Nous avons le demi-anneau ordonné des entiers naturels noté `NN`, que l'on note parfois en rappelant ses opérateurs `(NN,"+",0,"∗",1,"⩽")`. Et on y ajoute un nouvel élément noté `oo`, qui possèdera la propriété d'être plus grand que tous les entiers naturels c'est à dire que l'on ajoute à la théorie de la structure, l'axiome `AAx, NN(x)=>x"⩽"oo`.
`0 oo=0`
Le nouvel élément noté `oo` va engendrer à l'aide des opérateurs et des éléments de `NN`, une pléthore de nouveaux inconnus susceptibles de constituer de nouveaux éléments dans la structure résultante notée `NN[oo]` où le choix du symbole `oo` correspond à l'ajout implicite de l'axiome `AAx, NN(x)=>x"⩽"oo`. Cette opération s'appelle une extension élémentaire. La structure résultante sera celle d'un demi-anneau ordonné monogène :
`sf"Demi-anneau ordonné monogène"("+",0,"∗",1,"⩽","oo") <=> AAxAAyAAz, ( ( (x"+"y)"+"z = x"+"(y"+"z) ), ( (xy)z = x(yz)) , (x"+"y=y"+"x) ,(xy=yx),( x(y"+"z) = xy"+"xz), (x"+"0=x),(0x=0),(1x = x),(x"⩽"y "et" y"⩽"z => x"⩽"z),(x"⩽"y "et" y"⩽"x => x"="y),(x"⩽"x),(x"⩽"y "ou" y"⩽"x),(x"⩽"y => x"+"z "⩽" y"+"z),(AAx"," NN(x)=>x"⩽"oo))`
---- 23 décembre 2021 ----
Par construction, l'anneau `ZZ` est inclus dans l'anneau `ZZ[oo]`. La théorie d'anneau ordonné monogène de `ZZ[oo]` va nous permettre de déterminer les différentes formes que peuvent prendre ses éléments. Il est dit monogènes car en plus des éléments singuliers propres aux anneaux que sont le `0` et le `1`, on ajoute un élément supplémentaire noté `oo` qui va permettre d'engendrer toutes la structures par composition fini d'opérateurs. Tout élément de `ZZ[oo]` est une composition fini d'opérateurs parmi `("+",0,"∗",1,oo)`, ce qui se note :
`"<"0,1,oo,"+","∗>" = ZZ[oo]`
Chaque terme de `ZZ[oo]` peut être réduit en remplaçant tous les sous-termes appliqués aux seuls entiers par leur résultat entier. Puis chaque terme se développe alors en un polynôme à coefficient entier selon `oo`. Par convention on pose que la puissance zéro de l'infini vaut `1` :
`oo^0=1`
Considérons un élément `a` de `ZZ[oo]`, celui-ci se décompose en une somme :
`a=sum_(i in NN) a_i oo^i`
où les éléments `a_i` appartiennent à `ZZ` et sont appelés les composantes de `a`. Comme la structure est engendrée, chaque élément est nécessairement le résultat d'une composition d'un nombre fini d'opérateurs, et n'admet donc qu'un nombre fini de composantes `a_i` non-nulles. Autrement dit, l'anneau `ZZ[oo]` constitue un `ZZ`-module de dimension infinie à support fini dont une base est donnée par la suite suivante :
`1, oo, oo^2, oo^3, ..., oo^n, ... = (oo^i)_(i in NN)`
On se place dans `NN`, c'est à dire que toute quantification d'une variable portera par défaut sur `NN` et de même toute itération selon une variable portera par défaut sur `NN`. Le module `ZZ[oo]` est une somme directe à support fini c'est à dire dans laquel il n'y a qu'un nombre fini de composantes non-nulles. Et c'est le contexte qui précise que c'est à support fini :
`ZZ[oo] =⨁_i oo^iZZ`
Le polynôme ayant les composantes `(a_i)_i` ne doit posséder qu'un nombre fini de composantes non-nulles, et se note :
`sum_i a_i oo^i `
Comme c'est une somme directe, l'égalité de deux polynômes ne se produit que si leur coefficient sont deux à deux identiques :
`sum_i a_i oo^i = sum_i b_i oo^i iff AAi, a_i"="b_i`
Et les lois `"+", "∗", "⩽"` de l'anneau `ZZ[oo]` sont :
`sum_i a_i oo^i + sum_i b_i oo^i = sum_i (a_i+b_i)oo^i`
`(sum_i a_i oo^i)( sum_i b_i oo^i) = sum_i(sum_j a_j b_(i-j))`
`sum_i a_i oo^i < sum_i b_i oo^i iff EEk, ((a_k<b_k),(AAi">"k"," a_i"="b_i))`
On démontre que l'anneau `ZZ[oo]` est intègre parce qu'il est totalement ordonné. Il ne peut pas posséder de diviseurs de zéro. En effet, supposons qu'il existe deux éléments non-nuls `x,y` tels que `xy"="0`. Soit ils sont tous les deux strictement positifs au quel cas `xy>0`, ou bien ils sont tous les deux stictement négatifs au quel cas `xy>0`, ou bien ils sont de signe opposé au quel cas `xy<0`. Dans tous les cas c'est impossible.
On peut donc construire le corps des fractions
---- 19 décembre 2021 ----
Dans l'expression « une valeur infiniment petite » on sous-entend toujours « une valeur de norme infiniment petite non-nulle ». Et de même dans l'expression « une valeur infiniment grande » on sous-entend toujours « une valeur de norme infiniment grande ». L'infiniment petit correspond à l'inverse de l'infiniment grand et réciproquement. Ce sont deux notions symétriques, tant que l'on exclu le zéro qui, contrairement aux infiniments petits, n'a pas d'inverse.
Il existe de nombreuses définitions de l'infini, de nombreux concepts différents. Mais celui qui est le plus pertinent en mathématiques, qui offre le plus grand nombre de méthodes, est celui qui s'intègre dans un corps ordonné, une extension du corps ordonné des réels contenant des grandeurs infiniments grandes et donc aussi des grandeurs infiniments petites. Un tel corps que l'on choisit d'utiliser, c'est à dire que le contexte précisera comme corps par défaut, est appelé le corps des hyperréels et est noté `"*"RR`.
