On cherche l'éveil de l'intuition, c'est pourquoi on va se donner un corpus idéologique susceptible d'alimenter substantiellement cette intuition. En retour, c'est elle qui va nous permettre de faire les bons choix, de définir les concepts pertinents et de les faire dans un ordre presque déterminé selon une philosophie, élémentarienne, batissant un langage d'opérateurs et de procédures, comme un jeu de légos, d'une façon la plus libre possible afin d'obtenir une syntaxe simple donnant une large capacité d'expression.
La théorie se comporte alors comme un entonnoir, elle s'applique sur un large spectre de configurations et produit par le calcul ses démonstrations favorites, se comportant ainsi comme un canaliseur.
Nous procédons étape par étape pour que chaque choix puisse découler de source, et on décrit un modèle qui donne à ces opérateurs et ces procédures un sens plus profond, une sémantique, source d'inspiration qui alimente l'intuition et qui nous guide.
La construction s'appuit sur la programmation qui est le véritable fondement de la logique. Les mécanismes de typage par inférence que l'on trouve dans plusieurs langages informatiques seront utilisés abondament dans notre langage mathématique. On fera des mathématiques comme on fait de la programmation.
Selon les préceptes élémentariens, la garantie de cohérence du système est reportée dans le processus constructif auquel nous nous soumettons.
En privilègiant une approche constructive, on s'écartera du point de vue catégoriel purement logique, pour un point de vue davantage combinatoire et physique. Les élémentariens rejètent l'axiome du choix, considèrent inexistant le continuum des nombres réels, et le remplace par une représentation dénombrable en ne retenant que les seuls réels calculables. On construit l'espace à partir du seul processus programmatif, énumératif, ou démonstratif, qu'est la construction de `NN`. On construit le corps qui nous permet la mesure. On l'étend aux infinis, formalisant les ordres de grandeurs. On revisite ainsi les fondements de l'analyse.
Une fois la distance définie, apparait naturellement la notion de continuité et la topologie qui en découle. Et il est pertinent de l'étudier avant même la construction des nombres réels, dans l'étude des infiniments grands entiers, et dans l'étude des infiniments petits rationnels.
Qu'est-ce que la continuité ?. Deux possiblités s'offrent à nous de définir la continuité. Soit d'une manière intuitive basique. Ou soit d'une manière beaucoup plus libre encore mais dans un espace bimétrique plus riche, contenant deux métriques. L'une pour désigner les passages continues. L'autre pour désigner les passages discontinues "à vole d'oiseaux".
Pour éviter l'usage intensif des parenthèses, on fixe un ordre de priorité syntaxique des opérateurs, du plus prioritaire au moins prioritaire :
`"¬"` `"∗","×"` `+` `"→"` `"∈"`,`"∉"` `"<","⩽",">","⩾"` `"et", "ou"` `"⇒", "⇔"` `"=","≠"` `"⊨","⊭"` `AA, EE`
Ainsi par exemples, pour tout élément `x,y,z`, pour tout ensemble `E`, pour tout prédicat unaire `A"(.)",B"(.)"`, et pour tout booléen `P,Q,R`, nous avons :
L'expression `x"∗"y "+" z` signifie `(x"∗"y) "+" z` et non `x"∗"(y"+"z)`
L'expression `P"et"Q "⇒" R` signifie `(P"et"Q) "⇒" R` et non `P"et"(Q "⇒" R)`
L'expression `P "⇒" Q"ou"R` signifie `P "⇒" (Q"ou"R)` et non `(P "⇒" Q)"ou"R`
L'expression `x "+" y "=" z` signifie `(x "+" y) "=" z` et non `x "+" (y "=" z)`
L'expression `"¬"x"∈"E` signifie `("¬"x)"∈"E` et non `"¬"(x"∈"E)`
L'expression `AA x, A(x) "⇒" B(x)` signifie `AA x, (A(x) "⇒" B(x))` et non `(AAx, A(x)) "⇒" B(x)`
L'expression `P "⇒" AA x, A(x) "⇒" B(x)` signifie `P"⇒"(AAx, A(x) "⇒" B(x))` et non `(P"⇒"(AAx, A(x))) "⇒" B(x)`
Le produit se note parfois par absence de symbole, par exemple `xyz = x"∗"y"∗"z`.
On utilise les opérations `"+"`, `"∗"`, indifféremment sur des éléments ou des ensembles d'éléments. Ainsi par exemples, pour un élément `a` et des ensembles `U` et `V`, nous avons :
`a"+"U = {a"+"u "/" u "∈" U}`
`aU = {au "/" u "∈" U}`
`U"+"V = {u"+"v "/" u "∈" U, v "∈" V}`
`UV={uv "/" u "∈" U, v "∈" V}`
On identifie les valeurs logiques aux booléens, le vrai est identifié au booléen `1`, le faux est identifié au booléen `0`.
Etant donné un prédicat zéro-aire `X`, sa valeur logique est soit `0` ou soit `1`. Mais à cette description nous ajoutons un troisième cas, le cas ou la théorie globale est incomplète pour déterminer `X`, ce qui se note `X"="oo`, l'infini de Turing. Les 3 théories les plus simples sont : la totologie `"⊤"`, l'antilogie `"⊥"`, et la théorie indécidée `"?"`. Nous avons : `"⊤="1`, `"⊥="0`, `"?="oo`.
On adopte les conventions suivantes : Un ensemble de propositions désigne leur conjonction. Et de même, un vecteur de propositions désigne leur conjonction. Par exemple, pour toute variables booléennes `P, Q, R`, nous avons :
L'expression `((P),(Q),(R))` en tant que proposition signifie `P "et" Q "et" R`
L'expression `{P,Q,R}` en tant que proposition signifie `P "et" Q "et" R`
Une structure se présente par l'énoncé d'une liste de prédicats et d'opérateurs, et, commence par un prédicat désignant l'ensemble sous-jacent de la structure, c'est à dire l'ensemble des éléments de la structure indépendament des opérations qui peuvent y être définies. Par exemple considérons la structure suivante :
`(S,"+(.,.)",f"(.)",a,b)`
Cette structure possède un ensemble sous-jacent `S`, un opérateur binaire `"+"` qui est une application de `S"×"S"→"S`, un opérateur unaire `f` qui est une application de `S"→"S`, un élément `a`, et un élément `b`. Donc `(a,b)"∈"S^2`, mais rien n'interdit que `a` soit égal `b`.
Le langage de la structure comprend comme prédicats et opérateurs, les seuls prédicats et opérateurs mentionnés dans la présentation de la structure aux quels on ajoute le prédicat d'égalité.
Une théorie du premier ordre utilise les quantificateurs `AA,EE`, les connecteurs logiques dont le connecteur de négation `"¬"`, le prédicat d'égalité, les opérateurs et prédicats du langage de la structure, et des variables élémentaires d'une même catégorie.
Toute formule d'une théorie du premier ordre admet une forme prénexe, c'est à dire où tous les quantificateurs sont placés au début de la formule.
Toute formule d'une théorie du premier ordre se développe sous forme prénexe en une conjonction de clauses de littéraux.
La théorie est dite théorie universelle si elle n'utilise dans sa forme prénexe que le quantificateur universel `AA`.
La théorie est dite théorie d'égalité si dans sa forme développée en conjonction de clause de littéraux, il n'y a aucun littéral d'inégalité.
La variable `S` peut désigner soit l'ensemble sous-jacent de la structure, soit la structure elle-même, selon le contexte, selon qu'elle est de type "Ensemble" ou de type "Structure".
L'expression `S |== T` signifie que `T` est une théorie écrite dans le langage de la structure `S` et qui est satisfaite dans la structure `S` qui sert de modèle.
Comment formaliser l'idée intuitive de distance séparant deux points ? On la formalise en une fonction binaire `d"(.,.)"` appelée métrique, de `E^2` vers `D`, où `E` est un ensemble de points et `D` un ensemble de valeurs de distance possibles.
L'ensemble des valeurs `D` devra satisfaire un certain nombre d'axiomes. Ces axiomes définiront la structure de l'ensemble des valeurs.
La métrique `d"(.,.)"` est une fonction binaire de `E"×"E"→"D` qui devra satisfaire un certain nombre d'axiomes propre à une métrique.
L'ensemble `E`, munie d'une métrique, `(E,d)`, est appelé un espace métrique.
Avant de définir l'espace, on définit ce qu'est une valeur de distance. Par principe, les valeurs de distance, que nous appelons simplement valeur, se comportent comme des ressources que l'on peut accumuler. On munit l'ensemble des valeurs `D` de l'opérateur d'addition `"+"` pour former la structure `(D,"+")`. Les valeurs de distances peuvent s'ajouter dans n'importe quel ordre pour produire toujours une distance résultante unique. Autrement dit, leur somme est associative et commutative. Cela se traduit par le fait que la structure `(D,"+")` est un demi-groupe commutatif.
Une structure constitue un modèle qui peut satisfaire ou pas chaque théorie du premier ordre écrite dans le langage de la structure, c'est à dire ici, le langage comprenant l'ensemble `D` et l'opérateur `"+"` qui est une application de `D"×"D"→"D`.
`(D,"+") |== AAaAAbAAc, ((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b= b"+"a))`
La notation programmative, qui est la forme skolémisée de la théorie du premier ordre de la structure, et qui peut s'enrichir d'opérateurs issus de cette skolémisation, présente une théorie universelle du premier ordre de la structure sous forme d'une fonction propositionnelle (patron) prenant en argument une liste de prédicats et d'opérateurs.
`sf"Demi-groupe"(D,"+") <=> AA(a,b,c)"∈"D^3, ((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b= b"+"a))`
Où `D"(.)"` est le prédicat caractéristique de l'ensemble `D`, c'est à dire que `AAx, D(x)<=>x"∈"D`.
Puis la notion de grandeur finie se définit grace au concept d'étalon servant d'unité de mesure. Selon le point de vue élémentarien, on construit `D` avec le moindre effort, à l'aide d'un seul étalon générateur que l'on note `1`.
`D"=<"1,"+>"`
Une énumération d'opérateurs entourées de chevrons `"<"...">"` désigne la clotûre par composition close des opérateurs en question. L'expression `D` `"="` `"<"1,"+>"` signifie que l'ensemble des grandeurs finies `D` muni de l'addition `+`, est une structure monogène, c'est à dire engendrée par un seul élément, l'étalon `1`. Et on ne précise pas explicitement qu'il est commutatif car un demi-groupe monogène s'avère nécessairement commutatif.
Puis une valeur de distance doit pouvoir être nulle. C'est à dire d'une façon imagée, on est pas obligé d'avancer, on peut faire du surplace sans avoir à consommer de la distance. L'élément nul est donc l'élément neutre de l'addition. Et cela n'apporte aucune modification sur la stucture autre que l'ajout de l'élément neutre. En effet, dans tout demi-groupe, il est toujours possible d'ajouter un élément neutre, c'est la valeur nulle, notée `0`. Un demi-groupe possèdant un élément neutre s'appelle un monoïde. Le monoïde `(D,"+")` se décrit en trois théories :
`(D,"+") |== EEeAAaAAbAAc,((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b= b"+"a),(a"+"e = a))` La notation programmative ajoute la définition du zéro :
`sf"Monoïde"(D,"+",0) <=> AA(a,b,c)"∈"D^3, ((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b= b"+"a),(a"+"0=a))`
`D="<"0,1,"+>"` Vous aurez remarqué que le zéro n'est pas engendré par `1`. Cela dévoile l'étape significative qu'a été l'apparition du zéro dans l'histoire des sciences. Le chiffre zéro a été utilisé pour la première fois par les babyloniens 2000 av. J.-C. avant d'être réinventé par les Mayas puis par les Hindous. Mais ce sont les arabes qui l'intégrerons à leur système de numérotation, pour le diffuser dans toute l'Europe au cours du Xe siecle seulement.
