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La construction du corps des nombres complexes `CC` se fait à partir du corps des nombres réels `RR` par extension élémentaire et quotientage. On ajoute à l'ensemble sous-jacent de la structure `RR` un nouvel élément `i` qui doit respecter la structure de corps commutatif. Et on ajoute à la théorie de cette structure une nouvelle propriété `i^2"=""-"1`. Cela se note :
`CC = RR[i]"/"{i^2"=""-"1}`
Le corps des complexes est engendré par deux éléments `1` et `i`, ce qui se note `CC = "<"1,i,+,-,**,(x|->x^-1)">"`. Et comme `i^2=1`, cela se note :
`CC = RR + iRR`
Il existe en faite deux sens du mot engendré. L'engendrement peut se faire en utilisant les seuls opérations autorisées par la structure, ici pour le corps, l'addition, l'opposé, la multiplication, l'inverse autre que zéro, ou bien en utilisant une opération supplémentaire qu'est la suite convergente dite de Cauchy. Cette dernière nous permet de rendre complet l'espace métrique.
Les deux éléments `1` et `i` engendrent le corps `QQ+iQQ` des nombres complexes rationnels. Ce corps se complète en `CC`. De la même façon que `RR= bar QQ` nous avons:
`CC= bar(QQ+iQQ) = RR +iRR`
La table de multiplication de ce nouvelle élément `i` est donnée par l'égalité `i^2 = "-"1`.
L'extension élémentaire consiste à ajouter un élément `i`, possédant la popriété `i^2"=""-"1`, au corps `RR` pour former le corps `CC`. Et donc `RR` et `iRR` sont des sous-ensembles de `CC`.
Le corps `CC` est un espace vectoriel de dimension `2` sur le corps `RR`. On choisie comme base orthonormée canonique `(1,i)`. On identifie cet espace vectoriel au plan `RR^2` comme suit :
`CC = RR o+ iRR`
Le symbole `o+` désigne une somme directe, c'est à dire que pour chaque complexe `z`, il n'existe un et un seul couple de réel `(x,y)` tel que `z = x"+"iy`.
Le système de coordonnées cartésienne est la bijection de `RR^2->CC` définie par `(x,y)|->x"+"iy`.
Un des freins au développement mathématique et à sa diffusion est causé par un langage inadapté, certe exacte, mais trop détaillé, noyant l'important dans le détail. Le bons choix du langage consiste à laissez au contexte le soin de lever des ambiguités non pertinentes. Dans cette esprit, on réserve le symbole de couple `(".,.")` pour désigner cette bijection `(x,y)|->x"+"iy`. Ainsi, étant donné un complexe `z=x"+"iy`, nous avons l'égalité `z = (x,y)` qui met en exergue les coordonnées cartésiennes.
`(x,y) = x"+"iy`
Et c'est le contexte qui deétermine si `(x,y)` est un vecteur appartenant à `RR^2` ou un nombre complexe appartenant à `CC`. La première coordonnée `x` s'appelle la partie réel de `z` et se note `"Re"(z)`. La seconde coordonnée `y` s'appelle la partie imaginaire de `z` et se note `"Im"(z)`.
`z= x + iy` `z= (x,y)` `"Re"(z) = x` `"Im"(z) =y` `z = "Re"(z)+i"Im"(z)` `z = ("Re"(z), "Im"(z))`
La conjugaison est la symétrie qui inverse la composante imaginaire. Le conjugué de `z`, qui se note `bar z`, s'obtient en inversant le signe de sa composante imaginaire :
`z= x + iy` `bar z= x - iy`
Etant donné deux complexes :
`z_1 = x_1+iy_1` `z_2 = x_2+iy_2`
Leur addition et leur multiplication se développent comme suit :
`z_1+z_2 = x_1 + iy_1 + x_2 + iy_2`
`z_1+z_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)`
`z_1z_2 = (x_1 + y_1)(x_2 + iy_2)`
`z_1z_2 = x_1x_2 - y_1y_2 + i(y_1x_2 + x_1y_2)`
Ces deux complexes `z_1` et `z_2` correspondent à deux vecteurs `(x_1,y_1)` et `(x_2,y_2)` dans `RR^2`. Leur produit scalaire se note :
`(x_1,y_1)"⋅"(x_2,y_2) = x_1x_2+y_1y_2 `
Et dans `CC`, leur produit scalaire se note :
`"<"z_1,z_2">" = x_1x_2+y_1y_2 `
C'est alors qu'une propriété remarquable apparaît : Le produit scalaire de deux complexes s'avère égale a la somme du produit de l'un par le conjugué de l'autre et du produit de l'autre par le conjugué de l'un, le tout divisé par `2` :
`"<"z_1,z_2">" = (z_1 bar (z_2) + z_2 bar (z_1))/2`
On en déduit la norme d'un complexe `z` qui se note `|z|` :
`|z| = sqrt(z bar z)= sqrt(x^2+y^2)`
Conventionnellement, la première coordonnée d'un point s'appelle l'abscisse et se lit sur l'axe horizontale orienté de gauche à droite, et la seconde coordonnée du point s'appelle l'ordonnée et se lit sur l'axe vertical orienté de bas en haut.
Le théorème de Pythagore ou théorème de l'hypoténuse dit ceci :
Le vecteur représenté sur le dessin est donc de longueur égale à :
`sqrt(x^2+1)`
De même, pour la définition géométrique du sinus et du cosinus, nous avons un vecteur de taille `1` :
`cos(alpha)^2+sin(alpha)^2 = 1`
Le théorème de Thalès ou théorème des proportions parallèles dit ceci :
Le rapport de taille entre les segments représentés sur le dessin de taille `1` et `sin(alpha)` est donc le même que celui entre les segments de taille `sqrt(x^2 +1)` et `1`, puis par un même raisonnement, le rapports de taille des segments représentés sur le dessin de taille `sqrt(x^2 +1)` et `1` est le même que celui des segments de taille `x` et `cos(alpha)` :
`1/sin(alpha) = sqrt(x^2 +1)/1 = x/cos(alpha)`
On en déduit que :
`sin(alpha) = 1/sqrt(x^2 + 1)`
`cos(alpha) = x/sqrt( x^2 + 1)`
`cot(alpha) = cos(alpha)/sin(alpha) = x`
Etant donné une fonction `f` définie sur `CC` et appliquée par défaut sur `z`. Autrement dit `f "=" f(z)`, ce qui signifie en physique, que `z` constitue à lui seul un système de coordonné par défaut pour la variable d'état `f`, et on laisser au contexte le soin de lever l'ambiguité, à savoir si `f` est considéré comme la fonction `f` ou comme la valeur image `f(z)`.
Par convention nous posons quelque soit `n "∈" NN` :
`f^("("0")")=f`
`f^("("n")")= (d^nf)/dz^n`
`0! = 1`
L'étude des fonctions dérivables démontre que toute fonction `f` infiniment dérivable sur `CC` est égale à son développement de Taylor qui constitue une série convergente.
`f(z+dz) = f + f^("("1")")dz +(f^("("2")"))/(2!)dz^2 + (f^("("3")"))/(3!)dz^3 + ...`
Le développement de Taylor de `f` au point (par défaut) `z` est :
`f(z+dz) = sum_(n=0)^(n=oo) f^("("n")")/(n!)dz^n`
L'élément `dz` pouvant être arbitrairement grand, il convient de le remplacer par une variable `c` quelconque non différentielle. Ensuite, la formule doit pouvoir s'appliquer pour une fonction `f` quelconque qui n'a pas forcement de système de coordonnées par défaut égale à `z`, il convient donc d'expliciter dans le développement, le point `z` où a lieu ce developpement.
