Les modules commutatifs
Considérons un groupe abelien `(G,"+")`. Les éléments du groupe peuvent s'ajouter entre eux. Il est donc possible de les multiplier par des entiers. Et comme les éléments sont négativables, il est aussi possible de les multiplier par des entiers négatifs. Ce produit d'un entier relatif par un élément de `G`, est une loi dite externe au groupe `G`. C'est une application de `ZZ"×"G->G` qui se définie formellement comme suit :
`AAn "∈" ZZ, AAg "∈" G`
On examine cet exemple de module, et on ne s'intéresse qu'à quelques propriétées jugées fondamentales et suffisantes pour engendrer la structure :
Autrement dit :
Puis à partir de ces seules propriétés, on construit la structure.
Le groupe abelien `G` se définie en notation programmative avec un patron de structure « Groupe abelien », une liste d'éléments et d'opérateurs spéciaux `"+", 0, "-"` suivie d'une liste d'éléments générateurs pouvant être infinie dénombrable `g_1,g_2,g_3`, et une théorie d'égalité `T` :
`G = (sf"Groupe abelien" ("+", 0, "-", g_1,g_2,g_3))/T`
Le patron « Groupe abelien » donne un rôle à chacun de ses arguments dans un ordre précis :
La structure possède un langage `L` qui regroupe tous les opérateurs participant à son engendrement. `L = {"+",0,"-",g_1,g_2,g_3}`. Et ce langage engendre une structure libre notée `"<"L">"` qui regroupe toutes les compositions closes et de taille finie d'opérateurs appartenant à la présentation `L`.
Le patron « Groupe abelien » apporte la théorie suivante :
`{"+" sf"est associatif"} ` `{(x"+"y)"+"z=x"+"(y"+"z)}` `{"+" sf"est commutatif"} ` `{x"+"y=y"+"x}` `{0 sf"est élément neutre pour" "+"}` `{x"+"0=x}` `{"-" sf"est l'opposé pour atteindre" 0 sf"avec" "+""}` `{x"+"("-"x) = 0}`
La théorie d'égalité `T` qui n'est pas déterminée ici, rajoute des propriétés d'égalité écrite dans le même langage, et va définire une relation d'équivalence dans le groupe abelien libre engendré par `g_1,g_2,g_3`. Les groupes ainsi défini avec une théorie `T` de taille finie et écrite dans le langage `L`, sont dit `L`-définissable où `L` est la présentation du langage `L={"+", 0, "-", g_1,g_2,g_3}`.
Toute structure comprend ainsi 3 théories :
Un groupe abelien représente l'ensemble de toutes les accumulations de ressources possibles en positif comme en négatif. Un élément du groupe abelien représente une accumulation de ressources. C'est l'aspect commutatif qui permet de ranger les ressources comme l'on veut et donc qui permet de définir le concept de ressource rangeable, un invariant dans les permutations, une quantité. Et c'est le fait que chaque élément possède un opposé qui permet également de se défaire de ces ressources et de cummuler des dettes. Et cela n'empêche nullement les aspects cyliques tel une accumulation non nulle de ressources qui serait équivalente à rien c'est à dire à l'élement neutre `0_G`.
3.2) Système de coordonnées
Un groupe abelien représente l'ensemble de toutes les positions possibles dans un espace affine spécial, et représente aussi l'ensemble de toutes les translations possibles dans un espace vectoriel special, définis par un système de coordonnées spécial. C'est l'aspect commutatif qui permet de ranger les quantités de translation par coordonnées comme l'on veut et donc de définir le concept de coordonnée, un invariant dans les permutations des translations successives et qui peut donc se décomposer en des quantités spécifiques selon un système de coordonnées. Et cela n'empêche nullement les aspects cyliques tels qu'une translation non nulle nous faisant revenir au même point, une translation équivalente à la translation nulle c'est à dire à l'élement neutre `0_G`.
