La précession de l'orbite de Mercure permet de mesurer les capacités prédictives de la théorie de Newton, de la relativité restreinte, de la relativité générale, et de toute sorte de théorie.... Elle constitue une expérience cruciale qui permet d'écarter les théories en inadéquation avec le réel, en comparant les résultat de la simulation, appelée expérimentation exacte, avec les mesures réels.
On considère la planète Mercure en mouvement. On pose un maillage du temps en une succétion de portions `Δt`. Et pendant chaque intervalle de temps `Δt`, on considère que l'accélération de Mercure évolue linéairement. On note la position à l'instant `t` d'une particule par le vecteur `vecr`. Et les différentes dérivées à l'instant `t` de `vecr` sont notées par :
On considère une maille. La particule se trouve à l'instant `t_1` à la position `r_1` avec une vitesse `vecv_1` et une accélération `veca_1`, puis se trouve à l'instant `t_2` à la position `vecr_2` avec la vitesse `vecv_2` et une accéleration `veca_2`. On considère la variable de temps relative à la maille `τ = t - t1` qui vaut `τ=0` lorsque la particule est au point `vecr_1` et qui vaut `τ=Δt` lorsque la particule est au point `vecr_2`.
Comme nous considérons une accélération évoluant linéairement entre l'instant `t_1` et l'instant `t_2`, nous pouvons calculer l'accéleration à tout instant `τ` compris entre `0` et `Δt`. Celle-ci vaut `veca = veca_1 + vecpτ` et nous déduisons que `vecp = (veca_2 - veca_1)"/"Δt`. Il s'en suit par intégration que :
`veca = veca_1 + vecp τ` `vecv = vecv_1 + veca_1 τ + vecp τ^2/2` `vecr = vecr_1 + vecv_1 τ + veca_1 τ^2/2 + vecp τ^3/6`
On calcule les valeurs `vecr_2` et `vecv_2` comme suit :
`vecr_2 = vecr_1 + vecv_1 Δt + veca_1 (Δt^2)/2 + vecp (Δt^3)/6`
`vecv_2 = vecv_1 + veca_1 Δt + vecp (Δt^2)/2`
Le procédé itératif consiste à poser au départ `vecp` telle qu'il vallait lors de la maille précédente. Puis à chaque itération, on calcule `vecr_2, vecv_2` par la formule précédente, puis on calcule `veca_2` en fonction de la force résultante dans cette itération à l'instant t2, ce qui nous donne une autre valeur de `vecp`. Puis on recalcule `vecv_2, vecr_2` par la formule précédente puis on recalcule `veca_2` et `vecp` en fonction de la configuration globale de l'itération à l'instant t2, et ainsi de suite jusqu'à ce que les valeurs de `vecr_2` et `vecv_2` ne bougent plus. On s'en tiendra à faire systématiquement 2 ou 3 itérations.
Étant donné une fonction `f`, qui appliqué à `x` produit `f(x)`, ce qui se note par l'expression `x|->f(x)`, nous voulons trouver de façon approchée une racine `x`, c'est à dire telle que `f(x)=0`. On pose une valeur `x` proche de la racine, et on répète un petit nombre de fois l'itération suivantes :
`x := x - f(x)/(f’(x))`
Le symbole `:=` indique que la valeur de la variable `x` va changer et prendre pour valeur l'évaluation du second membre. Il faut considérer cette ligne de code `x := x - f(x)"/"f’(x)` comme une instruction impérative d'un programme et non comme une équation.
La démonstration de la méthode de Newton se fait à l'aide des expressions différentielles et de la dérivée. On part d'une valeur `x` proche de la racine, et on cherche la variation `dx` telle que `x"+"dx` soit la racine, c'est à dire telle que `f(x"+"dx)=0`. Selon le calcul différentiel, nous avons :
`f’(x) = (f(x"+"dx) - f(x))/dx` `f(x"+"dx) = f(x) + f’(x) dx`
On cherche `dx` tel que :
`f(x"+"dx)=0` `f(x) + f’(x) dx =0` `dx = - f(x)/(f’(x))`
On en déduit que la valeur `x"+"dx`, qui est égale à `x - f(x)"/"f’(x)`, constitue une approximation de la racine autant meilleur que `dx` est petit.
Dans la suite de l'exposé, on se place dans un référentiel héliocentrique dans un plan. Le Soleil est posé fixe à la position `(0,0)`. La force de gravité qui s'exerce sur Mercure est centrale. Mercure est initialement positionné sur l'axe des `x`, à l'aphélie, la plus grande distance du soleil au cours d'une révolution. Et on fait les approximations suivantes :
On calcule la trajectoire `vecr` de Mercure de maille en maille, et on s'arrète sur la maille annonçant la fin du décroissement de la distance `||vecr||`. Puis, pour déterminer plus précisement le moment `τ` du périhélie, position la plus proche du Soleil à chaque révolution, on pose l'équation du mouvement dans cette maille entre la position `vecr_1` et la position `vecr_2` en fonction de `τ` et on cherche le moment `τ` où le point `vecr` est de distance `||vecr||` minimal.