`D=("<"0,1,"+>")/{AAaAAbAAc,((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b= b"+"a),(a"+"0 = a))}`
Une valeur est une distance. Une grandeur est une distance non nulle. `D` désigne l'ensemble des valeurs, et `D^**` désigne l'ensemble des grandeurs.
`D^** = D ∸ {0}`
On utilise l'opération ensembliste de différence exacte `∸` qui se définit comme suit : L'expression `A∸B` désigne l'ensemble des éléments de `A` qui ne sont pas dans `B`, et affirme en même temps que `B` est inclus dans `A`.
A ce stade, deux cas peuvent se produirent, soit l'ensemble des valeurs de distance `D` est infini constitue un auquel cas ce sera un monoïde monogène libre `D"="NN`, ou soit l'ensemble des valeurs de distance `D` est fini auquel cas ce sera une poêle `D"="NN"/"{m"="n}` où `(n,m)"∈"NN^2` et `n"<"m`. Un effort est apporté pour trouver les bonnes notations permettant de formaliser la démonstration.
---- 25 novembre 2020 ----
8) Monoïde monogène libre, `NN`
Les entiers naturels sont définis comme des programmes. Étant donné une application `f` dans `E`. On définie le `0` comme le programme n'effectuant aucune transformation dans `E`, c'est à dire effectuant `x"↦"x`, l'identité dans `E` . On définie `1` comme le programme appliquant une fois `f`, c'est à dire effectuant `x"↦"f(x)`. On définie `2` comme le programme appliquant deux fois `f` successivement, c'est à dire effectuant `x"↦"f(f(x))`, et ainsi de suite. On définie l'entier `n` comme le programme appliquant `n` fois `f` successivement, c'est à dire effectuant `x"↦"f^n(x)`.
Et l'exécution d'un programme correspond à l'exécution d'une démonstration.
De la même façon que la théorie d'engendrement d'une structure n'est pas exprimable en logique du premier ordre, la caractéristique libre d'une structure n'est pas exprimable en logique du premier ordre. La première s'appuit sur le concept de clôture par composition. La seconde s'appuit sur le concept de composition formelle finie.
Considérons l'étalon de distance `1` et l'addition `"+"` de `D`, et considérons la proposition suivante :
`D^** = "<"1,"+>"`
Cette proposition affirme que la clôture, par composition des opérateurs `1` et `"+(.,.)"`, regroupe tous les éléments de `D^**`. C'est la théorie d'engendrement du demi-groupe `(D^**,"+")`.
Si nous considérons un nouvel élément `1` et un nouvel opérateur binaire `"+(.,.)"`. Alors l'ensemble `"<"1,"+>"` regroupe toutes les compositions formelles finies qu'il est possible de composer à l'aide de ces deux opérateurs. C'est l'ensemble des arbres binaires nus : `{1`, `1"+"1`, `(1"+"1)"+"1`, `1"+"(1"+"1)`, `(1"+"1)"+"(1"+"1)`, `((1"+"1)"+"1)"+"1)`, `((1"+"(1"+"1))"+"1`, `1"+"((1"+"1)"+"1)`, `1"+"(1"+"(1"+"1)),"..."}`. C'est la structure libre des arbres binaires nus. Et lorsque l'on quotiente cette structure libre par une théorie `T` du premier ordre écrite dans le langage de la structure c'est à dire utilisant les seuls opérateurs `1` et `"+(.,.)"`, on obtient une structure libre `(D,"+",1)` de théorie du premier ordre `T` , de théorie globale `D="<"1,"+>/"T`, et de théorie d'engendrement `D="<"1_D,"+"_D">"`. Et c'est l'indice `""_D` qui précise à défaut du contexte, si l'opérateur évoqué est un opérateur formel c'est à dire nouveau et libre de tout lien, ou si c'est celui de la structure `(D,"+",1)`.
Dans le cas libre, comme la multiplication est distributive sur l'addition nous avons par exemple :
`2_D"∗"3_D = (1_D"+"1_D)"∗"(1_D"+"1_D"+"1_D) = ubrace(1_D"+"..."+"1_D)_(2"∗"3 "fois")`
Et d'une manière générale :
`"("ubrace(1"+"..."+"1)_(n "fois")")∗("ubrace(1"+"..."+"1)_(m "fois")")" = ubrace(1"+"..."+"1)_(n"∗"m "fois")`
La présentation d'une structure est moins détaillée que sa notation programmative. Cela se produit lorsque des opérateurs singuliers, évoqués dans la théorie du premier ordre de la structure sous forme de proposition existentielle, sont nommés dans la notation programmative.
Ces deux caractéristiques que sont l'engendrement et la liberté d'une structure se déclinent plus simplement dans le cas du demi-groupe monogène et si l'on utilise la définition programmative de `NN` comme moyen de démonstration. Nous les exprimons alors dans une logique du second ordre, où il y a deux sortes de variable, celles désignant des éléments de la structure et celles désignant des entiers tels que définis programmativement.
L'engendrement de `D` correspond à la proposition suivante :
`AAx, EEn"∈"NN, x=n"∗"1_D`
Et la liberté de la structure `D` correspond à la proposition :
`AA(n,m)"∈"NN^2, n"≠"m => n"∗"1_D"≠"m"∗"1_D`
que l'on préfaire évoquer par sa contraposée :
`AA(n,m)"∈"NN^2,n"∗"1_D"="m"∗"1_D => n"="m`
Où `1_D` désigne l'élément neutre du monoïde `D`.
Où `"+"_D` désigne l'operation interne du monoïde `D`.
Où l'opérateur `"∗"` appartient à `NN"×"D"→"D` et est définie programmativement comme une somme répétée du même élément. Cette opération externe se formalise à travers une struture plus riche appelée un `NN`-module.9) Poêle
Considérons `(D,"+")` un monoïde monogène fini avec `0_D` comme élément neutre et `1_D` comme élément générateur de `D^**`.
Comme `D^** = "<"1_D,+">"` et que l'opérateur `"+"` de la structure `D` est associatif et commutatif, Nous avons :
`D = NN"∗"1_D`
Considérons la suite `0_D, 1_D, 2"∗"1_D,3"∗"1_D,4"∗"1_D,...` Comme `D` est fini, cette suite ne peut pas énumérer indéfiniment des éléments distincts, il existe donc une suite maximale.
`(0_D, 1_D, 2"∗"1_D,3"∗"1_D,4"∗"1_D,...n"∗"1_D)`
où `n "∈" NN`. et ou `(n"+"1)"∗"1_D` est égale à un élément déjà énuméré de la forme `m"∗"1_D` avec `n<m`. Le parcours ordonné des éléments successifs dessine une forme de poêle d'où le nom donné à cette structure.
On est en train de déterminer une structure quotient `D` qui est égale à la de la structure libre `(NN,"+")` divisée par la propriété d'égalité `{m"="n}`. Cela se fait en considérant l'application `s` de `NN->D` qui à tout entier `x "∈" NN` associe l'élément `x"∗"1_D "∈" D`.
`s` est un morphisme surjectif de semi-groupe de `(NN,"+")->(D,"+")` :
`s(NN)=D`
`s(0)=0_D`
`s(x+y) = s(x)+s(y)`pour tout `x "∈" {0..n"-"1}, s^-1{x1_D} = {x}`
pour tout `x "∈" {n..m}, s^-1{x1_D}={x, x"+"(m"-"n), x"+"2"∗"(m"-"n),...} = {x"+"k(m"-"n) "/" k "∈" NN}`
Le quotientage de `(NN,"+")"/"{m"="n}` est l'ensemble des classes d'équivalences
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Dans la littérature, l'anneau est implicitement unitaire, c'est à dire qu'il possède un élément neutre pour la multiplication. Et lorsqu'il n'en possède pas il est appelé un pseudo-anneau. De même pour le demi-anneau, un demi-anneau sans élément neutre pour la multiplication sera appelé un pseudo-demi-anneau.
Un demi-anneau commutatif est une structure possédant deux opérations binaires `"+", "∗"`, appelés respectivement l'addition et la multipliction, et qui satisfait :
La multiplication se note par absence de symbole, par simple concaténation, faisant que `xy"="x"∗"y`.
On remarquera que dans tout monoïde on peut ajouter un élément absorbant.
Les théories du premier ordre du demi-groupe commutatif, du monoïde commutatif et du demi-anneau commutatif se résume de façon skolémisée, c'est à dire présentés sous forme de théorie universelle du premier ordre, dans ce tableau où les variables qui ne sont pas mentionnées dans les argument des patrons, sont implicitement quantifiées universellement :
| `a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c` |
`sf"Demi-groupe"` `sf"commutatif"(A,"+")` |
`sf"Monoïde"` `sf"commutatif"(A, "+",0)` |
`sf"Demi-anneau"` `sf"commutatif"(A, "+",0,"⁎",1)` |
| `a"+"b = b"+"a` | |||
| `a"+"0 = a` | |||
| `a(bc) "=" (ab)c` | `sf"Demi-groupe"` `sf"commutatif"(A,"⁎")` |
`sf"Monoïde"` `sf"commutatif"(A, "⁎",1)` |
|
| `ab"=" ba` | |||
| `1a"="a` | |||
| `a(b"+"c) "=" ab"+"ac` | |||
| `0a"="0` | |||
La théorie du premier ordre du demi-anneau commutatif est donc consituée de ces 8 axiomes, et forme une théorie universelle d'égalité.
Sa notation programmative va ajouter à la théorie non skolémisée du demi-anneau, la définition de `0` comme élément neutre de l'addition, et celle de `1` comme élément neutre de la multiplication :
`sf"Demi-anneau commutatif"(A, "+",0,"⁎",1)<=>`
`((sf"Monoïde commutatif"(A",+,"0)),(sf"Monoïde commutatif"(A",⁎,"1)),(AA(a,b,c)"∈"A^3"," ((a(b"+"c) "=" ab"+"ac),(0a"="0))))`
Elle se développe :
`sf"Demi-anneau commutatif"(A, "+",0,"⁎",1)<=>`
`AA(a,b,c)"∈"A^3, ((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b = b"+"a),(a"+"0 = a),(a(bc) "=" (ab)c),(ab"=" ba),(1a"="a),(a(b"+"c) "=" ab"+"ac),(0a"="0))`
On fait la même distinction que pour le monoïde monogène au chapitre 7, entre valeurs et grandeurs. `A` désigne l'ensemble des valeurs du demi-anneau, et `A^**` désigne l'ensemble des grandeurs du demi-anneau.
`A^** = A ∸ {0}`
Les éléments neutres `0`, `1`, respectivement de l'addition et de la multiplication étant imposés dans la structure de demi-anneau, s'il n'y a pas besoin d'autre élément pour engendrer la structure, celle-ci est alors qualifiée de demi-anneau agène. Ainsi `A` est un demi-anneau agène, et on dit aussi qu'il est une structure bigène. Ainsi `A^**` est un pseudo-demi-anneau agène, et on dit aussi qu'il est une structure monogène.
