On enrichie les structures de nombres `bbbZ, bbbQ, bbbR` en ajoutant des éléments nouveaux qui peuvent obéir à d'autres lois et créer ainsi d'autres structures.... Et on cherche le langage le plus approprié pour exprimer les éléments de ces nouvelles structures, en s'inspirant des paradigmes informatiques de programmation que sont l'objet, l'aspet, le typage, l'inférence, l'héritage, l'unification, le parallèlisme, etc. Ce qui permet de renouer à avec le constructivisme, une idée récurante en mathématique, car les rouages des mathématiques ne sont pas autre chose que des rouages mécaniques.
Le corps des rationnels s'obtient classiquement en construisant le corps des fractions sur l'anneau des entiers relatifs. Et le corps des réels s'obtient classiquement en complétant le corps des rationnels par les suites de cauchy.
Considérons la droite réelle `RR`, c'est à dire le corps des réels `(RR,+,**)`. La multiplication est notée par l'absence de symbole lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité. Ainsi quelque soit deux réels `a` et `x`, l'expression `ax` signifie `a**x`.
Une transformation affine f se décompose en une dilatation suivie d'une translation et est donc définie par deux nombre réels `(a, b)` déterminant une dilatation `x|->xa` suivi d'une translation `x|->x+b`.
La notation française de composition de transformations `*` présente la succession des transformations dans l'ordre de gauche à droite tandis que la notation anglaise de composition de transformations `@` présente la succession des transformations dans l'ordre inverse de droite à gauche On adopte la notation française. La transformation d'un élément `x` par `F` se note `x_F` ou bien `xF`. Ainsi avons-nous :
`x_F = F(x)`
`xF = F(x)`
Et on applique ce précepte également pour définir la dilatation, c'est pourquoi on la note par `x|->xa` et non par `x|->ax` faisant comme si la transformation d'un élément `x` par une transformation `a` correspond à la multiplication `xa` et comme si la dilatation correspond au réel `a`. Cela n'a pas d'incidence pour l'instant car la structure est commutative.
En notation française, la composition d'applications `Q, R, S`, se note dans l'ordre d'application des applications `Q*R*S` et par concaténation `QRS` lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité. La notation anglaise `@` utilise le sens inverse. Par exemple :
`QRS = Q*R*S`
`QRS = S°R°Q``x_(QRS) = (((x_Q)_R)_S `
`x_(QRS) = (QRS)(x)`
`x_(QRS) = S(R(Q(x)))`
`x_(QRS) = (S@R@Q)(x)`
Et lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité sur le type de `x` à savoir si c'est une transformation ou un élément, nous avons :
`xQRS = x_(QRS) `
Notez que ces compositions sont associatives et qu'il n'y a donc pas besoin de mettre de parenthèse.
`xQRS = ((xQ)R)S = (x(QR))S =(xQ)(RS) = x((QR)S) = x(Q(RS))`
On définie la transformation `"affine"` qui appliquée à un couple de réels produit la transformation afffine correspondante :
`"affine"(a, b) = (x |-> xa + b) `
`"affine"(a, b) = (x |-> xa)*(x |-> x+b)`
Si on utilise la notation anglaise, on obtient `"affine"(a, b) = (x |-> x+b)@(x |-> xa)`.
On effectue une simplification du langage qui va nous permettre d'exprimer l'essentiel avec un minimum d'opérateurs. On identifie le couple `(a,b)` à l'application affine `(x |-> xa + b)`. Cela confère tous les attributs des applications affines au couples de réels et réciproquement. Ainsi `(a,b)` est à la fois un couple de réel et une application affine :
`(a,b) = (x |-> xa + b) `
`(a,b) = (x |-> xa)*(x |-> x+b)`
`(a,b) = (a,0)*(1,b)`
Cela enrichie le langage. Rappelez-vous, "Le langage résoud la moitier du problème". Les applications affines se composent selon la loi suivante :
`AA (x,a_1,b_1,a_2,b_2) in RR^5`
`x(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (xa_1+b_1)(a_2,b_2)`
`= (xa_1+b_1)a_2 + b_2`
`= xa_1a_2+b_1a_2 + b_2`
`= x(a_1a_2, b_1a_2 + b_2)`
C'est à dire :
`(a_1,b_1)*(a_2,b_2) = (a_1a_2, b_1a_2 + b_2)`
L'application identité `x|->x` correspond au couple `(1,0)`. Les applications affines, à l'exception des applications constantes qui sont de la forme `(0,x)`, sont inversibles en des applications affines. On note `RR^** = RR - {0}` l'ensemble des réels inversibles, et on note `"Affine"(RR)^** = {(x,y) " / " x in RR^** " et " y in R}` l'ensemble des applications affines inversibles. Le groupe des applications affines `("Affine"(RR)^**,*)` est une structure plus riche que le groupe multiplicatif des réels `(RR^**, **)` et est tout aussi fondamentale. C'est pourquoi on s'intéresse à cette structure et à son opération interne qu'est la composition `*` d'applications. Comme on veut étendre la structure des nombres `RR` avec la richesse apportée par cette structure, on commence par plonger `RR` dans `"Affine"(RR)`, et il y a deux plongements canoniques trés visibles. Soit on identifie le groupe additif des réels aux translations `(RR,+) -> ("Affine"(RR),*)` ou bien soit on identifie le groupe multiplicatifs des réels aux dilatations `(RR,**) -> ("Affine"(RR),*)`.
On plonge `(RR, **)` dans `("Affine"(RR),*)` en associant à chaque nombre `x` la dilatation `u|->ux` qui correspondau couple `(x,0)`. Il s'agit bien d'un plongement c'est à dire d'un morphisme injectif, c'est à dire d'une application vérifiant les deux propriétés suivantes `AAx,yinRR,`
Morphisme : `xy |-> (x,0)*(y,0)`
Injectif : `x=y lArr (x,0)=(y,0)`
Puis on simplifie le langage. On identifie les réels aux dilatations, et la multiplication `**` à la composition `*`. C'est à dire que ayant préalablement définie un plobgement (morphisme injectif) des réels vers les dilatations `x|->(u|->ux)`, on décide d'identifier chaque nombre réel `x` avec son image qui est la dilatation `u|->ux`, et l'opération `x**y` à la composition `(u|->ux)*(u|->uy)` Cela confère tous les attributs des dilatations aux nombres réels et réciproquement. Ainsi `x` est à la fois un nombre réel et une application affine. Cela enrichie le langage.
`AAx in RR, AA y in RR`
`x = (x,0)`
`y = (y,0)`
`x**y = (x**y,0)`
`x+y = (x+y,0)`
`x**y = (x,0)*(y,0)`
`x**y = x*y``x_a = x_(u|->u**a)`
`x_a = x**a`
`x_a = x*a`
--- 12 juin 2015 ---
Noter que `x+y` est ambigue eu égard aux définitions que nous avons posées préalablement, car il peut être interprété de deux façons, comme la somme d'application dans le groupe `("Affine"(RR),+)` ou comme la somme de réel dans le corps `(RR,+,**)`. Cela ce produit parce que le même symbol a été utilisé dans les deux structures sans que cela soit un choix délibéré d'unifier ces deux symboles. En attendant de voir si cela est possible, nous levons l'ambiguité en notant l'addition d'application autrement par le symbole `o+`. Ainsi la structure de groupe d'applications affines se notera `("Affine"(RR),o+)`.