Le groupe agit sur lui-même par translation. Cela signifie que chaque élément `g` du groupe est aussi une translation qui appliquée à un élément `x` du groupe, produit la position obtenue en partant de `x` et en se translatant de `g` :
`g(x)=x"+"g`
La position `g` est un élément de `G`. La translation `g` est une bijection de `G"→"G`. Le groupe `(G,"+")` se plonge dans le groupe des bijections `(G"↔"G,"∘")`, à l'aide de l'application transformant un élément `g` en la translation `g` qui se note `x"↦"x"+"g`.
L'opértateur `"∘"` est utilisé ici pour désigner la composition de bijection.
Les morphismes sont des applications qui respectent une liste d'opérateurs, en les projetant sur des opérateurs de même arité. Par exemple, considérons deux structures de même type de langage `(0,1,2)`, présentées en notation classique `(A,a,s"(.)","⁎(.,.)")` et `(B,b,r"(.)","∙(.,.)")`. Les arités des opérateurs sont mentionnés une première fois à l'aide des suffixes `"(.)"` et `"(.,.)"`. Les arités des opérateurs des deux listes correspondent car c'est le même type de langage. Chaque opérateur est interne à sa structure :
`a"∈"A` `AAx "∈" A, s(x)"∈"A` `AA(x,y) "∈" A^2, (x"⁎"y)"∈"A`
`b"∈"B` `AAx "∈" B, r(x)"∈"B` `AA(x,y) "∈" B^2, (x"∙"y)"∈"B`
On ne s'intéresse qu'au langage des structures et à leur correspondance telle une traduction. Une application `f` de `A` vers `B` est un morphisme de `(A,a,s,"⁎")"→"(B,b,r,"∙")` si et seulement si :
`f(a)"="b` `AAx "∈" A, f(s(x)) "=" r(f(x))` `AA(x,y)"∈"A^2, f(x"⁎"y) "=" f(x)"∙"f(y)`
L'ensemble de ces morphismes est désigné par l'expression `(A,a,s,"⁎")"→"(B,b,r,"∙")`. Si de plus `f` est une bijection, on parlera d'isomorphisme. L'ensemble des bijections de `A` vers `B` est désigné par l'expression `A"↔"B`. L'ensemble des isomorphismes de `(A,a,s,"⁎")"` vers `(B,b,r,"∙")` est désigné par l'expression `(A,a,s,"⁎")"↔"(B,b,r,"∙")`.
Ensemble des applications de `A` vers `B` Ensemble des morphismes de `(A,a,s,"⁎")` vers `(B,b,r,"∙")` Ensemble des bijections de `A` vers `B` Ensemble des isomorphismes de `(A,a,s,"⁎")` vers `(B,b,r,"∙")`
En logique du premier ordre, les élémentariens ne traitent que des langages finis ou énumérables, les autres langages étant considérés comme inexistant ou plus modestement d'existence improuvable, et ils ne considèrent que des modèles finis ou dénombrables, les autres modèles étant considérés comme inexistant ou plus modestement d'existence improuvable.
Ce point de vue est fondé par le théorème de Löwenheim-Skolem qui affirme :
« Si une théorie du premier ordre admet un modèle infini, alors elle admet un modèle de n'importe quelle cardinalité infinie supérieure ou égale au cardinal du langage de la théorie en question. »
Cela coïncide avec le principe élémentarien qui affirme :
« Un élément ne peut contenir qu'une quantité fini d'information. »
L'interpretation peut être poussée davantage, en donnant une interprétation physique des mathématiques, en faisant une analogie entre élément et corpuscule. En l'état de nos connaissances physiques actuelles (mécanique quantique, physique corpusculaire, cosmologie), un corpuscule possèdant une quantité d'information infini aurait une masse infinie ce qui est physiquement absurde.
Dans notre discipline mathématique, on résume cela simplement par :
« Le point de vue élémentarien ignore les structures non énumérables. »
Autrement dit, une structure possède nécessairement une théorie d'engendrement, qui permet d'atteindre tout élément de la structure par une composition close de taille finie d'opérateurs appartenant au langage de la structure. Ce point de vue élimine la puissance du continu et rend dénombrable toute structure.