A ce stade notre structure des distances `(D,"+","∗")` est un demi-anneau agène, c'est à dire sans autre éléments générateur que `0` et `1`. Deux cas peuvent se produire : Soit l'ensemble des valeurs de distance, `D` constitue un demi-anneau agène libre, ou soit l'ensemble des valeurs de distance `D` est fini.
Dans le cas libre, comme la multiplication est distributive sur l'addition nous avons par exemple :
`2"∗"3 = (1"+"1)"∗"(1"+"1"+"1) = ubrace(1"+"..."+"1)_(2"∗"3 "fois")`
Et d'une manière générale :
`"("ubrace(1"+"..."+"1)_(n "fois")")∗("ubrace(1"+"..."+"1)_(m "fois")")" = ubrace(1"+"..."+"1)_(n"∗"m "fois")`
On en conclut que le demi-anneau commutatif agène libre correspond à `(NN,+,"∗")`.
Dans le cas fini, le monoïde additif forme une poêle de la forme `NN"/"{m"="n}` où `(n,m)"∈"NN^2` et `n"<"m`. `D^**` étant engendré par `1`, toute grandeur se présente comme une somme de `1`. Et si cette somme est plus grande ou égale à `m` alors grace à la règle d'égalité `m=n`, cette somme est réduite. Ce l'ensemble des valeurs de distance est `D = {0,1,2,3,...,m"-"1}`, avec les loi d'addition et de multiplication suivantes :
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En conclusion, l'anneau commutatif agène libre correspond aux entiers relatifs.
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auquel cas ce sera `D"="NN`. Dans ce cas le monoïde additif forme une poêle de la forme `NN"/"{m"="n}` où `(n,m)"∈"NN^2` et `n"<"m`.
auquel cas se sera un anneau quotient `D"="ZZ"/"nZZ` correspondant à un groupe cyclique.
Considérons notre monoïde monogène `(D,"+")`. L'élément neutre est noté `0` ou plus précisément `0_D` s'il y a risque d'ambiguïté, et l'étalon est noté `1` ou plus précisément `1_D` s'il y a risque d'ambiguïté. Mais souvent le typage par inférence ou spécifié par le contexte permetra de choisir la dénomination courte.
Les éléments du monoïde peuvent s'ajouter entre eux à l'aide de la loi interne `"+"`. Il est donc possible de les multiplier par des entiers. Ce produit d'un entier par un élément de `D`, est une loi notée `"∗"` dite externe au monoïde `D`. C'est une application de `NN"×"D"→"D` qui se définie formellement comme suit :
`AAn "∈" NN, AAx"∈" D,`
Il faut alors faire la distintion entre l'entier `1"∈"NN` et l'étalon de distance `1_D"∈"D` et entre l'entier `0"∈"NN` et la distance nulle `0_D"∈"D`. En munissant notre monoïde de cette opération de multiplication par un entier, on le perfectionne en lui greffant un procédé de calcul sans l'altérer.
Si on ajoute deux valeurs de distance `x` et `y`, on obtient une valeur de distance `x"+"y` qui doit être nécessairement comparable à `x` et à `y` et qui doit être plus grande. Cela signifie que le préordre `"⩽"` associé à l'opérateur `"+"` et qui est définie par `x"⩽"z =>EEy, x"+"y"="z` constitue une relation d'ordre, c'est à dire que `x"⩽"y "et" y"⩽"x =>x"="y`.
Cette condition ajouté à la structure de demi-anneau le transforme en un dioïde.
`sf"Dioïde"(A, "+",0,"⁎",1,"⩽")<=>`
`((sf"Demi-anneau commutatif"(A, "+",0,"⁎",1)),(AA(a,b,c)"∈"A^3"," ((a"⩽"b <=> EEx"," a"+"x"="b),(a"⩽"b "et" b"⩽"a =>a"="b ))))`
Cela se développe :
`sf"Dioïde"(A, "+",0,"⁎",1,"⩽")<=>`
`AA(a,b,c)"∈"A^3, ((a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c),(a"+"b = b"+"a),(a"+"0 = a),(a(bc) "=" (ab)c),(ab"=" ba),(1a"="a),(a(b"+"c) "=" ab"+"ac),(0a"="0),(a"⩽"b <=> EEx"," a"+"x"="b),(a"⩽"b "et" b"⩽"a =>a"="b))`
A ce stade la structure des distances `(D,"+","∗")` est un dioïde agène. La relation d'ordre y est alors nécessairement totale et la structure, s'identifiant à `D"="NN`, devient de taille infinie.
Sans doute pour les mêmes raisons psychologiques qui poussent les élémentariens à se méfier des infinis non dénombrables, les physiciens évitent de concevoir des mondes infinis. Il faut donc réviser nos exigences sur les propriétés des valeurs de distances que l'on est en droit d'attendre.
Pour cela, nous allons définir la notion de localité opposée à la notion de cosmogonie. Les distances doivent être localement comparables, mais à l'échelle du cosmos, il peut y avoir un flou, des distances peuvent ne pas être comparables entre elles, sans que cela n'entraine de contradiction, ni n'empêche la construction d'un espace métrique canonique.
A ce stade la structure des distances `(D,"+","∗")` est un anneau agène fini. Et dans ce cas c'est un groupe cyclique de la forme :
`D = ZZ"/"nZZ`
Où `n` est un entier au moins égale à `1`. Pour simplifier le raisonnement, considérons d'abord le cas où `n` est grand.
La distance devient relative, et constitue alors une valeurs d'abcisse. Elle définit un espace métrique canonique que constitue l'abcisse elle-même et qui forme une droite transformée en un cercle, comme si on avait rejoint les deux bouts pour en faire un cercle.
Il est tout a fait possible de définir une relation d'ordre non totale qui soit localement totale. Et, le domaine locale à un point sera la moitié du monde qui contient en son centre le point considéré.
---- 23 novembre 2020 ----
La structure des valeurs de distances constitue un espace métrique canonique, le plus simple parmi tous les espaces métriques utilisant cette même structure de valeur.
On part donc d'une structure de groupe fini `G` quelconque, qui constitue un ensemble d'unités. Et on veut construire une structure d'espace métrique plus vaste qui constitura un anneau `A`, qui contiendra `G`, et qui partagera sur `G` la même loi de produit `"∗"`. On considère pour cela l'ensemble des combinaisons linéaires formelles à facteur entier d'éléments de `G` que l'on quotiente par la théorie de l'anneau. On définie ainsi un ensemble `A` munie d'une somme et d'un produit et constituant un anneau.
Puis, on se fixe une règle supplémentaire. De la même façon que le produit de tous les éléments d'un groupe est égale à `1`, l'élément neutre du produit, ce qui est une conséquence de la théorie du groupe. On posera que la somme de tous les éléments du groupe est égale à `0`, l'élément neutre de l'addition, ce qui est une conséquence de la théorie de l'anneau si le groupe en question couvre bien toutes les unités de l'anneau. L'anneau `A` ainsi définie constitue l'espace métrique le plus libre possible engendré par le groupe d'unités `G` équicentré. Il constitue un espace métrique canonique au sens le plus générale.
On construit ainis les espaces métriques canoniques à partir des groupes d'unités multiplicatives, et en y définissant l'addition. Il y a 14 groupes d'au plus 8 éléments et à partir de ces groupes se construisent les espaces métriques canoniques qui sont des anneaux. voir Les 14 groupes d'au plus 8 éléments et leur structure d'espace
---- 20 novembre 2020 ----
--- 25 aôut 2019 ---
On remarque qu'une valeur non nulle peut toujours être rendue plus grande qu'une autre valeur en la multipliant par `n`, où `n` est un entier positif suffisament grand. C'est la notion archimedienne de la grandeur. Le monoïde `(D,"+")` est archimedien. L'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande ». Autrement dit, il n'existe pas de grandeur infiniment grande par rapport à l'étalon `ȷ`.
Le monoïde `(D,"+")` est archimedien : `AA(a,b)"∈"{:D^"⁎":}^2,EEn"∈"NN, na">"b`
Voyons comment il est possible d'exprimer cette propriété en logique du premier ordre.
Dans une structure de demi-anneau totalement ordonné, la propriété d'être archimedien s'exprime au premier ordre comme suit :
`(D,"+","⁎")` Archimedien : `AAaAAbEEc, ("¬"a"="0 "et" "¬"b"="0)=>ca">"b`
Pour des raisons de simplification, on ne considèrera que les grandeurs transfinies relatives. On part du groupe monogène libre `D=(ZZ, "+")`. Il existe un ordre total canonique `"⩽"` déterminé par l'élément générateur `1`.
Mais on ne s'arrète pas là au cas archimédien. Une valeur de distance, dans une conception plus générale, peut-être infiniment grande. C'est à dire que l'on remet en cause l'idée qu'un étalon unique puisse engendrer, avec les seules opérations d'addition et d'opposé c'est à dire par sommation finie et par la fonction opposée, toutes les valeurs possibles.
Cela se fait en prenant un second étalon `omega` qui engendrent des valeurs que le premier étalon `1` ne peut pas engendrer. Et comme on s'intéresse aux ordres de grandeur, on pose que `omega` est supérieur à tous les éléments engendrés par le premier étalon `1`.
`(ZZ,"+")` groupe commutatif monogène libre.
`D = (ZZ[omega])/({AA a"∈"ZZ, a "<"omega})`
Notez que la structure ainsi construite a encore une théorie d'égalité car la relation d'ordre est définie par une propriété d'égalité {L1bis}.
Dés lors nous avons défini une grandeur positive infiniment grande `omega` par extension élémentaire du groupe commutatif monogène libre. Selon les hypothèses d'un ordre invariant par translation, respectant le produit des signes, et total, les valeurs de `D` se présentent comme suit :
`...,"-"2omega"-"2, "-"2omega"-"1, "-"2omega, "-"2omega"+"1, "-"2omega"+"2,...,...,"-"omega"-"2, "-"omega"-"1, "-"omega, "-"omega"+"1, "-"omega"+"2,...,...,"-"2,"-"1,0`
`0,1,2,...,...omega"-"2,omega"-"1,omega,omega"+"1,omega"+"2,...,...,2omega"-"2,2omega"-"1,2omega,2omega"+"1,2omega"+"2,...`
Les valeurs de `D` sont de la forme : `a omega"+"b` avec `(a,b)"∈"D`. L'ordre est régi par :
`(a omega"+"b ⩽ c omega"+"d)<=>(a,b)"⩽"_"lex"(c,d)`
où `"⩽"_"lex"` désigne l'ordre lexicographique (d'endianess big-endian, gros bout d'abord).
Si nous avions choisie l'autre hypothèse `0<("<"omega,"+>")<1`, nous aurions définie une grandeur positive infiniment petite au lieu d'une grandeur positive infiniment grande.
Nous avons déjà étudié les extensions d'anneau commutatif au chapitre "Les anneaux commutatifs libres". Nous revisitons le procédé mais en respectant en plus une relation d'ordre total compatible avec la structure d'anneau.
