Les ondes constituent un phénomène auto-entretenu parmi les plus simples à modéliser, et elles constituent la base de l'électromagnétisme. Nous allons explorer ce phénomène en commençant par l'étudier dans un univers unidimensionnel ne possédant qu'un axe du temps. Et on commencera par étudier le signal sinusoïdal.
Puis nous reprendrons notre discussion sur la génèse et sur la nature du signal. Si on conçoit au départ le signal le plus simple, un signal sinusoïdal, celui d'un photon, comment faire naître les équations de Maxwell-Lorentz en partant de ce seul signal ?
La physique moderne s'appuie sur le calcul différentiel pour définir des modèles qui sont des systèmes d'équations différentielles partielles. La nature donne toujours une solution et le modèle peut toujours être choisie comme étant analytique. Aussi, nous n'étudirons le calcul différentiel que pour des fonctions analytiques, soit une étude beaucoup plus simple.
Néanmoins, le langage de ces équations peut paraître quelque peu hermétique pour les non-initiés. Et ce n'est pas par la construction de démonstration rigoureuse que l'on fait découvrir la puissance intuitive de ce langage.
Les mathématiques peuvent-être abordées comme la physique. Ce sont toutes deux des sciences hypothético-déductives, et il n'est pas nécessaire d'obtenir la preuve formelle d'une théorie pour l'utiliser si on a la conviction que celle-ci est valide. Ce n'est alors ni plus ni moins qu'une hypothèse. La preuve rigide est ainsi remplacée par l'hypothèse. Et des modèles possédant un formalisme inachevé, ou simplement incomplet parceque suceptible de se décliner en plusieurs modèles différents, peuvent jouer ce rôle d'hypothèse. L'expérimentation joue alors le rôle d'élément de preuve, des preuvent incomplètes certes mais qui peuvent, comme en physique, récuser ou conforter le modèle et l'hypothèse ou même les façonner.
On décrira le calcul différentiel d'une catégorie de fonctions analytiques sous forme d'hypothèses théoriques et d'un langage prometteur, que l'on confortera par l'expérimentation, ce qui rend la présentation au néophyte beaucoup plus facile.
Mais, aborder ce sujet sous un autre point de vue paradigmatique consiste à refonder l'Analyse. Voir Analyse et espace métrique
On commence par un aperçu et une description des fonctions analytiques unaires.
Tout effet a une cause, et la cause qui constitue également un effet, posséde à son tour une cause, et ainsi de suite. La cause d'une cause est une cause comme les autres, qui possèdent à son tour une cause. La première de toutes les causes qui n'a pas de cause, ou qui est sa popre cause - et qui explique l'existence du monde - n'est pas de ce monde. Elle existe dans un monde tout autre, pas un monde parallèle ou une vague copie du nôtre, non, un monde où il n'y a pas de temps et qu'il ne faudrait pas appeler monde car tellement différent... et où l'entendement est différent et inconnu, où tout est possible. Cela dit, c'est un raccourci théologique facile qui répond à la question existentiel du monde sans vraiment y répondre, à l'image des doctrines religieuses sur la génèse.
En d'autre terme, dans notre monde, le physicien s'attache à révéler le déterminisme des lois du monde, qui constitue son intelligibilité. Et tout ce qui échappe à ce déterminisme est déterminé par des variables extérieures inconnues. Le hasard est donc la manifestation d'intrusion de causes inconnues, et n'existe donc pas en soi. Cette idée et exprimée par Einstein dans l'adage "Dieu ne joue pas aux dès". Restreindre cet idée consiste alors à s'interdire de chercher davantage.... L'obscurantisme est alors de quel coté d'après-vous ?.
Ainsi, les choses étant déterminées, ce qui constitue l'essence de l'intelligibilité du monde, on pourrait pensé que cela n'existe pas, comme tout ce qui est répétition immuable. Mais si !.... Car cela n'a jamais était calculé, jamais était réalisé avant. C'est d'ailleurs cette effectivité première du calcul qui définit ce qu'est le temps.
Aussi surprenant que cela puisse paraître, la notion de flèche du temps qui distingue le passé du futur est une notion purement macroscopique. Car à l'échelle microscopique les lois régissant les interactions entre particules respectent une symétrie parfaite selon le sens du temps. C'est à dire que si l'on inverse le sens du temps, en remplaçant dans les équations `t` par `"-"t` et donc `dt` par `"-"dt`, on obtient les mêmes équations, les même lois.