Dans un corps ordonné, les valeurs sont les éléments du corps, et les grandeurs sont les valeurs positives non-nulles du corps. Puisque ce corps contient des valeurs infinies, on en choisie une pour servir d'étalon de l'infini, que l'on note `oo`. Et on l'appelle l'infini du premier ordre. C'est une valeur infini qui n'a de particulière que le fait d'avoir été choisie, et qui est donc plus grande que tout les réels.
`AAx "∈" RR, oo "⩾" x`
On préfére utiliser autant que possible la relation d'ordre `"⩾"` qui est une notion mathématique plus simple que la relation d'ordre stricte `"<"` , et on utilise la notation ensembliste qui permet de résumer la propriété par :
`oo"⩾"RR`
On peut déjà dévoiler des propriétés trés simples sur ce corps des hyperréels, des propriétés valables pour tous les corps ordonnés. L'inverse de `oo` est une grandeur infiniment petite. Le zéro est absorbant, autrement dit, il absorbe les infinis. Et en appliquant l'exponentielle, on en déduit que la puissance zéro de `oo` vaut `1` :
`0 oo = 0`
`oo^0 = 1`
On voit bien que si on ajoute dans le corps des réels, un infini, l'inverse constitue une grandeur infiniment petite qui peut être ajoutée ou soustraite à tout réel. Un hyperréel fini se décompose en la somme d'un réel et d'un hyperréel infiniment petit ou nulle.
Le corps des hyperréels est une extension du corps ordonné des réels. Dans un corps ordonné, les valeurs sont les éléments du corps, et les grandeurs sont les valeurs positives non-nulles. Aussi appellerons-nous valeurs les hyperréels, et grandeurs les hyperréels positifs non nuls. Et nous appelerons grandeurs signées les hyperréels non nuls.
Le concept de valeur devient beaucoup plus vaste puisqu'il correspond au concept d'hyperréel. Ainsi, une valeur finie est la somme d'une valeur réelle et d'une valeur infiniment petite ou nulle.
On note l'ensemble des valeurs infiniments petites ou nulles `o(1)`. On expliquera plus loin cette notation. Une valeur est finie si et seulement si sa norme est majorée par un réel.
`AA u "∈*"RR, (EEm "∈" RR, |u|"⩽"m) => EEx"∈" RR, EEepsilon "∈" o(1), u = x+epsilon`
On note `O(1)` l'ensemble des valeurs finies. On expliquera plus loin cette notation :
`O(1) = { u "∈*"RR "/" EEm "∈" RR, |u|"⩽"m}`
La propriété précédente ce réecrit :
`AA u "∈"O(1), EEx"∈" RR, EEepsilon "∈" o(1), u = x+epsilon`
On utilise la notation ensembliste qui permet de résumer la propriété par :
`O(1)=RR+o(1)`
On remarque de plus, que la décomposition est unique :
`AA u "∈"O(1), EE!x"∈" RR, EE!epsilon "∈" o(1), u = x+epsilon`
Lorsque qu'une somme est de forme unique, on utilise le symbole de somme directe `"⊕"`. Ainsi nous avons :
`O(1)=RR⊕o(1)`
Cette proposition signifie que toute valeurs finie se développe en la somme directe d'un réel et d'un hyperréel infiniment petit ou nulle.
Un corps est archimédien si pour deux grandeurs positives inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. Le corps des hyperréels n'est pas archimédien. Il comprend donc des composantes archimédiennes qui constituent les ordres de grandeur.
On utilise la notation de Landau, le petit `o`, que l'on applique à un hyperréel non-nul `alpha`, pour désigner l'ensemble des valeurs de norme infiniment petite ou nulle devant `alpha`, c'est-à-dire négligeable devant `alpha`, c'est-à-dire d'ordre strictement inférieur à celui d'`alpha` :
`o(alpha) = {beta "∈" "*"RR "/" AAn "∈" NN, n|beta| "<" |alpha| }`
`o(alpha) = {beta "∈" "*"RR "/" |beta|NN"<"|alpha|}`
On utilise le même suffixe `"*"` pour désigner l'ensemble dans lequel on a enlevé le zéro. Ainsi `o(alpha)"*"` désigne l'ensemble des grandeurs signées infiniment petite devant `alpha`.
On utilise la notation de Landau, le grand `O`, que l'on applique à une valeur non-nulle `alpha`, pour désigner l'ensemble des valeurs de norme majorée par un multiple de `alpha`, c'est-à-dire non-infiniment grande devant `alpha`, c'est-à-dire d'ordre inférieur ou égal à celui d'`alpha` :
`O(alpha) = {beta "∈" "*"RR "/" EEn "∈" NN, |beta| "⩽"n |alpha| }`
`O(alpha)"*"` désigne l'ensemble des grandeurs signées non-infiniment grandes devant `alpha`. On démontre que chaque valeur appartenant à `O(alpha)` se décompose en la somme d'un multiple réel de `alpha` et d'un infiniment petit ou nulle devant `alpha` :
`O(alpha) = alphaRR + o(alpha)`
Et cette décomposition est unique. Toute valeur majorée par un multiple entier d'`alpha` se décompose de façon unique en la somme d'un multiple réel d'`alpha` et d'une valeur infiniment petit ou nulle devant `alpha`. On souligne cette propriété en utilisant le symbole de somme directe :
`O(alpha) = alphaRR ⊕ o(alpha)`
Le premier terme est appelé le terme principale. Si celui-ci n'est pas nul alors le second terme est infiniment petit par rapport à lui.