---- 6 juillet 2019 ----
Il existe une autre façon d'introduire les grandeurs transfinies, qui consiste à représenter les ordres de grandeur transfinie par des suites d'entiers :
`x = ccS_i x_i = x_0,x_1,x_2,x_3...`
`x in ((NN"→"NN),(i|->x_i))`
Où `x_i` représente l'entier placé à la place `i` dans la suite `x`. L'ensemble de ces suites se note `(NN->NN)` ou bien encore `NN^NN`. Les opérations `"+","⋅"` composante par composante sont associatives, commutatives, possède un élément neutre, et nous avons la distributivité de `"⋅"` par rapport à `"+"`. Autrement dit `(NN^NN, "+", "⋅") ` forme un demi-anneau.
Par défaut, les quantificateurs existentiel `EE` et universel `AA` s'appliqueront à l'ensemble `NN`, de telle sorte que l'expression `AAjEEk` signifie `AAj"∈" NN, EEk "∈" NN`.
Une suite constitue aussi un sac, appelé aussi un multi-ensemble, de support `NN`, ce qui s'écrit comme suit :
`x in ((NN"→"NNuu{oo}),(i|->x(i)))`
Où `x(i)` est le nombre de fois que l'entier `i` apparaît dans la suite. Ce nombre peut être `0,1,2,3...` ou `oo`.
`x(i)"="oo <=> AAjEEk, j"<"k "et" x_k"="i`
L'adhérence fini d'une suite entière est l'ensemble des entiers qui apparaissent une inifinité de fois dans la suite. Deux cas se présentent, les sacs à base finie, qui sont donc bornés, et les sacs à base infinie qui sont donc non bornés. Dans le premier cas, la limite d'une suite d'entiers bornés correspond à son adhérence fini, c'est à dire à l'ensemble des entiers qui apparaissent une infinité de fois dans la suite.
`x "borné" <=> lim(x) = {n "/" x(n)"="oo}`
Autrement dit :
`(EEmAAi, x_i"<"m) <=> lim_(i->oo) x_i = {n "/" AAjEEk, j"<"k "et" x_k"="n}`
Noter alors que l'adhérence de dépend pas de l'ordre des éléments dans la suite, elle est déterminé par le sac, et donc est indépendante de la temporalité que représente l'ordonnancement des éléments dans la suite.
Dans le second cas, la limite contient toujours l'adhérence fini, mais elle contient en plus une adhérence transfinie, un ordre de grandeur transfinie qui désigne la rapidité de croissance de la suite. Deux suites non bornées `x` et `y` désigne une même rapidité de croissance, un même ordre de grandeur transfinie, ce qui se note `x"≍"y`, si et seulement si les deux suites s'encadrent à un facteur entier près, composante par composante, c'est à dire si et seulement si il existe deux entiers `a` et `b` tel que `AAi, x_i"⩽"ay_i "et" y_i"⩽"bx_i`. Les suites bornées sont toutes équivalentes et désignent l'ordre fini que l'on représente par `O(1)`.
Cette relation `"≍"` entre deux suites forme bien une relation d'équivalence qui respecte les opérations `"+","⋅"` sur les suites composante par composante. Le quotient `(NN"→"NN)"/≼"` définie donc une structure regroupant les ordres de grandeurs. Mais il n'est pas possible d'y définir un ordre total.
Les hyperentiers que l'on note `"*"NN` définissent la structure des grandeurs transfinies, appellée également la structure des ordinaux transfinis, dans laquelle est définie un ordre total. Comment pouvons nous le définir ?
Après cela commence l'analyse.
---- 6 juillet 2019 ----
La notation de Landau, `O`, inventée par le mathématicien allemand Edmund Landau (Berlin, 1877 - Berlin, 1938), et la relation d'ordre de Hardy, `"≼"`, inventée par le mathématicien britannique Godfrey Hardy (Cranleigh, 1877 - Cambridge, 1947), permettent de comparer des suites et leurs façons dont elles convergent mutuellement.
Étant donné deux suites `A,B` appartenant à `NN"→"NN`, on définie trois notations : `Theta` appelée « grand théta », `O` appelée « grand O », et `o` appelée « petit o », qui correspondent exactement à la relation d'ordre de Hardy: `"≍"` qui signifie de même ordre, `"≼"` qui signifie d'ordre inférieur ou égal, et `"≺"` qui signifie d'ordre strictement inférieur.
On dit que `A` appartient à `O(B)`, ou `A "=" O(B)`, ou que l'ordre de `A` est inférieur ou égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≼"B`, si et seulement si `A` est inférieure à un nombre entier de fois `B` composante par composante.
On dit que `A` appartient à `Theta(B)`, ou `A "=" Theta(B)`, ou que l'ordre de `A` est égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≍"B`, si et seulement si `A"≼"B` et `B"≼"A`. C'est à dire si et seulement si `A` est inférieure à un multiple entier de `B` composante par composante, et que `B` est inférieure à un multiple entier de `A` composante par composante.
On dit que `A` appartient à `o(B)`, ou `A "=" o(B)`, ou que l'ordre de `A` est strictement inférieur à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≺"B`, si et seulement si `"¬"(B"≼"A)`. C'est à dire quelque soit un entier `n`, il existe toujours un indice `i` tel que `B_i">"nA_i`.
Par défaut, les quanitficateurs existanciels et universels s'applique à l'ensemble `NN`. Ainsi `EEn` signifie `EEn in NN`. Ainsi quelque soit `A` et `B` appartenant à `NN"→"NN` nous avons les définitions suivantes :
de Hardy
de Laudau
`A` et `B` sont du même ordre.
`A` est d'un ordre strictement inférieur à `B`.
Et nous avons :
`(A "≼" B "et" B "≼" A) <=> A "≍" B`
ou dit autrement :
`(A"="O(B) "et" B"="O(A)) <=> A "=" Theta(B)`
On constate alors que dans `O(A)`, il existe une approximation dite « exacte » qui est l'égalité à `o(A)` près.
L'analyse des infinies est rendue facile grace à cette notation. Voici les notations de Landau et Hardy qui permettent de préciser cela :
de Laudau
de Hardy`{r "/" r"≺"u}` Ensemble des suites négligeables devant `u`. `{r "/" r"≼" u}` Ensemble des suites d'ordre inférieur ou égal à `u`. `{r "/" r"≍" u}` Ensemble des suites du même ordre que `u`.
de Laudau
de Hardy`{r "/" r"≺"u}` `{r "/" r"≼" u}` `{r "/" r"≍" u}` `{r "/" EEAAir_i"⩽"nu_i "et" u_i"⩽"mr_i}`
---- 24 juin 2019 ----
Cette suite définie un sac d'éléments de `ZZ` de cardinalité `aleph` que l'on note :
`"⦃"ccS_i x_i"⦄" = "⦃"x_0,x_1,x_2,x_3..."⦄" = A`
On peut alors définir les points de convergence dans `ZZ`, en utilisant une notion plus large qui est l'adhérence, et comme nous utilisons le cas entier, cette adhérence est synonyme de présence de l'élément adhérent dans la suite en un nombre infini d'occurences.
(lim A) <=>
La distance `d"(.,.)"` que l'on est entrain de définir dans l'ensemble de points `E`, s'applique à deux points quelconques et retourne la distance les séparant. On exprime cette distance à l'aide d'une valeur appartenant à `D`. Et si, dans une démarche constructive, on explore les valeurs utilisées, les seules qui nous intéressent, on commence par le zéro. Cette valeur singulière va introduire les deux premiers axiomes de la distance par ordre de simplicité, l'axiome de la distance à soi-même nulle, et l'axiome de séparation.
L'axiome de la distance à soi-même nulle, dit que « Un point est de distance nulle à lui-même ».
A1. Distance à soi-même nulle : `AA x"∈"E, d(x,x)"="0`
Mais il convient ici d'introduire une considération plus intuitive et générale sur la distance. La distance d'un point `x` au point `y` représente un effort nécessaire pour se déplacer du point `x` au point `y`. Et par principe, on recherche perpétuellement le moindre effort, c'est pourquoi dans son concept même, la distance recherche continuellement à se minimiser.
L'axiome de la distance à soi-même nulle, {A1}, explicite le fait qu'il n'y a aucun effort à faire pour rester surplace. Cet axiome possède une réciproque qui constitue le second axiome de la distance, qu'est l'axiome de séparation.
L'axiome de séparation dit que « Deux points de distance nulle désignent le même point ». Cette axiome s'exprime le plus souvent sous sa forme contraposée « Deux points distincts sont séparés d'une distance non nulle ».
A2. Séparation : `AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y => d(x,y)">"0`
Cet axiome explicite le fait que le point représente une localisation ponctuelle, et que s'il n'y a pas d'effort nécessaire pour passer d'une localisation à une autre alors c'est qu'elles constituent une même localisation, un même point.
Un espace métrique est de distance infini si on peut s'éloigner indéfiniment de n'importe quel point. C'est à dire si quelque soit un point `x` et quelque soit une valeur `n` aussi grande que l'on veut, il existe des points dans cet espace dont la distances à `x` est supérieur à `n`. Remarquez que si cette propriété est valable pour un point `x`, alors grâce à l'inégalité triangulaire (que l'on verra plus loin), elle est valable pour tous les points. Autrement dit, l'espace est infini si la distance qui y est mesurée concrètement n'est pas bornée. On note `d(E,E)={d(x,y) "/" (x,y)"∈"E^2}`. Nous avons :
Espace métrique `(E,d)` infini : `AAx"∈"E, AAn"∈"NN, EEy"∈"E, d(x,y)"⩾"n`
L'espace métrique `(E,d)` est infini si et seulement si `d(E,E)` n'est pas borné
On privilègie dans notre recherche les espaces métriques où les propriétés étudiées s'appliquent à tous les points, car cette symétrie nous permet de réduire l'arbitraire ainsi que la démultiplication des cas d'espèces.
Remarquez qu'un espace métrique défini par le couple `(E,d)` comprend un ensemble de points `E` et une application binaire `d"(.,.)"`. C'est parce qu'on privilègie le langage, et que les propositions étudiées ont besoin de ces éléments de langage préétablis pour être formulées, que la définition d'un espace métrique tient en ces deux symbôles. L'ensemble des valeurs `D` qui sont utilisées est inclus, en ce qu'il est nécessaire, dans le graphe de `d"(.,.)"`, et est donc exprimable à l'aide de `d"(.,.)"` en partant de `E`. L'ensemble des distances mesurées dans `E` est `d(E,E)"⊆"D`.
À ce stade où `D` est identifié à `NN` et se plonge naturellement dans `ZZ`. L'ensemble des entiers relatifs, `ZZ`, munie de la distance suivante forme un espace métrique :
`((ZZ -> NN),((x","y)↦|x"-"y|))`
Et cet espace métrique `(ZZ, (x,y)"↦"|x"-"y|)` est l'espace métrique entier unidimensionnelle. On formalisera plutard le concept d'unidimensionnalité pour les espaces métriques.
L'analyse est la branche des mathématiques qui traite de la notion de limite. La distance entière ainsi définie permet de développer l'analyse des infinis.
