Jusque vers 1750 la musique était considéré comme l'art de l'harmonie et se décrivait par des modèles mathématiques. L'harmonie musicale peut-elle s'expliquer par des règles arithmétiques ? Nous le pensons en grande partie, et cela constitue une approche qui a l'avantage d'être objective, structurante et riche.
La fréquence exprimée en Hertz (tours par seconde) est une grandeur mesurable. Elle peut être considérée comme un réel. Le rapport de deux fréquences est sans unité. On peut donc éliminer le choix arbitraire de l'unité qu'est le Hertz en ne considérant que des rapports de fréquences. Le rapport de fréquence constitue un intervalle.
L'intervalle est une succession de deux fréquences à un facteur multiplicatif commun près. Ce facteur multiplicatif commun correspond en terme musical à une transposition. La qualité musicale d'un intervalle est invariante par transposition.
L'ensemble des couples de fréquence correspond à l'espace des réels R² qui est de dimension 2. Et l'ensemble des intervalles correspond à l'espace projectif P(R²) qui est de dimension 1.
Nous notons un intervalle de deux fréquences par le couple projectif (f1,f2). Et quelque soit k réel, nous avons la propriété suivantes :
(f1,f2) = (k*f1,k*f2) = (1, f2/f1)
Exemples :
(2,3) = (1, 3/2) = quinte ascendante pure
(3,2) = (1, 2/3) = quinte descendante pure
(21/12, 28/12) = (1, 27/12) = quinte ascendante tempérée officielle
Noter que 3 est un entier relatif, que 3/2 est un nombre rationnel et que 27/12 est un nombre algébrique. L'ensemble des entiers relatifs se note Z, l'ensemble des rationnels se note Q, l'ensemble des nombres algébriques se note A, et l'ensemble des nombres réels se note R. Nous avons Z ⊂ Q ⊂ A ⊂ R.
Tout nombre rationnel positif non nul se décompose en produit de nombres premiers chacun élevé à une puissance entière relative. Les nombres premiers sont regroupés, ordonnés, et ceux manquants sont insérés en les élevant à la puissance zéro. Voyez par exemple le rationnel 28/33 :
28/33 = 22 * 3-1 * 50 * 71 * 11-1
Le rationnel 28/33 est ainsi complètement définie par la suite des exposants 2, -1, 0, 1, -1, appelée suite des valuations p-adiques.
Pour chaque nombre premier p, l'exposant de p qui apparait dans la décomposition de n en produit de nombres premiers s'appelle la valuation p-adique de n et se note vp(n). Voyez pour notre exemple précédent :
v2(28/33) = 2
v3(28/33) = -1
v5(28/33) = 0
v7(28/33) = 1
v11(28/33) = -1
v13(28/33) = 0
La valuation p-adique est aussi appelée logarithme p-adique. Car quelque soit a, b deux rationnels positifs non nuls, quelque soit p premier, nous avons :
vp(a*b) = vp(a) + vp(b)
vp(a/b) = vp(a) - vp(b)
On numérote les nombres premiers dans l'ordre comme suit :
p0 = 2
p1 = 3
p2 = 5
p3 = 7
p4 = 11
p5 = 13
p6 = 17
p7 = 19
p8 = 23
p9 = 29
p10 = 31
p11 = 37
...
On définie l'exponentiel arithmétique d'une suite d'entiers relatifs α0, α1, α2, α3...., αn, comme étant égale au nombre rationnel p0α0 * p1α1 * p2α2 * p3α3 ... * pnαn. Et on note l'exponentiel arithmétique par expA(α0, α1, α2, α3...., αn). Ainsi nous avons par définition :
expA(α0, α1, α2, α3...., αn) = p0α0 * p1α1 * p2α2 * p3α3 ... * pnαn
Pour notre exemple précédent nous avons :
expA(2, -1, 0, 1, -1) = 28/33
L'opération inverse est appelé logarithme arithmétique et se note logA(x). Par exemples :
logA(28/33) = (2, -1, 0, 1, -1)
logA(9/8) = (-3,2)
On défini sur les ensembles quelques conventions d'écritures ou opérateurs : * + * °
Avec ces conventions d'écriture, nous pouvons dire que :
Il existe une surjection canonique de Z* vers Z° qui consiste à compléter les suites finies par des zéros. Les classes d'équivalences sur Z* induite par cette surjection admettent un élément singulier de taille minimum que l'on choisi comme représentant, qui est la suite se terminant par un élément non nul, ou bien la suite vide.