`f(z+c) = sum_(n=0)^(n=oo) f^("("n")")(z)/(n!)c^n`
Dans `CC`, la fonction exponentielle est par définition la fonction, notée `exp`, qui envoit `0` sur `1` et dont la dérivé est égale à elle-même :
`exp' =exp` `exp(0)=1`
La dérivé `n`-ième de `exp`, notée `exp^("("n")")`, est donc égale à `exp`. Une telle fonction admet le développement de Taylor au point `z` suivant :
`exp(z"+"dz) = exp(z) sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)dz^n`
La formule reste valable pour une valeur arbitrairement grande de `dz`, c'est pourquoi on effectue un changment de nom de variable en remplaçant l'élément différentiel `dz` par une variable `c` quelconque non différentielle. Ainsi, on définie la fonction exponentielle comme suit :
`exp(z"+"c) = exp(z) sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)c^n`
Et le développement de Taylor de `exp` au point `0` s'obtient en remplaçant `z` par `0`, puis en renommant `c` par `z` qui est une lettre couramment utilisée pour désigner un nombre complexe quelconque :
`exp(z) = sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)z^n`
Dans `CC`, l'exponentielle notée `exp` vérifie nécessairement la propriété suivante :
`AA(a,b)"∈"CC^2, exp(a"+"b)=exp(a)exp(b)`
On commence par le démontrer lorsque `b` est un élément différentiel `da`. En effet, nous avons :
`exp(a"+"da) = exp(a)(1+da)+O(da^2)`
`exp(da) = 1+da+O(da^2)`
Et donc :
`exp(a"+"da) = exp(a)exp(da) + O(da^2)`
Le résultat se généralise pour un élément `b` quelconque par le même raisonnement mais en prenant l'intégralité du développement de Taylor au point `a` :
`exp(a"+"b) = exp(a)sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)b^n`
`exp(b) = sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)b^n`
Et donc :
`exp(a"+"b) = exp(a)exp(b)`
Cela justifie la notation exponentielle :
`e^z= exp(z)`
On définie la fonction exponnentielle de base `e^k` comme étant la fonction `f` qui envoit `0` sur `1` et dont la dérivé est égale à `k` fois elle-même : `f(0)"="1, f'"="kf`. Et nous avons donc `f(z)"="e^(kz)`.
La fonction `f(x)"="cos(x)"+"isin(x)` satisfait ces conditions pour `k"="i`. Donc elle est égale à l'exponentielle de base `e^i`. Ainsi est démontré la formule d'Euler attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (Bâle, 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) :
`e^(ix) = cos(x)+isin(x)`
Le nombre complexe `e^(ix)` est de norme `1`. Il parcourt dans le plan le cercle de rayon `1` dans le sens trigonométrique lorsque `x` parcours les valeurs croissantes de `0` à `2pi`.
Le nombre complexe `z=ae^(ivarphi)` possède une norme égale à `|z|=a` et un argument égale à `arg(z)=varphi`, ce que nous résumons par l'expression `z = [a, varphi]` qui met en exergue les coordonnées polaires :
`z = ae^(ivarphi)`
`z = [a, varphi]`
`|z| = a`
`arg(z) = varphi`
Il découle de la formule d'Euler, une identité remarquable (publiée par Euler en 1748) qui associe les symboles `0,1,e,i,pi,"+","*","^","="`, et qui s'appelle l'identité d'Euler :
`e^ipi + 1 = 0`
L'espace projectif d'un espace vectoriel `E` est par définition l'ensemble de ses droites vectorielles. Il se note `"P"(E)`.
On définie également l'espace celeste `"Celeste"(E)` associé à `E`, comme étant l'ensemble de ses droites vectorielles orientées, c'est à dire le double de l'espace projectif car à chaque droite il y a deux orientations possibles ce qui définie deux points dans l'espace céleste et un seul point dans l'espace projectif.
L'espace céleste est l'espace des directions. Chaque direction est représentée par un point placé à l'infini dans la direction choisie. L'espace est qualifié de céleste car le point est placé à l'infini, dans un domaine divin. On parlera du cercle d'horizon ou simplement de l'horizon pour évoquer `"Celeste"(RR^2)` et de la sphère céleste pour évoquer `"Celeste"(RR^3)`.
Une droite vectorielle du plan `RR^2` est exactement déterminée par un vecteur non nul `(x,y)` à la relation d'équivalence près de colinéarité non nulle notée `"∝"`. Car deux vecteurs colinéaires non nuls désignent une même droite vectorielle.
Le vecteur `(x,y)` est colinéaire non nul au vecteur `(x',y')` ce qui se note `(x,y)∝(x',y')` si et seulement si il existe un réel non nul `k` tel que `(x,y)"="k(x',y')` c'est à dire tel que `x"="kx` et `y"="ky`.
Une classe d'équivalence peut être désignée par un de ses éléments en spécifiant modulo la relation d'équivalence, ou soit en explicitant complétement l'ensemble qu'il est. Par exemple, on note un élément `a` modulo une relation d'équivalence `R` par l'expression `a [R]`. De même, on note un nombre `x` modulo un autre nombre `p` par l'expression `x [p]`. Avec cette notation, nous avons par exemples :
et `R` une relation d'équivalence sur `E`.`a [R] ={b "/" aRb}` `vecv ["∝"] = {k vecv "/" k"∈" RR"*"}`
un groupe additif commutatif.`(x,y) ["∝"] = {(kx,ky) "/" k"∈" RR"*"}` `x [p] = {x"+"kp "/" k"∈" ZZ}`
Il y a deux représentations courantes de l'espace projectif `"P"(RR^2)`. L'une est dite cartésienne, c'est l'ensemble des réels dans le quel on ajoute un point infini `oo`, et que l'on note `RR + {oo}` :
L'autre est dite polaire, c'est l'ensemble des réels modulo `pi`, et que l'on note `RR"/"piRR` ou encore `[0, pi[` modulo `pi` :
Dans la représentation cartésienne, on ajoute un point infini, `oo`, à la droite `RR` pour la transformer en un cercle `RR "+" {oo}`. Le point infini raccorde les deux bouts de la droites. Cela constitue un cercle dans lequel le système de coordonnée singularise un point infini qui correspond à la droite horizontale, une droite de direction donné par le nombre complexe `1`.
Par contre dans la représentation polaire, il n'y a pas d'élément singularisé et tous sont parcourus dans le segment `[0, pi[` modulo `pi`.
Chaque complexe `z` non nul correspond à un vecteur de `RR^2` que sont ses coordonnées cartésiennes et désigne un point de l'espace projectif qui correspond à son argument `"arg"(z)` modulo `pi`.
L'espace céleste, appelé plus prosaïquement espace des directions, est l'ensemble des droites vectorielles orientées. Une droite vectorielle orientée du plan `RR^2` est exactement déterminée par un vecteur non nul `(x,y)` à la relation d'équivalence près de colinéarité positive notée `"∝"^"+"`.
Le vecteur `(x,y)` est colinéaire positivement au vecteur `(x',y')` ce qui se note `(x,y)∝^"+"(x',y')` si et seulement si il existe un réel strictement positif `k` tel que `(x,y)"="k(x',y')` c'est à dire tel que `x"="kx` et `y"="ky`. Nous avons par exemples :
`vecv ["∝"^"+"] = {k vecv "/" k"∈" RR"*"^"+"}`
un groupe additif commutatif.`(x,y) ["∝"^"+"] = {(kx,ky) "/" k"∈" RR"*"^"+"}`
Tout vecteur non nul `(x,y)` désigne un point à l'infini. L'ensemble de ces points constituent l'espace céleste de `RR^2` noté `"Celeste"(RR^2)`. Cet espace forme un cercle et est aussi appelé le cercle d'horizon ou simplement l'horizon.