La distance est symétrique. C'est le troisième axiome dans l'ordre de simplicité :
A3. Symétrique : `AA(x,y)"∈"E^2, d(x,y)=d(y,x)`
Dans un espace métrique, les points forment les sommets d'un graphe simple complet où chaque arête possède une grandeur indiquant leur longueur. Chaque arête représente un passage permettant de passer d'un point à un autre en usant d'une quantité de ressource, appelé distance, indiqué par l'arrête. Et si on s'en tient à ces trois axiomes {A1, A2, A3}, on dira que `d"(.,.)"` est une distance locale, une métrique locale, ou classiquement une semimétrique. C'est à dire une application de `E"×"E->D` symétrique {A3}, et de seul {A2} diagonale nulle {A1}. On la définie aussi comme une application associant à tout ensemble de deux points distincts la grandeur de l'arrète les joignant, autrement dit, une application de `ccP_2(E)->D^"⁎"`, où `ccP_2(E)` désigne l'ensemble des parties de `E` de cardinalité `2`, et où `D^"⁎"` désigne l'ensemble des grandeurs c'est à dire l'ensembles des valeurs non nulles.
La distance, dans son concept même, recherche continuellement à se minimaliser. Et ce sera dans l'axiome de l'inégalité triangulaire que se révèllera ce principe minimaliste dans toutes sa force.
Un chemin est une suite non vide de `n` arêtes deux à deux adjacentes permettant de relier une suite de `n"+"1` sommets. La longueur du chemin est la somme des longueurs de ses arètes.
Le concept de distance, pour qu'il soit pertinent, doit satisfaire une propriété d'intégrité qui lui donne un sens global. C'est la propriété de minimalité. L'arête contenant la distance entre deux points doit contenir une information globale sur le graphe complet, à savoir, que le graphe ne doit pas proposer de chemin plus court que celui proposé par l'arête, ce qui se traduit par l'inégalité triangulaire :
A4. Inégalité triangulaire : `AA(x,y,z)"∈"E^3, d(x,y) + d(y,z) ⩾ d(x,z)`
Ce quatrième axiome donne à la notion de distance toute sa substantialité.
On appel métrique ou distance, une application `d` de `E"×"E->D` symétrique {A3}, de seul {A2} diagonale nulle {A1}, et satisfaisant l'inégalité triangulaire {A4}.
Il convient de considérer une configuration plus générale, qui ne respecte pas forcement les axiomes {A1, A2, A3, A4} pour avoir une plus grande liberté de construction et ainsi avoir un domaine d'utilisation plus large, puis d'établir les algorithmes qui permettront de transformer cette configuration plus générale en une métrique vérifiant {A1, A2, A3, A4}.
On considère un ensemble de point `E` et une application `d` quelconque de `E"×"E->D`. Cette application définie un graphe orienté complet sur `E` où chaque arête orientée possède une distance quelconque. Comment faire alors pour retrouver une configuration respectant les axiomes {A1, A2, A3, A4}. Cela peut se faire simplement en appliquant les 4 algorithmes suivants dans n'importe quel ordre :
for `x` in `E` do `d(x,x)"="0`
`AAx"∈"E, d(x,x)":="0`
for `(x,y)` in `E^2` do if `x"≠"y" et "d(x,y)"="0` then | for `z` in `E` do if `d(z,x)">" d(z,y)` then `d(z,x)"="d(z,y)` | `E = E"-"{y}` end
`AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y "et" d(x,y)"="0 =>`
`AAz"∈"E, d(z,x)">"d(z,y) =>`
`(d(z,x)":="d(z,y);`
`E":="E"-"{y})`
for `(x,y)` in `E^2` do if `d(x,y)">" d(y,x)` then `d(x,y)"="d(y,x)`
`AA(x,y)"∈"E^2, d(x,y)">"d(y,x) => d(x,y)":="d(y,x)`
repeat `oo` do for `(x,y,z)` in `E^3` do `d(x,z) = "min"(d(x,z), d(x,y)+d(y,z))`
`AAn"∈"NN, AA(x,y,z)"∈"E^3, d(x,z):="min"(d(x,z), d(x,y)"+"d(y,z))`
En langage propositionnel impératif, l'expression `AAx"∈"E` ouvre une boucle for pour `x` parcourant les éléments de `E`, l'expression `x"⇒"a` lorsque `a` est une action signifie que `a` est executé si `x` est vrai, l'expression `x":="y` désigne l'action de modifier la valeur de `x` en celle de `y`, l'expression `a;b` signifie l'execution de l'action `a` puis l'execution de l'action `b` dans cet ordre. Tous les ensembles considérés sont dénombrables, et si le processus de calcul est convergent, alors le résultat est récupéré à la fin des temps.
Dans l'algorithme algo4, l'instruction d'affectation `d(x,z) := "min"(d(x,z), d(x,y)+d(y,z))` correspond à un affinement de l'application `d`, un affinement de sa valeur pour le couple de points `(x,z)`, qui est modifiée et rendue égale à `d(x,y)+d(y,z)` lorsque cette somme est plus petite. L'instruction Repeat `oo` représentée en langage propositionnel impératif par l'expression `AAn"∈"NN`, signifie que l'on répète le programme indéfiniment.
Lorsque l'espace est fini en nombre de points, l'algorithme se termine en un temps fini. Dans les autres cas, on s'appuit sur le processus constructif de l'espace qui assure son énumérabilité et sur la construction de la distance par recherche de minimum qui met en oeuvre une suite positive décroissante donc forcément convergente.
A partir d'une application binaire `f"(.,.)"` quelconque de `E"×"E->D`, ces 4 algorithmes permettent de construire des applications respectant les axiomes de notre choix parmis {A1, A2, A3, A4}. On note par exemple {algo1, algo2}(`f`) l'application obtenue à partir de `f` en lui appliquant les algorithmes algo1 et algo2. Ainsi {algo1, algo2, algo3}(`f`) définie une métrique locale, et {algo1, algo2, algo3, algo4}(`f`) définie une métrique.
Pour résumer, on part d'une application binaire `f"(.,.)"` quelconque de `E^2` vers `D`. On la rend nulle pour les points identiques en lui appliquant l'algorithme algo1, et on la rend non nulle pour tout couple de point distinct en lui appliquant l'algorithme algo2. Puis on la rend symétrique en lui appliquant l'algorithme algo3. Arrivé à ce stade nous avons une semimétrique appelée plus communément distance locale. Cette application représente alors un graphe simple complet où chaque sommet est un point de `E`, et où chaque arête possède une grandeur représentant une distance locale arbitraire entre deux points distincts. Et à partir de ce graphe on peut rechercher les chemins les plus courts, et calculer les distances minimales, qui constituent les véritables distances entre points, dévoilant la véritable notion de proximité ou d'éloignement qui est une connaissance global du graphe. Si on remplace la distance locale par cette distance minimale, ce qui se fait en appliquant l'algorithme algo4, on obtient alors une application binaire qui respecte l'inégalité triangulaire, tout en conservant le fait d'être symétrique et de seul diagonale nulle, et qui constitue donc une métrique.
Ces 4 algorithmes construisent à partir d'une application binaire `f"(.,.)"` quelconque de `E"×"E->D`, une distance `d"(.,.)"` vérifiant les 4 axiomes :
A1. Distance à soi-même nulle: `AA x"∈"E, d(x,x)"="0` A2. Séparation: `AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y => d(x,y)">"0` A3. Symétrique : `AA(x,y)"∈"E^2, d(x,y) "=" d(y,x)` A4. Inégalité triangulaire : `AA(x,y,z)"∈"E^3, d(x,y) + d(y,z) ⩾ d(x,z)`
L'application`f"(.,.)"` joue le rôle de graine et permet de construire n'importe quelle métriques possibles.
Il est possible d'élargire encore ce type de graine. Il est possible de définir plusieurs arêtes reliants deux points, et de considérer ces arêtes disposées selon un ordre précis. Ainsi nous pouvons étendre l'application `f` en une application retournant non plus une seul valeur appartenant à `D` mais une liste finie de valeurs appartenant à `D`, autant qu'il y a d'arêtes entre les deux points, et dans un ordre précis. La distance locale est alors la plus petite valeur de cet liste. Le symbole de Kleene, une étoile en exposant, `D"*"`, permet de désigner l'ensemble des suites finies d'éléments de `D`.
L'application `f` est une application quelconque de `E"×"E -> D"*"`.
S'il n'y a pas d'arète entre deux points, c'est qu'il n'existe pas de moyen de passer du point à l'autre en une seule étape, en traversant une seule arête. Cela correspond à une distance infinie notée `oo`. On étend la définition de l'ordre `⩽` à cet élément infini, mais cet élément n'appartient pas à `D`. Il indique simplement que la distance locale n'est pas définie pour ce couple de point, qu'il n'en existe pas. Et sémantiquement cela signifie une distance supérieure à toutes les distances appartenant à `D`, mais qui n'est pas une distance puisque n'appartenant pas à `D`. Lorsque `f(x,y)` est égale à la liste vide, on dira que `f(x,y)=oo`.
Si nous souhaitons que la distance soit définie dans tout l'espace, l'application `f"(.,.)"` doit alors représenter un graphe connexe, c'est à dire tel que pour tout couple de points `(x,y)` il existe une suite de points `x_1, x_2, x_3, ..., x_n` tel que pour chaque indice `i`, `f(x_i,x_(i+1))` ou `f(x_(i+1),x_i)` soit définie.
Le calcul de la distance est un mécanisme de recherche du chemin de longueur minimum. C'est pourquoi l'absence de résultat dénote une distance infinie `d(x,y) = oo` qui ne constitue pas une distance.
Il convient de considérer des objets plus généraux que la distance pour avoir une plus grande liberté de construction et dans laquelle les axiomes {A1, A2, A3, A4}, ne sont pas tous respectés.
En effet, poser l'axiome de symétrie constitue un choix trés brutal. Même si plusieurs chercheurs ont révélé qu'il n'y avait rien de réellement nouveau à découvrir dans les graphes orientés qui ne soit pas déjà présent dans les graphes non-orientés, il convient d'avoir une approche constructive basée sur un spectre plus large. C'est pourquoi on définie une seconde métrique plus générale dite quasimétrique qui ne sera pas contrainte par cet axiome {A3} et dans laquelle donc les quasidistances pourront être non-symétriques, mais devront rester quand-même non nulles pour tout point distinct, nulle pour des points identiques, et satisfaire l'inégalité triangulaire. Dans un espace quasimétrique, les points forment alors les sommets d'un graphe orienté complet où chaque arête représente un passage à sens unique permettant de passer d'un point à un autre.
Lorsque l'axiome de séparation {A2} n'est pas respecté on utilisera le préfixe "pseudo". Ainsi, une pseudo-métrique satisfait {A1,A3,A4}. Dans un espace pseudo-métrique, plusieurs points peuvent être au même endroit, c'est à dire séparés d'une distance nulle.
Lorsque c'est l'axiome de symétrie {A3} qui n'est pas respecté on utilisera le préfixe "quasi". Ainsi, une quasimétrique satisfait {A1,A2,A4}. Dans un espace quasimétrique, la distance de `x` à `y` peut ne pas être la même que celle de `y` à `x`. Il y a comme des sens interdits. Une quasimétrique peut avoir un axiome de séparation {A2} un peu plus faible dit de "simple séparation" :
A2bis. Simple séparation : `AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y => (d(x,y)">"0 "ou" d(y,x)">"0)`
Lorsque c'est l'axiome de l'inégalité triangulaire {A4} qui n'est pas respecté on utilisera le préfixe "semi" ou plus simplement le qualificatif "locale". Ainsi une semimétrique satisfait {A1,A2,A3} et est appellé plus simplement une métrique locale.