On munie Z° de l'addition composante par composante. Cela forme un groupe (Z°, +). Le logarithme arithmétique est un isomorphisme de groupe entre (Q*, *) et (Z°, +). Il découle de cet isomorphisme que toute nouvelle opération construite à partir de (Q*, *) aura une image parfaitement définie dans (Z°, +), et réciproquement.
On note une suite formelle d'indice entier par (( xn )) où xn désigne la valeur du n-ième terme de la suite. L'ensemble des applications de A vers B se note BA en analogie au dénombrement, et est identifié à l'ensemble des suites formelles d'indices appartenant à A et de valeurs appartenant à B.
Un multi-ensemble tel que E = {{ a, b, a, a }}, à la différence des ensembles, peut contenir plusieur fois le même éléments. Le nombre de fois qu'est contenu un élément est appellé sa multiplicité. Dans notre exemple, la multiplicité de a dans E est égale à 3.
Les multi-ensembles sont également appelés des sacs, dans le quel on peut mettre plusieur fois le même élément. Noter qu'il n'y a pas d'ordre dans le multi-ensemble et que les éléments identiques qui y sont placés sont donc indifférentiables contrairement à une liste tel que (a,b,a,a), où les trois éléments a sont différentiables de par leur position respective dans la liste.
La base d'une famille de multi-ensembles est l'ensemble des éléments qu'ils peuvent contenir. On peut alors représenter un multi-ensemble par la fonction associant à chaque élément de la base, sa multiplicité. Par exemple considérons la base {a,b,c}. Le multi-ensemble E = {{ a, b, a, a }} appartient bien à la famille de base {a,b,c}, et nous avons E = {(a,3), (b,1), (c,0)} qui correspond au graphe d'une application de {a,b,c} vers N, et qui se met également sous la forme d'une suite formelle d'éléments appartenenant à N et d'indice appartenant à A comme suit : E = (xa=3, xb=1, xc=0) que nous pouvons écrire, en s'appuyant sur l'ordre alphabétique dans A, comme une suite E = ((3, 1, 0))A
Si on prend un ensemble A comme base de multi-ensembles, les multi-ensembles qu'il est possible de construire sont les applications de A vers N. L'ensemble des multi-ensembles de base A constitue donc l'ensemble des applications de A vers N, et constitue également l'ensemble des suites formelles d'éléments appartenant à N et d'indice appartenant à A. Cet ensemble se note NA en analogie avec le dénombrement, et est identifié à l'ensemble des suites formelles d'indices appartenant à A et de valeurs appartenant à N.
Si on prend N comme base et que l'on s'intéresse aux seuls multi-ensembles finis, alors on remarque l'isomorphisme avec N°. L'ensemble des multi-ensembles finis de base N est isomorphe à l'ensemble des suites formelles N° d'éléments appartenants à N et d'indice appartenants à N, et dont le nombre de valeurs non nulles est finie.
Il existe d'autres liens isomorphiques entre ces structures. Une suite finie à permutation près est isomorphe à un ensemble fini. Le quotient de N* ou de N° par la relation d'équivalence "égale à une permutation près" est isormorphe à N°.
Les multi-ensembles ou sacs, sont étendus aux valeurs de multiplicité négatives. Par exemple, un sac pourra contenir -5 éléments a, ce qui correspond à une dette en éléments a, et +2 éléments b ce qui correspond à un avoir en éléments b. Les suites formelles associées appartiennent à Z°
On définie 4 opérations, qui chacune opére sur deux entiers positifs non nuls :
foncionnelle
opérationnelleégale à n tel que n*y≤x et (n+1)*y>x égale à n tel qu'il existe k appartenant à N, avec n=x-k*y et n≥0 et n<y égale au plus grand commun diviseur de x et y égale au plus petit commun multiple de x et y ---- 15 juin 2013 ----
Les entiers positifs non nuls se décomposent en produits de nombres premiers. Ils sont identifiables à des multi-ensembles ayant pour éléments de base les nombres premiers, et où la multiplicité correspond à la valuation p-adique. Les nombres premiers sont numérotés dans l'ordre, et on identifie ces multi-ensembles à des suites formelles d'incices appartenant à N et de valeur appartenant à N, mais dont le nombre de valeurs non nuls est finie. L'ensemble de ces suites formelles se note (N°, +). Nous utilisons l'isomorphisme entre (Q*+, *) et (Z+°, +) décrit précédement.