`veca = veca_2 + vecp τ`
`vecv = vecv_1 + veca_1 τ + vecp τ^2/2`
`vecr = vecr_1 + vecv_1 τ + veca_1 τ^2/2 + vecp τ^3/6`
Lorsque `||vecr||` est minimal, nous avons `vecr bb "⋅"vecr` minimal où l'opération `bb"⋅"` désigne le produit scalaire de deux vecteurs, et donc la différentielle de `vecr bb "⋅"vecr` doit être nulle :
`d(vecr bb "⋅"vecr)"/"dt=0`
`2 vecr bb "⋅"dvecr"/"dt = 0`
`vecr bb"⋅"vecv = 0`
Ce qui correspond à une équation du cinquième degrés en `τ`. La solution exacte est trés complexe et n'est pas vraiment utile pour nous. En effet nous sommes déjà dans le cadre d'une approximation, un calcul approché sur la même précision nous suffira. Nous utilisons la méthode de Newton. Nous cherchons `τ` tel que `f(τ)=0` où la fonction `f` est définie comme suit :
`f(τ) = vecr bb"⋅"vecv` `f’(τ) = (d(vecr bb"⋅"vecv))/(dτ)` `f’(τ) = (vecdr)/(dτ) bb"⋅"vecv + vecr bb"⋅"(vecdv)/(dτ)` `f’(τ) = vecv bb"⋅"vecv + vecr bb"⋅"veca`
La position de départ est `τ=0`, l'itération est :
`τ := τ - f(τ)"/"f’(τ)`
c'est à dire
`τ := τ - (vecr bb"⋅"vecv)"/"(vecv bb"⋅"vecv + vecr bb"⋅"veca)`
que l'on répète trois fois.
Si `τ` est négatif, c'est que l'aphélie s'est produite lors de la maille précédente. On refait le calcul sur la maille précédente.
La trajectoire dans la maille est complètement caractérisée par les 4 vecteurs `vecr_1, vecv_1, veca_1, vecp`. A chaque instant `τ` propre à la maille, c'est à dire valant `τ=0` lorsque la particule est au point `vecr_1` et valant `τ=Δt` lorsque la particule est au point `vecr_2`, on détrermine la position `vecr`, la vitesse `vecv` et l'accélération `veca` comme suit :
`veca = veca_1 + vecp τ`
`vecv = vecv_1 + veca_1 τ + vecp τ^2/2`
`vecr = vecr_1 + vecv_1 τ + veca_1τ^2/2 + vecp τ^3/6`
La cinématique est symétrique selon le sens du temps `t`. On en déduit la formule symétrique suivante, déterminant la trajectoire en fonction des 4 vecteurs `vecr_2, vecv_2, veca_2, vecp` :
`veca = veca_2 + vecp (Δt-τ)`
`vecv = vecv_2 + veca_2 (Δt-τ) + vecp (Δt-τ)^2/2`
`vecr = vecr_2 + vecv_2 (Δt-τ) + veca_2 (Δt-τ)^2/2 + vecp (Δt-τ)^3/6`
L'adjonction aux 4 vecteurs `vecr_1, vecv_1, veca_1, vecp`, du seul vecteur supplémentaire `vecp_0` représentant la pente de l'accelération lors de la maille précédente, permet de déterminer complètement la trajectoire lors de la maille précédente. A chaque instant `ͳ` propre à cette maille précédente c'est à dire vallant `ͳ=0` lorsque la particule est au point `vecr_0` et valant `ͳ=Δt` lorsque la particule est au point `vecr_1`, on détermine la position `vecr`, la vitesse `vecv` et l'accélération `veca` comme suit :
`veca = veca_1 + vecp_0 (Δt-ͳ)`
`vecv = vecv_1 + veca_1 (Δt-ͳ) + vecp_0 (Δt-ͳ)^2/2`
`r = vecr_1 + vecv_1 (Δt-ͳ) + veca_1 (Δt-ͳ)^2/2 + vecp_0 (Δt-ͳ)^3/6`
Les mailles se suivents. Les temps propres au mailles `τ` et `ͳ` sont définis en fonction des temps exactes `t_0` et `t_1` de passage de la particule respectivement aux points `vecr_0` et `vecr_1`.
`τ = t - t_1`
`ͳ = t - t_0`
Et comme chaque maille dure un intervalle de temps `Δt = t_1 - t_0`, nous avons :
`ͳ = τ + Δt`
Le calcul du périhélie se met sous forme d'une procédure que voici :
| function Perihelie(r1,v1,a1,p,p0) |
La fonction Perihelie prend 5 arguments décrivant la maille et la précédente |
Le calcul de l'aphélie s'obtient de la même façon, et permet de calculer la distance maximal Soleil-Mercure atteinte à chaque révolution avec une grande précision.
Constante des forces de gravité `6.6738"×"10^-11 "m"^3"kg"^-1s^-2` Constante de la vitesse de la lumière `2.99792458"×"10^8 "m" "s"^-1` Masse du Soleil `1.9885"×"10^30 "kg"` Masse de Mercure `3.3022 "×"10^23 "kg"` Aphélie de Mercure `6.9817079"×"10^10 "m"` Vitesse minimale de Mercure `3.886"×"10^4 "m" "s"^-1` Périhélie de Mercure `4.6001272"×"10^10 "m"` Vitesse maximale de Mercure `5.898"×"10^4 "m" "s"^-1` Période de révolution `7.600551"×"10^6 "s"` Rayon du Soleil `6.96342"×"10^8 "m"` Rayon de Mercure `2.4397"×"10^6 "m"`
`1` seconde d'arc = `1"°/"3600` (degré).
`1` seconde d'arc = `277.77 "µ°"` (micro degré)
`1` siècle = `36525` jours.
`1 "Ms"` (Mega seconde) = `11.574` jours.
Précession observée : Précession causée par l'influence
des autres planètes selon Newton :Ecart inexpliquée :
Force de gravité s'exerçant sur Mercure :
Force de gravité (modèle newtonien)
`f = G (M m) / (r^2)`
`f` : Force de gravité (norme).
`G` : Constante des forces de gravité.
`M` : Masse du Soleil.
`m` : Masse de Mercure.
`r` : Distance Soleil-Mercure (norme).
Principe d'inertie :
Principe d'inertie (modèle newtonien)
`vecf = m (d vecv)/(dt)`
`vecf` : Force de gravité s'exerçant sur Mercure.
`m` : Masse de Mercure.
`vecv` : Vitesse de Mercure.
`t` : Temps.
