série de Fourier du célèbre mathématicien français Joseph Fourier (Auxerre 1768 - Paris 1830) :

`U(t) = a_0 + a_1sin(α_1 "+" omega t) + a_2sin(α_2 "+" 2omega t) + ... + a_nsin(α_n "+" n omega t) + ...`  

Un signal est périodique s'il possède une période `T` c'est à dire s'il se répète à l'identique après chaque intervalle de temps `T`. Quelque soit le temps `t` nous avons :

`U(t"+"T)=U(t)`

Un tel signal se décompose en la somme de ses harmoniques.

Chaque harmonique est un signal sinusoïdal caractérisé par une amplitude `a` exprimée en unité de signal, une phase `α` exprimée en radian, et un numéro `n` de l'harmonique déterminant sa fréquence `n"/"T` et donc sa vitesse angulaire `n omega`, ce qui s'écrit par une fonction du temps `t` comme suit :

`asin(α "+" n omegat)`

Chaque harmonique ou composante est ainsi une sinusoïde déterminée par deux nombres que sont son amplitude `a` et sa phase initiale `alpha` que l'on regroupe en un nombre complexe appelé pôle et noté de façon polaire `[a,alpha]`.

La décomposition d'un signal périodique `U(t)` de période `T` en la somme de ses harmoniques s'écrit comme suit :

`U(t) = a_0 + sum_(n=1)^(oo) a_n sin(α_n"+" n omega t)`

`omega=(2pi)/T`

`t` : Temps.
`U(t)` : Valeur du signal `U` à l'instant `t`.
`T` : Période du signal `U`. Quelqe soit `t`, nous avons : `U(t"+"T)"="U(t)`.
`1"/"T`
: Fréquence de l'harmonique fondamental.
`omega`
: Vitesse angulaire de l'harmonique fondamental exprimée en radian par unité de temps.
`n`
: Numéro de l'harmonique.

`a_0` : Composante continue.
`a_1sin(α_1 "+" omegat)`
: Harmonique `1`, harmonique fondamental de vitesse angulaire `omega`.
`a_2 sin(α_2"+" 2omega t)`
: Harmonique `2` de vitesse angulaire `2omega`.
`a_n sin(α_n"+" n omega t)` : Harmonique `n` de vitesse angulaire `n omega`.

`a_1`
: Amplitude du premier harmonique.
`α_1`
: Phase du premier harmonique exprimée en radian.
`a_n`
: Amplitude du `n`-ième harmonique.
`α_n`
: Phase du `n`-ième harmonique exprimée en radian.
`[a_n, alpha_n]` : Pôle du `n`-ième harmonique.

Dans la nature, le signal électromagnétique se manifeste sous forme de photon et pour chaque fréquence `nu` le photon possède une énergie `hnu`. Ainsi, si l'on se restreint à un intervalle de fréquence correspondant à notre échelle de temps et à notre champ de vision, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de photons et donc qu'un nombre fini de sinusoïdes.

C'est en constatant que la somme de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence produit un signal sinusoïdal de même fréquence, et que toute décomposition d'un signal périodique d