Une théorie est du premier ordre, si elle admet une expression qui n'utilise comme langage ; qu'une liste d'opérateurs d'arité fixe, l'unique prédicat binaire d'égalité `"="`, des variables universelles `x,y,z,...` devant être déclarées par un quantificateur, le quantificateur universel `AA`, les deux seuls connecteurs logiques `"et", "ou"`, et le connecteur logique de négation `¬`.
Le premier ordre signifie qu'il n'y a qu'un seul type de variable universelle `x,y,z,...`.
Si on ajoute des variables non déclarées par des quantificateurs alors nous obtenons un objet un peu plus générale appelé une fonction propositionnelle.
Le quantificateur n'est pas un opérateur mais un déclarateur. Il déclare en premier argument une variable supplémentaire qui s'ajoute au langage du contexte, et possède en son second argument une théorie qui utilise le langage du contexte augmenté de cette variable.
Le quantificateur existentiel `EE` est définie par négation. Par exemple, dans le langage d'opérateurs `{a, "+(.,.)"}` la théorie `"¬"(AAx, x"+"a"="x)` qui s'écrit également `"¬"AAx, x"+"a"="x` est équivalente à `EEx, "¬"(x"+"a"="x)` que l'on note `EEx, x"+"a"≠"x`.
Une théorie du premier ordre se met sous forme prénexe c'est à dire sous une forme où tous les quantificateurs `AA` et `EE` (ou `"¬"AA`) apparraissent au début de la formule, et le corps restant se développe en conjonction de clauses de manière unique à l'ordre près des clauses, à l'ordre près des égalités dans chaque clause, à la permutation près des variables universelles dans chaque clause si celles-ci sont concomitantes dans l'entête prénexe, les variables universelles n'ayant de portée qu'à l'intérieur d'une clause, et à la permutation près des variables existenciels dans la conjonction si celles-ci sont concomitantes dans l'entête prénexe.
Le connecteur de négation n'étant utilisé que sur le prédicat d'égalité et sur le bloc de quantification `AA`. Ce développement est appelé la forme normale de la théorie ou son expression. Puis conventionellement, on représente la conjonctions de clauses par l'ensemble de clauses ou l'énumération de clauses, comme par exemple : `C_1 "et" C_2 "et" C_3 = {C_1,C_2,C_3} = (C_1,C_2,C_3)`
Le littéral, qui est une égalité ou une inégalité, représente le niveau atomique. La clause de littéraux représente le niveau moléculaire.
Cette forme normale de la théorie est appelée l'expression de la théorie. Bien évidement, deux théories distinctes, c'est à dire d'expressions distinctes, c'est à dire de forme normale distrincte, peuvent quand-même être logiquement équivalentes.
Le langage de la théorie est la structure libre engendré par les opérateurs présents dans l'expression de la théorie.
De la même façon qu'une structure énumère tous ses éléments par un procédé mécanique décrit par sa théorie d'engendrement, une théorie énumère toutes les démonstrations qu'elle peut faire et donc toutes les propositions qu'elle peut démontrer, par un procédé mécanique décrit par son système de déductions.
L'ensemble des propositions sous forme normale, démontrables par `T`, se note `"<"T">"`. Quelque soit une proposition démontrable par la théorie `T`, l'énumérateur de la théorie `T` le produira en un temps fini, certe non borné.
Toute théorie `T` définie une relation d'équivalence `"~"` dans son langage `"<"L">"`. L'ensemble `L` regroupe tous les éléments et opérateurs présents dans la forme normale de la théorie. Cet ensemble engendre une structure libre notée `"<"L">"` dans laquelle la théorie définie une relation d'équivalence comme suit :
`AA(x,y) "∈<"L">"^2, (T |-- x"="y) => x"~"y`
Et il s'agit bien d'une relation d'équivalence, reflexive, antisymétrique et transitive.
La théorie définie alors une structure notée `"<"L">/"T` qui regroupe l'ensemble des classes d'équivalences.