On utilise la notation de Landau, le grand Theta `Theta`, que l'on applique à une valeur non-nulle `alpha`, pour désigner l'ensemble des valeurs de l'ordre de `alpha`, c'est à dire l'ensemble des valeurs d'ordre égal à celui d'`alpha`. On obtient cet ordre à partir de `O(alpha)` en enlevant tout ce qui est d'un ordre strictement inférieur à celui d'`alpha` sauf zéro :
`Theta(alpha) = O(alpha) ⨺ o(alpha)"*"`
`Theta(alpha)"*" = O(alpha) ⨺ o(alpha)`
Par définition le zéro appartient à tous les ordres, mais comme il ne constitue pas une grandeur, il n'appartient à aucun ordre de grandeur. On démontre que toute grandeur signée de l'ordre de `alpha` se décompose en la somme d'un multiple réel non-nul de `alpha` et d'un infiniment petit ou nulle devant `alpha` :
`Theta(alpha)"*" = alphaRR"*" + o(alpha)`
`Theta(alpha) = (alphaRR"*" + o(alpha)) uu {0}`
Et cette décomposition est unique. Toute valeur de l'ordre de `alpha` se décompose de façon unique en la somme d'un multiple réel non-nul d'`alpha` et d'un infiniment petit ou nulle devant `alpha`. On souligne cette propriété en utilisant le symbole de somme directe :
`Theta(alpha)"*" = alphaRR"*" ⊕ o(alpha)`
`Theta(alpha) = (alphaRR"*" ⊕ o(alpha)) ⊎ {0}`
`0 oo = 0`
`oo^0 = 1`
L'ordre n°`n` désigne l'ordre de `oo^n` et se note `Theta(oo^n)`. L'ordre n°`0` désigne l'ordre de `1`. Il se note `Theta(1)` et correspond à l'ensemble `RR"*" + o(1)` dans lequel on ajoute la valeur zéro, et qui correspond à l'ensemble des valeurs de l'ordre de `1`. Il représente `RR"*"`, l'ensemble des réels non-nuls, augmenté d'une complétude hyperréelle qui en fait un intervalle d'hyperréels sans trou autre que `o(1)"*"`, l'ensemble des infiniments petit. `Theta(1)` désigne l'ensemble des valeurs finis, non infiniment petite.
L'ordre n°`n` noté `Theta(oo^n)` correspond à l'ensemble `oo^nRR"*" + o(oo^n)`, l'ensemble des valeurs de l'ordre de `oo^n`. Il représente `oo^nRR"*"` augmenté d'une complétude hyperréelle qui en fait un intervalle d'hyperréels sans trou autre que o(oo^n), l'ensemble des infiniments petit devant `oo^n`.
La réunion de différents ordres s'appelle également un ordre (sous-entendu un ordre multiple). Etant donné un ensemble d'hyperréels `E`. On dira qu'un hyperréel `x` est de l'ordre de `E` si et seulement si il est de l'ordre d'au moins d'un élement de `E`.
Lorsque `x=o(y)`, on dira que `x` est de l'ordre de `o(y)`. Cela signifie que `x` est d'un ordre strictement inférieur à celui de `y`.
Lorsque `x=O(y)`, on dira que `x` est de l'ordre de `O(y)`. Cela signifie que `x` est d'un ordre inférieur ou égale à celui de `y`.
Lorsque `x=Theta(y)`, on dira que `x` est de l'ordre de `y`.
`Theta(1)"*"` désigne l'ordre de grandeur signé de `1`.
`Theta(1)"*" = RR"*"+o(1)`
On peut exiber un autre ordre de grandeur signé, celui de `oo`, en multipliant chaque terme de l'égalité par `oo` :
`oo Theta(1)"*" = oo RR"*"+ oo o(1)`
`Theta(oo)"*" = ooRR"*" + o(oo)`
L'ordre de grandeur ne contient pas le zéro. Parcontre l'ordre de valeur que l'on appel simplement ordre, est l'ordre de grandeur signé dans lequel on a ajouté le zéro. Ainsi le zéro n'appartient à aucun ordre de grandeur mais il appartient à tous les ordres.
On défini la relation d'ordre sur ces ordres de grandeur, notée `"≍,≼,≺"`. Elle compare les hyperréels à une composante archimédienne près, c'est à dire à un ordre de grandeur près. Etant donné deux hyperréels positifs `alpha` et `beta`, les trois assertions suivantes sont équivalentes :
un multiple entier de l'autre.
`EEn "∈" NN, beta"⩽"n alpha`
d'une grandeur réelle et à une addition près
d'une valeur infiniment petite.
Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
ou égal à celui de `beta`.
multiple entier de `beta`.
près et à un infiniment petit près
Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
inférieur à celui de `beta`.
devant `beta`.
La succession des puissances de l'infini du premier ordre définie des ordres de grandeurs entiers que l'on identifie par leur exposant :
`... oo^-n... oo^-3≺oo^-2≺oo^-1≺oo^0≺oo≺oo^2≺oo^3... oo^n...`
Il est possible de définir un ordre n°`x`, où `x` est un réel. Car on constate que quelque soit deux réels `x` et `y` nous avons :
`x"<"y <=> oo^x"≺"oo^y`
L'ordre n°`x` désigne l'ordre de `oo^x` et désigne l'ensemble `oo^xRR"*"` modulo les hyperréels infiniment petits par rapport à `oo^x`.
`Theta(oo^x)"*" = `oo^xRR"*" + o(oo^x)`
Où `RR"*"` désigne l'ensemble des réels non nuls. Le zéro n'appartient à aucun ordre de grandeur, mais il appartient à tous les ordres de valeurs. Les ordres de grandeurs sont définis modulo les hyperréels d'ordre inférieur, afin de donner une hypercompacité à ces ordres de grandeurs, c'est à dire d'en faire des intervalles d'hyperréels sans trou autre que zéro. Noter que zéro n'appartient à aucun ordre de grandeur.
Dans la pratique on n'utilisera pas les ordres non-entier. Car les systèmes physiques se développent localement en séries de Taylor, c'est à dire en séries de puissances entières de différentielles (qui sont de l'ordre de `oo^ -1`). Puis, les physiciens, pour des raisons propre aux fonctions holomorphes, n'utiliserons le plus souvent que les deux premiers ordres.
D'autres ordres de grandeur existent, et nous n'allons pas épuiser le corps des hyperréels. Notez qu'il est possible de définir un corps des hyperréels en logique du premier ordre, et donc que le corps des hyperréels, comme le corps des réels, admet un modèle dénombrable.
Règles grammaticales :
L'ordre de `x` désigne la composante archimédienne contenant `x`. C'est un ordre de valeurs. On dit que `x` est de l'ordre de `y`, pour signifier que `x` appartient à l'ordre de `y`.