Le pgcd et le ppcm correspondent à une extension (aux multiensembles) de l'intersection et de la réunion, ce qui explique le choix des symbôles ∧ et ∨. L'intersection est définie en prenant la multiplicité minimum et la réunion est définie en prenant la multiplicité maximum.
Le 1 correspond au multi-ensemble vide, et à la série formelle (0,0,0... ) qui se note (( 0 )) et dont le représentant dans Z* est la suite vide.
Quelque soit une variable a représentant un entier non nul, on adopte comme convention d'écriture de désigner sa valeur pn-adiqque par an.
Ainsi nous avons : a = p0a0 * p1a1 * p2a2 * p3a3 ...
Le logarithme arithmétique de a est logA(a) = (a0, a1, a2, ...)
Le multi-ensemble correspondant à a est {(p0, a0), (p1,a1), (p2,a2), (p3,a3), ... }
Le pgcd et le ppcm peuvent être défini dans (Z°, +) comme suit :
logA(a∧b) = (min(a0,b0), min(a1,b1), min(a2,b2), ...)
logA(a∨b) = (max(a0,b0), max(a1,b1), max(a2,b2), ...)
ce que l'on note de façon abrégé par :
logA(a∧b) = (( min(an,bn) ))
logA(a∧b) = (( max(an,bn) ))
Nous avons les propriétés suivantes :
Propriétés du pgcd :
Associatif : (a∧b)∧c = a∧(b∧c) Commutatif : a∧b = b∧a 1 est l'élément absorbant : 1∧a = a∧1 = a * est distributif : m*(a∧b) = (m*a)∧(m*b) Algorithme d'Euclide : si b%a=0 alors a∧b = a sinon a∧b = a∧(b%a) Propriétés du ppcm :
Associatif : (a∨b)∨c = a∨(b∨c) Commutatif : a∨b = b∨a 1 est l'élément neutre : 1∨a = a∨1 = a * est distributif : m*(a∨b) = (m*a)∨(m*b) Algorithme d'Euclide : si b%a=0 alors a∨b = b sinon a∨b = (b/(b%a))*(a∨(b%a))
Nous avons la propriété suivante :
(a∧b)*(a∨b) = a*b
car :
logA(a∧b) + logA(a∨b) = logA(a) + logA(b)
(( min(an,bn) )) + (( max(an,bn) )) = (( an )) + (( bn ))
(( min(an,bn) + max(an,bn) )) = (( an + bn ))
∀n, min(an,bn) + max(an,bn) = an + bn
∀x,∀y, min(x,y) + max(x,y) = x + y
Les 4 assertions suivantes sont équivalentes :
a est un diviseur de b
b est un multiple de a
a∧b = a
a∨b = b
Nous avons la propriété suivante :
(a∧b)∨c = (a∨c)∧(b∨c)
car :
logA((a∧b)∨c) = logA((a∨c)∧(b∨c))
(( max(min(an,bn),cn) )) = (( min(max(an,cn),max(bn,cn)) ))
∀n, max(min(an,bn),cn) = min(max(an,cn),max(bn,cn))
∀x,∀y,∀z, max(min(x,y),z) = min(max(x,z),max(y,z))
Le pgcd et le ppcm sont mutuellement distributifs comme le sont l'intersection et la réunion.
Les sous groupes de (Z,+) sont de la forme nZ = {n*x / x∈Z} avec n∈N, et sont appellés les idéaux de Z. On définie l'addition de deux idéaux comme l'ensemble obtenu en additionnant leurs éléments :
aZ+bZ = { u+v / u∈aZ et v∈bZ}
aZ+bZ = {a*x+b*y / (x,y)∈Z2}
Les six assertions suivantes sont équivalentes :
D'une manière plus générale nous avons quelque soit a, b appartenant à Z :
aZ + bZ = (a∧b)Z
∃(x,y)∈N2, a*x+b*y=a∧b
Nous avons quelque soit a, b, c appartenant à Z :
aZ + bZ + cZ = (a∧b∧c)Z
∃(x,y,z)∈N3, a*x+b*y+c*z= (a∧b∧c)
Le pgcd et le ppcm étant associatif, on les définie comme s'appliquants à un nombre d'arguments quelconque non nul. Ainsi nous avons : a∧b∧c = (a∧b)∧c et a∨b∨c = (a∨b)∨c. Et nous posons que pgcd(a)=a, et que ppcm(a)=a.