Noter que `x(y)` désigne l'application de la dilatation `(u|->xu)` au nombre `y`, et que `x@y` désigne la composition de la dilatation `u|->xu` par la dilatation `u|->yu` et dont le résultat et la dilatation `(u|->xyu)`et est aussi le nombre réel `xy`et le couple `(xy,0)`.
Puis, toujours selon ce morphisme injectif, on identifie l'opération `@` à l'opération `**`, et il n'y a pas d'ambiguité, `xy` correspond à la multiplication dans `RR` lorsque `x` et `y` sont dans `RR`, et corrrespond à `x@y` lorque `x` et `y` sont dans `"Affine"(RR)` et que `x` ou `y` n'est pas dans `RR`.
Délors, on peut se demander si la translation ne possèdrait pas une ombre sur la structure des réels à travers ce plongement, c'est à dire s'il est possible d'ajouter un élément nouveau qui étendrait la structure des réels en étendant ce morphisme injectif, tout en gardant l'essentiel des propriétés de la structure des réels. Cet élément aura une part d'autonomie et pourra ne pas respecter toutes les règles de la structure hôte. Si nous nous plaçons de l'autre coté, car le plongement et l'unification que nous avons mis en oeuvre nous permet de nous placer directement dans la structure image, celle des applications affines, une structure plus riche contenant déjà les réels et toutes les extensions affines envisagables. Alors nous pouvons chercher les structures contenant les réels en ajoutant des éléments qui sont des applications affines de notre choix.
Procédons-ainsi et ajoutons un élément `t` qu'est la translation unitaire `x |-> x+1` identifié au couple `(1,1)`. On renonce également à maintenir la commutativité de la multiplication, car la composition d'une translation et d'une dillatation n'est pas commutataive. On étend le morphisme et on identifie l'opération `@` à l'opération `**` pour la structure engendré par les réels et l'élément `t`. Ainsi en appliquant la règle de composition `(A,B)**(a,b) = (Aa, Ab+B)` nous avons :
`t = (1,1)`
`t**t = (1,1)**(1,1) = (1,2)`
`t^n = (1,n)`
Cette égalité se démontre par récurence pour les entiers `t^nt = (1,n)**(1,1) = (1,n+1) = t^n+1` puis par passage au quotient pour les rationels, puis par passage à la limite pour les réels. Ainsi la translation `u|->u+x` est égale à `t^x`. On voit que, procédant ainsi, on dévoile une notation naturelle. Nous avons :
`t^x t^y = t^(x+y)`
`xt = (x,0)*(1,1) = (x,x)`
`tx = (1,1)*(x,0) = (x,1)`
`t^x y = (1,x)**(y,0) = (y,x)`
`y t^x = (y,0)**(1,x) = (y,yx)`
On en déduit que :
`y t^x = t^(yx) y`
`t^x y = y t^(x/y)`
Chaque éléments de `"Affine"(RR)` admet une forme normale `t^x y` produit d'une translation `u|->u+x` et d'une dilatation `u|->yu` et qui correspond à l'application d'une dilatation suivie d'une translation, ce que nous avons convenue au départ, et l'on retrouve bien la loi de composition `AAx_1,y_1,x_2,y_2inRR,` :
`t^(x_1) y_1 t^(x_2) y_2 =t^(x_1)t^(y_1x_2) y_1 y_2`
`t^(x_1) y_1 t^(x_2) y_2 =t^(x_1+y_1x_2) y_1 y_2`
Est-il possible d'étendre l'opération `+` du corps des réels à cette structure étendue par l'ajout de `t` en respectant le morphisme injectif, et la distributivité ? Supposons le cas. Nous avons :
`t**2 = t**(1+1) = t**1 + t**1 = t@id + t@id = t + t`
`2**t = (1+1)**t = 1**t + 1**t = id@t + id@t = t + t`
`t**2 = 2**t`
`(1,1)*(2,0) = (2,0)*(1,1)`
`(2,1) = (2,2)`
Cela est absurde. Il faut donc abandonner encore une propriété telle que la distributivité pour pouvoir étendre l'opération `+`
On plonge `(RR, +)` dans `("Affine"(RR),@)` en associant à chaque nombre `x` la translation `u|->u+x` qui correspond au couple `(1,x)`. Il s'agit bien d'un plongement c'est à dire d'un morphisme injectif, c'est à dire d'une application vérifiant les deux propriétés suivantes `AAx,yinRR,`
Morphisme : `x+y |-> (x,0)@(y,0)`
Injectif : `x=y iff (x,0)=(y,0)`
Puis on simplifie le langage. On identifie les réels aux translations. C'est à dire que ayant préalablement définie une application bijective des réels vers les translations `x|->(u|->u+x)`, on décide d'identifier chaque nombre réel `x` avec son image qui est la translation `u|->u+x`. Cela confère tous les attributs des translations aux nombres réels et réciproquement. Ainsi `x` est à la fois un nombre réel et une translation. Cela enrichie le langage.
`x = (1,x)`
`y = (1,y)`
`x+y = (1,x+y)`
`xy = (1,xy)`
`x+y = x@y`
`x(y) = (u|->u+x)(y) = y+x`
Noter que `x(y)` désigne l'application de la translation `(u|->u+x)` au nombre `y`, et que `x@y` désigne la composition de la translation `u|->u + x` par la translation `u|->u + y` et dont le résultat et la translation `(u|->u+y+x)`et est aussi le nombre réel `y+x`.
Puis, toujours selon ce morphisme injectif, on identifie l'opération `@` à l'opération `+`, et il n'y a pas d'ambiguité, `x+y` correspond à l'addition dans `RR` lorsque `x` et `y` sont dans `RR`, et corrrespond à `x@y` lorque `x` et `y` sont dans `"Affine"(RR)` et que `x` ou `y` n'est pas dans `RR`. Ainsi la composition d'application affine pourra être noté `+` et l'ancienne notation sera réservés pour les autres applications n'appartenant pas à `"Affine"(RR)`. Noter que l'addition ainsi généralisée n'est plus commutative.
L'application affine `(a,b)` se décompose en une dilatation `a` suivie d'une translation `b`. Cela s'écrit dans le sens inverse car nous utilisons la notation anglaise de composition d'application, `(a,b) = (1,b)@(a,0)` ou plus simplement `(a,b) = (1,b)@a`. Et comme nous identifions `@` à l'opération `+` via notre morphisme injectif, nous avons :
`(a,b) = (1,b)+(a,0)`
`(a,b) = (1,b)+a`
Et les applications affines se composent selon la loi suivante :
`(A,B)+(a,b) = (Aa, Ab+B)`
Délors, on peut se demander si la dilatation ne possèdrait pas une ombre sur la structure des réels à travers ce plongement, c'est à dire s'il est possible d'ajouter un élément nouveau qui étendrait la structure des réels en étendant le morphisme injectif, tout en gardant l'essentiel des propriétés de la structure des réels. Cet élément aura nécessairement une part d'autonomie et pourra ne pas respecter de nombreuses règles de la structure hôte.