---- 5 décembre 2021 ----
parcontre une suite peut croitre indéfiniment, ou décroitre en norme indéfiniment. Et de même, une fonction analytique qui constitue un objet plus générale qu'une suite, peut croitre indéfiniment ou décroitre indéfiniment lorsque sa variable d'entrée tend ves l'infini. Et cela est aussi valable lorsque le point de fuite n'est pas infini mais est un point réel correspondant à une borne de son domaine. L'infini se définit grace à la limite.
Etant donnée une fonction `f(".")`, on dit que `f(t)` tend vers un réel `a` lorsque `t` tend vers l'infini si et seulement si quelque soit `epsilon` positif non-nul il existe une valeur de `t` à partir de laquelle la fonction reste toujours proche de `a` à `epsilon` près. Et on dit que `f(t)` tend vers l'infini lorsque `t` tend vers l'infini si et seulement si quelque soit `K`, il existe une valeur de `t` à partir de laquelle la fonction reste toujours supérieure à `K`.
`<=>` `<=>` `AA K, EE T, AA t"⩾"T, f(t)"⩾" K`
Et lorsque le point de fuite est `w` :
`<=>` `<=>` `AA K,EE lambda, AA t"⩾"]w"+"lambda, w"-"lambda[, AA t"⩾"T, f(t)"⩾" K`
Etant donnée deux fonctions `f(".")` et `g(".")`. On pose les neurones `f"←"t` et `g"←"t`, ce qui nous permet d'omettre l'arguement `t` c-à-d `f"="f(t)`, `g"="g(t)`. On prédéfinit un point de fuite infini pour `t`, ce qui se note `t "→" oo`, ce qui nous permet de parler de limite sans avoir besoin de répéter "lorsque `t` tend vers l'infini". On peut alors comparer la croissance des fonctions quand l'argument tend vers le point de fuite. Toutes ne sont pas comparables, et parmi celles qui le sont, l'ordre n'est pas archimédien. Chaque composante archimédienne constitue un ordre. La définiton de la limite va nous permettre de définir une relation d'ordre partielle sur ces ordres `"≍", "≼", "≺"`.
On dit que `f` est d'un ordre égale à celui de `g` si et seulement si la limit de `f"/"g` est un réel non nul. On dit que `f` est d'un ordre inférieur ou égale à celui de `g` si et seulement si la limit de `f"/"g` est un réel. On dit que `f` est d'un ordre strictement inférieur à celui de `g` si et seulement si la limit de `f"/"g` est égale à zéro.
`f(t)underset(t->oo)("≺")g(t)`
`funderset(t->oo)("≺")g`
Le point de fuite de `t` peut être un réel `w`. Dans ce cas les définitions sont les suivantes :
`funderset(t->w)("≺")g`
On définie le petit `o`, le grand `O` et le `Theta` comme suit :
L'ensemble des fonctions d'ordre égale ou inférieur
à celuie de `f`
--- 28 novembre 2021 ---
Le corps ordonnée des réels
Il y a deux façons de définir l'infiniment grand, soit de façon analytique par comparaison asymptotique, ou soit, comme on le verra plus-tard, de façon logique par comparaison logique des arbitraires. Le corps ordonnée obtenue en ajoutant des infinis est appelé un corps d'hyperréelles.
La manière habituelle de définir les hyperréels consiste à les considérer comme une caractéristique ordonnée des asymptotes. (Et celles-ci peuvent être entière sans que cela ne change la définition des infiniments grands.)
On introduit une variable libre `t`. On choisi un point de fuite `w` qui peut être un réel ou oo ou -oo. Etant donné deux fonctions f(.) et g(.). On dira que f est négligeable devant g ou d'un ordre strictement inférieur à celui de g, lorsque t tend vers `w` si et seulement si la limite de `f(t)"/"g(t)` tend vers 0 lorsque t tend vers `w` :
`f(t)underset(t->w)("≺")g(t)`
On dira que f est de l'ordre de g, ou d'un ordre inférieur ou égal à celui de g, lorsque t tend vers `w` si et seulement si la limite de `f(t)"/"g(t)` tend vers un réel lorsque t tend vers `w` :
On dira que f est d'un ordre égal à celui de g, lorsque t tend vers `w` si et seulement si la limite de `f(t)"/"g(t)` tend vers un réel non nul lorsque t tend vers `w` :
Le corps des hyperréels n'est pas archimédien. Il comprend des composantes archimédiennes qui constituent des ordres de grandeur. On défini la relation d'ordre, notée `"≍,≼,≺"`, pour comparer les hyperréels à une composante archimédienne près, c'est à dire à un ordres de grandeur près. Etant donné deux hyperréels `alpha` et `beta`.
`(EEn "∈" NN, |alpha| "⩽"n |beta| ) "et" (EEn "∈" NN, |beta| "⩽"n |alpha| )`
Deux hyperréels sont du même ordre si et seulement si chacun est majoré par un multiple entier de l'autre.
Un hyperréel est d'un ordre inférieur ou égal à celui d'un autre si et seulement il est majoré par un multiple entier de cet autre.
Un hyperréel est d'un ordre plus petit que celui d'un autre si et seulement il est infiniment petit devant cet autre.
La succession des puissances de l'infini du premier ordre définie des ordres de grandeurs que l'on peut identifier par leur exposant :
`... oo^-n... oo^-3≺oo^-2≺oo^-1≺oo^0≺oo≺oo^2≺oo^3... oo^n...`
Il est également possible de définir un ordre n°`x`, où `x` est un réel. En effet, on constatera que quelque soit deux réels `x` et `y` nous avons :
`x"<"y <=> oo^x"≺"oo^y`
L'ordre n°`x` désigne l'ordre de `oo^x` et désigne l'ensemble `oo^xRR"*"` modulo les hyperréels infiniment petits par rapport à `oo^x`. Où `RR"*"` désigne l'ensemble des réels non nuls. Le zéro n'appartient à aucun ordre (ou à un ordre singleton correspondant au plus petit de tous les ordres).
Les ordres de grandeurs sont définis modulo les hyperréels d'ordre inférieur, afin de donner une hypercompacité à ces ordres de grandeurs, c'est à dire d'en faire des intervalles d'hyperréels sans trou autre que zéro. Noter que zéro n'appartient à aucun ordre de grandeur.