De ces deux principes, on déduit l'accélération de Mercure `veca=dv"/"dt` qui est égale à `f"/"m`. Cette accélération ne dépend pas de la masse `m` de Mercure mais seulement de la position `vecr` et de la masse `M` du soleil, et s'applique donc à tout object se trouvant à la position `vecr`. Aussi, cela constitue un champ d'accéleration `veca`, appelé champ de gravité.
Champ de gravité (modèle newtonien)
`veca = - G M /( r^2) (vecr) / r`
`veca = (dvecv)/dt`
`veca` : Accélération de Mercure, champ de gravité.
`M` : Masse du Soleil.
`G` : Constante des forces de gravité.
`vecr` : Position de Mercure par rapport au Soleil.
`r` : Distance Soleil-Mercure. `r=||vecr||`
`vecv` : Vitesse de Mercure.
`t` : Temps.
Le terme `- vecr "/" r` signifie que le champ de gravité `veca` est central et attractif.
Programme : newton.c
(Le programme se compile à l'aide de la commande : gcc newton.c -lm)
| G = 6.6738e-11 M = 1.9891e30 T = 1 N = 2 r1.x = 6.9817079e10 r1.y = 0 v1.x = 0 v1.y = 3.886e4 t = 0 A = 0 d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y) a1 = - G*M*(r1 / d1) / (d1 * d1) p = 0 |
Constante des forces de gravité Masse du Soleil Intervalle de temps d'une maille `Δt=1` Nombre d'itération par maille `N=2` Position initiale de Mercure à l'aphélie ... ... ... Temps initial `t=0` Mercure est en phase de rapprochement du Soleil Distance Soleil-Mercure Accélération de Mercure La pente est initialement posée égale à `0` |
| Répéter | Répéter N fois | | r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6 | | v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2 | | d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y) | | a2 = - G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2) | | p = (a2 - a1)/T | fin | Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1 et Perihelie (t,r1,v1,a1,p) | Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p) | r1 = r2 | d1 = d2 | v1 = v2 | a1 = a2 | t = t + T fin |
Boucle indéfinie | Répéter `N` fois de suite | | Position à l'intant `t+Δt` | | Vitesse à l'intant `t+Δt` | | Distance à l'intant `t+Δt` | | Accélération à l'instant `t+Δt` | | Pente de la maille `[t, t"+"Δt]` | └--------------------------- | Si Mercure est au périhélie Alors `A=1` et calculer le périhélie | Si Mercure est à l'aphélie Alors `A=0` et calculer l'aphélie | Déplacement à l'instant `t+Δt` | ... | ... | ... | ... └--------------------------- |
Mesure de la précession :
La précession, qui est ici due aux approximations de calculs, devient négligeable lorsque `Δt` est inférieur à dix secondes et lorsque le nombres `N` d'itérations par maille est au moins égale à `2`.
Le Soleil de masse `M` crée un champ de gravité `veca` qui s'étend dans tout l'espace. Déjà se posait la question de savoir ce qu'est le vide ?, qui est maintenant remplit d'un champ de gravité. Ce champ de gravité dans chaque volume d'espace représente une énergie, de la même façon qu'un champ électrique dans un volume d'espace représente une énergie. Et grace à la formule d'Einstein qui donne une masse à l'énergie on en déduit qu'il représente une masse. La masse `K` de ce champ de gravité va créer un second champ de gravité qui se rajoute au premier. La masse de ce second champ de gravité va également créer un troisième champ de gravité qui devra être ajouté aux précédents, et ainsi de suite.... Mais on s'en tiendra qu'au second ordre, c'est à dire à un premier champ de gravité produit par le Soleil augmenté d'un second champ de gravité produit par la masse du premier champ.
On procède par analogie avec le champ électromagnétique pour lequel nous savons calculer l'énergie du champ. L'énergie du champ électrique est égale à :
`dU = (ε_0"/"2) vecEbb"⋅"vecE dv`
où `dv` représente un élément de volume, où `vecE` représente le champ électrique présent dans cet élément de volume, et où `ε_0` représente la constante de permittivité diélectrique du vide. On exprime `dU` en fonction de la constante des forces électriques `ζ = 1"/"(4πε_0)` :
`dU = 1/(8πζ)vecEbb"⋅"vecE dv`
On procède de façon analogue pour les forces de gravité. On note `vecf` la force de gravité créée par le Soleil de masse `M` et s'exerçant sur Mercure de masse `m`. On note `veca` le champ de gravité créé par le Soleil à l'endroit où se trouve Mercure. C'est un champ d'accéleration. Le champ de gravité `veca` et la force de gravité `vecf` appliqués à Mercure satisfont les règles suivantes :
`vecf = veca m`
`vecf = -G ( M m) / (r^2) (vecr) / r`
`veca = -G M / (r^2) (vecr)/r`
Le terme `- vecr"/"r` spécifie la direction de l'accélération. Le champ de gravité est central et attractif. On note `dU` l'énergie du champ de gravité. On note G la constante des forces de gravitation. Par analogie au calcul de l'énergie du champ électrique, nous avons :
`dU= 1/(8πG)veca bb"⋅"veca dv`
Puis, grâce à la formule d'Einstein liant l'énergie à la masse, nous avons `dU = c^2dK`, et nous déduisons la masse du champ :
`dK = (dU)/c^2`
`dK = 1/c^2 1/(8πG) vecabb"⋅"veca dv`
`dK = 1/c^2 1/(8πG) G^2M^2(1/r^4)dv`
`dK = (GM^2)/(8πc^2) 1/r^4 dv`
Dans le cas d'une distribution de masse selon une symétrie sphérique, la force attractive s'exerçant sur un point placé à un rayon `vecr` du centre est la même que si toutes les masses se trouvant dans la sphère centrée de rayon `r` étaient regroupées au centre, et les masses se trouvant au delà du rayon `r` n'interviennent pas ou plus exactement, étant distribuées selon une symétrie sphérique, leurs effets en terme de force s'annulent (loi de Gauss).