On peut toujours ajouter un élément nouveau par extension élémentaire. Et on peut vouloir ajouter un élément nouveau qui ne respecterait pas toutes les propriétés du corps des réels. Cela revient à considérer les réels dans une structure plus faible, plus générale, et à en faire une extension élémentaire.
Si nous nous plaçons de l'autre coté, car le plongement et l'unification que nous avons mis en oeuvre nous permet de nous placer directement dans la structure image, celle des applications affines, une structure plus riche contenant déjà les réels et toutes les extensions affines envisagables. Nous pouvons alors en rechercher des structures contenant les réels en ajoutant des éléments qui sont des applications affines de notre choix.
Procédons-ainsi et ajoutons un élément `d` qu'est la dilatation par deux `x |-> 2x` identifié au couple `(2,0)`. Ainsi en appliquant la règle `(A,B)+(a,b) = (Aa, Ab+B)` nous avons :
`d = (2,0)`
`d+d = (2,0)+(2,0) = (4,0)`
`d+d+d = (4,0)+(2,0) = (8,0)`
`n**d = (2^n,0)`
Cette égalité se démontre par récurence pour les entiers `nd+d = (2^n,0)+(2,0) = (2^(n+1),0)` puis par passage au quotient pour les rationels, puis par passage à la limite pour les réels. Ainsi la dilatation u|->xu est égale à `log(x)**d` où le logarithme est en base 2. On voit que, procédant ainsi, on dévoile une notation naturelle. Nous avons :
`log(x)**d + log(y)**d = (log(x)+log(y))*d = log(x*y)*d`
`x+d= (1,x)+(2,0) = (2,x)`
`d+x = (2,0)+(1,x) = (2,2x)`
`xd+y = (2^x,0)+(1,y) = (2^x,2^x y)`
`y+xd = (1,y)+(2^x,0) = (2^x, y)`
On en déduit que :
`xd+y = 2^x y + xd`
`y+xd = xd + 2^-x y`
Chaque éléments de `"Affine"(RR)` admet une forme normale `xd + y` produit d'une dilatation `u|->xu` et d'une translation `u|->u+y`
--- 7 juin 2015 ---
et qui correspond à l'application d'une dilatation suivie d'une translation, ce que nous avons convenue au départ, et l'on retrouve bien la loi de composition `AAx_1,y_1,x_2,y_2inRR,` :
Est-il possible d'étendre l'opération + du corps des réels à cette structure étendue par l'ajout de `t` en respectant le morphisme injectif, et la distributivité ? Supposons le cas. Nous avons :
`t**2 = t**(1+1) = t**1 + t**1 = t@id + t@id = t + t`
`2**t = (1+1)**t = 1**t + 1**t = id@t + id@t = t + t`
`t**2 = 2**t`
`(1,1)*(2,0) = (2,0)*(1,1)`
`(2,1) = (2,2)`
Cela est absurde. Il faut donc abandonner encore une propriété telle que la distributivité.
On peut toujours ajouter un élément nouveau par extension élémentaire, produisant une structure plus grande mais de même théorie. Et on peut vouloir ajouter un élément nouveau qui ne respecterait pas toutes les propriétés du corps des réels. Cela revient à considérer les réels dans une structure plus faible, plus générale, et à en faire une extension élémentaire. La théorie de la structure est un ensemble de règles d'égalité, de transformations autorisées des expressions du langage de la structure.
Au lieu de concidérer le terme générale Aff(a,b), il est plus judicieux d'utiliser des termes moins généraux mais générateurs que sont les dilatations D(a) = Aff(a,0) et les translation T(b) = Aff(1,b), sachant que Aff(a,b) = T(b)°D(a). Les règles de calcul sont données par les 3 égalités suivantes :
T(x)°T(y) = T(y)°T(x) = T(x+y)
D(x)°D(y) = D(y)°D(x) = D(x*y)
D(x)°T(y) = T(x*y)°D(x)
De tel sorte que l'on remplace le calcul dans algèbre par une succession de règles combinatoires.
Puis on identifie l'opération `@` à l'opération `*`, et il n'y a pas d'ambiguité, `X*Y` correspond à la multiplication dans `RR` lorsque `X` et `Y` sont dans `RR`, et corrrespond à `X@Y` lorque `X` et `Y` sont dans `"Affine"(RR)` et que `X` ou `Y` n'est pas dans `RR`.
Cela constitue aussi un isomorphisme d'`RR`-espace vectoriel, en considèrant l'`RR`-espace vectoriel `(RR^2,+,"·")` et l'`RR`-espace vectoriel `("Affine"(RR),+,"·")`, c'est à dire que l'application `"affine"` maintenant sous-entendue, vérifie les 3 propriétés suivantes `AAa,b,c,d inRR,`
`(a,b) = (c,d) iff a=c" et " b=d`
`(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)`
`c"·"(a,b) = (c"·"a,c"·"b)`Noter que `c"·"(a,b)` est ambigue puisqu'il peut être interprété de deux façons, comme le produit externe d'un réel par un couple dans l'`RR`-espace vectoriel `(RR^2,+,"·")` ou comme le produit externe d'un réel par une application affine dans l'`RR`-espace vectoriel `("Affine"(RR),+,"·")`. Mais ici l'ambiguité et levée car les deux opérations donnent en fait le même résultat.
Noter que `x"."y` désigne le produit de deux réels mais également le produit du réel `x` par l'application `y` dans le `RR`-espace vectoriel `("Affine"(RR),o+,"·")`.
La structuration linéaire des nombres
Considérons la droite réelle R. Une transformation affine est définie par deux nombre réels (a, b) et se note Aff(a,b). Elle se décompose en une dilatation notée D(a) suivie d'une translation notée T(b) :
Aff(a,b) = T(b) ° D(a)
∀x∈R
D(a)(x) = a*x
T(b)(x) = x + b
Aff(a,b)(x) = a*x + bD(a) = Aff(a,0)
T(b) = Aff(1,b)Et il y a unicité, c'est à dire que si (a,b) ≠ (a',b') alors il existe x tel que a*x + b ≠ a'*x + b' et donc Aff(a,b) ≠ Aff(a',b'). L'application Aff est donc une bijection entre R2 et l'ensemble des transformations affines de la droite R que l'on note Affine(R).
Puis étant donné f = Aff(a,b) et f' = Aff(a',b'), nous avons f(x) = a*x + b et f'(x) = a'*x + b', et nous avons (f + f')(x) = (a + a')*x + (b + b'), et nous avons (k*f)(x) = (k*a)*x + (k*b), c'est à dire que :
Aff(a,b) + Aff(a',b') = Aff(a+a', b+b')
k*Aff(a,b) = Aff(k*a, k*b)L'application Aff est donc un isomorphisme entre l'espace vectoriel (R2,+,*) et l'espace vectoriels (Affine(R), +,*). Notez que la multiplication * est ici une opération externe, c'est le produit d'un nombre réelle par un élément de la structure vectoriel en question.