Dans la pratique on n'utilisera pas les ordres non-entier. Car les systèmes physiques se développent localement en séries de Taylor, c'est à dire en séries de puissances entières de différentielles (qui sont de l'ordre de `oo^ -1`). Puis, les physiciens, pour des raisons propre aux fonctions holomorphes, n'utiliserons le plus souvent que les deux premiers ordres.
D'autres ordres de grandeur existent, et nous n'allons pas épuiser le corps des hyperréels. Notez qu'il est possible de définir un corps des hyperréels en logique du premier ordre, et donc que le corps des hyperréels, comme le corps des réels, admet un modèle dénombrable.
Règles grammaticales :
L'ordre de `x` désigne la composante archimédienne contenant `x`. C'est un ordre de grandeur. On dit que `x` est de l'ordre de `y`, pour signifier que `x` appartient à l'ordre de `y`.
La notation de Landau appliquée aux asymptotes vers un point de fuite qui peut être réel ou infini, se note en précisant le point de fuite en indice, et permet de comparer les asymptotes. Considérons l'expression suivante :
`o_(z->oo)(f(z))`
la variable muette est `z`. Le point de fuite est l'infini. la fonction sur laquelle on évalue l'assymptote et `z"→"f(z)`. Le petit o ainsi appliqué désigne l'ensemble de toutes les fonctions `z"↦"lambda(z)`de `RR"→"RR`, noté sous forme de résultat `lambda(z)` qui sont négligeables devant la fonction `z"↦"f(z)`, notée sous forme de résultat `f(z)`, lorsque `z` tend vers `oo`, c'est à dire tel que `lambda(z)"/"f(z)` tend vers zéro lorsque `z` tend vers l'infini.
`g(z) "=" o_(z->oo)(f(z)) <=> lim_(z->oo) g(z)/f(z) = 0`
`g(z) "=" o_(z->lambda)(f(z)) <=> lim_(z->lambda) g(z)/f(z) = 0`
En prenant une variable `x` réel, c'est à dire telle que `sf"Arr"(x)"="RR`, nous avons :
`Theta(1) <Theta_(z->oo)(z) = o(1/(dx)) 1≺1/(dx)`
`Theta(1) = Theta_(z->r)(z) = o(x) 1≍x`
`Theta(1) > Theta_(z->0)(z) = o(dx) 1 ≻dx`
Il existe une seconde notation de Landau qui est appliquée aux asymptotiques vers l'infini ou vers un point réel préfixé, et qui a été conçut antérieurement dans l'histoire des mathématiques. On la note en précisant le point de fuite de l'asymptote en indice Elle compare, non pas des hyperréels entre-eux, mais des asymptotes entre-elles.
*La définition de l'infiniment petit peut se faire de deux epose sur une définition de la limite. C'est la définition des hyperréels par comparaison asymptotique. Tout d'abord, dans l'expression « une valeur infiniment petit » on sous-entend toujours « une valeur de norme infiniment petit ». De même dans l'expression "une valeur arbitrairement petit" on sous-entend "une valeur de norme arbitrairement petit". Il existe toujours deux interprétations, l'une comme une valeur réelle arbitrairement petite, l'autre comme une valeur hyperréelle infiniment petite. Et le lien entre ces deux interprétations se formalise par une traduction des formules logiques.
Dans la première interprétation, c'est une valeur réelle `epsilon` arbitrairement petite, et il faut que le choix de cet arbitrairement petit soit fait en dernier. Puis, comme on en fait un étalon, on choisie une forme pratique où `epsilon` est une grandeur c-a-d une valeur positive et non-nulle, mais toujours choisie de façon arbitrairement petite après tout le monde. Cela se note de trois façons possibles :
`0<epsilon ≺ 1`
`0<epsilon → 0`
`0<epsilon ∈ o(1)`
Mais cette définition n'est qu'intuitive.La définition formelle passe d'abord par celle de la limite, définie dans un espace métrique complet. On se place dans un espace métrique complet. Un ensemble `E` infini de points dans une partie bornée admet nécessairement une limite `lim E` non-vide. Par définition, chaque point de la limite peut être approché aussi finement que l'on veut en choisissant un point de `E` différent. L'union de `E` et de sa limite forme la complétion de `E` notée `barE`, appellée aussi l'adhérence de `E`. Cela s'écrit formellement comme suit où `d(x,y)` désigne la distance entre `x` et `y` :
`lim E = {x "/" AA epsilon "∈" RR"*"^"+", EEy "∈" E, 0"<"d(x,y) "⩽" epsilon}`
`bar E = E uu lim E`
`bar E ={x "/" AA epsilon "∈" RR"*"^"+", EEy "∈" E, d(x,y) "⩽" epsilon}`
Si `E` est énuméré, c'est à dire s'il est de la forme suivante :
`E = {e_i}_(i=0)^(i=oo)`
Alors la limite de `E` correspond à la limite d'une suite :
`lim_(i->oo) e_i = lim E`
Remarquez que l'ordre des éléments de la suite `e_0`, `e_1`, `e_2`, ... peut être changé, et que l'on peut enlever n'importe quelle partie finie de `E`, sans que cela ne change la limite de `E`. Et si la limite de `E` est un singleton `{alpha}`, par convention on identifie la limite directement à `alpha`.