Ainsi, si l'application `d"(.,.)"` satisfait les deux axiomes {A1, A2}, on dira que `d"(.,.)"` est une quasidistance locale. C'est une application de `E"×"E->D`, de seul diagonale nulle. On la définie aussi comme une application de `E^(!2)->D^"⁎"`, où `E^(!2)` désigne l'ensemble des couples d'éléments distincts de `E`.
Ainsi, à partir d'une applications binaires `f"(.,.)"` quelconque de `E"×"E->D`, l'application {algo1,algo2}(`f`) définie une quasimétrique locale
Quel algorithme doit-on appliquer pour transformer l'application quelconque `f"(.,.)"` en une configuration respectant l'axiome de simple séparation {A2bis}. Cela peut se faire en appliquant l'algorithme suivant :
for `(x,y)` in `E^2` do if `x≠y" et "d(x,y)"="0" et "d(y,x)"="0` then | for `z` in `E` do if `d(z,x)">" d(z,y)` then `d(z,x)"="d(z,y)` | for `z` in `E` do if `d(x,z)">" d(y,z)` then `d(x,z)"="d(y,z)` | `E"="E-{y}` | end end
`AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y "et" d(x,y)"="0 "et" d(y,x)=0 =>`
`AA(x,y)"∈"E^2, (d(z,x)">" d(z,y) => d(z,x)":="d(z,y));
`(d(z,x)">" d(z,y) => d(z,x)":="d(z,y))`
Pour résumer, voici les différents types de métrique :
Pseudo-métrique A1, A3, A4 Quasimétrique A1, A2, A4 Quasimétriquebis A1, A2bis, A4 Métrique locale A1, A2, A3 Pseudo-quasimétrique A1, A4 Pseudo-métrique locale A1, A3 Quasimétrique locale A1, A2 Quasimétriquebis locale A1, A2bis
---- 22 juin 2019 ----
Avec la continuité, on s'intéresse à l'infiniment petit. Selon la démarche constructive, on munie `D` d'un moyen de construction supplémentaire qu'est la division entière. Toute grandeur peut être divisée en un nombre entier positif non nul de portions égales. Et l'énoncé d'Archimède s'exprime à l'aide de la division entière comme suit : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours une subdivision en portions égales de la plus grande, produisant des portions inférieur à la plus petite ».
Le produit et la division par un entier non nul peuvent être étendu pour agire sur toutes les grandeurs. Et l'ensemble des grandeurs forment alors l'ensemble des rationnels positifs non nuls. Et donc l'ensemble des valeurs forment l'ensemble des rationnels positifs.
`D = QQ"+"`
La continuité se définie sans opérer de construction supplémentaire sur l'espace métrique `(E,d)`. La continuité de l'espace `E` entre deux points `x` et `y` est définie comme étant la capacité, pour toute grandeur arbitrairement petite, notée `1"/"q` (ou `q` est un entier arbitrairement grand), de relier `x` à `y` par une liste de points de E dont les distances deux à deux successives sont chacune inférieurs à `1"/"q`. On note cette propriété par l'expression `x"--"y` :
| `AAq "∈" NN^"⁎", EE n "∈" NN"/"n"⩾"2, EE(s_0, s_1, s_2, ..., s_(n"-"1)) "∈" E^n, x "=" s_0, y"="s_(n"-"1), AAi "∈" {0,1,2,...,n"-"2}, d(s_i,s_(i"+"1))"⩽"1"/"q` |
On note `E^+` l'ensemble des suites finies non vides d'éléments appartenant à `E`. Pour une suite `s "∈" E^+`, on note `s_i` le `i`-ème terme de la suite sachant que par convention la suite commence avec l'indice zéro, `s "=" (s_0,s_1,s_2,...,s_("len"(s)"-"1))`. On note `"len"(s)` le nombre d'éléments dans la suite `s`. Le `"et"` logique est noté par une virgule. Les intervalles d'entiers compris entre l'entier `a` et l'entier `b` sont notés par `[a".."b]`. La propriété `x"--"y` se définie alors comme suit :
`AAq"∈" NN^"⁎", EE s "∈" E^+, x "=" s_0, y"="s_("len"(s)"-"1), AAi "∈" [0"..len"(s)"-"1], d(s_i,s_(i"+"1)) "⩽" 1"/"q`
On remarque que, de la même façon qu'une grandeur arbitrairement grande peut être décrite par un entier naturel non nul arbitraire, une grandeur arbitrairement petite peut être décrite par l'inverse d'un entier naturel non nul arbitraire. Et une grandeur arbitrairement petite ou arbitrairement grande est appelée simplement une grandeur arbitraire. On dira littéralement :
Pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q` Il existe une grandeur suffisamment petite `1"/"q` Pour toute grandeur arbitrairement grande `q` Il existe une grandeur suffisamment grande `q` Pour toute grandeur arbitraire `r` Il existe une grandeur `r` Pour toute valeur arbitraire `r` Il existe une valeur `r`
Puis on utilisera souvent la variable `r` pour désigner un rationnel positif, et la variable `q` pour désigner un entier positif, afin de rendre plus lisible les formules mathématiques.
La négation de `x"--"y` se note `x"-/-"y`. Elle affirme l'existence d'une grandeur suffisamment petite, `1"/"q`, tel que quelque soit une suite finie de points partant de `x` pour aller en `y`, les distances des points successifs ne sont pas toutes inférieurs à `1"/"q`. Autrement dit, il est nécessaire d'effectuer au moins un saut d'une distance supérieur à `1"/"q` pour pouvoir passer de `x` en `y`.
Cette propriété peut s'appliquer à tous les couples de points de l'espace `E`, auquel cas on dira que l'espace est continue ou discrets.
`E` est un espace continu : `AA(x,y)"∈" E^2, x"--"y` `E` est un espace discret : `AA(x,y)"∈"E^2, x"≠"y => x"-/-"y`
Cette notion de continuité va ouvrir un nouveau chapitre des mathématiques appellé topologie.
Il existe une notion de continuité plus forte qui est l'existance d'un connexe fermé qui contient `x` et `y`.
L'analyse est la branche des mathématiques qui traite de la notion de limite.
Une suite formelle de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` peut être vue comme une application de `NN` vers `bbbE` qui à chaque indice entier `i` associe un point `x_i`. La suite formelle est calculable si et seulement si cette application de `NN` vers `bbbE` est calculable, c'est à dire programmable, dans un langage de programmation de taille finie, en un programme de taille finie.
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2, ...)` converge vers `h` si et seulement si pour une grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`AAq "∈" NN^"⁎", EE r "∈" NN, AAi "∈" NN, i">"r => d(x_i, h)"<"1"/"q`
Par skolémisation, on peut extraire la variable existentielle `r` et l'ajouter au langage en tant qu'opérateur unaire, c'est à dire comme une application, associant à chaque entier `q` un entier `r(q)`. La suite converge vers `h` si et seulement si il existe une application entière `r"(.)"` telle que, quelque soit `q` entier non nul, à partir de l'indice `r(q)` tous les points de la suites ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`EEr "∈"(NN"→"NN), AAq "∈" NN^"⁎", AAi "∈" NN, i">"r(q) => d(x_i , h)"<"1"/"q`
Dans l'approche intuitionniste, le choix de cette application `r"(.)"` est restreint aux seules applications calculables. Cette restriction à pour effet de durcire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible de réduire l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de l'augmenter.
On note cette propriété par `lim_(i->oo) x_i = h`
Augustin Louis, baron Cauchy, mathématicien français, (Paris en 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine en 1857).
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` est de Cauchy si et seulement si pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance entre eux inférieur à `1"/"q`.
`AAq "∈" NN^"⁎", EEr "∈" NN, AA(i,j)"∈" NN^2, (i">"r "et" j">"r) => d(x_i, x_j)"<"1"/"q`
Cela définie un critère de convergence sans préciser sur quoi cela converge. Et cela peut converger sur un point qui n'est pas dans l'espace métrique initial. Les suites de Cauchy vont ainsi permettre de compléter les espaces métriques, et en premier lieu, de compléter `QQ` pour définir `RR`.
Une suite de Cauchy est simplement appelée une suite convergente sans préciser sur quoi elle converge, sachant que le point de convergence peut ne pas être dans l'espace métrique initial.
Un espace métrique est dit complet si et seulement si toute les suites de Cauchy dans cet espace convergent vers des points dans cet espace.
Étant donné un espace métrique `(E,d)`. Étant donné deux suites de Cauchy sur cette espace `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)`. La suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` est également une suite de Cauchy sur l'espace métriques des valeurs `(D,d)` (cela est une conséquence de l'inégalité triangulaire de la distance) et converge donc vers une valeur dans l'espace complet des valeurs. L'espace des valeurs est l'ensemble des rationnels positifs, `D=Q"+"`, et l'espace complet des valeurs est l'ensemble des réels positifs `RR"+"`
Deux suites de Cauchy `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)` sont dites équivalentes si et seulement si la suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` converge vers `0`.
La complétude de l'espace métrique `(E,d)`, notée `(barE,bard)`, est l'espace des suites de Cauchy modulo cette équivalence, et munie de la distance `bard(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)`. Noter que `bard(x,y)` ainsi définie est également une classe d'équivalence de suite de Cauchy sur `(QQ+,(a,b)"→"|a"-"b|)` c'est à dire un réel positif `RR"+"`
La complétude de l'espace métrique des rationnels `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` est l'espace métrique des réels `(RR,(a,b)"→"|a"-"b|)`. C'est l'espace métrique des suites de Cauchy sur `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` modulo l'équivalence, et que l'on munie de la distance `bard(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)` et cette distance limite correspond à une classe d'équivalence de suites de Cauchy sur `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` c'est à dire à un élément de `RR`.
Considérons une partie `A` de `E`. C'est à dire un ensemble de points appartenant à l'espace métrique `(E,d)`.
Point adhérant : Un point `x` est adhérant à `A` si et seulement s'il existe une suite de points appartenants à `A` convergeant vers `x`.
Fermeture : La fermeture d'une partie `A` consiste à ajouter tous les points adhérants à `A`.
Partie fermée : Une partie `A` est fermée si et seulement si pour toute suite de points de `A` convergeant vers un point `x` de l'espace métrique, le point `x` appartient à `A`.
Partie ouverte : Les parties ouvertes sont définies comme étant les complémentaires des parties fermées dans l'espace métrique.
Voisinage : Un voisinage de `x` est un ouvert qui contient `x`.
Intérieur : Un point `x` est à l'intérieur de `A` si et seulement si il existe un ouvert contenant `x` qui soit inclus dans `A`.
L'intérieur d'une partie constitue une partie ouverte. La fermeture de l'interieur de `A` redonne la fermeture de `A`.
Frontière : La frontière d'une partie `A` est égale à la fermeture de `A` moins l'interieur de `A`. C'est aussi l'intersection de la fermeture de `A` et de la fermeture du complémentaire de `A`. C'est l'ensemble des points `x` tel que pour tout ouvert contenant `x`, celui-ci contient au moins un point appartenant à `A` et au moins un point n'appartenant pas à `A`.
Une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière. Une partie est ouverte si et seulement si elle est disjointe de sa frontière. Une partie est à la fois ouverte et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
Boule fermée : La boule fermée `B(x,r]` de centre `x` et de rayon r regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur ou égale à `r`, c'est à dire `B(x,r] = {y "∈" E "/" d(x,y) "⩽" r}`. On utilise un crochet fermé `]` pour spécifier que la boule est fermée.