Les transformations affines se composent selon la loi suivante :
Aff(a,b) ° Aff(a'b') = Aff(a*a', a*b'+b)
(Affine(R), °) forme un monoïde. L'élément neutre est l'identité id = Aff(1,0). Les applications affines à l'exception des applications constantes sont inversibles en des applications affines. On note Affine(R)* = {Aff(a,b) / a∈R*, b∈R}. (Affine(R), °) forme un groupe.
Selon le point de vue constructif, on recherchera des éléments générateurs capablent de construire tous les autres éléments en utilisant les opérations vectoriels ainsi que la composition de transformations affines. On s'intéresse donc à cette opération interne qu'est la composition ° de transformations affines. On remarquera que l'opération + est distributive à gauche sur la composition ° :
(Aff(a,b) + Aff(a',b'))°Aff(a'',b'') = Aff(a,b)°Aff(a'',b'') + Aff(a',b')°Aff(a'',b'')
Aff(a + a', b + b')°Aff(a'',b'') = Aff(a*a'', a*b'' + b) + Aff(a'*a'', a'*b'' + b')
Aff((a + a')*a'', (a + a')*b'' + (b + b')) = Aff(a*a'' + a'*a'', (a*b'' + b) + (a'*b'' + b'))
Aff(a*a'' + a'*a'', a*b'' + a'*b'' + b + b') = Aff(a*a'' + a'*a'', a*b'' + a'*b'' + b + b')Mais l'opération + n'est pas distributive à droite sur l'opération de composition ° :
Aff(a,b)°(Aff(a',b') + Aff(a'',b'')) ≠ Aff(a,b)°Aff(a',b') + Aff(a,b)°Aff(a'',b'')
Aff(a,b)°Aff(a' + a'', b' + b'') ≠ Aff(a*a', a*b' + b) + Aff(a*a'', a*b'' + b)
Aff(a*(a' + a''), a*(b' + b'') + b) ≠ Aff(a*a' + a*a'', a*b' + b + a*b'' + b)
Aff(a*a' + a*a'', a*b' + a*b'' + b) ≠ Aff(a*a' + a*a'', a*b' + a*b'' + 2*b)Il exsite une règle de distribution à droite mais avec un terme correctif :
Aff(a,b)°(Aff(a',b') + Aff(a'',b'')) = Aff(a,b)°Aff(a',b') + Aff(a,b)°Aff(a'',b'') - Aff(0,b)
Au lieu de concidérer le terme générale Aff(a,b), il est plus judicieux d'utiliser des termes moins généraux mais générateurs que sont les dilatations D(a) = Aff(a,0) et les translation T(b) = Aff(1,b), sachant que Aff(a,b) = T(b)°D(a). Les règles de calcul sont données par les 3 égalités suivantes :
T(x)°T(y) = T(y)°T(x) = T(x+y)
D(x)°D(y) = D(y)°D(x) = D(x*y)
D(x)°T(y) = T(x*y)°D(x)De tel sorte que l'on remplace le calcul dans algèbre par une succession de règles combinatoires.
---- 8 Mars 2015 ----
Le point de vue constructif va chercher comment plonger la structure d'espace vectoriel (R,+,*) dans celle de l'anneau (Affine(R), +, °), puis va rechercher comment étendre cette espace vectoriel pour décrire l'anneau (Affine(R), +, °). Et il y a deux façons simples de plonger R dans Affine(R), deux morphismes injectifs :
a --> Aff(a,0)
b --> Aff(1,b)
D(a) ° D(a') = D(a*a')
T(b) °T(b') = T(b+b')
, par un élément imaginaire p pour former un anneau isomorphe à (Affine(R), +, °). Puisque , le point de vue constructif va rechercher une extention de (R,+,*) par un élément imaginaire q pour former un anneau isomorphe à (Affine(R), °, ^) où l'opération ^ est l'élévation à la puissance facilement définissable pour les entier (f^3 = f°f°f) mais pas toujours définissable pour les réels.
.
ayant des propriétés non commutative c'est à dire tel que q*x n'est pas necessairement égale à x*q. De tels extentions sont inombrables, une des plus simple d'entre elles conciste à définire Aff(a,b) = a + b*q
Aff(a,b) ° Aff(a'b') = Aff(a*a', a*b'+b)
(a + b*q) * (a' + b'*q) = a*a' + (a*b'+b)*q
a*a' + b*q*a' + a*b'*q + b*q*b'*q = a*a' + a*b'*q + b*q
b*q*a' + b*q*b'*q = b*q
aff(a,b)2 = aff(a2, (a + 1)*b)
aff(a,b)3 = aff(a3, (a2 + a + 1)*b)
aff(a,b)4 = aff(a4, (a3 + a2 + a + 1)*b)
aff(a,b)n = aff(an, b*(an - 1)/(a - 1))aff(a,b)-1 = (a-1, -a-1*b)
aff(a,b)-2 = (a-2, (a-1+1)(-a-1*b))
aff(a,b)-3 = (a-3, (a-2 + a-1 + 1)(-a-1*b))
aff(a,b)-4 = (a-4, (a-3+ a-2 + a-1 + 1)(-a-1*b))
aff(a,b)-n = (a-n, (-a-1*b)*(a-3+ a-2 + a-1 + 1))
L'ensemble des transformations vectorielles de la droite R est identifiable à l'espace vectoriel R.
L'ensemble des transformations affines de la droite R est identifiable à l'espace vectoriel R2. Une transformation vectorielle est définie par la combinaison d'une dilatation Da et d'une translation Tb.
Dans le plan R2, une transformation affine f se définie exactement par une matrice M et un vecteur T comme suit :
∀u∈R2, f(u) = M*u + T
Et il y a unicité, c'est à dire que si (M,T) =/= (M',T') alors il existe u tel que M*u + T =/= M'*u + T' . L'ensemble des transformations affines du plan forme un espace vectoriel de dimension 6, puisque étant donné f et f' définie par f(u) = M*u + T et f'(u) = M'*u + T', nous avons (f + f')(u) = (M + M')*u + (T + T') et (kf)(x) = (k*M)*x + (k*T).
L'ensemble des transformations affines du plan R2 est identifiable à l'espace vectoriel R6
L'ensemble des applications vectotrielles dans R2 est identifiable à l'espace vectoriel R4.
Un nombre complexe z possède 4 représentations courantes que sont : ses coordonnés cartésiennes (x,y), ses coordonnés polaires [a,φ], la translation: v --> v + z et la rotation-dilatation : v --> z*v dans le plan. Le corps C des complexes correspond au plan noté R2 en coordonnées cartesiennes, et noté RxΦ en coordonnées polaires.