`epsilon` est une valeur réelle arbitrairement petite. Qu'est ce qui fait dire dans ces expressions que `epsilon` est arbitrairement petit ? C'est la quantification universelle d'`epsilon` non nul portant sur une fonction propositionnelle croissante. On note le faux par `0` et le vrai par `1` et on définie l'ordre `0"<"1`. Ainsi une fonction propositionnel `P(".")` de `RR "→" {0,1}` est croissante si et seulement si
`AAxAAy,P(x) "et" y"⩾"x => P(y)`
Notez que si on n'a pas cette propriété, `epsilon` est dit simplement arbitraire. Et si nous avons une fonction propositionnel décroissante :
`AAxAAy,¬P(x) "et" y"⩽"x => ¬P(y)`
Alors `epsilon` est dit arbitrairement grand. Pour résumer : Le qualificatif d'arbitrairement petit se définie logiquement. Il désigne une variable non nulle quantifiée universellement s'appliquant à une fonction propositionnel croissante. Le qualificatif d'arbitrairement grand se définie logiquement. Il désigne une variable quantifiée universellement s'appliquant à une fonction propositionnel décroissante. On généralise la formule en explicitant les paramètres. On note `AAEEvecw` pour désigner une liste de variables quantifiées de façon diverse, et on note `P(vecw,x)` l'application d'une fonction propositionnelle `P` aux variables `vec w` et à la variable `x`. Ainsi `epsilon` est une valeur réelle arbitrairement petite si et seulement si la théorie en cours affirme :
`AAEEvecw, AA epsilon"≠"0, P(vecw,epsilon)`
`AAEEvecw, AAx,AAy,P(vecw,x) "et" y"⩾"x => P(vecw,y)`
Et `epsilon` est une valeur réelle arbitrairement grande si et seulement si la théorie en cours affirme :
`AAEEvecw, AA epsilon, P(vecw,epsilon)`
`AAEEvecw, AAx,AAy, ¬P(vecw,x) "et" y"⩽"x => ¬P(vecw,y)`
---- 24 novembre 2021 ----
5) L'infiniment petit hyperréel
Dans le cas à une seul dimension, où l'ensemble `E` est un ensembles de réels, la propriété topologique se simplifie. Elle affirme que tout ensemble de réels borné admet necessairement une limite non-vide :
`lim E = {x "/" AA epsilon "∈" RR"*"^"+", EEy "∈" E, 0"<"|x-y|"⩽" epsilon}`
`bar E = E uu lim E`
`bar E ={x "/" AA epsilon "∈" RR"*"^"+", EEy "∈" E, |x-y|"⩽" epsilon}`
Dans la succession des quantifications, on voit bien que cet `epsilon` est défini par le choix d'un point `y` arbitrairement proche de `x`, et que ce choix est fait en dernier.
---- 19 novembre 2021 ----
La notion de Landau, le petit `o`, appliquée à une valeur non-nulle `z`, se note `o(z)` et désigne l'ensemble des infiniments petits devant `|z|`. Appliquée à une valeurs arbitraire `z`, elle désigne l'ensemble des valeurs arbitrairement petites devant la valeur arbitraire `z`. Les deux interprétations étant valables, tantôt `epsilon` est une valeur hypereél infiniment petite, tantôt `epsilon` est une valeur arbitrairement petite. Puis on pose `epsilon` comme étalon de l'arbitrairement petit du premier ordre que nous appellerons infiniment petit du premier ordre. Cela se note en mettant `1` en exposant de la relation :
`epsilon "≺"^1 1`
`epsilon "→"^1 0`
`epsilon` est une grandeur réelle arbitrairement petite tendant au premier ordre vers zéro, et c'est aussi une grandeur hyperréelle infiniment petite du premier ordre.
Les valeurs arbitrairement petites du premier ordre sont les multiples réels d'`epsilon`. Les valeurs infiniments petites du premier ordre sont les multiples réels d'`epsilon`.
Les deux interprétations sont valables. Les variables arbitrairement petite du premier ordre sont le produit d'une variable réelle par `epsilon`.
La première introduit les hypereéls. La seconde introduit une grandeur réelle `epsilon` arbitrairement petite qui sert d'étalon pour comparer des variables du même ordre de grandeur qu'`epsilon`. Les valeurs infiniments petites du premier ordre sont les multiples réels d'`epsilon`.
Etant donné une variable réelle `x`, la différentielle `dx` est une variation infiniment petite du premier ordre de la variable `x`, et on peut l'interpréter comme une variable réelle arbitrairement petite du premier ordre vis-à-vis de `x` où plus exactement vis-à-vis du domaine de `x`, car `x` peut être nul, et qui dénote une variation de la variable `x`. La variable `dx` est de l'ordre d'`epsilon` ce qui s'écrit `dx "≍" epsilon`.
`dx "≍" epsilon <=> dx "∈" RRepsilon`
On remarque que `epsilon^2` représente une valeur arbitrairement petite du premier ordre vis-à-vis d'`epsilon` ce qui se note :
`epsilon^2 "≺"^1 epsilon "≺"^1 1`
C'est une grandeur arbitrairement petite du second ordre, ce qui ce note :
`epsilon^2 "≺"^2 1`
`epsilon^2 "→"^2 0`
De même pour le n-ième ordre :
`epsilon^n"≺"^n 1`
`epsilon^n"→"^n 0`
On définit ainsi une succession d'ordres :
`..., RR epsilon^-3, RRepsilon^-2, RRepsilon^-1, RR, RR epsilon, RRepsilon^2, RRepsilon^3,...`
Quelque soit une fonction analytique `f(".")`, la définition de la dérivée utilise le même arbitrairement petit `epsilon` :
`AAx, f’(x) = lim_(epsilon->0) (f(x"+"epsilon)-f(x))/epsilon `
Cela justifie que l'élément différentiel `dx` peut toujours être posé comme étant du même ordre que `epsilon`. Et c'est ce que nous posons par définition. Pour toute variable réelle `x`, on définie la différentielle `dx` comme une variable de l'ordre d'`epsilon`, c'est à dire le produit d'une variable réelle par `epsilon`.