Boule ouverte : La boule ouverte `B(x,r)` de centre `x` et de rayon `r` regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur à `r`, c'est à dire `B(x,r) = {y "∈" E "/" d(x,y) "<" r}`.
Pour tout voisinage de `x`, il existe un rayon suffisamment petit `1"/"q`, tel que la boule `B(x,1"/"q)` soit incluse dans le voisinage en question. Et toute boule de centre `x` et de rayon strictement positif constitue un voisinage de `x`. On en déduit que :
Les propriétés topologiques peuvent se définir uniquement avec la notion d'ouvert sans utiliser la notion de boule et réciproquement.
L'ensemble de toutes les parties ouvertes de l'espace est noté `ccT` et constitue la topologie de l'espace `E`.
Aussi on peut redéfinir ce qu'est la convergence vers `h`. Une suite `(x_0, x_1, x_2,...)`, converge vers `h` si et seulement si pour tout voisinage `V` de `h`, il n'existe qu'un nombre fini de points de la suite en dehors de `V`. Cette propriété s'applique donc de la même façon à un ensemble dénombrable `X={x_0, x_1, x_2,...}`. Une partie dénombrable `X` converge vers `h` si et seulement si la différence entre elle et n'importe quelle voisinage de `x` est toujours un ensemble fini :
`AAV"∈"ccT, h"∈"V => X"\"V` est fini
Dans l'approche intuitionniste, le domaine des parties ouvertes `V` considérées est restreint aux seules parties ouvertes énumérables. Cette restriction à pour effet d'assouplire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible d'augmenter l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de le diminuer.
Comme nous avons remarqué l'inverse au chapitre 8. On en conclu que la topologie n'est pas modifiée lorsqu'on se restreint aux ensembles énumérables.
On remarque que l'ordre des points dans une suite de Cauchy `(x_0, x_1, x_2,...)` n'a pas d'influence sur sa convergence ni sur sa limite. Aussi pouvons nous appliquer cette notion de suite de Cauchy à un ensemble énumérable. On parlera alors d'ensemble énumérable de Cauchy.
Un ensemble énumérable `X` est de Cauchy si et seulement si pour toutes grandeurs arbitrairment petite `1"/"q`, il existe un sous-ensemble de `X`, de complément fini, dans lequel toutes les distances sont inférieures à `1"/"q`.
`AAq"∈"NN^"⁎", EEY"⊆"X, "Card"(X"-"Y) "fini", AA(a,b)"∈"Y^2, d(a, b)"<"1"/"q`
Et donc comme pour les suites de Cauchy, un ensemble énumérable `X` de Cauchy admet un et un seul point limite dans l'espace complet.
L'adhérence d'une partie `A` notée `"adhérence"(A)`, est l'ensemble des points de l'espace `E` qui sont adhérants à cette partie.
La limite d'une partie `A` notée `lim A` est l'ensemble des points de l'espace complet `barE` qui sont adhérents à cette partie.
Donc nous avons : `"adhérence"(A) = (lim A) nn E`
On dira que deux parties sont équivalentes dans `E` si et seulement si elles ont même adhérence, et donc qu'elle sont équivalente dans `barE` si et seulement si elles ont même limite.
Un ensemble `A` possédant une limite `B`, se partitionne en un ensemble d'ensembles : Un ensemble pour chaque élément de `B` et convergeant vers cet élément.
Etant donné un espace métrique `(E,d)`, on construit une seconde métrique dite continue, on associe à chaque couple de points `(x,y)` une distance locale dite continue `f(x,y)` qui doit être plus grande ou égale à la distance `d`.
`d(x,y) <= fc(x,y)`
Si `f(x,y)` est finie, elle représente une liaison locale continue entre `x` et `y`. Cette distance locale continue définie une seconde distance dite continue `dc`, qui selon que sa valeur est `oo` ou non, détermine la relation de continuité entre éléments qui est une relation d'équivalence dont les classes forment les parties connexes isolées.
Cela définie une seconde notion de continuité qui se différencie de la continuité canonique précédement définie. Cela définit une seconde distance `dc"(x,y)"` qui est obtenue par le plus court chemin passant de `x` à `y` en n'empruntant exclusivement que des arêtes continues. La distance continue est donc plus grande ou égale à la première distance qui correspond à une distance à vole d'oiseaux. Et cette condition est nécessaire et suffisante pour définir cette continuité à la carte. On parlera de distances emboités.
C'est la définition d'un espace bimétrique emboité `(E,d,dc)` :
`(E,d,dc)` est un espace bimétrique emboité. `(E,d)` est un espace métrique.
`(E,dc)` est un espace métrique.
`AA(x,y)"∈"E^2, dc(x,y) "⩽"d(x,y)`
Avec les définitions :
`x"--"y <=> dc(x,y) "fini"`
`x"-/-"y <=> dc(x,y)"="oo`
---- 19 Juin 2019 ----
Dans tout monoïde `(D,"+")` il existe une relation de préordre, notée `"⩽"` définie comme suit : `a"⩽"b <=> EEc"∈"D, b"="a"+"c` qui est apellé le préordre canonique du monoïde.
D1. Préordre : `AAaAAbAAc, a"⩽"b <=> EEc, b"="a"+"c`
Un préordre est une relation reflexive et transitive.
O1. Réflexive : `AAa, a"⩽"a` O3. Transitive : `AAaAAbAAc, (a"⩽"b "et" b"⩽"c) => a"⩽"c`
Puis les distances sont simplifiables, c'est à dire étant donné trois distances quelconques, si `a"+"b"="a"+"c` alors `b"="c`. Autrement dit on peut y définir la soustraction.
M4. Simplifiable : `AAaAAbAAc, a"+"b"="a"+"c => b"="c`
Cet axiome va avoir pour conséquence de rendre le préordre antisymétrique c'est à dire d'en faire un ordre, et de pouvoir étendre le monoïde commutatif `(D,"+")` en ajoutant les éléments inverses `("-"D^"⁎","+")`, en un groupe commutatif `(D "+" ("-"D^"⁎"), "+")`.
O2. Antisymétrique : `AAaAAb, (a"⩽"b "et" b"⩽"a) => a"="b` `(D "+" ("-"D^"⁎"), "+")` est un groupe commutatif
Dans l'expression `D "+" ("-"D^"⁎")`, le `"+"` désigne une union disjointe, et le `"-"` désigne une copie de l'élément qui correspond à son opposé. Ainsi l'ensemble `"-"D^"⁎"` représente un ensemble copie de `D^"⁎"` dans lequel la copie de chaque élément correspond à son opposée pour la loi `+`.
---- 25 mars 2019 ----
doivent pouvoir consituer un axe, un espace unidimenssionelle, qui puisse porter une coordonnée. Autrement dit le monoïde (D,+) forme un groupe
Puis les distances s'ordonne selon cette somme. Il existe des distances plus petites et d'autres plus grandes. Et une distance est plus grande qu'une autre si et seulement si elle peut s'obtenir à partir de l'autre en lui ajoutant une distance.
---- 24 juin 2019 ----
On plonge `NN` dans `D` de tel sorte qu'il est inutile de faire la distinction entre entier naturel tel que `1_NN` et une valeur de distance entière telle que `1_D` et qu'on les représente par le même symbole `1`. La structure `(D,"+","⁎")=(NN,"+","⁎")` est le demi-anneaux commutatif agène libre.
Mais on ne s'arrète pas là, au cas archimédien. Car une valeur de distance, dans sa notion plus générale, peut-être infiniment grande. C'est à dire que l'on remet en cause l'idée qu'un étalon unique puisse engendrer avec la seul opération d'addition, c'est à dire par sommation finie, toutes les valeurs de distances possibles. Cela se fait en prenant un second étalon `omega` qui engendre des valeurs que le premier étalon `1` ne peut pas atteindre par sommation finie.
Mais on est obligé d'ajouter un nouvel axiome. On exige que la relation d'ordre soit totale. C'est à dire que toutes les valeurs de distances doivent être deux à deux comparables.
V6. `"⩽"` totale : `AAaAAb, (a"⩽"b" ou "b"⩽"a)`
Comme l'ordre est total, on fixe `1"<"omega`. Dés lors nous avons défini une grandeur infiniment grande `omega` par extension élémentaire du monoïde commutatif monogène libre. Ce qui se note :
`(NN,"+")` monoïde commutatif monogène libre.
`D = (NN[omega])/({1"<"omega})`
Les valeurs de `D` se présentent comme suit :
`0,1,2,...,omega,omega"+"1,omega"+"2,...,2omega,2omega"+"1,2omega"+"2,...`
Dans cette nouvelle structure, la relation d'ordre (définie par L1) reste bien totale. Si nous avions choisie l'autre hypothèse `omega<1`, nous aurions définie une grandeur infiniment petite au lieu d'une grandeur infiniment grande.
Néanmoins la structure ainsi construite ne permet pas de désigner toutes les valeurs de distances que nous aimerions. Les distances de la forme `a"⁎"omega"-"b` avec `a "∈" NN^"⁎"` et `b "∈" NN^"⁎"`, ne s'y trouvent pas. Il faudra repartir non pas du monoïde `(NN,"+")` mais du groupe `(ZZ,"+")`.
Par ailleurs, on s'aperçoit que l'opération peut être répétée autant de fois que l'on veut en prenant une infinité dénombrable d'étalons `1,omega_1,omega_2,omega_3...` que l'on présente dans l'ordre, puisque l'existence d'un ordre total est exigée. Dés lors nous avons définie une extension élémentaire infinie du monoïde commutatif monogène libre. Ce qui se note en posant `omega_0"="1` comme suit :
`D = (NN[omega_0,omega_1,omega_2,omega_3...])/({omega_0"<"omega_1"<"omega_2"<"omega_3"<"...})`
`D = (NN[ccS_i omega_i])/({AAi, omega_i"<"omega_(i+1)})`
Où l'expression `ccS_i X` désigne la suite `X_0,X_1,X_2,X_3...` et où l'expression `AAi` signifie `AAi"∈"NN`. Mais, chose étonnante, le processus ne s'arrête pas là. Il peut se continuer par une extension élémentaire supplémentaire et ainsi recommencer.
`D = (NN[ccS_i omega_i][Omega])/({AAi, omega_i"<"omega_(i+1) "et" omega_i"<"Omega})`
Et l'extension élémentaire peut être infinie, ce qui s'écrit :
`D = (NN[ccS_i omega_i][ccS_i Omega_i])/({AA(i,j), omega_i"<"omega_(i+1) "et" Omega_i"<"Omega_(i+1) "et" omega_i"<"Omega_j})`
Et le processus peut se répéter une infinité de fois. Cela se réécrit comme suit en notant les étalons avec deux indices et en posant `omega_(0,0)"="1` :
`D = (NN[ccS_(i,j) omega_(i,j)])/({AA(i,j,k), omega_(i,j)"<"omega_(i,j+1) "et" omega_(i,j)"<"omega_(i+1,k)})"`
`D = (NN[ccS_(i,j) omega_(i,j)])/({AA(i,j,k,l), omega_(i,j)"<"omega_(k,l) <=> (i,j)"<"_"lex"(k,l) })`
Où le symbole `"<"_"lex"` représente la relation d'ordre lexicographique.