Le calcul de la masse du champ agissant sur Mercure s'obtient alors en intégrant l'expression précédente sur la sphère de rayon `r`. On ne tient pas compte de la masse du champ de gravité dans le Soleil car on l'assimile comme faisant partie de la masse du Soleil.
`K=(GM^2)/(8pi c^2) ∭_(r in [r_0,r]) 1/r^4 dv`
On utilise la symétrie sphérique et on considère un élément `dv` égal au volume acquit par l'accroissement de la sphère passant du rayon `r` au rayon `r"+"dr`. La surface d'une sphère de rayon `r` est `4πr^2`, le volume acquit lors d'un accroissement `dr` est `dv = 4πr^2dr`. On intégre en partant du rayon `r_0` du Soleil jusqu'au rayon `r` de la position de Mercure.
`K=(GM^2)/(8pi c^2) int_(r=r_0)^r 1/r^4 4πr^2dr`
`K=(GM^2)/(2 c^2) int_(r=r_0)^r 1/r^2 dr`
`K=(GM^2)/(2 c^2) [-1/r]_(r=r_0)^r`
`K=(GM^2)/(2 c^2) (1/r_0-1/r)`
La masse du champ de gravité du Soleil est donc égale à :
`K = (1/r_0 - 1/r)(GM^2)/(2c^2)`
Force de gravité s'exerçant sur Mercure :
Force de gravité (modèle newtonien avec masse du champ de gravité)
`f = (G(M"+"K) m) / (r^2)`
`K = (1/r_0 - 1/r)(GM^2)/(2c^2)`
`f` : Force de gravité (norme).
`G` : Constante des forces de gravité.
`c` : Constante de la vitesse de la lumière.
`M` : Masse du Soleil.
`K` : Masse du champ de gravité du Soleil occupant la sphère de rayon `r`.
`m` : Masse de Mercure.
`r` : Distance Soleil-Mercure (norme).
`r_0` : Rayon du Soleil.
Principe d'intertie :
Principe d'inertie (modèle newtonien)
`vecf = m(dvecv)/(dt)`
`vecf` : Force de gravité s'exerçant sur Mercure.
`m` : Masse de Mercure.
`vecv` : Vitesse de Mercure.
`t` : Temps.
De ces deux principes, on déduit l'accélération de Mercure `veca = d vec v "/"dt`. Cette accélération ne dépend pas de la masse `m` de Mercure mais seulement de sa position `vecr` et de la masse du soleil `M` et s'applique donc à tout object se trouvant à la position `vecr`. Aussi, cela constitue un champ d'accéleration `veca`, appelé champ de gravité.
Champ de gravité (modèle newtonien avec masse du champ de gravité)
`veca = - G(M"+"K) / r^2 (vecr) / r``K = (1/r_0 - 1/r) GM^2/(2c^2)`
`a = (dv)/(dt)`
`veca` : Accélération de Mercure.
`M` : Masse du Soleil.
`K` : Masse du champ de gravité du Soleil occupant la sphère de rayon `r`.
`G` : Constante des forces de gravité.
`c` : Constante de la vitesse de la lumière.
`vecr` : Position de Mercure par rapport au Soleil.
`r` : Distance Mercure-Soleil. `r=||vecr||`
`r0` : Rayon du Soleil.
`vecv` : Vitesse de Mercure.
`t` : Temps.
Programme : newton+M.c
Le calcul ne change pas sauf pour la masse gravifique du Soleil vis-à-vis de Mercure qui n'est plus constante mais égale à :
`M + K`
Avec :
`K = (1/r_0 - 1/r)GM^2/(2c^2)`
| G = 6.6738e-11 M = 1.9891e30 r0 = 6.96342e8 c = 2.99792458e8 K = G*M*M/(2*c*c) T= 1 N=2 r1.x = 6.9817079e10 r1.y = 0 v1.x = 0 v1.y = 3.886e4 t = 0 A=0 d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y) M1 = M + (1/r0 - 1/d1)*K a1 = - G*M1*(r1 / d1) / d12 p = 0 |
Constante des forces de gravité Masse du Soleil Rayon du Soleil Vitesse de la lumière Constante servant au calcul de la masse du champ Intervalle de temps d'une maille Δt=1 Nombre d'itération par maille N=2 Position initiale de Mercure à l'aphélie ... ... ... Temps initial t=0 Mercure en phase de rapprochement du Soleil Distance Soleil-Mercure Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité Accélération de Mercure La pente est initialement posée égale à 0 |
| Répéter | Répéter N fois | | r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6 | | v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2 | | d2 = sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y) | | M2 = M + (1/r0 - 1/d2)*K | | a2 = - G*M2*(r2 / d2) / (d2 * d2) | | p = (a2 - a1)/T | fin | Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1 | Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p) | r1 = r2 | d1 = d2 | M1 = M2 | v1 = v2 | a1 = a2 | t = t + T fin |
Boucle indéfinie | Répéter N fois de suites | | Position à l'intant t+Δt | | Vitesse à l'intant t+Δt | | Distance à l'intant t+Δt | | Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité | | Accélération à l'instant t+Δt. | | Pente de la maille [t, t+Δt]. | └--------------------------- | Si Mercure est au périhélie Alors A=1 | Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie | Déplacement à l'instant t+Δt | ... | ... | ... | ... | ... └--------------------------- |
Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle de Newton avec masse du champ de gravité donne une précession égale à 0.315 µ°/Ms.
La forrmule de l'énergie du champ de gravité est quand même sujette à caution. Si nous introduisons un paramètre `kappa` dans la formule de l'énergie du champ de gravité :
`dU= kappa/(8πG)veca bb"⋅"veca dv`
La masse du champ de gravité du Soleil devient :
`K = (1/r_0 - 1/r) kappa GM^2/(2c^2)`
Et pour `kappa "=" 2`, la simulation faite avec les mêmes conditions donne comme résultat une précession égale à 0.630 µ°/Ms. Ainsi la précession semble proportionnelle au paramètre `kappa`.