Si on s'interdit d'utiliser le connecteur logique de négation `¬` et les quantificateurs existenciels `EE`, alors cela définie les théories d'égalités du premier ordre. Une théorie d'égalité n'utilise pas de négation, ni de variables existentielles.
Les variables dans une théorie d'égalité du premier ordre sont implicitement quantifiés universellement.
Une théorie est une théorie d'égalité du premier ordre, si elle admet une expression qui n'utilise comme langage ; qu'une liste d'opérateurs d'arité fixe, l'unique prédicat binaire d'égalité `"="`, des variables universelles `x,y,z,...`, et les deux seuls connecteurs logiques `"et", "ou"`.
Une théorie d'égalité se développe en conjonction de clauses d'égalité de manière unique à l'ordre près des clauses, à l'ordre près des égalités dans chaque clause, et à la permutation près des variables universelles dans chaque clause, les variables universelles n'ayant de portée qu'à l'intérieur d'une clause. Ce développement est appelé la forme normale de la théorie ou son expression. Puis conventionellement, on représente la conjonctions de clauses par l'ensemble de clauses ou l'énumération de clause, comme par exemple : `C_1 "et" C_2 "et" C_3 = {C_1,C_2,C_3} = (C_1,C_2,C_3)`
L'égalité représente le niveau atomique. La clause d'égalité représente le niveau moléculaire.
Bien évidement, deux théories d'égalité distinctes, c'est à dire d'expressions distinctes, c'est à dire de forme normale distrincte, peuvent quand-même être logiquement équivalentes.
Les théories d'égalité ne peuvent démontrer que des clauses d'égalité. Elles écartent une première symétrie qu'est la négation pour ouvrir sur d'autres symétries moins évidentes et propres à la construction.
Une clause d'égalité est soit démontrée par `T` au bout d'un temps fini (non borné), ou soit n'est jamais démontrée par `T`. Une théorie d'égalité n'infirme jamais aucune clause d'égalité. Une théorie d'égalité ne démontre que des clauses d'égalité. Autrement dit, une théorie d'égalité semi-décide les clauses d'égalité. Aussi, on est jamais sûre qu'une théorie `T` ne puisse pas démontrer une clause d'égalité, car pour le savoir il faudrait passer en revue toutes les démonstrations possibles ce qui demenderait un temps infini. Et quand bien même nous serions que `T⊬ x"="y`, cela ne signifierait pas que `x` est différent de `y`.
Chaque théorie du premier ordre admet une forme normale prénexe et un possède un niveau de complexité exprimé par un couple d'entiers `(a,n)` défini comme suit :
Considérons par exemple la théorie classique des groupes définie dans le langage `{"∗"}` où l'opération `"∗"` peut être noté par absence de symbole, et que l'on met sous forme normale :
`EE1AAxEEyAAzAAt, 1x"="x,x1"="x,(xz)t"="x(zt),xy"="1,yx"="1`
La complexité de cette théorie est `(4,5)`, ou dit explicitement, de niveau de complexité `4` et utilisant `5` variables.
On définit les équivalences partielles comme suit : Deux théories `T,U` sont dites `(a,n)`-équivalentes, ce qui se note `T⇔_("("a,n")")U`, si et seulement si pour toute proposition `varphi` de complexité `(b,m)` avec `b"⩽"a` et `m"⩽"n`, nous avons `(T"⊢"varphi) <=> (U"⊢"varphi)`.
La complexité des théories du premier ordre reste relative à leur langage. En effet, si nous considérons la théorie des groupes d'élément neutre `1` dans le langage `{1, "∗"}` où l'opération `"∗"` peut être noté par absence de symbole, et que l'on met sous forme normale :
`AAxEEyAAzAAt, 1x"="x,x1"="x,(xz)t"="x(zt),xy"="1,yx"="1`
La complexité de cette théorie est `(3,4)`, ou dit explicitement, de niveau de complexité `3` et utilisant `4` variables. Mais il y a quand-même une petite différence entre ces deux théories de groupes. Dans le second cas, on a choisi un élément `1` dans le langage `{1, "∗"}` pour servire d'élément neutre.