Les coordonnées cartesiennes de z s'obtiennent en prenant la partie réel de z noté Re(z) et la partie imaginaire de z noté Im(z). Les coordonnées polaires de z s'obtiennent en prenant la norme de z noté norm(z) et l'argument de z noté arg(z). Par convention l'argument (l'angle) est exprimé en radians. 2π radians égale 1 tours.
z = (Re(z), Im(z)) = [norm(z), arg(z)]
Et d'une manière plus dynamique, z désigne différentes transformations dans le plan. Il désigne une translation T(z) qui appliqué à un point représenté par le complexe v produit le point image T(z)(v) = v+z qui se développe simplement lorsque les coordonnées cartesiennes v = (x,y) sont connues :
T(z) : v --> z + v
T(z) : (x, y) --> (x + Re(z), y + Im(z))
Et il désigne aussi une rotation-dilatation R(z) qui appliqué à un point représenté par le complexe v produit le point image R(z)(v) = v*z qui se développe simplement lorsque les coordonnées polaire v = [a,φ] sont connues :
R(z) : v --> v * z
R(z) : [a,φ] --> [a*norm(z), φ + arg(z)]
Voici les règles usuelles d'addition et de multiplication, conjugaison, norme, argument, logarithme, exponentielle. On notera f(x,y) pour f((x,y)), l'application f appliqué au complexe de coordonnées cartesiennes (x,y). Quelque soient x, y reels, a reel positif, φ reel modulo 2π, et z complexe, nous avons :
(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')
(x,y)*(x',y') = (x*x'-y*y', x*y'+y*x')
[a,φ]*[a',φ'] = [a*a', φ+φ']
[a,φ] = a * ei*φ
[a,φ] = a* (cos(φ) + i*sin(φ))
[a,φ] = (a*cos(φ), a*sin(φ))
(x,y) = [sqrt(x2+y2), arctan(y/x) + (π/2)*sign(y)*(1-sign(x))]
conjug(x,y) = (x, -y)
conjug([a,φ]) = [a, -φ]
conjug(z) = norm(z)2 / z
Re(x,y) = x
Im(x,y) = y
Re([a,φ]) = a*cos(φ)
Im([a,φ]) = a*sin(φ)
Re(z) = (z + conjug(z))/2
Im(z) = (z - conjug(z))/2*i
norm(x,y) = sqrt(x2+y2)
norm([a,φ]) = a
norm(z) = sqrt(z*conjug(z))
arg(x,y) = arctan(y/x) + (π/2)*sign(y)*(1-sign(x))
arg([a,φ]) = φ
arg(z) = -i * ln(sign(z))
sign(z) = z / norm(z)
ln(z) = ln(norm(z)) + i*arg(z)
ln([a,φ]) = ln(a) + i*φ
ln([a,φ]) = (ln(a), φ)
exp(z) = exp(arg(z))norm(z)
exp([a,φ]) = exp([1,φ])a e(a*ei*φ) = (eei*φ)a
exp(x,y) = exp(x) * [1,y] ex+i*y = ex * ei*y
L'identité d'Euler ei*π = -1 lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π. Mais la constante 2π semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient alors :
ei*2π = 1
Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire une nouvelle notation complexe des fonctions sinus et cosinus. Quelque soit φ exprimé en radians, nous avons :
ei*φ = cos(φ) + i*sin(φ)
Les formes cartesiennes et polaires ont comme expression algèbrique :
(x, y) = x + i*y
[a, φ] = a * ei*φ
ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tour complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :
On note le complexe ς = ei = [1,1] de norme 1 et d'angle 1 radian, et qui correspond à la rotation d'un radian. Les coordonnés polaires ont alors une expression algèbrique simple qui sera souvent utlisée. Par convention les angles sont signés selon le sense trigonométrique. (La convention inverse du sense des aiguille d'une montre est obtenue par la conjugaison qui est un automorphisme de corps).
[a,φ] = a*ςφ
ςπ/2 = i
ςπ = -1
ς-π/2 = -i
Comme φ --> cos(φ) est une fonction paire, et que φ --> sin(φ) est une fonction impaire, nous avons :
cos(-φ) = cos(φ)
sin(-φ) = - sin(φ)2*cos(φ) = ei*φ + e- i*φ = ςφ + ς- φ
2*i*sin(φ) = ei*φ - e- i*φ2*cos(φ) = [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(φ) = [1, φ] - [1, -φ]cos(φ) = Re([1, φ])
sin(φ) = Im([1, φ])
La composition des translations puis celles des rotations-dilatations se calculent trés simplement :
T(u) ° T(v) = T(u + v)
R(u) ° R(v) = R(u * v)
La rotation-dilatation peut s'exprimer sous forme matricielle à la quelle on l'identifie, et cela correspond à la deuxième construction des complexes. La matrice opére sur les coordonnées cartesiennes :
R(v) = norm(v)*[cos(arg(v)),-sin(arg(v))]
[sin(arg(v)), cos(arg(v))]R(v) = [Re(v), -Im(v)]
[Im(v), Re(v)]
Le corps des complexes contient un unique automorphisme continue autre que l'identité, appelé conjugaison. La conjugaison est la transformation de symétrie par rapport à l'axe des réels. La conjugaison d'un complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire. Elle s'obtient également en changeant le signe de son argument.
conjug(z1*z2) = conjug(z1) * conjug(z2)
conjug(z1 + z2) = conjug(z1) + conjug(z2)conjug(x + i*y) = x - i*y
conjug(a*ςφ) = a*ς-φconjug(conjug(z)) = z
4) Différentes constructions que l'on peut opérer à partir des complexes
On concidère les complexes commes des fonctions, et on clos la nouvelle structure par composition de fonctions. Ce procédé permet de construire toutes sorte de structures amusantes à partir des complexes.
Première exemple, les complexes peuvent être vue comme des translations et aussi comme des rotations-dilatation. Si nous réunissons ces deux fonctions dans une même structure que nous cloturons par composition, on obtiendra l'ensemble des transformations affines positives du plan.
Deuxième exemple, les complexes peuvent être vue comme des rotations-dilatations. La conjugaison constitue la transformation de symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels. Cet endomorphisme vectoriel peut être ajoutée aux complexes vue comme des rotation-dilatations pour engendrer l'ensemble des endomorphismes vectoriels du plan.
4.1) Les transformations affines positives du plan
Les compositions d'une rotation-dilatation et d'une translation vont produire les transformations affines de déterminant positifs caractérisées exactement par deux complexes. On applique d'abord la rotation-dilatation puis la translation car plus simple à interprété géométriquement :
A(r,t) = T(t) ° R(r)
. Cette transformation affine appliqué à un point représenté par le complexe v va produire le point image A(r,t)(v) = r*v + t.
A(r,t) : z --> r*v + t
A(r,t) ° A(r',t') = A(r*r', r*t' + t)A(r',t')-1 = (T(t) ° R(r))-1 = R(r)-1 ° T(t)-1 = R(r-1) ° T(-t)
La composition ° des application affine n'est pas commutative. Pour l'opération de composition on utilise la notation anglaise (f°g°h)(v) = f(g(h(v)))). La notation française v·f·g·h = (h°g°f)(v) = h(g(f(v))) permet d'écrire de gauche à droite la succession des transformations dans le même ordre : v --> v·f --> v·f·g --> v·f·g·h
Lorque deux élément u, v ne commutent pas, on définit un commutateur u ° v ° u-1 ° v-1 qui caractérise la commutation de ces deux éléments.
