Groupe abelien totalement ordonné
Un groupe abelien totalement ordonné est un groupe dont l'opération interne est commutative, qui est muni d'une relation d'ordre total invariante par translation.
On considère des ressources que l'on peut ajouter dans un sac. L'ordre des opérations d'ajout n'a pas d'influence sur le résultat. Les ressources accumulées peuvent ainsi être rangées comme on veut. Le sac constitue ainsi une accumulation de ressources. Notez que cela ne garantit pas que les ressources accumulées de s'annulent pas mutuellement. Et certaines ressources peuvent être acquises sans retour possible, c'est à dire sans qu'il soit possible de s'en défaire par la suite. On parlera de ressource non réversible. L'acquisition d'une connaissance, sans possibilité de l'oublier après, est un exemple de telle ressource. Cette définition littérale définie le semi-groupe abelien, ou dit litteralement, l'ensemble des ressources.
Puis on considère que chaque ressource et réversibles c'est à dire que l'on peut s'en défaire. Et les ressources peuvent être soustraites, c'est à dire comptées négativement, comme une dette, et encore accumulées comme on accumule une dette. L'ordre des opérations d'ajout et de soustraction n'ont toujours pas d'influence sur le résultat et les ressources accumulées peuvent être rangées comme on veut. Cette définition littérale définie le groupe abelien, ou dit litteralement, l'ensemble des ressources réversibles.
Puis on veut que ces ressources forment un indicateur unique totalement ordonné, très à la mode à notre époque où l'on évalue tout. Cette définition littérale définie le groupe abelien totalement ordonné, ou dit litteralement, l'ensemble des valeurs.
Groupe abelien totalement ordonné Ensemble des valeurs
Une relation `"⩽"` définie sur un groupe abelien `G`, est dite invariante par translation si et seulement si
`AA(x,y,z)"∈"G^3, x"⩽"y => (x"+"z)"⩽"(y"+"z)`
La struture `(G,"+","⩽")` est un groupe abelien totalement ordonné si et seulement si elle vérifient les 9 axiomes suivants :
`AA(x,y,z)"∈"G^3,`
groupe abelien
relation d'ordre total
invariante par translation
Par commodité, une fois définie la relation d'ordre total`"⩽"`, on définie la relation d'ordre inverse `"⩾"` ainsi que les relations d'ordre stricte `"<"` et `">"` comme suit :
`a">"b <=> a"⩾"b "et" a"≠"b`
On définit les fonctions max et min s'appliquant à deux éléments puis s'appliquant récursivement à un nombre fini d'éléments comme suit :
`x"⩽"y <=> tt"min"(x,y)"="x <=> tt"max"(x,y)"="y`
`y"⩽"x <=> tt"min"(x,y)"="y <=> tt"max"(x,y)"="x`
`tt"max"(x_1,x_2,x_3)=tt"max"(tt"max"(x_1,x_2),x_3)`
`tt"min"(x_1,x_2,x_3)=tt"min"(tt"min"(x_1,x_2),x_3)`
On définit le signe comme suit : Un élément `x` de `G` est positif si et seulement si `0"⩽"x`, et il est négatif si et seulement si `x"⩽"0`. On note `G^"+"` l'ensemble des éléments positifs du groupe, et `G^"-"` l'ensemble des éléments négatifs du groupe. L'élément neutre `0` est à la fois positif et négatif. Puis l'ensemble des éléments non nuls `G"*"`. Puis l'enemble des éléments strictements positifs `G"*"^"+"`.
Enemble des éléments positifs Ensemble des valeurs positives `G^"-"` Enemble des éléments négatifs Ensemble des valeurs négatives Enemble des éléments non nuls Ensemble des valeurs non nulles Enemble des éléments strictements positifs Ensemble des grandeurs
Puis on définie la norme d'un élément `x` que l'on note `|x|` comme suit :
La struture `(G,"+","⩽")` est de plus, dite archimédienne si et seulement si elle ne comprend pas de valeurs infiniment grande ni infiniment petite par rapport à ses éléments.