Principe d'inertie en relativité restreinte :
Principe d'inertie (en relativité restreinte)
`vecf = (dvecp)/(dt)`
`vecp = m gamma vecv`
`gamma= 1 / ( sqrt(1- (v^2)/(c^2) )`
`vecf` : Force s'exerçant sur Mercure.
`vecp` : Quantité de mouvement de Mercure.
`p` : Norme de la quantité de mouvement de Mercure. `p=||vecp||`
`m` : Masse au repos de Mercure.
`gamma` : Facteur gamma de Mercure.
`vecv` : Vitesse de Mercure.
`v` : Norme de la vitesse de Mercure. `v=||vecv||`
`c` : Constante de la vitesse de la lumière.
`t` : Temps.
Le facteur gamma du corps augmente son inertie. Le produit `m gamma` est appelé masse relativiste du corps, et la masse `m` est appelé masse au repos du corps. L'énergie totale d'un corps en mouvement dans le vide est :
`E = m gamma c^2`
C'est la célèbre formule d'Einstein ici appliquée à la masse relativiste. Lorsque le corps est au repos c'est à dire de vitesse nulle, l'énergie totale au repos est :
`E_0= m c^2`
L'énergie totale au repos doit constituer un invariant quelque soit le référentiel. De part la définition de `gamma` et d'après ces deux équations, nous avons les égalités suivantes :
`E = gammaE_0 `
`E = 1/(sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))E_0`
`E^2 = (1/(1 - (v^2)/(c^2)))E_0^2`
`(1 - (v^2)/(c^2))E^2 = E_0^2`
`E^2 - E^2(v^2)/(c^2)= E_0^2`
`E^2 - (m gamma c^2)^2(v^2)/(c^2)= E_0^2`
`E^2 - m^2 gamma^2 c^4 (v^2)/(c^2)= E_0^2`
`E^2 - m^2 gamma^2 c^2 v^2= E_0^2`
`E^2 - p^2 c^2 = E_0^2`
`E^2 = E_0^2 + p^2 c^2 `
`E= sqrt( E_0^2 + p^2 c^2)`
Et `E_0` doit constitué un invariant de Lorentz. C'est à dire que, si nous changeons de référentiel, les valeurs de `p` et de `E` qui sont perçues différemment dans le nouveau référentiel `p->p’`, `E->E’`, doivent toujours vérifier l'égalité :
`E_0 = sqrt(E’^2 - p’^2c^2)`
Du principe d'inertie, on peut calculer l'accélération `veca = dvecv"/"dt` en fonction de `vecf` et de `vecv` comme suit :
`vecf = m (d(gamma vecv))/dt`
`vecf = m (gamma (dvecv)/dt + vecv (dgamma)/dt)`
`vecf = m (gamma veca + vecv (dgamma)/dt)`
`(dgamma)/dt = (d((1 - (v^2)/(c^2))^(-1/2)))/(dt)`
`(dgamma)/dt = - 1/2 (1 - (v^2)/(c^2))^(-3/2) (d(1 - (v^2)/(c^2)))/(dt)`
`(dgamma)/dt = - 1/2 gamma^3 (-1) (d((v^2)/(c^2)))/(dt)`
`(dgamma)/dt = 1/2 (gamma^3)/ (c^2) 2 vecv bb"⋅" (dvecv)/(dt)`
`(dgamma)/dt = gamma^3/(c^2) (vecv bb"⋅" veca) `
`vecf = m ( gamma veca + gamma^3/(c^2) (vecv bb"⋅" veca )vecv )`
`vecf = m gamma (veca + (gamma^2)/(c^2) (vecv bb"⋅" veca)vecv)`
On note `v=||vecv||` et `v^2 = vecv bb"⋅" vecv`. On décompose l'accélération en une composante parallèle à `vecv` et une composante orthogonale complémentaire :
`veca = veca_"//" + veca_bot`
`veca_"//"= (veca bb"⋅" vecv)/v vecv/v`
De même nous avons :
`vecf = vecf_"//" + vecf_bot`
`vecf_"//" = (vecf bb"⋅" vecv )/v vecv/ v`
La formule de la force se réécrit :
`vecf = m gamma ( veca + ( gamma^2 v^2) / c^2 veca_"//" )`
Et comme nous avons la propriété
`gamma^2 v^2 / c^2 = gamma^2 - 1`
Nous avons :
`vecf = m gamma (veca + veca_"//" (gamma^2- 1) )`
`vecf = m gamma (veca - veca_"//" + veca_"//" gamma^2)`
`vecf = m gamma (veca_bot + gamma^2 veca_"//" )`
`vecf = m gamma veca_bot + m gamma^3 veca_"//"`
Ce qui se traduit par les égalités suivantes :
`vecf_"//" = m gamma^3 vec a_"//"`
`vecf_bot = m gamma veca_bot`
`veca = veca_bot + veca_"//"`
`veca = vecf_bot / (m gamma) + vecf_"//" / (m gamma^3) `
`veca = (gamma^2 vecf_bot + vecf_"//") / (m gamma^3)`
`veca = (gamma^2(vecf - vecf_"//") +vecf_"//" ) / (m gamma^3)`
`veca = ( gamma^2 vecf + (1- gamma^2) vecf_"//") / (m gamma^3)`
Et comme `gamma^2 v^2"/" c^2= gamma^2 - 1` nous avons :
`veca = (gamma^2 vecf - (gamma^2 v^2)/ c^2 vecf_"//") / (m gamma^3)`
`veca = (vecf - (v^2)/ c^2 vecf_"//") / (m gamma)`
`veca = (vecf - (v^2)/ c^2 ( (vecf bb"⋅" vecv )/v vecv/ v)) / (m gamma)`
`veca = (vecf - (vecf bb"⋅" vecv)/ c^2 vecv ) / (m gamma)`
Le facteur gamma de la particule n'augmente pas seulement sa masse d'inertie `m gamma`, mais également sa masse gravifique `m gamma`, car il n'y a pas de différence entre masse d'inertie et masse gravifique. La masse relativiste de la particule `m gamma` doit donc être prise en compte dans le calcul de la force de gravité :
Force de gravité s'exerçant sur Mercure :
Force de gravité (en relativité restreinte)
`vecf = - G (M m gamma) / r^2 vecr / r `
`vecf` : Force de gravité.