Il y a deux représentations courantes de l'espace céleste `"Celeste"(RR^2)`. L'une est dite cartésienne, c'est l'ensemble des réels `RR` dans le quel on ajoute un infini `oo` et on ajoute une autre représentation des réels `RR'` et on ajoute un autre infini `oo'` pour former un cercle, et qui se note `RR + {oo} + RR' + {oo'}` ou encore `(RR+{oo})×{"-"1,"+"1}` :
L'autre est dite polaire, c'est l'ensemble des réels modulo `2pi` et que l'on note `Φ = RR"/"2piRR` ou encore `Φ = [0, 2pi[` modulo `2pi` :
Dans la représentation cartésienne, on considère `RR` puis on ajoute dans l'ordre croissant un point `"oo`, puis on ajoute dans l'ordre croissant à nouveau `RR'` puis on ajoute dans l'ordre croissant à nouveau un point `oo'` puis on raccorde au début. Cela constitue un cercle dans lequel le système de coordonnée singularise deux points infinis géométriquement opposés qui correspondent à une droite de direction donnée par le nombre complexe `1` et une droite de direction donné par le nombre complexe `"-"1`.
Par contre dans la représentation polaire, il n'y a pas d'élément singularisé et tous sont parcourus dans le segment `Φ = [0, 2pi[` modulo `2pi`. C'est pourquoi c'est la représentation polaire que l'on prend par défaut pour représenter les espaces projectifs et célestes.
Chaque complexe `z` non nul correspond à un vecteur de `RR^2`, que sont ses coordonnées cartésiennes, et désigne un point de l'espace celeste qui correspond à son argument `"arg"(z)` appartenant à `Φ=RR"/"2piRR`.
On note parfois l'espace projectif comme étant l'espace céleste coupé en deux :
`Φ = [0, 2pi[` modulo `2pi` `Φ"/"2= [0, pi[` modulo `2pi` `Φ = RR"/"2piRR` `Φ"/"2 = RR"/"piRR` `Φ = tt"Celeste"(CC)` `Φ"/"2 = tt"P"(CC)`
L'ensemble des complexes non nuls se note `CC"*"`.
L'ensemble des grandeurs réel se note `RR"*"^"+"`.
L'ensemble `RR"*"^"+"×Φ` s'apparente à une bande coupée de longueur indéfinie, et de largeur égale à `2pi`.
Le système de coordonnées polaires est la bijection de `RR"*"^"+""×"Φ -> CC"*"` définie par `[a,varphi]|->ae^(ivarphi)`. On réserve le symbole de couple entre crochet `[".,."]` pour désigner cette application. Ainsi, étant donné un complexe `z=ae^(ivarphi)`, nous avons l'égalité `z = [a,varphi]` qui met en exergue les coordonnées polaires.
`[a,varphi]= ae^(ivarphi)`
On laisse le soin au contexte de lever l'ambiguité à savoir si `[a,varphi]` est un vecteur appartenant à `RR"*"^"+""×"Φ` ou un nombre complexe appartenant à `CC`. La première coordonnée `a` correspond à la norme de `z` et se note `|z|`. La seconde coordonnée `varphi` correspond à l'argument de `z` et se note `"arg"(z)`.
`z=ae^(ivarphi)` `z= [a,varphi]` `|z| = a`
`"arg"(z) =varphi` `z = |z|e^(i"arg"(z))` `z = [|z|, "arg"(z)]`
A chaque nombre complexe `z` non nul correspond un point du tube dont les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées polaires de `z` c'est à dire `[|z|, "arg"(z)]`.
Etant donné deux complexes définis par leur composantes polaires :
`z_1 = a_1e^(ivarphi_1)` `z_2 = a_2e^(ivarphi_2)`
Leur multiplication se développe comme suit :
`z_1z_2 = a_1e^(ivarphi_1)a_2e^(ivarphi_2)`
`z_1z_2 = a_1a_2e^(i(varphi_1"+"ivarphi_2))`
Leur addition se développe grace à la formule d'Euler `e^(ix) = cos(x)+isin(x)` qui permet de les convertir d'abord en coordonnée cartésienne :
`z_1+z_2 = R(z_1)+Re(z_2) + i("Im"(z_1)+"Im"(z_2))`
`z_1+z_2 = a_1cos(varphi_1) + a_2cos(varphi_2) + i(a_1sin(varphi_1) + a_2sin(varphi_2))`
Ces deux complexes `z_1` et `z_2` correspondent à deux vecteurs `(x_1,y_1)` et `(x_2,y_2)` dans `RR^2`. Leur produit scalaire se note :
`(x_1,y_1)"⋅"(x_2,y_2) = x_1x_2+y_1y_2 `
Et dans `CC`, leur produit scalaire se note :
`"<"z_1,z_2">" = x_1x_2+y_1y_2 `
C'est alors qu'une propriété remarquable apparaît : Le produit scalaire de deux complexes s'avère égale a la somme du produit de l'un par le conjugué de l'autre et du produit de l'autre par le conjugué de l'un, le tout divisé par `2` :
`"<"z_1,z_2">" = (z_1 bar (z_2) + z_2 bar (z_1))/2`
On en déduit la norme d'un complexe `z` qui se note `|z|` :
`|z| = sqrt(z bar z)= sqrt(x^2+y^2)`
---- 13 mars 2018 ----
Une rotation étendu peut comprendre plusieurs tours. Une rotation est identifiée à un argument `varphi"∈"Φ`, tandis qu'une rotation étendue est identifiée à un argument réel `varphi"∈"RR` représentant un nombre de tours exprimée en radiant qui peut être plus grand qu'un tour.
`Φ×ZZ = RR`
L'espace des rotations étendues d'un espace vectoriel `E`, se note `"Spin"(E)`. La composition de deux rotations étendues va produire encore une rotation étendue.
`"Spin"(RR^2)` muni de la loi de composition `"∘"` forme un groupe isomorphe à `RR` munie de l'addition `"+"` :
`("Spin"(RR^2),"∘") ≅ (RR,"+")`
Une rotation étendue avec dilatation est la composé d'une rotation étendue et d'une dilatation (ou multiplication par un réel strictement positif). L'espace des rotations étendues avec dilatation d'un espace vectoriel `E`, se note `"DSpin"(E)`. La composition de deux rotations étendues avec dilatation va produire encore une rotation étendue avec dilatation.
Une rotation étendus avec dilatation est identifiée à un couple `[a,varphi]"∈"RR"*"^"+"×RR]`
`"DSpin"(RR^2)` muni de la loi de composition `"∘"` forme un groupe isomorphe à `RR"*"^"+"×RR` munie de l'addition `"+"` :
`("DSpin"(RR^2),"∘") ≅ (RR"*"^"+"×RR, +)
`(a_1,varphi_1)"∘"(a_2,varphi_2) = (a_1a_2,varphi_1 + varphi_2)`
RR"*"^"+"×RR = RR"*"^"+"×Φ×ZZ = CC×ZZ`
Cet espace muni de la loi de composition `"∘"` forme un groupe :
Chaque complexe `z=x"+"iy` correspond ainsi à la translations dans le plan définie par `v|->v"+"z`. Ainsi l'ensemble des translations du plan munie de la composition forme un groupe isomorphe au groupe `(CC,"+")`.
Le système de coordonnées polaires identifie l'ensemble des complexes non nuls à une bande coupée et indéfinie `RR"*"^"+"×Φ` ou `Φ=[0,2pi[` modulo `2pi`, mais dont les bords sont refermés pour former un tube coupé. Et cela doit respecter la continuité : Cette bande doit être refermée sur elle même pour permettre de passer continument du point `[x,2pi-epsilon]` au point `[x,0]` lorsque `epsilon` tend vers `0`.
L'ensemble `e^(iΦ)` repésente le cercle de rayon `1` sur le plan. C'est l'ensemble des complexes unitaires.