`f’(x) = lim_(epsilon->0) (f(x"+"dx)-f(x))/dx ` où `dx` est de l'ordre d'`epsilon`
`dx ∈ RR epsilon`
`df ∈ RR epsilon`
`epsilon` est la seule variable tendantielle, c'est à dire qui tend arbitrairement vers une cible réelle ou infinie. Les autres sont des multiples réels d'`epsilon`. Autrement dit, les différentielles du premier ordre sont réel-comparables. La variable `dx` est donc égale à une variable réel multiplié par `epsilon`, et elle est élevée au statut de variable d'état. C'est le moyen naturel de définir l'arbitrairement petit de l'ordre d'`epsilon`. La variable `dx` est un infiniment petit du premier ordre, ce qui se note de trois façons possibles :
`dx ≺^1 1`
`dx ≍ epsilon`
`dx in RRepsilon`
Par contre, `x` est une variable réel qui lorsqu'elle n'est pas nulle, n'a pas la capacité de tendre vers zéro à volonté. La variable `x` est égale à une variable réel multiplié par `1` au lieu d`epsilon`, ou autrement dit, multiplié par `epsilon^0`. C'est pourquoi on dit que `x` est de l'ordre de `epsilon^0`, c'est à dire de l'ordre de `1`, ce qui se note :
`x ≍ 1`
Et la définition peut se réintérer, faisant que `d(dx)`, noté `d^2x`, est un infiniment petit de l'ordre d'`epsilon` vis-à-vis de `dx` quand celui-ci n'est pas nul, et donc est un infiniment petit de l'ordre d'`epsilon^2`. On dira que `dx` est un infiniment petit du second ordre, ce qui se note de plusieurs façons :
`dx"≠"0 => d^2x ≺^1 dx ≺^1 1`
`d^2x ≺^1 epsilon ≺^1 1`
`d^2x ≺^2 1`
`d^2x ≍ epsilon^2`
`d^2x in RRepsilon^2`
Ainsi, quelque soit un entier `n`, la variable d'état `d^n x` est un infiniment petit de l'ordre d'`epsilon^n`, c'est à dire un multiple réel d'`epsilon^n`. On dira que `dx` est un infiniment petit du `n`-ième ordre, ce qui se note :
`d^nx ≺^n 1`
Etant donné une variable d'état `x`, on définit une variable `dx` dite différentielle, préfixée par l'opérateur de différentialisation `d`, qui traduit une variation infiniment petite du premier ordre, de la variable d'état `x`. Autrement dit, nous conceptualisons une transformation infiniment petite du système dans laquel la valeur de la variable d'état `x` passe de `x` à `x"+"dx`.
Le système étant un ensemble de variables liées entre-elles, on ne peut pas modifier l'une d'entre-elles sans modifier potentiellement toutes les autres. La transformation est susceptibles de modifier toutes les variables d'état. Elles vont subir une transformation infiniment petite, relativement à leur domaine de définition, passant de `(x,y,z,...)` à `(x"+"dx,y"+"dy,z"+"dz,...)`.
La conception des hypérréels ainsi que des considérations sur les fonctions analytiques, nous permettent d'élever au statut de variable d'état, les éléments différentiels `(dx,dy,dz,...)`. Délors ceux-ci sont également soumis à la même transformation passant de `(dx,dy,dz,...)` à `(dx"+"d^2x, dy"+"d^2y, dz"+"d^2z...)`. Puis ce procédé étant répété, les éléments différentiels du `n`-ième ordre `(d^nx,d^ny,d^nz,...)` étant élevés au statut de variable d'état, ceux-ci sont également soumis à la même transformation passant de `(d^nx,d^ny,d^nz,...)` à `(d^nx"+"d^(n+1)x, d^ny"+"d^(n+1)y, d^nz"+"d^(n+1)z...)`.
Considérons le neurone suivant :
`f"←"(x)`
Cela entraine les neurones dérivées :
`f’"←"(x)`
`f’’"←"(x)`
`f’’’"←"(x)`
` f^("("n")")"←"(x)`
Et les neurones différentiels :
`df"←"(x,dx)`
`d^2f"←"(x,dx)`
`d^3f"←"(x,dx)`
`d^nf"←"(x,dx)`
qui définissent les éléments différentiels `df, d^2f, d^3f,..., d^nf` comme suit :
`df = f’ dx`
`d^2f= f’’ dx^2`
`d^3f= f’’’ dx^3`
`d^nf= f^("("n")")dx^n`
Puis nous démontrerons le développement de Taylor :
`f(x"+"dx)-f = df+ (d^2f)/2 + (d^3f)/(3!) + ...`
`f(x"+"dx) -f= sum_(n=1)^oo (d^nf)/(n!)`
Notez que `d^n f` est, par définition, de l'ordre de `epsilon^n`, c'est à dire le produit d'une variable réelle par `epsilon^n`. Tandis que `f = f(x)` est réel c'est à dire de l'ordre de `1`. Par contre `f(x+dx)` est une donnée beaucoup plus riche. La fonction `f(".")` se développant en série avec de multiples puissances, `f(x+dx)` est susceptible de contenir des composantes de tous les ordres, et que l'on retrouve dans son développement de Taylor.
Une expression analytique, c'est à dire un calcul sous forme d'une série à une ou plusieurs variables, représente un neurone ayant comme argument les variables en question et comme tête une variable anonyme. Celle-ci peut alors être différentialisée. Déslors il devient nécessaire de fixer une syntaxe pour l'opérateur de différentialisation `d` : L'opérateur `d` est prioritaire sur les autres opérations à l'exception de l'appel de fonction et d'une façon plus générale à l'exception des opérateurs agissant à droite, faisant que:
`dx^2=(dx)^2` et non `d(x^2)`,
`df(y)=d(f(y))` et non `(df)(y)` qui nécessiterait de surcroit l'existence d'un neurone de la forme `df"←"(".")`.
`ddx = d(dx) = d^2x`
`ddx^2 = d^2x^2 =(d^2x)^2`
Puis par ailleurs, s'il y a un risque d'ambiguité entre le produit et l'appel de fonction, alors on utilise le symbole de produit `·` :
`df"·"(u"+"v) "=" (df)"·"(u"+"v)`.
On considère une variable `epsilon` qui tend vers zéro, ou plus exactement que l'on peut minimiser arbitrairement dans un choix que l'on fait après tous les autres choix, une valeur aussi petite que l'on veut, et choisi en dernier. Cet `epsilon` constitue notre étalon de l'infiniment petit, et se comporte comme un inconnu ajouté par extension élémentaire au corps ordonnée des réels. Mais nous n'allons pas développer tout de suite la construction des hyperréels, seulement définir la notion d'ordre de grandeur entre fonctions d'`epsilon` par comparaison asymptotique.
On définie des ordres de grandeurs étalonnés par `epsilon`. La formalisation passe par le passage à la limite, même si dans la pratique la détermination de la limite n'est pas utilisée, car seul une précision est recherché en choisissant un `epsilon` suffisamment petit. Etant donné deux variables `alpha` et `beta` fonctions d'`epsilon`, nous avons :
`alpha≍beta` `lim_(epsilon->0) alpha/beta in RR"*"` `alpha` est du même ordre que celui de `beta`. `alpha≼beta` `lim_(epsilon->0) alpha/beta in RR` `alpha` est d'un ordre inférieur ou égale à celui de `beta`. `alpha≺beta` `lim_(epsilon->0) alpha/beta=0` `alpha` est d'un ordre inférieur à celui de `beta`.