`G` : Constante des forces de gravité.
`M` : Masse du Soleil.
`m` : Masse au repos de Mercure.
`m gamma` : Masse relativiste de Mercure.
`vecr` : Position de Mercure.
`r` : Distance Soleil-Mercure. `r=||vecr||`
Du principe de la force de gravitation en relativité restreinte et du principe d'inertie en relativité restreinte, on en déduit l'accélération de Mercure.
`veca = (vecf - (vecf bb"⋅" vecv)/ c^2 vecv ) / (m gamma)`
`veca = -((G M m gamma) / r^2) (vecr/r - (vecr bb"⋅" vecv) /(rc^2) vecv ) / (m gamma)`
`veca = -(G M) / r^2 (vecr/r - (vecr bb"⋅" vecv) /(rc^2) vecv )`
`veca = -(G M) / r^2 ( (vecr -(vecr bb"⋅" vecv) / c^2 vecv) / r )`
Du principe de la force de gravitation en relativité restreinte et du principe d'inertie en relativité restreinte, on en déduit l'accélération de Mercure. Et cette accélération s'exprime sans utilisé la masse relativiste mais en utilisant une position retardée ajustée.
Accélération de gravité (en relativité restreinte)
`veca = -(G M) / r^2 ( (vecr -(vecr bb"⋅" vecv) / c^2 vecv) / r )`
`veca = (dvecv)/dt`
`veca` : Accélération de Mercure
`M` : Masse du Soleil
`m` : masse de Mercure
`G` : Constante des forces de gravité
`vecr` : Position de Mercure
`r` : Distance Mercure-Soleil, `r=||vecr||`
`vecv` : Vitesse de Mercure
`v` : Norme de la vitesse de mercure, `v=||vecv||`
`c` : Constante de la vitesse de la lumière
`t` : Temps
Programme : newton+r.c
Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration.
G = 6.6738e-11 |
Constante des forces de gravité Constante de la vitesse de la lumière Masse du Soleil Intervalle de temps d'une maille Δt=1 Nombre d'itération par maille N=2 Position initale de Mercure à l'aphélie ... ... ... Temps initial t=0 Mercure en phase de rapprochement du Soleil Distance Soleil-Mercure Vitesse de Mercure Produit scalaire de la position et de la vitesse Accélération de Mercure La pente est initialement posée égale à 0 |
| Répéter | Répéter N fois | | r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6 | | v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2 | | d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y) | | u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y) | | rv2 = r2.x*v2.x + r2.y*v2.y | | a2 = ((rv2*v2/(c*c) - r2)/d2) * G * M / (d2*d2) | | p = (a2 - a1)/T | fin | Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1 | Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p) | r1 = r2 | v1 = v2 | d1 = d2 | u1 = u2 | rv1 = rv2 | a1 = a2 | t = t + T fin |
Boucle indéfinie | Répéter N fois de suites | | Position à l'intant t+Δt | | Vitesse à l'intant t+Δt | | Distance à l'intant t+Δt | | Norme de la vitesse à l'instant t+Δt | | Produit scalaire de la position et de la vitesse à l'intant t+Δt | | Accélération à l'instant t+Δt. | | Pente de la maille [t, t+Δt]. | └--------------------------- | Si Mercure est au périhélie Alors A=1 | Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie | Déplacement à l'instant t+Δt | ... | ... | ... | ... | ... | ... └--------------------------- |
Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle en relativité restreinte ainsi programmé donne une précession de 1.261 µ°/Ms (micro degré par Méga seconde).
On remarque avec étonnement que le champs d'accélération apparent `veca` n'est plus central. Pour s'assurer de la cohérence de la théorie ainsi exposée, nous allons reformuler les lois fondamentales de la dynamique et de la cinématique dans un référentiel en translation uniforme quelconque. Et l'on utilisera la transformation de Lorentz pour changer de référentiel. On s'assurera de la cohérence de la théorie en vérifiant que les lois fondamentales s'appliquent de la même façon dans chaque référentiel en translation uniforme, ou autrement dit que ces lois fondamentales sont invariantes par changement de référentiel. A cette fin, nous utiliserons le formalisme quadridimensionnelle.
Etant donné un référentiel `A` et étant donné une particule à la position `vecr = (x,y,z)` à l'instant `t` dans ce référentiel. La particule suit un mouvement quelconque, autrement dit nous avons le neurone `vec r"←"(t)` et les trois neurones `x"←"(t),y"←"(t),z"←"(t)`.
Le temps ayant une plus grande autonomie dans la mécanique relativiste, on définie une quatrième coordonnée `tau` qui est le temps propre de la particule. C'est le temps indiqué par une horloge placée au coeur de la particule, autrement dit, l'age de la particule, et qui évolue de manière inconnue, `tau"←"(t)`. On verra plus tard que son évolution ne dépendra que de sa trajectoire. Notez que `t` désigne le temps propre du référentiel `A`, c'est à dire le temps indiqué par une horloge fixée à l'origine du référentiel et qui se déplace avec le référentiel.
Puis on remarque que le lien entre `tau` et `t` est biunivoque. On peut donc concidérer la fonction inverse et ainsi définir le neurone `t"←"(:tau:)`. Et donc par transitivité on peut définir les seconds neurones suivants : `vec r"←"(:tau:)` et `x"←"(:tau:),y"←"(:tau:),z"←"(:tau:)`. Remarquez alors, pour les coordonnées spaciales, les deux formes d'appel que sont respectivement `"(.)"` et `(:".":)` selon que l'on considère la dépendance à `t` ou à `tau`. Cela permet de lever l'ambiguité dans les appels de fonction. Sans cette clarificaton, la formulation reste hermétique au néophyte.