A(r,t) ° A(r',t') ° A(r,t)-1 ° A(r',t')-1
4.2) Les endomorphismes du plan vectoriel
Le nombre complexe z = x + i*y = a*ςφ peut être interprété comme un vecteur du plan, ou comme une rotation-dilatation notée R(z). Lorsque on l'interprète comme un vecteur, il correspond au vecteur (x,y) des coordonnées cartesiennes. Et lorsque on l'interprète comme un endomorphisme, il correspond à une rotation de φ radians dans le plan combiné à une multiplication par a. Voici sa représentation vectoriel et matriciel :
z vue comme vecteur :
z = [a*cos(φ)]
[a*sin(φ)]
z vue comme rotation-dilatation :
R(z) = [a*cos(φ),-a*sin(φ)]
[a*sin(φ), a*cos(φ)]
Le nombre complexe unitaire ςφ correspond à une rotation de φ radians dans le sens trogonométrique, dans le plan, et possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :
ςφ = [cos(φ)]
[sin(φ)]
R(ςφ) = [cos(φ),-sin(φ)]
[sin(φ), cos(φ)]
De même le réel a possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :
a = [a]
[0]
R(a) = [a, 0]
[0, a]
La composition de deux rotation-dilatations s'obtient en faisant le produits de leurs matrices, et elle s'obtient également en faisant le produits des complexes correspondants. De même l'application d'une rotation-dilatation à un vecteur se calcule en faisant le produits de la matrice et du vecteur, et elle se calcule également en faisant le produits des complexes correspondants. Pourtant il existe une différence de nature entre le vecteur et la rotation-dilatation. Cela provient du fait que le vecteur v peut être remplacé par une rotation-dilatation R(v) appliqué au vecteur 1, et que finalement on ne s'intéresse plus au vecteur mais aux seuls rotation-dilatation et à l'opération de composition qui correspond au produits des complexes correspondants. R(z)(v) = (R(z) ° R(v))(1).
On procède alors à une identification. On identifie le complex z à la rotation-dilatation R(z). Et on note l'opération ° de composition par *. L'opération + continue d'opérer sur les complexes et correspond à la sommes d'endomorphismes vectoriels. Ainsi l'expression z*u + v désignera l'endomorphisme obtenue en composant la rotation-dilatation z avec la rotation-dilatation u et en ajoutant la rotation-dilatation v. Cette endomorphisme vectoriel est évidement encore une rotation-dilatation. Le corps des complexes devient le corps des rotation-dilatations du plan.
Ajoutons dans ce corps, un élément nouveau s correspondant à la conjugaison. s est la symétrie par rapport à l'axe des réels.
s = conjug
s = [1, 0]
[0,-1]
Attention, l'élément s ne commute pas avec i pour l'opération *. L'ajout de l'élément s de produit non commutatif dans le corps ne constitue donc pas une extention de corps mais constitue une extention d'anneau. {1, i, s}engendre à l'aide des opérations + et * et à l'aide de la multiplication par les réels, l'anneau des endomorphismes du plan vectoriel. Pour s'en rendre compte, on génère une base de l'espace des matrices réelles 2x2 :
(1+s)/2 = [1,0] -i*(1+s)/2 = [0,1]
[0,0] [0,0](1-s)/2 = [0,0] i*(1-s)/2 = [0,0]
[0,1] [1,0]
1 = [1,0] i = [0,-1] s = [1, 0]
[0,1] [1, 0] [0,-1]
L'opération * n'est plus commutative, la structure obtenue est un anneau, l'anneau des endomorphismes vectorielles du plan. Les relations fondatrices sont :
i*i = -1
Quelque soit x réel : x*i = i*x
s*s = 1
s*i = - i*s
La symétries orthogonale selon l'axe d'angle φ est notées S(φ). Nous avons s = S(0). Les rotations R(φ), et les symétries orthogonales S(φ) sont liées de la façon suivante :
S(0) : v --> conjug(v)
R(φ) : v --> ςφ * v
S(φ/2) : v --> ςφ * conjug(v)
Comme s = S(0), nous avons :
S(φ/2) = R(φ) ° s
S(φ) = R(2φ) ° s
S(φ) ° S(φ') = R(2φ+2φ')
S(φ) ° R(φ') = R(2φ+φ') ° s = S(φ+φ'/2)
R(φ) ° R(φ') = R(φ+φ')
Comme nous avons identifié les rotation-dilatations aux complexes, on note la rotation R(φ) par le complexe ςφ , et la symétrie S(φ) par le complexe étendu s*ς2φ, et la composition d'endomorphisme vectoriel par le produit. Ainsi les 3 relations précédentes se ramènent à des égalités évidentes :
(s*ςφ) * (s*ςφ') = ςφ+φ'
(s*ςφ) * ςφ' = s*ςφ+φ'
ςφ * ςφ' = ςφ+φ'
Noter que S(φ)(z) n'a pas la même signification que S(φ)*z. En effet S(φ)(z) = conjug(z)*ς2φ est le complexe conjugué de z et tourné d'un angle 2φ. Il s'obtient en changeant le signe de l'argument de z et en le multipliant par le complexe ς2φ = ei*2φ. Si z et S(φ)(z) sont décrit comme des rotation-dilatations alors on obtient S(φ)(z) en inversant le sense de la rotation de z et en ajoutant est interprété comme une rotation-dilatation. En mettant z sous forme polaire z = a*Rφ, nous avons S(a*Rφ) = a*R-φ. Alors que S*z est la composition de la conjugaison avec l'endomorphisme z. En effet, S*a*Rφ n'est pas un complexe, c'est une symétrie orthogonale par rapport à l'axe d'argument φ/2 composé avec une multiplication réel a.
La conjugaison est un automorphismes de corps, c'est à dire :
S(z1*z2) = S(z1)*S(z2)
S(z1 + z2) = S(z1) + S(z2)
L'ensemble de tous les endomorphismes du plan, formant un anneau non commutatif, possède une forme normale car on peut déplacer les S à droites dans toutes les expressions engendrées par <1,i,S,+,*>.
S*S = 1
S*p = p*S
S*Rq = R-q*S
S*(x+i*y) = (x-i*y)*S
S + z = z + S
Quelque soit 4 réels a,b,c,d, on a :
[a,b] = (1+S)*(a-i*b) + (1-S)*(d+i*c)
[c,d]
Mis sous forme normale, cela donne :
[a,b] = (a+d + i*(-b+c))/2 + (a-d + i*(b+c))*S/2
[c,d]
Le premier terme est un complexe, correspondant à une matrice antisymétrique :
(a+d + i*(-b+c))/2 = [a+d, b-c]
[c-b, a+d]
Le deuxième terme est un complexe multiplié par S, et correspond à une matrice symétrique de trace nulle :
(a-d + i*(b+c))*S/2 = [a-d, b+c]
[b+c, d-a]
En effet toute matrice 2x2 se décompose bien en une somme unique d'une matrice antisymétrique et d'une matrice symétrique de trace nulle comme suivant :
M = [x,-y] + [u, v]
[y, x] [v,-u]
3) Les nombres complexe de norme 1
Le facteur 2*PI est présent afin que q soit exprimé en tours et non en radiants. e(2*PI*i*q) est le nombre complexe de norme 1 et d'argument q exprimé en tours. Par souci de simplification on le note Rq. C'est la puissance q de R, mais R n'est pas à proprement parler un nombre complexe. R représente une rotation dans le plan d'un tour complet. Nous avons :
Rq =sin(2*PI*q) + i*cos(2*PI*q)
R0 = R1 = R2 = R3 = 1
R1/2 = -1,
R1/4 = i,
R1/8 =sqrt(2)/2 + i*sqrt(2)/2,
R3/4 = -i
....
