Les nombres réels forment une droite, un espace vectoriel unidimensionnelle, que l'on note `RR`. Sur cette droite, une tranformation affine est définie par deux nombres réels `(a, b)` désignant la succession d'une dilatation de paramètre `a` suivie d'une translation de paramètre `b` et qui correspond à l'application `x|->x**a+b`. L'ensemble des transformations affines de la droite `RR`, munie de la composition de transformation, forme un groupe qui se note GA`(RR)`, et est appelé groupe affine de `RR`.
On utilise la notation fonctionnelle française. Ainsi étant donné trois fonctions `f,g,h`, la composition notée à l'anglaise par `h@g@f` sera notée à la française par `fgh`. Elle signifie que l'on applique d'abord la fonction `f` puis la fonction `g` et puis la fonction `h` dans cet ordre. La composition à la française est ainsi notée par absence de symbole. L'application d'une fonction `f` à un élément `x` notée à l'anglaise par `f(x)` sera notée à la française par `x^f`.
Si `(a,b) ≠ (a',b')` alors les applications affines correspondantes sont distinctes, c'est à dire qu'il existe un réel `x` tel que `x**a + b ≠ x**a' + b'`. Ainsi, l'application `(a,b)|->(x|->a**x+b)` de `RR^2-> `GA`(RR)` est une bijection.
On définie dans GA`(RR)`, une opération interne supplémentaire qu'est l'adition `o+` comme suit : `∀(f,g)∈`GA`(RR)^2, f o+ g = (x|-> x^f + y^g)`
Il existe deux plongements canoniques de `RR` dans GA`(RR)` particulièrement simples, soit on identifie les dilatations à `RR`, ou soit on identifie les translations à `RR`.
On part du corps des réels `RR`. On l'injecte dans GA`(RR)` d'une manière ou d'une autre. Vue de l'autre coté, faire un tel plongement correspond à étendre le corps `RR` en lui ajoutant des éléments pour former une autre structure. On parlera d'extension exogène pour préciser que les éléments ajoutés n'obéïssent pas aux axiomes de la structure de départ mais à d'autres axiomes.
La tranformation affine de paramètre `(a, b)` se note `abarb`. Elle se compose d'une dilatation `a` suivie d'une translation `barb`. La barre au dessus précise que c'est une translation.
`a = (x|->x**a)` `bara = (x|->x+a)` `ab = (x|->x**a**b)` `barabarb = (x|->x+a+b)` `abarb = (x|->x**a + b)` `barab = (x|->(x+a)**b)`
L'application projection `(x|->0)` est égale à la dilatation `0`.
L'application identité `(x|->x)` est égale à la dilatation `1` et est aussi égale à la translation `bar0`.
`0 = (x|->0)` `1 = bar0 = (x|->x)`
On a identifié les réels aux dilatations, puis on a ajouté les translations représentées par les réels avec une barre au dessus, pour former ainsi une structure GA`(RR)` avec les règles de calcul suivantes :
`∀(a,b)∈RR^2, ∀f∈ `GA`(RR)`
`1=bar0` `1f=f1=f` `0f=f0=0` `ab = a**b` `barabarb = bar(a+b)` `abarb = (bar(b"/"a) )a` `barab = b(bar(a**b) )` `abarb o+ a'bar(b') = (a+a')(bar(b+b') )`
La tranformation affine de paramètre `(a, b)` se note `hatab`. Elle se compose d'une dilatation `hata` suivie d'une translation `b`. Le chapeau au dessus précise que c'est une dilatation.
`a = (x|->x+a)` `hata = (x|->x**a)` `ab = (x|->x+a+b)` `hatahatb = (x|->x**a**b)` `hatab = (x|->x**a+b)` `ahatb = (x|->(x+a)**b)`
L'application projection `(x|->0)` est égale à la dilatation `hat0`.
L'application identité `(x|->x)` est égale à la dilatation `hat1` et est aussi égale à la translation `0`.
`hat0 = (x|->0)` `hat1 = 0 = (x|->x)`
On a identifié les réels aux translations, puis on a ajouté les dilatations représentées par les réels avec un chapeau au dessus, pour former ainsi une structure GA`(RR)` avec les règles de calcul suivantes :
`∀(a,b)∈RR^2, ∀f∈ `GA`(RR)`
`0=hat1` `0f=f0=f` `hat0f=fhat0=0` `ab = a+b` `hatahatb = hat(a**b)` `hatab = (b"/"a)hata` `ahatb = hatb(a**b)` `hatab o+ hat(a')b' = hat( (a+a') )(b+b')`
---- 30 octobre 2016 ----