Les huits assertions suivantes sont équivalentes :
Nous avons :
a∨b = a*b / (a∧b)
(a∨b∨c) = a*b*c*(a∧b∧c) / ((a∧c)*(b∧c)*(a∧b))
(a∨b∨c∨d) = a*b*c*d*(a∧b∧c)*(a∧b∧d)*(a∧c∧d)*(b∧c∧d) / ((a∧b)*(a∧c)*(a∧d)*(b∧c)*(b∧d)*(c∧d)*(a∧b∧c∧d))
Le ppcm de n entiers est égale au produit des pgcd en nombre impair d'arguments divisé par le produit des pgcd en nombre pair d'arguments, les arguments étant choisis parmi les n entiers. Et par convention pgcd(x)=x.
Par symètrie, nous avons :
a∧b = a*b / (a∨b)
(a∧b∧c) = a*b*c*(a∨b∨c) / ((a∨c)*(b∨c)*(a∨b))
(a∧b∧c∧d) = a*b*c*d*(a∨b∨c)*(a∨b∨d)*(a∨c∨d)*(b∨c∨d) / ((a∨b)*(a∨c)*(a∨d)*(b∨c)*(b∨d)*(c∨d)*(a∨b∨c∨d))
Le plus pgcd de n entiers est égale au produit des ppcm en nombre impair d'arguments divisé par le produit des ppcm en nombre pair d'arguments, les arguments étant choisis parmi les n entiers. Et par convention ppcm(x)=x.
....
On étend les multi-ensembles aux multi-ensembles à multiplicité négative, dits relatifs. On identifie ces multi-ensembles à des suites formelles d'incices appartenant à N et de valeur appartenant à Z, mais dont le nombre de valeurs non nuls est toujours fini. L'ensemble de ces suites formelles se note (Z°, +). Nous utilisons l'isomorphisme entre (Q*, *) et (Z°, +) décrit précédement.
On décrit les 6 opérations de base que sont la multiplication, la division, La division entière, le modulo, le pgcd et le ppcm :
a = b ÷ c
logA(a) = logA(b ÷ c)
((an)) = ((|bn - cn|))
∀n, an = |bn - cn|
a = b ∧ c
logA(a) = logA(b∧c)
(( an )) = (( min(bn,cn) ))
∀n, an = min(bn,cn)
a = b ∨ c
logA(a) = logA(b∨c)
(( an )) = (( max(bn,cn) ))
∀n, an = max(bn,cn)
Ainsi nous avons par exemples :
{(a,-2), (b,5)} ⋂ {(a, 3), (b,1)} = {(a,-2), (b,1)}
{(a,-2), (b,5)} ⋃ {(a, 3), (b,1)} = {(a,3), (b,5)}
Cela étend la définition du pgcd et du ppcm à Q*. Ainsi en reprenant les deux exemples précédents, et en posant a et b deux nombres premiers distincts, nous avons :
a-2*b5 ∧ a3*b = a-2*b
a-2*b5 ∨ a3*b = a3*b5
La relation " x divise y " s'étend à Q* comme suit : x divise y si la puissance des facteurs premiers de x est inférieur ou égale à la puissance des facteurs premiers de y pour chaque nombre premier, autrement dit si pour chaque nombre premier p, la valuation p-adique de x est inferieur ou égale à la valuation p-adique de y. Ainsi nous dirons que 1/2 divise 1 et aussi que 3/25 divise 36/24 mais 1/22 ne divise pas 1/23.
Le pgcd ainsi généralisé peut se décomposer comme suit, étant donnée deux rationnels sous forme réduites an/ad et bn/bd, c'est à dire tel que an et ad soient deux entiers premiers entre eux et que bn et bd soient deux entiers premiers entre eux, nous avons :
(an/ad) ∧ (bn/bd) = (an ∧ bn) / (ad ∨ bd)
(an/ad) ∨ (bn/bd) = (an ∨ bn) / (ad ∧ bd)
La distance harmonique d(f1,f2) entre deux fréquences rationnelles f1 et f2 est calculée, selon le matématicien Y. Hellegouarch, en prenant le logarithme néperien du plus grand terme, numérateur ou dénominateur, de la fraction irréductible obtenue en simplifiant f1/f2.
L'intervalle (f1,f2) étant définie à un facteur près, on choisie la représentation où f1 et f2 sont deux entiers premiers entre eux, et donc où f1/f2 représente une fraction irréductible. Nous avons :
d(f1,f2) = log(max(f1,f2 )) avec (f1,f2) premiers entre eux
Le logarithme est nécessaire pour passer de l'échelle des fréquences à l'échelle des notes. Une transposition correspond à une multiplication dans l'échelle des fréquences et à une adition dans l'échelle des notes.