Tandis que `Φ` constitue l'espace celeste polaire de `CC`. L'ensemble `CC"*"` s'obtient en effectuant un produit direct d'un réel strictement positif par un complexe unitaire, ce qui se note comme suit :
Le symbole `ox` désigne le produit direct, c'est à dire que pour chaque complexe non nul `z"∈"CC"*"`, il existe un et un seul couple `[a, phi]` avec `a"∈"RR"*"^"+"` et `phi"∈"Φ` tel que `z=ae^(iphi)`. |
L'ensemble `e^(iΦ"/"2)` repésente un demi-cercle de rayon `1` et d'angle appartenant à `[0,pi[`, sur le plan.
Tandis que `Φ"/"2` constitue l'espace projectif polaire de `CC`. L'ensemble `CC"*"` s'obtient en effectuant un produit direct d'un réel non nul par un complexe unitaire d'argument appartenant à `Φ"/"2`, ce qui se note comme suit :
Le symbole `ox` désigne le produit direct, c'est à dire que pour chaque complexe non nul `z"∈"CC"*"`, il n'existe un et un seul couple `[s, varphi]` avec `s"∈"RR"*"` et `varphi"∈"Φ"/"2` tel que `z=se^(ivarphi)`. |
Chaque complexe `z=ae^(ivarphi)` correspond à la rotation-dilatation dans le plan définie par `v|->vz`. Ainsi l'ensemble des rotation-dilatations du plan `RR^2` munie de la composition forme un groupe isomorphe à `(CC,"*")`.
Voici les règles usuelles d'addition, de multiplication, de conjugaison, de norme, d'argument, de signe, de logarithme, d'exponentielle. Quelque soient `x, y` reels, `a` reel positif, `φ` reel modulo `2π`, et `z` complexe, nous avons :
Cartésien |
`(x,y) = x"+"iy` |
Somme |
`(x,y)"+"(u,v) = (x"+"u,y"+"v)` |
Produit |
`(x,y)(u,v) = (xu "-"yv, xv"+"yu)` |
Conversion |
`(x,y) = [sqrt(x^2"+"y^2), arctan(y/x) "+" (π/2)(1"-sign"(x))"sign"(y)]` |
Conjuguaison |
`bar("("x,y")") = (x, "-"y)` |
Norme |
`|"("x,y")"|= sqrt(x^2"+"y^2)` |
Argument |
`"arg"("("x,y")") = arctan(y/x) "+" (π/2)(1"-sign"(x))"sign"(y)` `"arg"("("0,y")") = (π/2)"sign"(y)` |
Signe |
`"sign"("("x,y")") = (x+iy)/(sqrt(x^2"+"y^2))` |
Logarithme |
`ln("("x,y")") = ln(sqrt(x^2"+"y^2)) + i(arctan(y/x) "+" (π/2)(1"-sign"(x))"sign"(y))` `ln("("0,y")") = ln(y) + i(π/2)"sign"(y)` |
Exponentielle |
`exp(x,y) = exp(x) [1,y]` |
Exponentielle |
`e^(x+iy) = e^x e^(iy)` |
Polaires |
`[a,phi] = ae^(iφ)` | |
Produit |
`[a,φ][b,varphi] = [ab, φ"+"varphi]` | |
Somme |
`[a,φ] + [b,varphi] = (a cos(φ)"+" b cos(varphi), a sin(φ) "+" b sin(varphi))` | |
Conversion |
`[a,φ] = (a cos(φ), a sin(φ))` | |
Conjuguaison |
`bar("["a,φ"]") = [a, "-"φ]` | |
Parties Réel |
`"Re""("[a,φ]")" = a cos(φ)` | |
Partie imaginaire |
`"Im""("[a,φ]")" = a sin(φ)` | |
Signe |
`"sign"("["a,φ"]") = [1,φ]` | |
Logarithme |
`ln("["a,φ"]") = ln(a) + iφ` | |
Exponentielle |
`exp("["a,φ"]") = exp("["1,φ"]")^a` | |
Conjuguaison |
`bar(z) = |z|^2 / z` |
Parties Réel |
`"Re"(z) = (z "+" bar(z))/2` |
Partie imaginaire |
`"Im"(z) = (z "-" bar(z))/(2i)` |
Norme |
`|z| = sqrt(z barz)` |
Argument |
`"arg"(z) = -i ln(z/|z|)` |
Cartésien |
`z = ((z "+" bar(z))/2, (z "-" bar(z))/(2i))` |
Polaire |
`z = [ sqrt(z barz), "-"i ln("sign"(z))]` |
Signe |
`"sign"(z) = z/|z|` |
Logarithme |
`ln(z) = ln"("|z|")" + i"arg"(z)` |
Exponentielle |
`exp(z) = exp("arg" z)^(|z|)` |
Exponentielle |
`e^z = (e^("arg"(z)))^(|z|)` |
Puissance |
`z_1^(z_2) = e^ln(z_1^(z_2)) = e^(z_2ln(z_1))` |
Une fonction `f` sur `CC` est analytique si et seulement si elle est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout `x_0` de ce domaine, il existe une suite `(a_n)_(ninNN)` donnant une expression de la fonction, valable pour tout `x` assez proche de `x_0`, sous la forme d'une série convergente :
`f(x) = sum_(n=0)^(n=oo) a_n(x"-"x_0 )^n`
Une fonction `f` sur `CC` est analytique si et seulement si elle est indéfiniment dérivable en tout point. Et le développement dont il s'agit sera la série de Taylor.
Une fonction `f` sur `CC` est analytique si et seulement si elle est simplement dérivable en tout point (fonction holomorphe)
`e^z = sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)z^n`
`cos z = sum_(n=0)^(n=oo) ("-"1)^n/((2n)!) z^(2n)`
`sin z = sum_(n=0)^(n=oo) ("-"1)^n/((2n+1)!) z^(2n+1)`
`e^z = e^(z_0) sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)(z"-"z_0)^n`
`cos(z) = cos(z0)cos(z"-"z0) - sin(z0)sin(z"-"z0)`
`cos z = cos(z_0)sum_(n=0)^(n=oo)("-"1)^n/((2n)!)(z"-"z_0)^(2n) - sin(z_0)sum_(n=0)^(n=oo) ("-"1)^n/((2n+1)!) (z"-"z_0)^(2n+1)`
`sin z = sum_(n=0)^(n=oo)chi^n/(n!)(z"-"z_0)^n`
`cos z = sum_(n=0)^(n=oo)chi^(n+1)/(n!)(z"-"z_0)^n`
`AAn "∈" NN,`
`chi^(4n) = sin(z_0)`
`chi^(4n+1) =cos(z_0)`
`chi^(4n+2) ="-"sin(z_0)`
`chi^(4n+3) ="-"cos(z_0)`
---- 10 mars 2018----
Etant donné une fonction infiniment dérivable `f` de `CC^2 -> CC`. On pose que `f` est appliquée par défaut sur `(u,v)`, autrement dit `f "=" f(u,v)`. Il est laisser au contexte le soin de lever l'ambiguité, à savoir si `f` est considéré comme la fonction `f` ou la valeur ìmage `f(u,v)`. (On dira que `(u,v)` constitue un systeme de coordonné par défaut pour la variable d'état `f`).