Si on regarde un film à l'envers en remontant le temps, on voit une scène se dérouler dans le sens inverse du temps comme par magie. Une telle scène peut se réaliser, car d'un point de vue microscopique les lois sont respectés, et pourtant cela nous parrait impossible. C'est parceque nous sommes dans une chaine causale dominante définissant cette notion macroscopique qu'est la flche du temps, une flêche du temps qui n'est qu'apparence et illusion. Rien ne nous interdit d'imaginer l'existance de chaines causales inversées.
Tout étant déterminé, la connaisance de l'univers à un instant donnée détermine aussi bien l'univers future que l'univers passé. La notion de flêche du temps est liée au second principe de la thermodynamique, à la notion de désordre ou d'entropie toujours croissante. Et si on constate une voilation de cette loi, rien ne pourra distinguer cette violation avec l'introduction d'une chaine causale inverse.
L'art en la matière consiste à inventer un langage formel adapté au problème, désignant une construction efficiente. Et ce langage deviendra un vecteur incontournable de transmission du savoir. L'enjeux devient alors collosal. Et le principal frein au développement de ce type de recherche reste causé par les nombreux préjugés, dont pour la plus part, nous n'avons pas conscience, qui sont ancrés en nous plus ou moins profondément. Ils agissent comme des oeillères, et nous pouvons difficilement nous en débarrasser dans la vie quotidienne. Ceux qui s'en sont défait ont ainsi acquit un avantage certain pour avancer dans ces études savantes.
Il y a de nombreuses façons de décrire un système déterministe. La notation est importante car elle transporte une intuition, tout un ensemble de non-dits, de mécanismes de reconnaissance, et de règles simples de déduction. Qu'est-ce qui rend si difficile le dévoilement des différents conceptes et nous arrête dans notre élan créateur ?. C'est le conformisme et l'absence d'intuition. L'intuition joue un rôle moteur, essentiel dans la génèse des concepts. Il y a donc tout un travail préliminaire pour appréhender un espace, sans préjugé, et pour l'étoffer de sens, d'analogies..., d'une gnose, seul moyen de transmettre cette intuition (aux autres ou à soi-même). Mais qu'est-ce qui différencie l'intuition du préjugé ? C'est le jour et la nuit, l'animé et l'inerte. L'intuition crée. L'intuition est naissance, source de développements potentiels, tout en parcourant quelques grands schémas paradigmatiques, sortes de guide spirituel mais davantage comme un rêve aux mutiples formes mouvantes qui se métamorphosent au fur et à mesure qu'il se construit. Le préjugé est au contraire formel, et n'ouvre pas à discution. Il clos la question. Mais de la même façon que la mort est nécessaire à la vie, le préjugé est nécessaire à l'intuition, sans quoi nous partirions dans toutes les directions à la fois et rien ne pourrait être fonder ni construit. Il faut seulement avoir les bons préjugés au bon moment pour enterrer ce qui doit l'être et les bonnes intuitions pour découvrir les voies qui nous intéressent.
Du langage mathématique, un principe paradigmatique fondamental affirme que l'élément peut désigner toute chose, et donc qu'il est toujours possible de reconsidérer comme étant égaux deux éléments initialement distinct. On appelle cela le principe de fusion. Cette étonnante faculté de l'esprit traduit le fait que l'élément puisse désigner toute chose et permet de se libérer des conformismes redoutables liés à la langue. Certes, l'asservissement décrié sur le langage est généralement celui de la censure ou de la réduction, rendant égale l'un et son contraire, rendant l'expression des idées impossibles. Mais son inverse est également un asservissement redoutable, l'illusion que deux choses de noms différents serait intrinsèquement différentes puisque désignées différemment. Le principe de création permet d'agrandire la langue, le principe de fusion permet de réduire la langue, tout deux nous libèrent des emprises de la langue.
Un premier critère de localité est à prendre en considération qui permet de définir ce que sont les grandeurs classiques. Et oui, il n'y a pas que les vitesses vis-à-vis de la vitesse de la lumière qui peuvent être qualifiées de non-classique, les simples grandeurs aussi. Le cosmos en son entier ou à traver un cycle-monde ne peut pas être considéré comme un système classique, car trop grand, car il possède alors une qualité d'absolu, ce que ne doit pas avoir un système classique. De même, dans l'infiniement petit où la quantification de l'information va jouer un rôle majeur, une localité trop petite sort également du cadre classique. Une distinction devra donc être faite entre les notions de système quantique, de système classique et de système cosmologique. Et nous verrons en quoi ces notions peuvent être reliées entre-elles par un principe de relativité d'échelle.