Cette distance harmonique va ordonner les intervalles comme suit de la distance la plus proche, la plus harmonieuse, à la distance la plus éloignée :
Intervalles |
Distance |
Noms d'intervalle |
1 |
0 |
1 = Unisson |
2 |
0.7 |
2 = Octave |
3, 3/2 |
1.1 |
3/2 = Quinte juste |
4, 4/3 |
1.4 |
4/3 = Quarte juste |
5, 5/2, 5/3, 5/4 |
1.6 |
5/2 = Dixième majeure 5/3 = Sixte majeure = BP sixte 5/4 = Tierce majeure |
6, 6/5 |
1.8 |
6/5 = Tierce mineure |
7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5, 7/6 |
1.9 |
7/3 = Dixième minimal = BP dixième |
8, 8/3, 8/5, 8/7 |
2 |
8/3 = Onzième juste 8/5 = Sixte mineure, 8/7 = Ton majeur septimal = Seconde septimale |
9, 9/2, 9/4, 9/5, 9/7, 9/8 |
2.1 |
9/4 = Neuvième majeure 9/5 = Septième mineure juste = BP septième 9/7 = Tierce majeure septimale = BP tierce 9/8 = Ton majeur |
10, 10/3, 10/7, 10/9 |
2.3 |
10/7 = Triton d'Euler 10/9 = Ton mineur |
11, 11/2, 11/3, 11/4, 11/5, 11/6, 11/7, 11/8, 11/9, 11/10 |
2.4 |
11/5 = Neuvième neutre 11/6 = 21 Quarts de ton = Septième neutre undecimale 11/7 = Quinte augmentée undecimale 11/8 = Supra-quarte undecimale 11/9 = Tierce neutre undecimale 11/10 = 4 Cinquièmes de ton = Seconde de Ptolémée |
12, 12/5, 12/7, 12/11 |
2.5 |
12/5 = Dixième mineure 12/7 = Sixte majeure septimale 12/11 = 3 Quarts de ton = Seconde neutre undecimale |
13, 13/2, 13/3, 13/4, 13/5, 13/6, 13/7, 13/8, 13/9, 13/10, 13/11, 13/12 |
2.6 |
13/7 = 16 Tiers de ton 13/8 = Sixte neutre tridecimale 13/9 = Quinte diminuée tridecimale 13/10 = Infra-quarte tridecimale 13/11 = Tierce mineure tridecimale 13/12 = 2 Tiers de ton tridecimal |
14, 14/3, 14/5, 17/9, 14/11, 14/13 |
2.6 |
14/9 = Sixte mineure septimale 14/11 = Quarte diminuée undecimale = Tierce majeure 14/13 = 2 Tiers de ton |
15, 15/2, 15/4, 15/7, 15/8, 15/11, 15/13, 15/14 |
2.7 |
15/7 = Neuvième mineure septimale = BP neuvième 15/8 = Septième majeure classique 15/11 = Quarte augmentée undecimale 15/13 = 5 Quarts de ton tridecimale 15/14 = Semiton diatonique septimal |
16, 16/3, 16/5, 16/7, 16/9, 16/11, 16/13, 16/15 |
2.8 |
16/7 = Neuvième majeure septimale 16/9 = Septième mineure de Pythagore 16/11 = Infra-quinte undecimale 16/13 = Tierce neutre tridecimale |
... |
On se réfère à la liste française des noms d'intervalles consultable sur le site :
Une échelle musicale est un sous-groupe de type fini (c'est à dire engendré par un nombre fini d'éléments) de R*+. Par exemple l'échelle de Pythagore est le groupe multiplicatif engendré par 2 et 3 que l'on note < 2,3 >
Exemples :
Y. Hellegouarch généralise la distance harmonique à une mesure de la dissonnance de n fréquences (f1, f2, f3..., fn). est un point projectif, c'est à dire qu'il est définie à un facteur multiplicatif commun prés. Dans le cas de fréquences rationnelles, il existe une forme normale de l'accord où celui-ci se présente comme un n-uplet de nombre entiers premiers entre eux.