Quelque soit k, un entier relatif, nous avons :
R(q+k) = Rq
Les règles générales relatives au puissances s'appliquent :
(Ra)b = R(a*b)
Ra * Rb = R(a+b)
R-a = 1 / Ra
L' identification entre les rotations du plan vectoriel et les nombres complexes unitaires (Fresnel), nous permet de définir la puissance d'un nombre complexe comme étant la puisance de la rotation correspondante : (Rq)r = Rq*r. Mais intuitivement, la rotation possède une information supplémentaire que ne possède pas le nombre complexe, qui est le nombre de tours entiers fait par la rotation, et qui intervient dans cette définition intuive de la puissance d'une rotation. On définie un nombre complexe généralisé qui contient cette information.
Par définition arg(z) est compris dans l'interval ]-1/2,+1/2]. On peut noter z_n le complexe z généralisé dont on a ajouté à la composante rotation, une rotation de n tours, c'est à dire tel que : arg(z_n) = arg(z) + n. On remarque que R = 1_1 est la rotation d'un tour. R n'est donc pas un complexe, mais un complexe généralisé. Nous avons z_n = z_0*Rn. On simplifie la notation en identifiant z_0 à z . Le nombre complexe généralisé z_n s'écrie z*Rn. Dans l'ensemble des complexes généralisés, le système de formules vue plus haut doit être complété, le signe égal ayant une signification plus forte puisque le nombre entiers de tours supplémentaires doit être égale de part et d'autre :
z*Rn = p*Rq*Rn = p*e(2*PI*i*(q + n)) = p*R(q + n)
Les fonctions Re, Im, norm, arg, conjugate, s'étendent aux complexes généralisés comme suit :
Re(z*Rn) = Re(z)*Rn
Im(z*Rn) = Im(z)*Rn
norm(z*Rn) = norm(z)*Rn
arg(z*Rn)/(2*PI) = arg(z)/(2*PI) + n
conjugate(z*Rn) = conjugate(z)*Rn
On étend également les fonctions sin et cos comme suit. Pour
q appartenant à l'intervale ]-1/2,+1/2]
et pour n, entier relatif :
cos(2*PI*(q + n)) = Re(Rq)*Rn
sin(2*PI*(q + n)) = Im(Rq)*Rn
Nous avons les relations suivantes :
Re(z*Rn) = (z*Rn + conjugate(z*Rn))/2
Im(z*Rn) = (z*Rn - conjugate(z*Rn))/(2*i)
norm(z*Rn) = sqrt(z*Rn*conjugate(z*Rn))
conjugate((z1*Rn1)*(z2*Rn2)) = conjugate(z1*Rn1) * conjugate(z2*Rn2) = conjugate(z1*z2)*Rn1+n2
Mais l'addition des complexes généralisés n'est définie que pour les cas simples z1*Rn + z2*Rn = (z1+z2)*Rn . L'argument entier de (1 + R) reste intuitivement indéfinissable.
Soit z1,z2 deux complexes et n1,n2 deux entiers relatifs, il faut choisire une définition de n3 solution de l'équation z1*Rn1 + z2*Rn2 = (z1+z2)*Rn3, de tel sorte que les complexes généralisés constituent un corps. Et ce corps est nécessairement de dimenssion infinie. De plus il est souhaitable que la conjugaison soit un automorphisme, c'est à dire qu'elle possède en plus la propriété suivante : conjugate(z1*Rn1 + z2*Rn2) = conjugate(z1*Rn1) + conjugate(z2*Rn2).
.......... à voir ....
La puissance complexe est définie comme suit :
(p*Rq) (x + i*y) = px * pi*y * Rq*x * Rq*i*y
= px * eln(p)*i*y * Rq*x * e2*i*PI*q*i*y
= px * e2*i*PI*(ln(p)*y/(2*PI)) * Rq*x * e-2*PI*q*y
= px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI) * Rq*x
= px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI)+q*x
norm((p*Rq) (x + i*y) ) = px * e-2*PI*q*y
arg((p*Rq) (x + i*y) )/(2*PI) = ln(p)*y
.......... à voir ....
Voici le moyen mémotechnique pour trouver la dérivé de Rq selon q. On utilise les deux propriétés suivantes :
Dérivé d'une composition de fonction : d(f(g(x)))/d(x) = d(f(g(x)))/d(g(x)) * d(g(x))/dx
Dérivé de l'exponentiel : d(ex)/dx = exd(Rq)/dq = d(e(2*PI*i*q))/dq
= d(e(2*PI*i*q))/d(2*PI*i*q) * d(2*PI*i*q)/dq
= e(2*PI*i*q) * 2*PI*i
= Rq * 2*PI*R1/4
= 2*PI* Rq+1/4
Ainsi, dériver Rq selon q, consiste à ajouter à l'argument 1/4 de tours et à multriplier la norme par 2*PI.
.......... à voir ....
Un couple de complexe correspond à une application affine du plan, le premier complexe désigant la translation, l'autre désignant la transformation linéaire. (z0,z1)(v) = z0 + z1*v
Les applications affines du plan se composent selon la règle suivantes : (k0, k1)°(z0, z1) = ( k0 + k1*z0, k1*z1). La fonction affine inverse de (z0, z1) est (-z0/z1, 1/z1)
.......... à voir ....
Lorsque l'état d'un système et caractèrisé par une amplitude et une phase, on regroupe ces deux valeurs en une valeur complexe de norme égale à l'amplitude et d'argument égal à la phase, constituant une variable d'état du système. Le changement d'état se traduit par la multiplication de la variable d'état z1 = p1*Rq1, par un complexe z2 = p2*Rq2. Les normes se multiplient et les arguments s'ajoutent. La nouvelle variable z3 = p3*Rq3 d'état vaut :
z3 = z1*z2
p3*Rq3 = (p1*Rq1) * (p2*Rq2)
p3*Rq3 = (p1*p2)*R(q1+q2)p3 = p1*p2
q3 = q1+q2
Les coordonnés cartésiennes de z s'obtiennent en prenant la partie réelle x = Re(z) et la partie imaginaire y = Im(z). Et ces deux fonctions Re et Im, ainsi que les fonctions norm et arg, peuvent se définire de façon assez homogène, à l'aide de la fonction conjugate comme suivant :
2* Re(z) = z + conjugate(z)
2* i*Im(z) = z - conjugate(z)
norm(z)2 = z * congugate(z)
tan(arg(z)) = - i*(z - conjugate(z))/(z + conjugate(z))
On en déduit que :
1/z = conjugate(z)/norm(z)2
C'est à dire, en explicitant les coordonnés cartésiennes :
1/(x+i*y) = (x - i*y)/(x2+y2)
la base e des logarithmes naturelles, et le rapport 2π entre la circonférence d'un cercle et son rayon,
5) Les complex et la formule d'Euler
Le nombre complex u désigne un point du plan qui est caractérésé soit par ces coordonnées cartesiennes (Re(u), Im(u)) ou par ces coordonnées polaires [norm(u), arg(u)]. Par convention on choisie d'exprimé l'argument (ou la phase) en tours et non en radian.