Les variables `alpha` et `beta` sont du même ordre de grandeur si leur rapport `alpha"/"beta` tend vers un réel non nul lorsque `epsilon` tend vers zéro. `alpha` est d'ordre inférieur ou égale à celui de `beta` si leur rapport `alpha"/"beta` tend vers un réel. Et `alpha` est d'ordre inférieur à celui de `beta` si leur rapport `alpha"/"beta` tend vers zéro.
En algèbre, lorsque `x` est une variable réel, la valeur différentielle `dx` constitue un hypereél infiniment petit devant `1`. Les réels sont ainsi immergés dans le corps des hyperréels.
En analyse, si on ne veut pas utiliser les hyperréels, la valeur différentielle `dx` constitue un réel arbitrairement petit devant `1`, c'est à dire qui est choisie arbitrairement petit après tous les autres choix. Et on pose un étalon `epsilon` pour pouvoir définir plusieurs arbitrairement petit du même ordre. Les réels sont ainsi immergés dans le corps `RR[epsilon]`.
En physique, on utilise un concept plus lâche, on parlera d'une valeur différentielle `dx` d'un ordre de grandeur plus petit que celui de `1`, et donc négligeable devant `1`, et on notera `dx "≺" 1`. Néanmoins, c'est bien le concept mathématique qui est étiré.
L'expression "infiniment petit devant `1`" signifie plus petit que tout réel non nul.
L'expression "arbitrairement petit devant `1`" signifie plus petit que tout réel non nul définissable avant le choix de cet arbitrairement petit.
L'expression "négligeable devant `1`" signifie plus petit que tout réel non-négligeable devant `1`. Et, ce critère de négligeabilité n'est pas défini, il est adapté à chaque situation, de la même façon que `epsilon` est rendu petit pour obtenir la précision voulue.
Par exemple, dans une étude du gaz parfait, on peut considérer que le nombre d'Avogadro `N_A`, proche de l'ordre de `10^25`, est d'un ordre de grandeur supérieur par `3` fois à `1`.
`N_A ≺^3 1`
On peut définir arbitrairement des tranches d'entiers, et considérer des ordres de grandeurs se déroulant sur `4` chiffres.
Dans cet exemple, l'ordre de grandeur du nombre d'atomes s'obtient en en prenant le logarithme en base `10`, en le divisant par `4`, en prenant sa partie entière, puis en divisant par `2`.
Mais, vous comprendrez qu'avec une telle définition, l'étirement du concept mathématique a ses limites. Toutes les formulations ne seront pas autorisées. Seront interdites celles qui modifient cette hiérarchie empirique des ordres de grandeurs. Mais, il sera toujours possible de retrouver l'approximation juste, en procédant à une hiérarchie des ordres plus vaste, découpant de façon encore plus écartée des intervalles encore plus grands.
Chaque neurone affirme l'existence d'un lien de dépendance complète et analytique. Etant donner le neurone `f"←"(x)`, la fonction `f` qui est associée au neurone, est par définition analytique. Autrement dit, elle se développe localement en série. C'est à dire qu'elle se développe autour de n'importe quel valeur `x` en une série de `dx` à coefficients réels `r_0,r_1,r_2,...`.
`|dx|"≺"1`
`f(x"+"dx) = r_0+r_1dx+r_2dx^2+r_3dx^3+...`
`f(x"+"dx)=sum_(i=0)^oo r_idx^i`
Notez que les variables `x,dx,r_0,r_1,r_2,...` dans la formulation logique, sont des variables créées localement dans un bloc afin d'avoir une plus grande liberté. Elles masquent d'éventuelles variables de même nom définies antérieurement, jusqu'à la fermeture du bloc. Elles sont déclarées ici dans le texte. Pour les déclarer formellement, on ouvre le bloc par l'expression :
`AAx,EE(r_0,r_1,r_2,...),AAdx"≺"1`
Notez que `dx` est interprété ici comme une variable arbitrairement petite dont le choix est fait en dernier.
Remarquez que tout calcul analytique local se ramèneà une construction formelle d'un terme dans le corps des réels, c'est à dire en utilisant uniquement ; les variables d'entrée, les réels, l'addition et la multiplication. La valeur de la série correspond à la limite lorsque le nombre de termes tend vers `oo`.
`f(x"+"dx)=lim_(n->oo)sum_(i=0)^n r_idx^i`
Et comme il y a deux variables tendancielles, c'est à dire choisies de façon arbitrairement proche d'une valeur cible ou d'un infini, il faut arbitrer la façon dont ces choix arbitraires sont faits. Si ces choix arbitraires sont fait dans un ordre, c'est la variable dont le choix est fait en dernier qui tend plus vite que l'autre en toute mesure. Les choix arbitraires doivent s'effectuer dans cet ordre :
`AAn"→" oo, AAepsilon "→" 0`
Où `epsilon` est l'étalon de l'infiniment petit définissant les différentielles premières. Ainsi `dx` est par définition un multiple réel d'`epsilon`, c'est à dire un réel multiplié par `epsilon`. Il représente en quantité d'information la même quantité d'information qu'une variable réelle. Puis, dans la mesure où il n'est pas nécessaire d'exiber cette étalon arbitraire, on utilisera dans la formule directement `dx` à la place d'`epsilon` :
`AAn"→" oo, AAdx"→" 0`
ou encore :
`AAn"≻"1, AAdx"≺" 0`
Cela entraine que la rapidité de tendance de `dx` est d'un ordre catégoriquement supérieur à celle de `n`, car `dx` est choisie arbitrairement petit après la détermination de `n`, et qu'il peut donc être choisi tel que par exemple :
`dx≺ 1/n`
La série est égale à la limite. Et lorsqu'on effectue la somme des termes dans l'ordre des puissances de `dx`, la rapidité empirique de convergence est alors étroitement liée à la norme de `dx`. Plus `|dx|` sera petit devant `1` plus la convergence sera rapide.