Toute structure bien définie possède une théorie d'engendrement. C'est pourquoi on s'intéresse aux générateurs, c'est à dire à un ensemble d'opérateurs capables d'engendrer par composition close tous les éléments de la structure. La théorie d'engendrement n'est pas du premier ordre. Elle engendre la structure par récurrence générale. Et réciproquement toute récurrence procède à l'engendrement d'une structure, d'où l'adage : « la récurrence est consubstantielle à la notion de structure ».
On utilise les crochets `"<" ">"` pour désigner la cloture par composition close (et de taille fini) des opérateurs qui y sont présents. Et si des ensembles y sont présents, ils sont implicitement remplacés par ce qu'ils contiennent, faisant que par exemple `"<"L">" = "<"a,s,"⁎>"`.
Et on utilise la division par une théorie d'égalité pour désigner l'ensemble des classes d'équivalences qui constitue les éléments de la structure. Ainsi par exemple nous définissons une structure `S` comme suit à l'aide de variables universelles `x,y,z` qui sont implicitement quantifiées universellement.
`S = ("<"a,s,"⁎>")/{s(s(x))"="a, (x"⁎"y)"⁎"z"="s(y)}`
`S = ("<"a,s,"⁎>")/T_S` avec `T_S= {s(s(x))"="a, (x"⁎"y)"⁎"z"="s(y)}`
Il a y deux niveaux d'égalité, l'égalité de constrution dans l'engendrement, notée `≡`, qui identifie deux éléments dans la structure libre `"<"a,s,"⁎>"`, et il y a l'égalité, notée `=`, qui identifie deux éléments dans la structure quotientée `S="<"a,s,"⁎>/"T_S`. Et deux éléments `x,y` de cette structure `S` sont égaux si `T_S |-- x"="y`.
On définie une structure de façon classique à l'aide d'un ensemble sous-jacent et en le munissant d'une liste d'opérateurs internes. Par exemple, la structure `(A,a,s"(.)","⁎(.,.)")`comprend son ensemble sous-jacent `A` qui repgroupe tous ses éléments, un élément singulier `a` qui appartient à `A`, un opérateur unaire `s` qui est une application de `A"→"A`, et un opérateur binaire `⁎` qui est une application de `A"×"A"→"A`.
La structure est complètement définie lorsque l'élément de nom `a` est fixé à être égale à un élément précis de `A`, lorsque l'application `s` est complétement définie par son graphe qui est un ensemble d'égalités nommé pareillement `s`, et lorsque l'application `r` est aussi complétement définie par son graphe qui est un ensemble d'égalités nommé pareillement `r`. La structure classique se définie alors comme suit :
`A = ("<"A,a,s,"⁎>")/(s "∪" r)`
La structure est désignée par le même nom que son ensemble sous-jacent, et on laisse au contexte le soin de lever l'ambiguité.
La structure `A` comprend un langages qui est `L=A"∪"{s,"⁎"}`
Et elle comprend une théorie noté `T_A=s "∪" r` écrite dans le langage `L`.
La structure est dite `L`-définissable si sa théorie `T_A` écrite dans le langage `L` est équivalente à une théorie de taille finie toujours écrite dans le langage `L`.
Etant donnée une structure `S` engendrée par `"<"a,s,"⁎>"` avec sa théorie `T_S` écrite dans le langage `{a,s,"⁎"}`, cela se déclare ainsi :
`S = ("<"a,s,"⁎>")/T_S`
L'extension consiste à ajouter de façon libre un opérateur au langage de la structure et donc de l'ajouter également à son processus d'engendrement. Il est ajouté de façon libre, c'est à dire tel que cet opérateur, en s'appliquant à un élément quelconque de la structure, n'opère aucune perte d'information. Ou bien, s'il s'agit d'un élément, que cet élément complète de façon libre tous les opérateurs déjà présents dans le langage, c'est à dire que les opérateurs déjà présents vont compléter leur définition en s'appliquant à cet élément sans opérer aucune perte d'information.