u = (Re(u), Im(u)) = [norm(u), arg(u)]
Et d'une manière plus dynamique, il désigne différentes transformations. Il désigne une translation Tu :
Tu : (x, y) --> (x + Re(u), y + Im(u))
Tu : z --> z + u
Et il désigne aussi une rotation-dilatation Ru :
Ru : [a,φ] --> [a*norm(u), φ + arg(u)]
Ru : z --> z * u
Règle d'addition et de multiplication, et conjugaison, norme et argument logarithme et exponentielle. On notera f(x,y) pour f((x,y)), l'application f appliqué au complex de coordonné cartesienne (x,y). Quelque soient x, y reels, a reel positif, φ reel modulo 1, et z complex, nous avons :
(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')
(x,y)*(x',y') = (x*x'-y*y', x*y'+y*x')
[a,φ]*[a',φ'] = [a*a', φ+φ']
conjug(x,y) = (x, -y)
conjug([a,φ]) = [a, -φ]
Re(x,y) = x
Im(x,y) = y
Re(z) = (z + conjug(z))/2
Im(z) = (z - conjug(z))/2
norm(x,y) = sqrt(x2+y2)
norm([a,φ]) = a
norm(z) = sqrt(z*conjug(z))
arg(x,y) = arctan(y/x)/2π + sign(y)*(1-sign(x))/4
arg([a,φ]) = φ
arg(z) = -i * ln(z/norm(z))/2π
arg(x,y) = -i * ln((x+i*y)/norm(x+i*y))/2π
ln([a,φ]) = ln(a) + i*2π*φ = (ln(a), 2π*φ)
exp(x,y) = exp(x) + [1,y/2π]
L'identité d'Euler lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π :
ei*π = -1
Mais la constante 2π semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient :
ei*2π = 1
Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire la notation complexe. Quelque soit x exprimé en radian, nous avons :
ei*x = cos(x) + i*sin(x)
En remplaçant r par 2π*φ, on obtient la même formule avec φ exprimé en tours :
ei*2π*φ = cos(2π*φ) - i*sin(2π*φ)
Les formes cartesienne et polaires s'exprime alors simplement par :
(x, y) = x + i*y
[a, φ] = a * ei*2π*φ
ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tours complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :
Comme x --> cos(x) est une fonction paire, et que x --> sin(x) est une fonction impaire, nous avons :
cos(-x) = cos(x)
sin(-x) = - sin(x)2*cos(x) = ei*x + e- i*x
2*i*sin(x) = ei*x - e- i*x2*cos(2π*φ) = [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(2π*φ) = [1, φ] - [1, -φ]cos(2π*φ) = Re([1, φ])
sin(2π*φ) = Im([1, φ])
Une sinusoïde noté u(x) d'amplitude A, de période T exprimée dans la même unité que x, et de phase P exprimée en tours, à comme équation :
u(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))
Par symétrie on définie v(x) = u(x+1/4).
v(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))
Nous avons :
du(x)/dx = 2π*v(x)
dv(x)/dx = - 2π*u(x)
2*i*u(x) = A* (ei*2π/T)x * (ei*2π*P) - A* (e-i*2π/T)x * (e-*2π*P)
2*i*u(x) = [1, 1/T]x * [A, P] - [1, -1/T]x*[A, -P]
et de même :
2*A*cos(2*π*(x/T + P)) = [1, 1/T]x * [A, P] + [1, -1/T]x*[A, -P]
On peut exprimer cette onde par deux complexes conjugués l'un de l'autre
u(x) = [A/2, 1/4 + x/T + P] - [A/2, 1/4 - x/T - P]
Les nombres complexes constituent le plus grand corps commutatifs de dimension fini contenant les nombres réels.
Il y a trois façons simple de construire le corps des complexes. Soit par extension du corps des réels, soit comme le centre de l'anneau des matrices carrées à coefficients réels, ou soit à partir du groupe des couples de réels en y définissant la multiplication.
Cette dernière construction, qui est historiquement la première, est due à Hamilton (William Rowan Hamilton, Dublin 1805-1865). On ajoutera une quatrième construction identique mais exprimée à un niveau d'exponentialité au dessus, faite à partir du groupe (RxΦ, *) des couples composés d'un réel et d'un réel modulo 2π et de la multiplication suivante : [a,φ] * [a',φ'] = [a*a', φ+φ'], et en définissant l'addition + de manière quelque peu compliqué. Les couples appartenant à RxΦ sont notées entre crochets pour les différentier des couples de R2. Et on plonge le corps des réels dans ce corps par : r --> [r,0], et on pose le nombre complexe i = [0, π /2]. C'est la représentation polaire des complexes. a est appelé norme et φ est appelé argument (ou angle) et est exprimé en radians. 2π radians égale 1 tours.
La première construction est une extension de corps en ajoutant un nouvelle élément i dont la seul connaissance que nous savons sur cet élément est qu'il satisfait la relation : X2+1 = 0. Cette extension est isomorphe au corps quotient R[X] / (X2+1), le corps des polynomes à coefficient réel et d'inconnue X modulo (X2+1). Les éléments de cette extension se simplifient de façon unique sous la forme x + X*y que l'on note x + i*y, l'élément ajouté i étant identifié à l'inconnue X. x correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires.
Dans la seconde construction, le complexe est représenté par une matrice antisymétrique (de rotation-dilatation) :
x*A + y*B = [a*cos(φ),-a*sin(φ)] = [x, -y]
[a*sin(φ), a*cos(φ)] [y, x]
x correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires, et a représente la norme du complexe et φ représente l'argument du complexe, l'angle également appelé azimuth.
Il existe un automorphisme intérieur appelée conjugaison notée conjug(x + i*y) = x - i*y, et qui s'exprime aussi sous la forme : conjug([a,φ]) = [a,-φ], qui fait qu'il est nécessaire d'effectuer initialement un choix arbitraire pour désigner qui est i et -i. Ce choix est fait dans la première construction en choisissant i = X ou -i = X, dans la seconde construction en choisissant i = B ou -i = B, dans la troisième construction en posant i = (0,1) ou -i = (0,1), et dans la quatrième construction en posant i = [0,π/2] ou -i = [0,π/2].
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L'application `"affine(.,.)"` constitue un isomorphisme entre le groupe additif des couples de réels `(RR^2,+)` et le groupe additif des appplications affines de la droite réel que l'on note `("Affine"(RR),+)`. Notez que l'on ne fait pas de différence entre une fonction unaire s'appliquant à un couple d'éléments ou une fonction binaire s'appliquant à deux éléments successifs, `"affine("(a,b)")" = "affine"(a,b)`.