`G` est archimédien
ou encore :
`G` est archimédien
(`"⩽"` invariant par translation) `x"⩽"y => x"+"z⩽y"+"z` (`"⩽"` invariant par translation) `z"⩽"t => z"+"y⩽t"+"y` (`"⩽"` transitif)
( `"+"` est commutatif)`x"+"z"⩽"y"+"z "et" z"+"y"⩽"t"+"y => x"+"z ⩽ y"+"t`
On applique récurcivement la propriété d'addition membre à membre.
`G^"+"∪G^"-" =G`
(`"⩽"` ordre total) `0"⩽"x "ou" x"⩽"0` `G = G^"+"∪G^"-"` (`"⩽"` antisymétrique) `0"⩽"x "et" x"⩽"0 => x"="0` `G^"+"∩G^"-" ={0}`
(`"⩽"` addition membre à membre)
(`"-"` est l'opposé pour `"+"`)`x"⩽"y => 0"⩽"y"-"x` `0"⩽"y"-"x => "-"y"⩽-"x`
En notation programmative, on définit le patron de structure Gato pour désigner les groupes abeliens totalement ordonnés :
Dans cette expression, le premier argument désigne un opérateur binaire appelé l'addition, le second argument désigne l'élément neutre de l'addition appelé zéro, le troisième argument désigne un opérateur unaire qu'est le passage à l'opposé appelé la négation, le quatrième argument désigne la relation d'ordre totale qui doit être invariante par translation.
La théorie d'égalité du patron Gato comprend les 9 axiomes décrit dans le tableau précédent.
Etant donné un nouvel élément générateur `a`. On peut toujour choisir `a` positif, car s'il et négatif on peut le remplacer par `"-"a` sans que cela ne change la structure à isomorphisme près. Et étant donné pusieurs nouveaux éléments génétareurs `a,b,c`. On peut toujours les choisir positifs pour la raison précédente et placés dans l'ordre `a<b<c`, car s'ils ne sont pas dans l'ordre on peut les permutter pour les mettre en ordre sans que cela ne change la structure à isomorphisme près.
Les éléments générateurs sont présentés à la suite, dans l'ordre et en étant positifs, comme suit :
Gato monogène `("+",0,"-","⩽",a)` avec `a` positif Gato bigène `("+",0,"-","⩽",a,b)` avec `a` positif et `a"<"b` Gato trigène `("+",0,"-","⩽",a,b,c)` avec `a` positif et `a"<"b"<"c` ... Gato `oo`-gène `("+",0,"-","⩽",NN"*")` avec `1` positif et `1"<"2"<"3"<"...`
Mais la notation est incomplète ! car nous n'avons pas défini de moyen pour construire la relation `"⩽"`.
Pour les élémentariens, une relation définie sur `G` n'existe que s'il existe un moyen de la construire, c'est à dire si elle est semi-décidable.
Il y deux cas, soit la relation est décidable, c'est à dire qu'elle constitue un prédicat, une application totalement calculable de `G^2"→"{0,1}`, ou soit la relation est semi-décidable c'est à dire qu'elle constitue un semi-prédicat, une application calculable de `G^2"→"{oo,1}` où l'infini de Turing `oo` signifie que le programme qui calcul l'application ne s'arrète pas et que cette non réponse est interprétée comme étant une réponse `0`.
Une relation semi-décidable est aussi définie par le programme qui l'énumère, tandis que qu'une relation décidable est définie par deux programmes ; un premier programme qui l'énumère et un second programme qui énumère sont complément.
Une relation d'ordre totale `"⩽"` est antisymétrique, c'est à dire que si `¬x"⩽"y` alors `y"⩽"x`. De telle sorte que si la relation est semi-décidable alors elle est décidable.
`G =` Gato monogène `("+",0,"-","⩽",a)`
Soit l'ordre de `a` est fini, c'est à dire qu'il existe un entier strictement positif `n` tel que `na=0`, et nous avons :
`0⩽a⩽2a⩽...⩽(n-1)⩽<0`
et donc
`0=a=2a=...=na`
`G={0}`
Soit l'ordre de `a` est infini, et le groupe monogène est libre
`G= {0,a,2a,3a,...}`
`G= {na "/" n"∈"ZZ}`
Cette structure admet une forme normale `G"="{na "/" n"∈" ZZ}`, et il n'y a qu'une relation d'ordre total où `a` soit positif, car `0"⩽"a` entraine que :
`AAn"∈"ZZ, na ⩽ na"+"a`
et par transitivité nous obtenons :
`AA(n,m)"∈"ZZ^2, na"⩽"_Gma <=> n"⩽"_ZZm`
En conclusion il n'y a qu'un seul gato monogène (à isomorphisme près) non trivial, c'est le gato monogène libre, appelé `ZZ`.