Et l'extension peut encore et encore s'allonger par des processus de plus en plus complexes. qui se définit récurcivement, et sans fin, et qui produit la catégorie des ordinaux, dans laquelle est défini un ordre total.
Puis on s'aperçoit que l'opération peut être répétée autant de fois que l'on veut en prenant une infinité dénombrable d'étalons `1,omega_1,omega_2,omega_3...` que l'on présente dans l'ordre, puisque l'existence d'un ordre total est exigée, et comme on s'intéresse aux ordres de grandeur, on pose que chaque `omega_(i+1)` est supérieur à tous les éléments engendrés par l'étalon en dessous `omega_i`. Dés lors nous avons définie une extension élémentaire infinie du groupe commutatif monogène libre. Ce qui se note en posant `omega_0"="1` comme suit :
`D = (ZZ[omega_0,omega_1,omega_2,omega_3...])/({AA a"∈"ZZ,AA i "∈"NN, aomega_i"<"omega_(i+1)}`
------------------------
Où l'expression `ccS_i X` désigne la suite `X_0,X_1,X_2,X_3...` et où l'expression `AAi` signifie `AAi"∈"NN`.
Puis on cherche l'axiome qui va nous définir l'ordre. Les valeurs de `D` sont les sommes finies de ces étalons, et sont donc de la forme :
`sum_(i=0)^n a_i omega_i` avec `n"∈"NN, AAi"∈"{0..n}, a_i"∈"D`
L'ordre est défini par :
`(sum_(i=0)^n a_i omega_i) ⩽ (sum_(i=0)^m b_i omega_i) <=> (a_n,a_(n-1),...,a_2,a_1,a_0)"⩽"_"lex" (b_m,b_(m-1),...,b_2,b_1,b_0)`
où `"⩽"_"lex"` désigne l'ordre lexicographique d'endianess big-endian (gros bout d'abord).
Mais, chose étonnante, le processus ne s'arrête pas là. Il peut se continuer par une extension élémentaire supplémentaire et ainsi recommencer.
`D = (ZZ[ccS_i omega_i][Omega])/({AA a"∈"ZZ,AAi, aomega_i"<"omega_(i+1) "et" aomega_i"<"Omega})`
Et l'extension élémentaire peut être infinie, ce qui s'écrit :
`D = (ZZ[ccS_i omega_i][ccS_i Omega_i])/({AA a"∈"ZZ,AA(i,j), aomega_i"<"omega_(i+1) "et" aOmega_i"<"Omega_(i+1) "et" aomega_i"<"Omega_j})`
Et le processus peut se répéter une infinité de fois. Cela se réécrit comme suit en notant les étalons avec deux indices et en posant `omega_(0,0)"="1` :
`D = (ZZ[ccS_(i,j) omega_(i,j)])/({AA(i,j,k), omega_(i,j)"<"omega_(i,j+1) "et" omega_(i,j)"<"omega_(i+1,k)})"`
`D = (ZZ[ccS_(i,j) omega_(i,j)])/({AA(i,j,k,l), omega_(i,j)"<"omega_(k,l) <=> (i,j)"<"_"lex"(k,l) })`
Où le symbole `"<"_"lex"` représente la relation d'ordre stricte lexicographique big-endian.
Et l'extension peut encore et encore s'allonger par des processus de plus en plus complexes. qui se définissent récurcivement, et sans fin, et qui produit la catégorie des valeurs entières transfinies, dans laquelle est défini un ordre total.
Par ailleurs, si la théorie du premier ordre de la structure est une théorie d'égalité, on dira que c'est une structure d'égalité. Lorsque que l'on décompose la théorie du premier ordre d'une structure dans le langage logique `AA,EE,"¬","et","ou","="`, on peut reconnaitre si c'est une théorie d'égalité ou non. Pour que cela soit une théorie d'égalité, il faut qu'il n'y ait pas de négation, et donc pas d'inégalité, ni de négation d'éventuels autres prédicats. Notez que les structures étudiées ici sont des structures universelles d'égalité.
On parlera de structure d'égalité si sa théorie du premier ordre est d'égalité. On parlera de structure universelle si sa théorie du premier ordre est universelle. Et on parlera de structure universelle d'égalité si sa théorie du premier ordre est à la fois universelle et d'égalité ce qui sera la plus part du temps le cas.
Et il n'est pas nécessaire de rajouter le qualificatif libre car par défaut il n'y a aucun axiome supplémentaire qui soit ajouté à la théorie de la structure. Et donc c'est la structure libre qui est évoquée. Mais à la différence de l'interpretation classique, la structure ainsi obtenue peut être élémentairement incomplète et correspondre à la superposition de plusieurs structures élémentairement complètes possibles.
Et si l'on introduit le concept de calculabilité, alors toute structure possède 7 théories obtenues en prenant toutes les conjonctions possibles parmis 3 théories de base : les 3 précédentes auxquels on ajoute sa théorie d'engendrement calculable qui engendre ses éléments calculables, sa théorie globale calculable qui est la conjonction de sa théorie et de sa théorie d'engendrement calculable, sa théorie de la calculabilité qui est la conjonction des deux théories d'engendrement, puis sa théorie globale avec la définition de la calculabilité qui est la conjontion de toutes ces théories.
Et ce sont des axiomes d'égalité, c'est à dire n'utilisant comme connecteur logique que le `"et"` et le `"ou"`. Et donc il n'y a ni négation, ni inégalité, ni négation d'éventuels autres prédicats.
Et donc
(D1) Associativité : `AAaAAbAAc, ¬D(a) "ou" ¬D(b) "ou" ¬D(c) "ou" a"+"(b"+"c)"="(a"+"b)"+"c` (D2) Commutativité : `AAaAAb, ¬D(a) "ou" ¬D(b) "ou" a"+"b"=" b"+"a`
et si nous considérons le prédicat `C = (x|->¬D(x))` alors la théorie du demi-groupe vue de l'exterieur constitue bien une théorie universelle d'égalité du premier ordre :
(D1) Associativité : `AAaAAbAAc, C(a) "ou" C(b) "ou" C(c) "ou" a"+"(b"+"c)"="(a"+"b)"+"c` (D2) Commutativité : `AAaAAb, C(a) "ou" C(b) "ou" a"+"b"=" b"+"a`
C'est une valeur logique, mais de logique ternaire. Pourquoi cette échappatoire ? Parceque selon les préceptes élémentariens, un prédicat, comme toute construction, est soumis à un processus constructif et peut donc produire en calcul un infini de Turing, correspondant en logique à une proposition indécidable.
et qu'ils des axiomes d'égalité, c'est à dire n'utilisant comme connecteur logique que le `"et"` et le `"ou"`. Et donc il n'y a ni négation, ni inégalité, ni négation d'éventuels autres prédicats.
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C'est la théorie d'engendrement de la structure qui va construire l'ensemble sous-jacent. Et on choisie comme mode d'engendrement, la structure libre `"<"L">"`. Les crochets appliqués à un ensemble d'opérateurs `L` désigne l'ensemble des compositions closes qu'il est possible de faire avec ces opérateurs. C'est l'ensemble des termes engendrables. Chacun de ces termes désigne un élément de la structure qui n'est pas forcement distinct mais faisant que tous ces éléments sont circonscrits dans un ensemble.
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On appel une théorie globale, une théorie qui décrit complètement un modèle. Deux théories globales sont équivalentes si et seulement si elle définissent le même modèle. Les classes d'équivalence correspondent alors aux modèles. Ces deux objects que sont la théorie globale à équivalence près, et le modèle qu'elle définit, sont unifiables puisque possèdant la même information. On les condidèrera égaux.
Sommaire :
- Introduction
- Langage mathématique
- Notion de distance
- Grandeur entière finie
- Semi-groupe commutatif
- Monoïde
- Préordre dans un monoïde
- Structure en notation classique et en notation programmative
- Isomorphisme
- Théorie des modèles
- Les structures
- Monogénéité
- Liberté
- Constrution des structures
- Structure en notation programmative
- Entier relatif
- Anneau commutatif
- Théorie d'égalité du demi-anneau
- Théorie d'engendrement du demi-anneau
- Grandeur transfini
- Suite d'entiers relatifs et grandeur transfini
- Espace métrique
- Algorithme de construction d'une métrique
- Autre type de métrique
- Continuité dans un espace métrique
- Suite
- Suite de Cauchy
- Espace métrique complet
- Topologie
Et nous avons pour tout foncteur `+`, l'égalité des structures cosmogoniques `("+") = ("LandCat"("+"),"+")`.
Tout est langage, même l'intuition. L'intuition n'est pas une preuve et ne participe pas au formalisme de la démonstration exacte, ni de la construction des modèles. Elle s'appuit sur l'empirisme et le rêve qui sont l'antithèse de la science hypothético-déductive. L'intuition est ce par quoi on choisie et on construit l'hypothèse. La démonstration exacte est peut être écartée de ce processus, mais le principe constructif est toujours là. Et l'intuition aussi informelle soit-elle constitue encore un langage, et peut également être formalisée telle une heuristique et faire l'objet d'une construction.
La structure est un modèle satisfaisant la théorie de la structure
La logique du premier ordre admet un ensemble de règles syntaxique de déductions appellé système de déduction. Mais il existe plusieurs possibilté correspondant aux différentes interprétations que l'on donne au langage. Syntaxe et sémantique sont liés par un premier principe dit de cohérence.
A|--B alors M|=A
On considère ccL_1 l'ensemble des propositions du premier ordre, Et l'ensemble ccM des modèles. On dit que L est réalisé dans M ou que M satisfait L et on note `M|=L` lorsque la proposition L se réalise bien dans M.
Lorsque système de déduction permet de démontrer la théorie B à partir de la théorie A on note A|--B.
Le premier choix qui est fait est l'interprétation booléenne des propostions avec une troisième possibilité qu'est l'infini de Turing `oo`. Cette dernière possibilité signifie par le biais d'un calcul sans fin que le choix n'est pas déterminé. Cette option est indispenssable pour rester dans l'optique élémentarienne qui exige que quelque soit le modèle et quelque soit un élément du modèle, celui-ci ne puisse transporte qu'une quantité finie d'information. Et on verra que le calcul booléen n'est pas perturbé outre mesure par l'éventualité de cet infini de Turing.
`0"⁎"1=0`
`0"⁎"0 = 0^2`
`0"⁎"0"⁎"0=0^3`
`ubrace(0"⁎"0"⁎"0"⁎"..."⁎"0)_(n "termes") = 0^n`
`0 + 0^2 = 0 + 0*0 = 0*1+0*0 = 0*(1+0) = 0*1 = 0`
`0+0^3 = 0*1+0*0*0= 0(1+0*0) =0*(1+0^2)`
`0+0^n = 0*(1+0^(n-1))`(0+1)(0+1)=0*0+1
0^2 + 1 = 1
(0+1)(0+1)(0+1) = 0*0*0+0*0*1+0*1*0+0*1*1+1*0*0+1*1*0+1*0*1+1*1*1
(0+1)(0+1)(0+1) = 0*0*0+0*0+0*0+0+0*0+0+0+1
(0+1)^3 = 0^3+3*0^2+3*0+1
i + 1 = i_1
i + 2 = i_2
i + i = i*1+i*1=i*(1+1) =i*2
i + i = 0*0+0*0 = 0*(0+0) = 0*0 = i
i+i=ii+i_1 = 0*0+0*0 +1
0i = 0*0*0