La série de taylor peut s'effectuer sur plusieurs variables à la fois. Etant donné une fonction infiniment dérivable `f` de `CC^2 -> CC`, et qui est appliquée par défaut sur `(u,v)`, autrement dit `f "=" f(u,v)`. La dérivé de `f` est :
`f' = ( (del f)/(delu),(del f)/(delv))`
`f'×(du,dv)^t = (del f)/(delu) du + (del f)/(delv) dv`
La dérivé seconde de `f` est :
`f'' = ( (del f')/(delu),(del f')/(delv))`
`f''×(du,dv)^t = (del f')/(delu) du + (del f')/(delv) dv`
`= (del ( (del f)/(delu),(del f)/(delv)))/(delu) du + (del ( (del f)/(delu),(del f)/(delv)))/(delv) dv`
`= ( (del^2 f)/(delu^2), (del^2 f)/(delv delu) ) du + ( (del^2 f)/(delu delv),(del^2 f)/(delv^2)) dv`
`= ( (del^2 f)/(delu^2)du + (del^2 f)/(delu delv)dv, (del^2 f)/(delv delu) du + (del^2 f)/(delv^2)dv)`
`f''×(du,dv)^t ×(du,dv)^t = ( (del^2 f)/(delu^2)du + (del^2 f)/(delu delv)dv)du +((del^2 f)/(delv delu) du + (del^2 f)/(delv^2)dv)dv`
`= (del^2 f)/(delu^2)du^2 + (del^2 f)/(delu delv)dvdu +(del^2 f)/(delv delu) dudv + (del^2 f)/(delv^2)dvdv`
`= (del^2 f)/(delu^2)du^2 + 2(del^2 f)/(delu delv)dudv + (del^2 f)/(delv^2)dvdv`
La dérivé troisième de `f` produira :
`f'''×(du,dv)^t×(du,dv)^t×(du,dv)^t =`
`(del^3 f)/(delu^3)du^3 + 3(del^3 f)/(delu^2 delv)du^2dv + 3(del^3 f)/(deludelv^2)dudv^2 + (del^3 f)/(delv^3)dv^3`
Le développement de Taylor de `f` en `(u,v)` est : `f(u+du,v+dv) =`
`f+ (del f)/(delu) du + (del f)/(delv) dv + (del^2 f)/(delu^2)du^2 + 2(del^2 f)/(delu delv)dudv + (del^2 f)/(delv^2)dvdv + (del^3 f)/(delu^3)du^3 + 3(del^3 f)/(delu^2 delv)du^2dv + 3(del^3 f)/(deludelv^2)dudv^2 + (del^3 f)/(delv^3)dv^3 + ...`
On notera `f(x,y)` pour `f"("(x,y)")"` l'application `f` appliquée au complexe de coordonnées cartesiennes `(x,y)`.
L'identité d'Euler ei*π = -1 lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π. Mais la constante 2π semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient alors :
ei*2π = 1
Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire une nouvelle notation complexe des fonctions sinus et cosinus. Quelque soit φ exprimé en radians, nous avons :
ei*φ = cos(φ) + i*sin(φ)
Les formes cartesiennes et polaires ont comme expression algèbrique :
(x, y) = x + i*y
[a, φ] = a * ei*φ
ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tour complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :
On note le complexe ς = ei = [1,1] de norme 1 et d'angle 1 radian, et qui correspond à la rotation d'un radian. Les coordonnés polaires ont alors une expression algèbrique simple qui sera souvent utlisée. Par convention les angles sont signés selon le sense trigonométrique. (La convention inverse du sense des aiguille d'une montre est obtenue par la conjugaison qui est un automorphisme de corps).
[a,φ] = a*ςφ
ςπ/2 = i
ςπ = -1
ς-π/2 = -i
Comme φ --> cos(φ) est une fonction paire, et que φ --> sin(φ) est une fonction impaire, nous avons :
cos(-φ) = cos(φ)
sin(-φ) = - sin(φ)2*cos(φ) = ei*φ + e- i*φ = ςφ + ς- φ
2*i*sin(φ) = ei*φ - e- i*φ2*cos(φ) = [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(φ) = [1, φ] - [1, -φ]cos(φ) = Re([1, φ])
sin(φ) = Im([1, φ])
La composition des translations puis celles des rotations-dilatations se calculent trés simplement :
T(u) ° T(v) = T(u + v)
R(u) ° R(v) = R(u * v)
La rotation-dilatation peut s'exprimer sous forme matricielle à la quelle on l'identifie, et cela correspond à la deuxième construction des complexes. La matrice opére sur les coordonnées cartesiennes :
R(v) = norm(v)*[cos(arg(v)),-sin(arg(v))]
[sin(arg(v)), cos(arg(v))]R(v) = [Re(v), -Im(v)]
[Im(v), Re(v)]
Le corps des complexes contient un unique automorphisme continue autre que l'identité, appelé conjugaison. La conjugaison est la transformation de symétrie par rapport à l'axe des réels. La conjugaison d'un complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire. Elle s'obtient également en changeant le signe de son argument.
conjug(z1*z2) = conjug(z1) * conjug(z2)
conjug(z1 + z2) = conjug(z1) + conjug(z2)conjug(x + i*y) = x - i*y
conjug(a*ςφ) = a*ς-φconjug(conjug(z)) = z
4) Différentes constructions que l'on peut opérer à partir des complexes
On concidère les complexes commes des fonctions, et on clos la nouvelle structure par composition de fonctions. Ce procédé permet de construire toutes sorte de structures amusantes à partir des complexes.
Première exemple, les complexes peuvent être vue comme des translations et aussi comme des rotations-dilatation. Si nous réunissons ces deux fonctions dans une même structure que nous cloturons par composition, on obtiendra l'ensemble des transformations affines positives du plan.
Deuxième exemple, les complexes peuvent être vue comme des rotations-dilatations. La conjugaison constitue la transformation de symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels. Cet endomorphisme vectoriel peut être ajoutée aux complexes vue comme des rotation-dilatations pour engendrer l'ensemble des endomorphismes vectoriels du plan.
4.1) Les transformations affines positives du plan
Les compositions d'une rotation-dilatation et d'une translation vont produire les transformations affines de déterminant positifs caractérisées exactement par deux complexes. On applique d'abord la rotation-dilatation puis la translation car plus simple à interprété géométriquement :
A(r,t) = T(t) ° R(r)
. Cette transformation affine appliqué à un point représenté par le complexe v va produire le point image A(r,t)(v) = r*v + t.
A(r,t) : z --> r*v + t
A(r,t) ° A(r',t') = A(r*r', r*t' + t)A(r',t')-1 = (T(t) ° R(r))-1 = R(r)-1 ° T(t)-1 = R(r-1) ° T(-t)
La composition ° des application affine n'est pas commutative. Pour l'opération de composition on utilise la notation anglaise (f°g°h)(v) = f(g(h(v)))). La notation française v·f·g·h = (h°g°f)(v) = h(g(f(v))) permet d'écrire de gauche à droite la succession des transformations dans le même ordre : v --> v·f --> v·f·g --> v·f·g·h
Lorque deux élément u, v ne commutent pas, on définit un commutateur u ° v ° u-1 ° v-1 qui caractérise la commutation de ces deux éléments.
A(r,t) ° A(r',t') ° A(r,t)-1 ° A(r',t')-1
4.2) Les endomorphismes du plan vectoriel
Le nombre complexe z = x + i*y = a*ςφ peut être interprété comme un vecteur du plan, ou comme une rotation-dilatation notée R(z). Lorsque on l'interprète comme un vecteur, il correspond au vecteur (x,y) des coordonnées cartesiennes. Et lorsque on l'interprète comme un endomorphisme, il correspond à une rotation de φ radians dans le plan combiné à une multiplication par a. Voici sa représentation vectoriel et matriciel :
z vue comme vecteur :
z = [a*cos(φ)]
[a*sin(φ)]
z vue comme rotation-dilatation :
R(z) = [a*cos(φ),-a*sin(φ)]
[a*sin(φ), a*cos(φ)]
Le nombre complexe unitaire ςφ correspond à une rotation de φ radians dans le sens trogonométrique, dans le plan, et possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :
ςφ = [cos(φ)]
[sin(φ)]
R(ςφ) = [cos(φ),-sin(φ)]
[sin(φ), cos(φ)]
De même le réel a possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :
a = [a]
[0]
R(a) = [a, 0]
[0, a]
La composition de deux rotation-dilatations s'obtient en faisant le produits de leurs matrices, et elle s'obtient également en faisant le produits des complexes correspondants. De même l'application d'une rotation-dilatation à un vecteur se calcule en faisant le produits de la matrice et du vecteur, et elle se calcule également en faisant le produits des complexes correspondants. Pourtant il existe une différence de nature entre le vecteur et la rotation-dilatation. Cela provient du fait que le vecteur v peut être remplacé par une rotation-dilatation R(v) appliqué au vecteur 1, et que finalement on ne s'intéresse plus au vecteur mais aux seuls rotation-dilatation et à l'opération de composition qui correspond au produits des complexes correspondants. R(z)(v) = (R(z) ° R(v))(1).