`vec r = vec r(:tau:) = vec r(t)`
Le quadrivecteur position `R` de la particule dans le référentiel `A` est `R=[ct,x,y,z]` que l'on note également `R=[ct, vec r]`. Et donc nous avons le neurone suivant `R"←"(:tau:)`.
`R = [(ct),(x),(y),(z)] = [(ct(:tau:)),(x(:tau:)),(y(:tau:)),(z(:tau:))] = [(ct),(x(t)),(y(t)),(z(t))]`
`R = [(ct), (vec r)] = [(ct(:tau:)), (vec r(:tau:))] = [(ct), (vec r(t))]`
On constate que la quatrième composante placée conventionellement en premier dans le quadrivecteur entouré de crochets `[".,.,.,."]`, est en quelque sorte présentée de façon inversée. Aussi il existe une autre notation entourée de parenthèses `(".,.,.,.")` regroupant les `4` coordonnées de la particule vue à l'instant propre `t` du référentiel `A` :
`R = ((c tau),(x),(y),(z)) = ((c tau) , (x(:tau:)), (y(:tau:)), (z(:tau:))) = ((c tau(t)),(x(t)),(y(t)),(z(t)))`
`R = ((ctau), (vec r)) = ((ctau), (vec r(:tau:))) = ((ctau(t)), (vec r(t)))`
---- 4 décembre 2020 ----
Considérons un autre référentiel `B` se déplaçant par rapport à `A` à une vitesse `vecv`, et qui à l'instant `0` de `A` se trouve superposé à `A`. On pose une troisième notation du quadrivecteur en décomposant le vecteur `vecr` en deux composantes l'une parallèle à `vec v`, l'autre orthogonale :
`R=[ct, r_"//", vec r_bot]`
`vec r_"//" = (vecr bb"⋅" vecv)/v vecv/v`
`vec r_bot = vec r - vec r_"//"`
`vec r = vec r_"//" + vec r_bot`
`r_"//" = (vec r_"//" bb"⋅" vecv) / v`
Pour connaitre le quadrivecteur de la particule dans le référentiel `B` noté `R'=[ct',vecr']`, on applique au quadrivecteur de la particule dans `A`, la transformation de Lorentz suivante :
`[(ct'),(r'_"//"),(vecr'_bot)] = [(gamma,-gamma v/c,0),(-gamma v/c, gamma,0),(0,0,1)] [(ct),(r_"//"),(vecr_bot)]`
Le quadrivecteur vitesse de la particule est la dérivée du quadrivecteur position de la particule selon son temps propre :
`V = (dR)/(d tau)`
`V = [( (cdt)/(d tau)), ( (d vecr)/(d tau))]`
---- 3 décembre 2020 ----
Le facteur `gamma` est toujours plus grand ou égal à `1`. C'est un facteur d'accroissement.
`gamma=1/sqrt(1-(v"/"c)^2)`
Le photon est une particule se déplaçant à la vitesse `c` et dont l'horloge interne apparait pour un observateur extérieur comme figé. Pour le photon, la dilatation du temps fait qu'il est émit en même temps qu'il est absorbé. Faisant que les conditions d'émission du photon peuvent être subordonnés aux conditions de réception du photon ou en être une combinaison effective, bien que, perçus dans un autre référenciel, ces deux évènements que sont l'émission et l'absorbtion du photon, peuvent être séparés d'un intervalle de temps trés grand.
La différence avec le modèle newtonien tient dans l'existence d'un temps lié au potentiel de gravité. Le temps ne s'écoule plus de la même façons en tout point de l'espace.
Le potentiel de gravité est définie par :
`P=-G sum_i m_i/r_i`
C'est la sommation des potentiels émanant de toutes les masses `m_i` chacune placée à une distance `r_i` du point de mesure. Le principe liant le potentiel de gravité à l'écoulement du temps se base sur une analogie liant l'horloge au photon. A cause du décalage vers le rouge, les horloges sur un astre massif, vues de loin, sont perçues comme ralenties.
Par principe, la force de gravité dérive du potentiel de gravité, et le potentiel est défini à une constante près. Soit on pose arbitrairement cette constante de telle sorte que le potentiel de gravité de l'observateur soit nul, ou soit on utilise la forme canonique du potentiel en `m"/"r` et on place l'observateur à une distance `r` infiniment grande.
On considère un premier point de l'espace où le potentiel de gravité est `P` et où le temps s'écoule selon la variable `tau`. On considère un second point de l'espace où le potentiel de gravité est zéro `0` et où le temps s'écoule selon la variable `t`. On considère un photon qui passe au premier point en ayant une fréquence `nu`, et qui arrive au second point avec une fréquence `nu_0`.
Au premier point, l'énergie du photon est `h nu`, la masse du photon est `h nu"/"c^2`, l'énergie potentiel du photon est `Phnu"/"c^2`. Au second point, l'énergie du photon est `h nu_0`, la masse du photon est `h nu_0"/"c^2`, l'énergie potentiel du photon est `0` car le potentiel est nul.