Pour la raison évoqué précédément, dans un groupe totalement ordonné, le seul élément d'ordre fini est `0`.
`G =` Gato bigène `("+",0,"-","⩽",a,b)`
`G = {xa"+"yb "/" (x,y)"∈"ZZ^2} = ZZ^2`
Cette structure admet une forme normale `G"="{xa"+"yb "/" (x,y)"∈"ZZ^2}`,
`0"⩽"a"⩽"b` entraine que :
`AA(n,m)"∈"ZZ^2, `
`na"⩽"_Gma <=> n"⩽"_ZZm`
`nb"⩽"_Gmb <=> n"⩽"_ZZm`
Une donnée caractéristique `k` de cette ordre est le plus grand entier `n` tel que nous ayons encore `na"⩽"b`, ou la valeur `oo` si c'est toujours le cas. Et dans ce second cas le groupe n'est pas archimédien. Considérons le premier cas. Notez que `k` évolue librement parmis les entiers supérieur à `1`.
`k = `max`{n"∈"NN "/" na"⩽"b}`
`ka ⩽ b ⩽ ka"+"a`
Dés lors nous avons :
`2ka ⩽ 2b ⩽ 2ka"+"2a`
Mais nous ne pouvons pas trancher la position de `2ka"+"a` relative à `b`. Une autre donnée caractéristique `k_1` de cette ordre est le booléen `1` si `2k"+"a⩽2b`, ou le bouléen `0` si `2b ⩽ 2ka"+"a`. Et à cette étape de la construction de l'ordre, cette alternative est libre.
`k_1"="1 <=> 2k"+"a⩽2b`
`k_1"="0 <=> 2b ⩽ 2ka"+"a`
Puis pour chacun des cas on refait le même raisonnement :
Si `k_1=0` alors nous avons
`2ka⩽2b⩽2ka"+"a`
Et cette expression est la même que la précédente en remplaçant `2k` par `k` et `2b` par `b`.
Donc nous ne pouvons pas trancher la position de `2(2k)a"+"a` relative à `2b`. Une donnée caractéristique suivante `k_2` de cette ordre est le booléen `1` si `2(2k)"+"a⩽2(2b)b`, ou le bouléen `0` si `2(2b) ⩽ 2(2k)a"+"a`. Et à cette étape de la construction de l'ordre, étant connue `k_0` et `k_1`, cette alternative (`k_2"="0` ou `k_2"="1`) est libre.
`k_2"="1 <=> 4k"+"a⩽4b`
`k_2"="0 <=> 4b ⩽ 4ka"+"a`
Si `k_1=1` alors nous avons
`2ka"+"a⩽2b⩽2ka"+"2a`
`(2k"+"1)a⩽2b⩽(2k"+"1)a"+"a`
Et cette expression est la même que la précédente en remplaçant `2k"+"1` par `k` et `2b` par `b`.
Donc nous ne pouvons pas trancher la position de `2(2(k"+"1))a"+"a` relative à `2b`.Une donnée caractéristique suivante `k_2` de cette ordre est le booléen `1` si `2(2(k"+"1))"+"a⩽2(2b)b`, ou le bouléen `0` si `2(2b) ⩽ 2(2(k"+"1))a"+"a`. Et à cette étape de la construction de l'ordre, étant connue `k_0` et `k_1`, cette alternative (`k_2"="0` ou `k_2"="1`) est libre.