On procède alors à une identification. On identifie le complex z à la rotation-dilatation R(z). Et on note l'opération ° de composition par *. L'opération + continue d'opérer sur les complexes et correspond à la sommes d'endomorphismes vectoriels. Ainsi l'expression z*u + v désignera l'endomorphisme obtenue en composant la rotation-dilatation z avec la rotation-dilatation u et en ajoutant la rotation-dilatation v. Cette endomorphisme vectoriel est évidement encore une rotation-dilatation. Le corps des complexes devient le corps des rotation-dilatations du plan.
Ajoutons dans ce corps, un élément nouveau s correspondant à la conjugaison. s est la symétrie par rapport à l'axe des réels.
s = conjug
s = [1, 0]
[0,-1]
Attention, l'élément s ne commute pas avec i pour l'opération *. L'ajout de l'élément s de produit non commutatif dans le corps ne constitue donc pas une extention de corps mais constitue une extention d'anneau. {1, i, s}engendre à l'aide des opérations + et * et à l'aide de la multiplication par les réels, l'anneau des endomorphismes du plan vectoriel. Pour s'en rendre compte, on génère une base de l'espace des matrices réelles 2x2 :
(1+s)/2 = [1,0] -i*(1+s)/2 = [0,1]
[0,0] [0,0](1-s)/2 = [0,0] i*(1-s)/2 = [0,0]
[0,1] [1,0]
1 = [1,0] i = [0,-1] s = [1, 0]
[0,1] [1, 0] [0,-1]
L'opération * n'est plus commutative, la structure obtenue est un anneau, l'anneau des endomorphismes vectorielles du plan. Les relations fondatrices sont :
i*i = -1
Quelque soit x réel : x*i = i*x
s*s = 1
s*i = - i*s
La symétries orthogonale selon l'axe d'angle φ est notées S(φ). Nous avons s = S(0). Les rotations R(φ), et les symétries orthogonales S(φ) sont liées de la façon suivante :
S(0) : v --> conjug(v)
R(φ) : v --> ςφ * v
S(φ/2) : v --> ςφ * conjug(v)
Comme s = S(0), nous avons :
S(φ/2) = R(φ) ° s
S(φ) = R(2φ) ° s
S(φ) ° S(φ') = R(2φ+2φ')
S(φ) ° R(φ') = R(2φ+φ') ° s = S(φ+φ'/2)
R(φ) ° R(φ') = R(φ+φ')
Comme nous avons identifié les rotation-dilatations aux complexes, on note la rotation R(φ) par le complexe ςφ , et la symétrie S(φ) par le complexe étendu s*ς2φ, et la composition d'endomorphisme vectoriel par le produit. Ainsi les 3 relations précédentes se ramènent à des égalités évidentes :
(s*ςφ) * (s*ςφ') = ςφ+φ'
(s*ςφ) * ςφ' = s*ςφ+φ'
ςφ * ςφ' = ςφ+φ'
Noter que S(φ)(z) n'a pas la même signification que S(φ)*z. En effet S(φ)(z) = conjug(z)*ς2φ est le complexe conjugué de z et tourné d'un angle 2φ. Il s'obtient en changeant le signe de l'argument de z et en le multipliant par le complexe ς2φ = ei*2φ. Si z et S(φ)(z) sont décrit comme des rotation-dilatations alors on obtient S(φ)(z) en inversant le sense de la rotation de z et en ajoutant est interprété comme une rotation-dilatation. En mettant z sous forme polaire z = a*Rφ, nous avons S(a*Rφ) = a*R-φ. Alors que S*z est la composition de la conjugaison avec l'endomorphisme z. En effet, S*a*Rφ n'est pas un complexe, c'est une symétrie orthogonale par rapport à l'axe d'argument φ/2 composé avec une multiplication réel a.
La conjugaison est un automorphismes de corps, c'est à dire :
S(z1*z2) = S(z1)*S(z2)
S(z1 + z2) = S(z1) + S(z2)
L'ensemble de tous les endomorphismes du plan, formant un anneau non commutatif, possède une forme normale car on peut déplacer les S à droites dans toutes les expressions engendrées par <1,i,S,+,*>.
S*S = 1
S*p = p*S
S*Rq = R-q*S
S*(x+i*y) = (x-i*y)*S
S + z = z + S
Quelque soit 4 réels a,b,c,d, on a :
[a,b] = (1+S)*(a-i*b) + (1-S)*(d+i*c)
[c,d]
Mis sous forme normale, cela donne :
[a,b] = (a+d + i*(-b+c))/2 + (a-d + i*(b+c))*S/2
[c,d]
Le premier terme est un complexe, correspondant à une matrice antisymétrique :
(a+d + i*(-b+c))/2 = [a+d, b-c]
[c-b, a+d]
Le deuxième terme est un complexe multiplié par S, et correspond à une matrice symétrique de trace nulle :
(a-d + i*(b+c))*S/2 = [a-d, b+c]
[b+c, d-a]
En effet toute matrice 2x2 se décompose bien en une somme unique d'une matrice antisymétrique et d'une matrice symétrique de trace nulle comme suivant :
M = [x,-y] + [u, v]
[y, x] [v,-u]
3) Les nombres complexe de norme 1
Le facteur 2*PI est présent afin que q soit exprimé en tours et non en radiants. e(2*PI*i*q) est le nombre complexe de norme 1 et d'argument q exprimé en tours. Par souci de simplification on le note Rq. C'est la puissance q de R, mais R n'est pas à proprement parler un nombre complexe. R représente une rotation dans le plan d'un tour complet. Nous avons :
Rq =sin(2*PI*q) + i*cos(2*PI*q)
R0 = R1 = R2 = R3 = 1
R1/2 = -1,
R1/4 = i,
R1/8 =sqrt(2)/2 + i*sqrt(2)/2,
R3/4 = -i
....
Quelque soit k, un entier relatif, nous avons :
R(q+k) = Rq
Les règles générales relatives au puissances s'appliquent :
(Ra)b = R(a*b)
Ra * Rb = R(a+b)
R-a = 1 / Ra
L' identification entre les rotations du plan vectoriel et les nombres complexes unitaires (Fresnel), nous permet de définir la puissance d'un nombre complexe comme étant la puisance de la rotation correspondante : (Rq)r = Rq*r. Mais intuitivement, la rotation possède une information supplémentaire que ne possède pas le nombre complexe, qui est le nombre de tours entiers fait par la rotation, et qui intervient dans cette définition intuive de la puissance d'une rotation. On définie un nombre complexe généralisé qui contient cette information.