Considérons l'extension élémentaire par un élément `i`. Celui-ci va agrandire la structure en l'ensemble des classes d'équivalence suivant qui définie une nouvelle structure :
`S[i] = ("<"a,i,s,"⁎>")/T_S`
Et on remarquera que la théorie de cette nouvelle structure nommée `S[i]` n'a pas changé sauf son langage qui s'est augmenté de l'élément `i`. Cet élément `i` appartient à `A[i]` dont la théorie, étant une théorie d'égalité, ne peut jamais démontrer que `i` n'appartient pas à `A`.
On remarque alors que toute théorie d'égalité démontrable dans l'une des structures est démontrable dans l'autre structure puisqu'elles ont la même théorie `T_S`. On dira qu'il y a une équivalence élémentaire entre les deux structures, ce qui se note :
`S≡S[i]`
Et cela s'appelle une équivalence entre les théories d'égalité des deux structures. La différence des deux structures tient dans les théories d'engendrement des deux structures qui ne sont pas équivalentes. Notez qu'à la différence des théories d'égalité, les théories d'engendrement ne sont pas des théories du premier ordre. Ainsi, deux structures sont équivalentes globalement si et seulement si elles ont même type de langage et que leur théories globales (conjonction de la théorie d'engendrement et de la théorie d'égalité) sont équivalentes. Et deux structures sont équivalentes élémentairement si et seulement si elles ont même type de langage et que leur théories d'égalité sont équivalentes.
Un isomorphisme local entre deux structures `A` et `B` est un isomorphisme entre une sous-structure de `A` et une sous-structure de `B`.
On définit les isomorphisme partiels comme suit : Un `(a,n)`-isomorphisme est un isomorphisme local `f` satisfaisants les deux propriétés suivantes :
Cela signifie plus précisement que `f` est un `(a,n)`-isomorphisme si et seulement si :
Et quelque soit `a`, un `(a,0)`-isomorphisme est simplement un isomorphisme local, sans autre condition.
Deux structures `A,B` sont dites `(a,n)`-isomorphes, si et seulement si il existe un `(a,n)`-isomorphisme de l'une vers l'autre.
Deux structures `A,B` sont `(a,n)`-isomorphe si et seulement si leurs théories d'égalité sont `(a,n)`-équivalentes. Ainsi la notion d'isomorphisme partiel coïncide avec la notion d'équivalence partielle, faisant le lien entre théorie d'égalité et structure.
---- 31 mai 2019 ----
Voir l'algèbre d'un monoïde https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_d%27un_mono%C3%AFde
Deux structures `(A,a,s,"⁎")` et `(B,b,r,"∙")` sont dites élémentairement équivalent, ce qui se note par `(A,a,s,"⁎")≡(B,b,r,"∙")`, si et seulement si toutes propriétés satisfaite dans `(A,a,s,"⁎"), après substiution les opérateurs `,a,s,"⁎"` respectivement par `b,r,"∙"` constitue une propriété satisfaite dans `(B,b,r,"∙")`.
S'il existe un isomorphismes `f` de `(A,a,s,"⁎")` vers `(B,b,r,"∙")` alors les deux structures sont élémentairement équivalente. Par contre l'inverse n'est pas vrai. Les extensions élémentaires produisent des strutures élémentairement équivalentes qui peuvent ne pas être isomorphes. Du point de vue élémentarien, une réciproque peut se formuler ainsi : Deux structures élémentairement équivalentes sont isomorphes à une extension élémentaire près.
---- 30 mai 2019 ----
L'isomorphisme assure que la structure `B` possède la même théorie que celle de `A` en susbstituant les opérateurs `a,s,"⁎"` respectivement par `b,r,"⁎"`. Autrement dit, les propriétés du premier ordre de `B`, sont celles de `A` en substituant les opérateurs `a,s,"⁎"` respectivement par `b,r,"⁎"`.