`k_2"="1 <=> 4(k"+"1)"+"a⩽4b`
`k_2"="0 <=> 4b ⩽ 4(k"+"1)a"+"a`
En répétant ce processus, on calcul une suite `(k,k_1,k_2,k_3,...)`. dont le premier terme est un entiers et les termes suivants sont des booléens. Il conviend maintenant d'écrire le programme calculant cette suite à partir du groupe. D'un point de vue mathématique, il n'y a pas de distinction entre une suite inconnue d'éléments de `E`, notée comme suit :
`(x_i)_(iin NN) = (x_0,x_1,x_2,x_3,...)`
et un énumérateur inconnu, noté comme suit :
`x in NN"→"E`
Les élémentariens ne considèrent que des applications calculables et donc ne considèrent que des suites calculables. Déterminer une suite devient, déterminer un programme qui l'énumère.
Pour simplifier la programmation on commencera par faire un programme appliqué à un exemple précis tel que par exemple le sous-groupe de `(QQ,+)` engendré par `3` et `11` que l'on note `"<"3,11,"-"3,"-"11,"+>"`. On voit que 3×3⩽11⩽4×3 donc k=3....
Il existe une suite caractéristique analogue d'apparence plus simple qui consiste à poser la même question pour un multiple arbitraire de `a` et `b`. La suite caractéristique est la suivante :
`µ_1 = `max`{n"∈"NN "/" na"⩽"b}`
`µ_2 = `max`{n"∈"NN "/" n2a"⩽"2b}`
`µ_3 = `max`{n"∈"NN "/" n3a"⩽"3b}`
....
`µ_i = `max`{n"∈"NN "/" nia"⩽"ib}`
On remarquera que le terme µ_i détermine tous les termes `µ_j` d'indice `j` diviseurs de `i`. Aussi cette suite caractéristique n'est pas libre comme est la première et donc ne permet pas de proposer un moyen simple de construction de tous les ordres possibles. Néanmoins on peut se restreindre à des indices premiers.
`µ_1 = `max`{n"∈"NN "/" np_1a"⩽"p_1b}`
`µ_2 = `max`{n"∈"NN "/" np_2a"⩽"p_2b}`
`µ_3 = `max`{n"∈"NN "/" np_3a"⩽"p_3b}`
....
`µ_i = `max`{n"∈"NN "/" np_ia"⩽"p_ib}`
où `p_i` désigne le `i`ème nombre premier. `p_1"="2, p_2"="3, p_3"="5, p_4"="7, p_5"="11, p_6"="13`
---- 25 févrirer 2018 ----
Gato `("+",0,"-","⩽",a) = {0,a,2a,3a,...}`
Gato `("+",0,"-","⩽",a) = {na "/" n"∈"ZZ}`
On peut toujour choisir `a` positif. Car s'il et négatif on peut le remplacer par `"-"a` sans que cela ne change la structure à isomorphisme près. La structure est isomorphe à `ZZ` avec l'ordre numérique.
Gato `("+",0,"-","⩽",a,b) = {na"+"mb "/" (n,m)"∈"ZZ^2} = ZZ^2`
On peut toujour choisire `a` et `b` tels que `0"⩽"a"⩽"b` sans changer la structure à isomorphisme près. La structure est isomorphe à `ZZ^2` avec l'orde lexiconumérique.
Gato `("+",0,"-","⩽",NN) = ZZ^NN` à support fini.
Il existe un processus de réordonnement au production donc énumérable, et donc on peut toujour choisire les éléments générateurs `0"⩽"1"⩽"2"⩽"3"⩽"...` sans changer la structure à isomorphisme près. La structure est isomorphe à `ZZ^NN`à support fini avec l'orde lexiconumérique. c'est à dire qu'il n'y a toujours qu'un nombre fini de composantes non nulles, l'engendrement n'étant que le résultat d'un calcul à partir d'un autre calcul énumérant les générateurs.
---- 31 janvier 2018 ----
On peut définire les groupes par une définition récurcive. Un groupe `G` représente un ensemble de bijections sur `G`, clos par composition et passage à l'inverse. La bijection identité `(x|->x)` qui ne change rien est notée `1` et appartient donc au groupe. La composition d'une bijection `x` et d'une bijection `y` se note `xy`. La bijection inverse de `x` se note `x^-1`. La propriété intinsèque des bijections est que leur composition est associative et qu'elles sont inversibles.