Par définition arg(z) est compris dans l'interval ]-1/2,+1/2]. On peut noter z_n le complexe z généralisé dont on a ajouté à la composante rotation, une rotation de n tours, c'est à dire tel que : arg(z_n) = arg(z) + n. On remarque que R = 1_1 est la rotation d'un tour. R n'est donc pas un complexe, mais un complexe généralisé. Nous avons z_n = z_0*Rn. On simplifie la notation en identifiant z_0 à z . Le nombre complexe généralisé z_n s'écrie z*Rn. Dans l'ensemble des complexes généralisés, le système de formules vue plus haut doit être complété, le signe égal ayant une signification plus forte puisque le nombre entiers de tours supplémentaires doit être égale de part et d'autre :
z*Rn = p*Rq*Rn = p*e(2*PI*i*(q + n)) = p*R(q + n)
Les fonctions Re, Im, norm, arg, conjugate, s'étendent aux complexes généralisés comme suit :
Re(z*Rn) = Re(z)*Rn
Im(z*Rn) = Im(z)*Rn
norm(z*Rn) = norm(z)*Rn
arg(z*Rn)/(2*PI) = arg(z)/(2*PI) + n
conjugate(z*Rn) = conjugate(z)*Rn
On étend également les fonctions sin et cos comme suit. Pour
q appartenant à l'intervale ]-1/2,+1/2]
et pour n, entier relatif :
cos(2*PI*(q + n)) = Re(Rq)*Rn
sin(2*PI*(q + n)) = Im(Rq)*Rn
Nous avons les relations suivantes :
Re(z*Rn) = (z*Rn + conjugate(z*Rn))/2
Im(z*Rn) = (z*Rn - conjugate(z*Rn))/(2*i)
norm(z*Rn) = sqrt(z*Rn*conjugate(z*Rn))
conjugate((z1*Rn1)*(z2*Rn2)) = conjugate(z1*Rn1) * conjugate(z2*Rn2) = conjugate(z1*z2)*Rn1+n2
Mais l'addition des complexes généralisés n'est définie que pour les cas simples z1*Rn + z2*Rn = (z1+z2)*Rn . L'argument entier de (1 + R) reste intuitivement indéfinissable.
Soit z1,z2 deux complexes et n1,n2 deux entiers relatifs, il faut choisire une définition de n3 solution de l'équation z1*Rn1 + z2*Rn2 = (z1+z2)*Rn3, de tel sorte que les complexes généralisés constituent un corps. Et ce corps est nécessairement de dimenssion infinie. De plus il est souhaitable que la conjugaison soit un automorphisme, c'est à dire qu'elle possède en plus la propriété suivante : conjugate(z1*Rn1 + z2*Rn2) = conjugate(z1*Rn1) + conjugate(z2*Rn2).
.......... à voir ....
La puissance complexe est définie comme suit :
(p*Rq) (x + i*y) = px * pi*y * Rq*x * Rq*i*y
= px * eln(p)*i*y * Rq*x * e2*i*PI*q*i*y
= px * e2*i*PI*(ln(p)*y/(2*PI)) * Rq*x * e-2*PI*q*y
= px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI) * Rq*x
= px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI)+q*x
norm((p*Rq) (x + i*y) ) = px * e-2*PI*q*y
arg((p*Rq) (x + i*y) )/(2*PI) = ln(p)*y
.......... à voir ....
Voici le moyen mémotechnique pour trouver la dérivé de Rq selon q. On utilise les deux propriétés suivantes :
Dérivé d'une composition de fonction : d(f(g(x)))/d(x) = d(f(g(x)))/d(g(x)) * d(g(x))/dx
Dérivé de l'exponentiel : d(ex)/dx = exd(Rq)/dq = d(e(2*PI*i*q))/dq
= d(e(2*PI*i*q))/d(2*PI*i*q) * d(2*PI*i*q)/dq
= e(2*PI*i*q) * 2*PI*i
= Rq * 2*PI*R1/4
= 2*PI* Rq+1/4
Ainsi, dériver Rq selon q, consiste à ajouter à l'argument 1/4 de tours et à multriplier la norme par 2*PI.
.......... à voir ....
Un couple de complexe correspond à une application affine du plan, le premier complexe désigant la translation, l'autre désignant la transformation linéaire. (z0,z1)(v) = z0 + z1*v
Les applications affines du plan se composent selon la règle suivantes : (k0, k1)°(z0, z1) = ( k0 + k1*z0, k1*z1). La fonction affine inverse de (z0, z1) est (-z0/z1, 1/z1)
.......... à voir ....
Lorsque l'état d'un système et caractèrisé par une amplitude et une phase, on regroupe ces deux valeurs en une valeur complexe de norme égale à l'amplitude et d'argument égal à la phase, constituant une variable d'état du système. Le changement d'état se traduit par la multiplication de la variable d'état z1 = p1*Rq1, par un complexe z2 = p2*Rq2. Les normes se multiplient et les arguments s'ajoutent. La nouvelle variable z3 = p3*Rq3 d'état vaut :
z3 = z1*z2
p3*Rq3 = (p1*Rq1) * (p2*Rq2)
p3*Rq3 = (p1*p2)*R(q1+q2)p3 = p1*p2
q3 = q1+q2
Les coordonnés cartésiennes de z s'obtiennent en prenant la partie réelle x = Re(z) et la partie imaginaire y = Im(z). Et ces deux fonctions Re et Im, ainsi que les fonctions norm et arg, peuvent se définire de façon assez homogène, à l'aide de la fonction conjugate comme suivant :
2* Re(z) = z + conjugate(z)
2* i*Im(z) = z - conjugate(z)
norm(z)2 = z * congugate(z)
tan(arg(z)) = - i*(z - conjugate(z))/(z + conjugate(z))
On en déduit que :
1/z = conjugate(z)/norm(z)2
C'est à dire, en explicitant les coordonnés cartésiennes :
1/(x+i*y) = (x - i*y)/(x2+y2)
la base e des logarithmes naturelles, et le rapport 2π entre la circonférence d'un cercle et son rayon,
5) Les complex et la formule d'Euler
Le nombre complex u désigne un point du plan qui est caractérésé soit par ces coordonnées cartesiennes (Re(u), Im(u)) ou par ces coordonnées polaires [norm(u), arg(u)]. Par convention on choisie d'exprimé l'argument (ou la phase) en tours et non en radian.
u = (Re(u), Im(u)) = [norm(u), arg(u)]
Et d'une manière plus dynamique, il désigne différentes transformations. Il désigne une translation Tu :
Tu : (x, y) --> (x + Re(u), y + Im(u))
Tu : z --> z + u
Et il désigne aussi une rotation-dilatation Ru :
Ru : [a,φ] --> [a*norm(u), φ + arg(u)]
Ru : z --> z * u
Règle d'addition et de multiplication, et conjugaison, norme et argument logarithme et exponentielle. On notera f(x,y) pour f((x,y)), l'application f appliqué au complex de coordonné cartesienne (x,y). Quelque soient x, y reels, a reel positif, φ reel modulo 1, et z complex, nous avons :
(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')
(x,y)*(x',y') = (x*x'-y*y', x*y'+y*x')
[a,φ]*[a',φ'] = [a*a', φ+φ']
conjug(x,y) = (x, -y)
conjug([a,φ]) = [a, -φ]
Re(x,y) = x
Im(x,y) = y
Re(z) = (z + conjug(z))/2
Im(z) = (z - conjug(z))/2
norm(x,y) = sqrt(x2+y2)
norm([a,φ]) = a
norm(z) = sqrt(z*conjug(z))
arg(x,y) = arctan(y/x)/2π + sign(y)*(1-sign(x))/4
arg([a,φ]) = φ
arg(z) = -i * ln(z/norm(z))/2π
arg(x,y) = -i * ln((x+i*y)/norm(x+i*y))/2π
ln([a,φ]) = ln(a) + i*2π*φ = (ln(a), 2π*φ)
exp(x,y) = exp(x) + [1,y/2π]
L'identité d'Euler lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π :
ei*π = -1
Mais la constante 2π semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient :
ei*2π = 1
Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire la notation complexe. Quelque soit x exprimé en radian, nous avons :
ei*x = cos(x) + i*sin(x)
En remplaçant r par 2π*φ, on obtient la même formule avec φ exprimé en tours :
ei*2π*φ = cos(2π*φ) - i*sin(2π*φ)
Les formes cartesienne et polaires s'exprime alors simplement par :
(x, y) = x + i*y
[a, φ] = a * ei*2π*φ
ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tours complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :
Comme x --> cos(x) est une fonction paire, et que x --> sin(x) est une fonction impaire, nous avons :
cos(-x) = cos(x)
sin(-x) = - sin(x)2*cos(x) = ei*x + e- i*x
2*i*sin(x) = ei*x - e- i*x2*cos(2π*φ) = [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(2π*φ) = [1, φ] - [1, -φ]cos(2π*φ) = Re([1, φ])
sin(2π*φ) = Im([1, φ])
Une sinusoïde noté u(x) d'amplitude A, de période T exprimée dans la même unité que x, et de phase P exprimée en tours, à comme équation :
u(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))
Par symétrie on définie v(x) = u(x+1/4).