L'énergie totale, qui comprend l'énergie interne du photon augmenté de son énergie potentiel, est conservé tout au long de son déplacement. Elle est donc identique au point de départ et au point d'arrivé :
`h nu + P(h nu)/c^2 = h nu_0 + 0`
`h nu(1 + P/c^2) = h nu_0`
`nu/nu_0 = 1 + P/c^2`
Et comme on pose l'analogie entre les horloges et les photons, nous avons :
`(dτ)/dt = nu/nu_0`
Et donc nous avons :
`dτ = dt (1+P/c^2)`
Le lieu de l'espace où le potentiel de gravité est `P` possède un temps local `tau` qui s'écoule à une certaine vitesse tandis que l'observateur qui se trouve dans un lieu où le potentiel de gravité est nul, possède un temps `t` qui s'écoule à une autre vitesse décrite par l'équation précédente. Les corps en mouvement dans le lieu de l'espace où le potentiel est `P`, possèdent une position locale `r"̥"`, une vitesse locale `v"̥"`, une accélération locale `a"̥"` définie relativement au temps local `tau`. Tandis que leur position `r`, leur vitesse `v` et leur accélération `a` définies relativement à `t` sont désignées sans qualificatif ou peuvent être qualifiés d'apparentes.
On formalise cela par les neurones :
`r"̥""←"(tau)`
`v"̥""←"(tau)`
`a"̥""←"(tau)`
`r"←"(t)`
`v"←"(t)`
`a"←"(t)`
Principe de l'écoulement du temps fonction du potentiel de gravité :
Temps local soumis à un potentiel de gravité `P`
`dτ = dt (1 + P/c^2)`
`P = - G M / r`
`τ` : Temps local.
`t` : Temps d'un observateur placé dans un potentiel de gravité nul.
`P` : Potentiel de gravité du lieu.
`c` : Constante de la vitesse de la lumière.
Le potentiel de gravité engendré par Mercure à sa surface étant 100 fois plus petit que celui engendré par le Soleil, il est négligé.
Le principe d'inertie est toujours valable (à condition que ses effets sur le potentiel de gravité dans lequel est plongé le corps, peut être négligé, ce qui est le cas dans la configuration de Mercure).
---- 30 novembre 2020 ----
Principe d'inertie
`vecf = m (dvecv)/(dτ)`
`vecf` : Force s'exerçant sur Mercure
`m` : Masse de Mercure
`vecv` : Vitesse de Mercure
`τ` : Temps local
`dvecv"/"dt` : Accéleration apparente de Mercure
`dvecv"/"dτ` : Accéleration locale de Mercure.
`t` : Temps de l'observateur
Du principe de l'écoulement du temps en fonction du potentiel de gravité, du principe d'inertie soumis à un temps local dans lequel on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen, et du prinicpe de la force de gravitation newtonienne, on déduit l'accélération apparente de Mercure.
`veca = (dvecv)/dt`
`veca = (dvecv)/(dτ) (dτ)/dt`
`veca = (1+P/c^2) vecf / m`
Une fois connue l'acceleration apparente de mercure, on utilise la cinématique apparente pour définir toute la trajectoire apparente.
Accélération apparante de Mercure
(Modèle newtonien avec écoulement du temps fonction du potentiel de gravité.)
`veca = - (1+P/c^2) G M / r^2 (vecr) / r `
`P = - G M / r`
`veca` : accélération de Mercure, `veca=(dvecv)/dt`
`M` : masse du Soleil
`G` : Constante des forces de gravité
`vecr`: Position de Mercure
`r` : Distance Mercure-Soleil, `r=||vecr||`
`vecv`: Vitesse de Mercure
`P` : Potentiel de gravité du lieu ou se trouve Mercure
`c` : Constante de la vitesse de la lumière
`t` : Temps
Programme : newton+p.c
Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration qui est multipliée par le facteur suivant :
`(1 + P/c^2)`
avec `P = - G M / r`
| G = 6.6738e-11 c = 2.99792458e8 M = 1.9891e30 T= 1 N=2 r1.x = 6.9817079e10 r1.y = 0 v1.x = 0 v1.y = 3.886e4 t = 0 A=0 d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y) P1 = - G*M/d1 a1 = - (1+P1/(c*c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1) p = 0 |
Constante des forces de gravité Constante de la vitesse de la lumière Masse du Soleil Intervalle de temps d'une maille `Δt=1` Nombre d'itération par maille `N=2` Position initale de Mercure à l'aphélie ... ... ... Temps initial `t=0` Mercure en phase de rapprochement Soleil Distance Soleil-Mercure Potentiel de gravité Accélération de Mercure La pente est initialement posée égale à `0` |
| Répéter | Répéter N fois | | r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6 | | v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2 | | d2 = sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y) | | P2 = - G*M/d2 | | a2 = - (1+P1/(c*c))*G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2) | | p = (a2 - a1)/T | fin | Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1 | Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p) | r1 = r2 | d1 = d2 | v1 = v2 | P1 = P2 | a1 = a2 | t = t + T fin |
Boucle indéfinie | Répéter `N` fois de suites | | Position à l'intant `t+Δt` | | Vitesse à l'intant `t+Δt` | | Distance à l'intant `t+Δt` | | Potentiel de gravité à l'intant `t+Δt` | | Accélération à l'instant `t+Δt`. | | Pente de la maille `[t, t"+"Δt]`. | └------------------------------------- | Si Mercure est au périhélie Alors `A=1` | Si Mercure est à l'aphélie Alors `A=0` et calculer l'aphélie | Déplacement à l'instant `t+Δt` | ... | ... | ... | ... | ... └--------------------------- |
Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps `Δt` égal à une seconde et un nombre d'itération de `2` par maille, le modèle newtonien avec écoulement du temps fonction du potentiel de gravité, donne une précession encore égale à 0,63 µ°/Ms.
Dans le modèle relativiste avec poids du champs de gravité de paramètre `kappa` et écoulement du temps fonction du potentiel de gravité, on obtient une précession égale à :
Précession `= 0.63 +1.26+0.315kappa`
Quel paramètre `kappa` faut-il pour que la précession calculée corresponde alors à celle mesurée dans la réalité `3.79` ?
`kappa = (3.79-1.26-0.63) / 0.315 = 6.03`
Cela laisse à penser que `kappa"=6"` et donc que la formule de l'énergie d'un champ de gravité `veca` est :
`dU= 3/(4πG)veca bb"⋅"veca dv`
---- 2 decembre 2020 ----