Un système est caractérisé par des variables d'état, qui décrivent l'état du système. Le modèle est mathématique et ne fait qu'approcher la réalité. Donc il n'est pas judicieux de se tenir à un seul type de modèle sous peine de ne pas pouvoir évoluer et s'approcher davantage de la réalité. C'est pourquoi il peut-être judicieux d'utiliser un type de modèle inachevé, ou possèdant des méta-paramètres, suceptible de se décliner en de multiples modèles différents, et ainsi avoir un champ d'exploration beaucoup plus large. Le modèle est rendu inachevé en ne retenant dans sa définition que quelques propriétés jugées fondamentales.
Le système étant déterministe, son comportement est décrit par un modèle déterministe. Chaque variable d'état doit donc être soit déterminée ou soit constituer un paramètre d'entrée arbitraire. Les liens de détermination sont appelés des liens de dépendance totale et se notent sous forme de neurone. Considérons par exemple les variables d'état `u,v,t,x` qui peuvent être typées spécifiquement c'est à dire correspondrent à une espèce telle le temps, la distance, etc., et constituer ainsi le produit d'une unité et d'une valeur qui est un élément mathématique aux propriétés pouvant être spécifiques. Considérons pour l'instant qu'il sagit de nombres réels. Et considérons le neurone suivant :
`u,v←t,x`
Ce neurone signifie que la variable `u` est totalement déterminée par `t` et `x` et qu'elle a comme argument par défaut `(t,x)`. Et de même pour `v`. On dira que `u` et `v` sont des variables de sortie. Et que les variables libres, `t` et `x`, sont des variables d'entrée.
Ainsi la variables u s'apparente à une fonctions réel `u(".,.")` à deux arguments réels. Le résultat de la fonction porte le même nom que la fonction, c'est le principe de la notation du physicien. Le neurone qui précise cela, précise davantage. Il précise l'argument par défaut, faisant que dans les formules, là où l'on attend un élément du type de la variable `u`, c'est à dire ici un réel, l'expression `u` désignera `u(t,x)`. Et de même pour `v`. Autrement dit : `u"="u(t,x)` et `v"="v(t,x)`.
On utilisera souvent ainsi l'inférence de type pour économiser des déclarations superflu dans l'ébauche d'un formalisme toujours en construction. Car rappelez-vous : "Le choix du langage adapté au problème constitue la moitier de sa résolution".
Et si on veut connaitre la valeur de `u` lorsque la variable `t` possède une valeur ponctuelle par exemple `2`, on l'obtiendra par l'expression `u(2,x)`. Remarquez alors, que `u(2,x)` n'est plus une fonction de `t`.
Notez que l'expression d'un calcul correspond à une variable dite anonyme ou plutôt dont le nom correspond à l'expression de son calcul.
Reprenons notre système caractérisé par quatres variables d'état réels `u,v,t,x`, et le neurone `u,v←t,x`. Considérons que la variable `t` indique le temps, et que la variable `x` indique une position sur une droite. La variable `x` n'étant pas dépendante du temps, étant une variable d'entrée, elle constitue ce que l'on appelle un indice. À un instant `t`, le système est décrit par les valeurs de `u` et de `v` pour chaque valeur de `x` sur la droite.
La génèse s'accomode mal avec l'infini. Aussi nous prendrons un exemple plus simple où `x` se situe sur un cercle, `x "∈" [0,2pi["⟲"`. Et on a pris le radian comme unité puisque cette unité est canonique pour le cercle. On a jouté le symbole `"⟲"` pour indiquer que l'on referme l'intervalle en reliant la fin au début sans rien modifier d'autre. C'est le même intervalle mais muni d'une structure comprenant une métrique particulière appelé variété différentielle et que nous appellerons variété algébrique en la redéfinissant algébriquement (voir partie 7).