L'image du morphisme forme la structure `(f(A),b,r,"⁎")` et possède la même théorie en susbstituant les opérateurs `a,s,"⁎"` respectivement par `b,r,"⁎"`. Autrement dit, les propriétés du premier ordre de l'image `f(A)`, sont celles de `A` en substituant les opérateurs `a,s,"⁎"` respectivement par `b,r,"⁎"`.
---- 29 mai 2019 ----
Une fonction f de A->B est un morphisme de magma si et seulement si AA x,y in A^2 f(x⁎y) = f(x)∘f(y). On dira également que f est un morphisme de `(A,"⁎")->(B,"∘")`.
Par exemple considérons deux magmas en notation classique `(A,"⁎")` et `(B,"∘")`. Une fonction f de A->B est un morphisme de magma si et seulement si AA x,y in A^2 f(x⁎y) = f(x)∘f(y). On dira également que f est un morphisme de `(A,"⁎")->(B,"∘")`.
On notera `A->B`, l'ensemble des applications de A vers B
On notera `(A,"⁎")->(B,"∘")` , l'ensemble des morpismes de A vers B
On appel morphisme des applications qui respecte des opérations. Prenons par exemple l'ensemble des entiers relatifs ZZ.
Une fonction f de ZZ->ZZ respecte l'addition si et seulement si AAx,yinZZ^2 f(x+y)=f(x)+f(y)
---- 25 mai 2019 ----
A partir d'un anneau commutatif `A` et d'un groupe abelien `G` en notation additive, on construit le module `A[G]` comme suit. C'est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient dans `A` d'éléments de `G`.
`A[G] = {sum_(g in G) a_g g "/" AAg"∈" G, a_g "∈" A}`
Le produit `A"×"G->A[G]` est noté par absence de symbole. Ce produit qui compose un élément de `A` et un élément de `G` pour produire un élément de `A[G]` est par défaut libre. Cela signifie que deux telles expressions distinctes `ag` et `bh` désignent nécessairement des éléments distincts :
`AA(a,b)"∈"A^2, AA (g,h)"∈" G^2, (a"≠"b "ou" g"≠"h) => ag"≠"bh`
Ce qui est équivalent par contraposé à :
`AA(a,b)"∈" A^2, AA (g,h)"∈" G^2, ag"="bh => (a"="b "et" g"="h)`
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Le module est constructible s'il est obtenue à partir d'un anneaux constructible et d'un groupe abelien constructible et d'une loi externe `A"×"G->A[G]` calculable.
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Le module joue un rôle clef dans la construction des espaces vectoriels et dans la construction des anneaux de polynômes.
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A partir d'un anneau commutatif `A` et d'un groupe abelien `G` en notation additive, on construit le module `A[G]` comme suit. C'est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient dans `A` d'éléments de `G`.
`A[G] = {sum_(g in G) a_g g "/" AAg"∈" G, a_g "∈" A}`
Le produit `A"×"G->A[G]` est noté par absence de symbole. Ce produit qui compose un élément de `A` et un élément de `G` pour produire un élément de `A[G]` est par défaut libre. Cela signifie que deux telles expressions distinctes `ag` et `bh` désignent nécessairement des éléments distincts :
`AA(a,b)"∈"A^2, AA (g,h)"∈" G^2, (a"≠"b "ou" g"≠"h) => ag"≠"bh`
Ce qui est équivalent par contraposé à :
`AA(a,b)"∈" A^2, AA (g,h)"∈" G^2, ag"="bh => (a"="b "et" g"="h)`
Puis
propriétés du module
a(bg) = ab(g)
On identifie `A` avec l'ensemble `A1_G` faisant que `A` est inclus dans `A[G]`. Et on dit que `A[G]` est une extension vectorielle (de dimension `G`) de l'anneau `A`.
On identifie `G` avec l'ensemble `1_AG` faisant que `G` est inclus dans `A[G]`. Et on dit que `A[G]` est une extension ....terme à définir..... par l'anneau `A` du groupe `G`.