v(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))
Nous avons :
du(x)/dx = 2π*v(x)
dv(x)/dx = - 2π*u(x)
2*i*u(x) = A* (ei*2π/T)x * (ei*2π*P) - A* (e-i*2π/T)x * (e-*2π*P)
2*i*u(x) = [1, 1/T]x * [A, P] - [1, -1/T]x*[A, -P]
et de même :
2*A*cos(2*π*(x/T + P)) = [1, 1/T]x * [A, P] + [1, -1/T]x*[A, -P]
On peut exprimer cette onde par deux complexes conjugués l'un de l'autre
u(x) = [A/2, 1/4 + x/T + P] - [A/2, 1/4 - x/T - P]
Les nombres complexes constituent le plus grand corps commutatifs de dimension fini contenant les nombres réels.
Il y a trois façons simple de construire le corps des complexes. Soit par extension du corps des réels, soit comme le centre de l'anneau des matrices carrées à coefficients réels, ou soit à partir du groupe des couples de réels en y définissant la multiplication.
Cette dernière construction, qui est historiquement la première, est due à Hamilton (William Rowan Hamilton, Dublin 1805-1865). On ajoutera une quatrième construction identique mais exprimée à un niveau d'exponentialité au dessus, faite à partir du groupe (RxΦ, *) des couples composés d'un réel et d'un réel modulo 2π et de la multiplication suivante : [a,φ] * [a',φ'] = [a*a', φ+φ'], et en définissant l'addition + de manière quelque peu compliqué. Les couples appartenant à RxΦ sont notées entre crochets pour les différentier des couples de R2. Et on plonge le corps des réels dans ce corps par : r --> [r,0], et on pose le nombre complexe i = [0, π /2]. C'est la représentation polaire des complexes. a est appelé norme et φ est appelé argument (ou angle) et est exprimé en radians. 2π radians égale 1 tours.
La première construction est une extension de corps en ajoutant un nouvelle élément i dont la seul connaissance que nous savons sur cet élément est qu'il satisfait la relation : X2+1 = 0. Cette extension est isomorphe au corps quotient R[X] / (X2+1), le corps des polynomes à coefficient réel et d'inconnue X modulo (X2+1). Les éléments de cette extension se simplifient de façon unique sous la forme x + X*y que l'on note x + i*y, l'élément ajouté i étant identifié à l'inconnue X. x correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires.
Dans la seconde construction, le complexe est représenté par une matrice antisymétrique (de rotation-dilatation) :
x*A + y*B = [a*cos(φ),-a*sin(φ)] = [x, -y]
[a*sin(φ), a*cos(φ)] [y, x]
x correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires, et a représente la norme du complexe et φ représente l'argument du complexe, l'angle également appelé azimuth.
Il existe un automorphisme intérieur appelée conjugaison notée conjug(x + i*y) = x - i*y, et qui s'exprime aussi sous la forme : conjug([a,φ]) = [a,-φ], qui fait qu'il est nécessaire d'effectuer initialement un choix arbitraire pour désigner qui est i et -i. Ce choix est fait dans la première construction en choisissant i = X ou -i = X, dans la seconde construction en choisissant i = B ou -i = B, dans la troisième construction en posant i = (0,1) ou -i = (0,1), et dans la quatrième construction en posant i = [0,π/2] ou -i = [0,π/2].
Il existe une troisième représentation, dite cartésienne normée plus simples. On représente la droite non pas par un angle `alpha` à `pi` près, mais par le vecteur unitaire `[(cos(alpha)),(sin(alpha))]` c'est à dire par un vecteur `[(u),(v)]` tel que `u^2+v^2=1`, et au signe global près, ce qui se note ainsi :
`"P"(RR^2) = {[(u),(v)] in RR^2" / "u^2+v^2=1}" / "{[(u),(v)]=[(-u),(-v)]}`
ou bien en choisissant une forme normale, par exemple telle que `v>0` et en ajoutant le vecteur `[(1),(0)]`, ce qui s'écrit ainsi :
`"P"(RR^2) = {[(u),(v)] in RR^2" / "(u^2+v^2=1)` et `(v >0) }uu{[(1),(0)]}`
On passe de la représentation cartésienne `x` à la représentation cartésienne normée `[(u),(v)]` et sous forme normale par les formules suivantes :
`x = oo` si et seulement si `[(u),(v)]=[(1),(0)]`
L'espace des rotations d'un espace vectoriel `E` est l'ensemble des rotations au sens général, c'est à dire comprenant les rotations de plusieurs tours, pouvant être faite dans `E`, et se note `"R"(E)`.
Une rotation du plan `RR^2` au sens générale est déterminée par une direction `alpha` et un nombre de tours `n`. Il y a deux représentations courantes de l'espace des rotations :
- L'une est dite cartésienne, `(RRuu{oo}uuRR'uu{oo'})×ZZ`, et qui se note aussi par `(RRuu{oo})×{"-"1,"+"1}×ZZ`.
- l'autre est dite polaire, `RR`.
`(RRuu{oo}uuRR'uu{oo'})×ZZ`
un couple `(x,n)`, avec `x in RR` et `n in ZZ`, désigne une rotation de `n` tours suivi de la rotation passant du vecteur `[(0),(1)]` au vecteur `[(0),(x)]`
L'élément `(oo,n)` désigne une rotation de `n` tours suivi de la rotation passant du vecteur `[(0),(1)]` au vecteur `[(1),(0)]`.
`"R"(RR^2) = RR`
On passe d'une représentation à l'autre par les formules suivantes :
`...x = (oo, "+"1)` si et seulement si `alpha = 0` modulo `2pi`.
....La fonction cotangente est de périodique `pi` et les angles sont considérés modulo `2pi`.
`....x = (oo, "-"1)` si et seulement si `alpha = pi` modulo `2pi`.
`alpha [pi]` représente un point de l'espace projectif polaire `RR"/"(piRR)`, tandis que `x` représente un point de l'espace projectif cartesien `RR "+" {oo}`. La cotangente est une bijection entre ces deux espaces, entre ces deux représentations. Autrement dit, on passe d'une représentation à l'autre par les formules suivantes :
`x "=" oo <=> alpha "=" 0 [pi]`
La fonction exponentielle `exp` est une bijection de `K->K^+"*"`. Elle admet une fonction inverse dite fonction logarithmique notée `ln` de `K^+"*"->K`.
On commence par le démontrer pour des éléments différentiels `da, db` appartenant à `O(dz)`. En effet, nous avons :
`exp(da) = 1+da+O(dz^2)`
`exp(db) = 1+db+O(dz^2)`
`exp(da+db) = 1+ da + db + O(dz^2)`
`exp(da)exp(db) = (1+da+O(dz^2))(1+db+O(dz^2))`
`= 1+da + Od(dz^2) + db+ dadb + dbO(dz^2) + O(dz^2)+ da O(dz ^2) + O(dz^2)O(dz^2)`
`= 1+da+db +O(dz^2)`Et donc :
`exp(da+db) = exp(da)exp(db) + O(dz^2)`