A chaque instant `t`, l'état du système est décrit par l'ensemble de triplets suivant, qui correspond au graphe de deux courbes analytique selon `x`, et le symbole "⟲" est important car cela perfectionne la propriété analytique des courbes en question, elles doivent être analytiques au voisinnage de `x"="0` qui correspond au voisinage de `2pi` :
`{(u(t,x),v(t,x),x) "/" x"∈" [0,2pi["⟲"}`
Il existe une notation plus générale qui consiste à regrouper les variables d'entrées en un vecteur `vec w =(t,x)`, et de considérer une variable de sortie `u` dépendant totalement de `vec w` ce qui se note par le neurone :
`u←vec w`
La Nature tranche toujours toutes les situations en proposant une solution naturelle puisque supposée déterminée..., et cela s'opère sans mettre en oeuvre une quantité d'information infinie comme le montre l'expérimentation en physique quantique. Or notre modèle utilise les nombres réels, une structure mathématique dépassant la réalité. Un nombre réel transporte une quantité d'information infinie, ce que ne contient pas un état réel. Pour remédier à cet obstacle théorique, on commence par se restreindre aux seuls fonctions analytiques, en invoquant toujours l'intelligibilité supposée du monde et sa capacité de pouvoir dévoiler le détaille de toute ses évolutions, en les regardant de suffisamment prés, faisant que chaque transformations physiques mises en oeuvre se font finalement toujours de manière harmonieuse et sans à-coup à quelque niveau de dérivée que ce soit. Les fonctions qui sont définies par des liens de dépendance totale, ne sont ainsi que des fonctions analytiques c'est à dire indéfiniment dérivables et développables en tout point du domaine de définition en série de Taylor convergente sur un voisinnage. Et on ajoutera encore une autre hypothèse, que la convergence est normale, qu'elle ne dépend pas de l'ordre des termes dans la sommation. C'est l'hypothèse que nous sommes naturellement amené à faire.
Délors les variables de sortie sont des fonctions analytiques normale c'est à dire indéfiniment dérivables et développables en série de Taylor convergente normalement sur un voisinnage. Dans le cas d'une seul variable d'entrée, `f←t`, cela se traduit simplement : Quelque soit `t` dans le domaine de définition connexe de `f` c'est à dire de la forme `]"-"oo,"+"oo[` ou `]"-"oo,y[` ou `]x,oo[` ou `]x,y[`, il existe un rayon `r>0` de convergence normale tel que pour tout `h in ]t"-"r,t"+"r[` nous ayons :
`f(t"+"h) = f+f’h+(f’’)/2 h^2+(f’’’)/(3!)h^3+ ... + f^("("n")")/(n!)h^n + ...`
Ce qui s'écrit formellement :
Lorqu'une sommation est un terme d'une égalité, cela signifie que celle-ci est normale, c'est à dire que les termes de la somme peuvent être permutés sans que cela change la sommation.`f(t"+"h) = sum_(n=0)^oo (f^("("n")"))/(n!) h^n`
Avec les conventions d'écriture suivante : La variable `f` possède à chaque instant `t` une valeur `f(t)` que l'on note simplement `f` puisque qu'elle possède `t` comme argument par défaut. De même pour les dérivées. Les variables dérivées successives `f’, f’’, f’’’,...` sont dépendante de `t` comme l'est `f`. Puis nous avons ls conventions `0! "=" 1` et `f^("("0")") "=" f`. Puis la variable dérivée `f'` est définie formellement comme suit :
`f'←t`
`f’ = lim_(h->0) (f(t"+"h)-f)/h`
La démonstration du développement de Taylor nécessite de rentrer dans le dur de l'analyse, et on ne sait pas encore la transcrire sous forme d'un simple calcul algébrique. Tout laisse à penser qu'il manque un environnement théorique davantage étoffé pour permettre cela.
De même, les variables d'entrées doivent être le résultat de fonction analytique arbitraire. Les variables d'entrée étant arbitraires, leurs dérivées sont également arbitraires mais devront suivre la même condition d'être développables en tout point d'un domaine de définition en série de Taylor convergente sur un voisinnage. La plus part du temps et par simplicité, puisque c'est nous qui arbitrons, par défaut, seul la dérivée des variables d'entrée sera arbitraire, les suivantes seront toutes posées arbitrairement égales à zéro.
Les variables d'entrées sont arbitraires. Oui mais, dans le cas général, les variables d'entrée peuvent avoir un arbitraire limité, et être liées par une fonction analytique implicite. On étudiera cette question dans la partie 5. Puis le modèle peut se généraliser encore davantage en introduisant des dépendances récurcives. On étudiera cette question dans la partie 7.
Etant donné des éléments d'une structure munie d'une addition d'une multiplication (et qui ne constituent pas des ensembles de tels éléments), et étant donné des ensembles de tels éléments.