La dissonnance d'un accord d(f1, f2, f3..., fn) entre n fréquences rationnelles est définie, selon le matématicien Y. Hellegouarch, comme égale au logarithme néperien du plus grand terme du point projectif obtenue en simplifiant (f1, f2, f3..., fn) en un n-uplet de nombre entiers premiers entre eux.
d(f1, f2, f3..., fn) = ln(max(f1, f2, f3..., fn)) avec (f1, f2, f3..., fn) premiers entre eux
--- 27 mai 2013 ---
Une valeur absolue sur Q est une application x-->|x| de Q vers R qui vérifie quelque soit x et y rationnels :
|x| ≥ 0 et (|x| = 0 => x=0)
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x * y| = |x| * |y|
Noter que 1 ≠ 0 donc |1| ≠ 0 et comme |1| = |1*1| = |1|*|1| donc |1| = 1 et de même |-1|*|-1| = |(-1)²| = |1| = 1 donc |1| = |-1| et |x| = |-x|. Il suffit de définir une valeur absolue sur l'ensemble des rationnels positifs non nuls pour la connaître sur l'ensemble des rationnels.
A partir de chaque valeur absolue | |, on associe une métrique définie comme suit : d(x,y) = |x-y|
Une valeur absolue x --> |x| est dites ultramétrique si elle satisafait :
∀x, ∀y, |x + y| ≤ max(|x|,|y|)
La distance associée est dite dite ultramétrique. Les distances ultramétriques ont ceci de particulier que l'on ne peut pas éloigner le point b du point a en lui ajoutant des valeurs x de même distance ou moindre à a.
On définie la valeur absolue p-adique d'un rationnel positif non nul x, que l'on note |x|p comme égale à l'inverse de p à la puissance de la valuation p-adique :
|x|p = 1 / pvp(x)
Et on la complète pour le zéro et les rationels négatifs. Remarquez qu'elle vérifie les propriétés d'une valeur absolue. Exemples :
|3/2|2 = 2
|3/2|3 = 1/3
|2/3|2 = 1/2
|2/3|2 = 3
Les valeurs absolues p-adiques sont ultramétriques, c'est à dire qu'elle vérifie :
|x + y| ≤ max(|x|,|y|)
La valeur absolue ordinaire est l'identité. On l'appelle aussi la valeur absolue ∞-adique, mais celle-ci n'est pas ultramétrique :
|x|∞ = x
Les valeurs absolues p-adiques sont liés par le lien suivant :
Produit(|x|p, p premier ou ∞) = 1
Morale : L'aspect "mélodique" est une sorte de résultante de tous les aspects p-adiques (résonance d'une harmonique de rang ph, avec h variable).
Exemple :
Si p ∈ {∞, 2 ,3} alors |3/2|p = 1
Produit(|3/2|p, p premier ou ∞) = |3/2|∞ * |3/2|2 * |3/2|3
= (3/2) * 2 * (1/3)
= 1
On munie cette structure de la multiplication composante par composante. Cela forme un anneau (Z**, +, *), c'est à dire une structure vérifiant les propriétés supplémentaires suivantes :
Quelque soit a,b,c, appartenant à Z**
L'opération * est interne : a*b appartient à Z**
L'opération * est associatif : (a*b)*c = a*(b*c)
L'opération * est distributive à gauche par rapport à + : a*(b+c) = a*b +a*c
L'opération * est distributive à droite par rapport à + : (b+c)*a = b*a +c*a
Il existe une approche exhaustive pour construire toutes les multiplications possibles, c'est à dire toutes les opérations internes, associatives et distributives par rapport à +. On remplace la suite (α0, α1, α2, α3...., αn) par la somme α0*i0 + α1*i1 + α2*i2 + α3*i3 + ... + αn*in en posant la liste des imaginaires suivants :
i0 = (1)
i1 = (0,1)
i2 = (0,0,1)
i3 = (0,0,0,1)
....
On suppose de plus que le produit d'un imaginaire et d'un entier relatif est commutatif : in * m = m * in. Délors la multiplication construite par ce début de procédé est necessairement distributive par rapport à +.
Puis on explore quelles sont les valeurs possibles pour les produits de ces imaginaires. La multiplication canonique correspond aux règles d'égalité fournis par la table de multiplication suivante :
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
autrement dit, quelque soit n entier, in*in = in et quelque soit n et m deux entiers dfférents in*im = 0.
On définie une seconde multiplication noté ° comme suit : quelque soit n et m deux entiers nous posons in°im = i(n+m). Cette multiplication admet un élément neutre qui est i0 = (1). On obtient ainsi un anneau unitaire (Z**, +, °).