On adopte la notation ensembliste faisant que quelque soit des éléments `x,y` et des ensembles `A,B`, les calculs pouvant combiner des éléments et des ensembles s'interprètent en appliquant le quantificateur existentiel à chaque ensemble :
`x"+"A` `{x"+"y "/"EEy "∈" A}` `A"+"B` `{x"+"y "/" EEx "∈" A, EEy "∈" B}` `xA` `{xy "/" EEy "∈" A}` `AB` `{xy "/" EEx "∈" A, EEy "∈" B}`
De même on donne un sense à l'égalité entre un élément et un ensemble qui est le suivant :
`x"="A` `EEy "∈" A, x"="y ` `x "∈" A` `x"="y"+"A` `EEz "∈" A, x"="y"+"z` `(x-y) "∈" A`
Lorsque `x"="y"+"A` on dit que `x` égale `y` à `A` près.
Si la structure est munie d'une relation d'ordre stricte `"<"` ou non-stritce `"⩽"`, on adopte la notation ensembliste faisant que quelque soit un élément `x` et des ensembles `A,B`, la relation entre un élément et un ensemble, ou entre un ensemble et un élément, ou entre deux ensembles, s'interprètent en appliquant le quantificateur universelle à chaque ensemble :
`x<A` `<=>` `AAy "∈" A, x<y` `A<x` `<=>` `AAy "∈" A, y<x` `A<B` `<=>` `AAx"∈" A, AAy"∈" B, x<b`
Le calcul différentiel s'intéresse aux petites variations pour établir les lois qui s'opèrent exclusivement localement dans un modèle. Mais une petite variation multipliée par un nombre entier peut toujours devenir une grande variation qui n'est alors plus locale. Pour s'affranchire de cela, il faut rompre avec cet axiome d'archimède, et inventer des nombres infiniments petits, ou dits infinitésimaux, qui sont plus petits que tous les réels strictement positifs, ainsi, multipliés par n'importe quel entier naturel, ils restent toujours infinitésimaux. On passe ainsi de l'infini potentiel que représente le nombre arbitrairement petit, à l'infini acté que représente le nombre infinitésimal `epsilon`.
Ce passage à l'infini acté correspond à une extension élémentaire de corps ordonnée, c'est à dire correspond à l'ajout dans `RR` d'un nouvel élément `omega` plus grand que tous les réels, pour produire encore une structure de corps ordonnée. Une telle extension n'est pas toujours possible. Elle peut aboutire à une incohérence ou à une réduction drastique de la structure résultat. Mais tel n'est pas le cas, cela aboutit ici à la structure des hyperréels.
On suppose donc l'existence cohérente de cette structure des hyperréels contenant `RR`, engendré par `RRuu{omega}` et par un certain nombre de propriétés fondamentales que nous exposerons, propres à la structure `RR`, et qui s'appliquerons à la structure des hyperréels comme contributeurs à sa construction.
Cela va nous permettre, dans le cadre analytique, de traduire les limites de suites convergentes par des compositions d'hyperéels manipulables comme des nombres.
Les nombres infinitésimaux sont des hyperréels. Ce sont en quelque sorte des nombres que l'on choisi assurement arbitrairement petit vis-à-vis de `1`, et qui apparaissent par le choix d'un étalon de l'infiniment petit noté `epsilon`, marquant le passage de l'infini potentiel à l'infini acté. Cette première génération de nombres infinitésimaux constituent des infiniments petits du premier ordre, c'est à dire de l'ordre de `epsilon`, dont l'ensemble se note `O(epsilon)`. Si on multiplie deux tels éléments, on obtient alors un élément du second ordre, de l'ordre de `epsilon^2` qui est un infiniment petit vis-à-vis de `epsilon`, et dont l'ensemble se note `O(epsilon^2)`. Et ainsi de suite... L'ensemble des nombres réels `RR` fait partie de l'ensemble des hyperréels de l'ordre de `1` qui se note `O(1)`.
Il apparait symétriquement un étalon de l'infiniment grand `omega =1"/"epsilon`. C'est ainsi que l'on perçoit une partie des hyperréels par le biais d'une suite croissante d'ordres différentiels :
` ... O(epsilon^3) ⊂ O(epsilon^2) ⊂ O(epsilon) ⊂ O(1) ⊂ O(omega) ⊂ O(omega^2) ⊂ O(omega^3) ...`
Les ordres différentiels s'emboitent comme des poupées russes mais ne se mélangent pas : les sommes finies ou convergentes d'éléments d'un ordre produisent un élément du même ordre. Et le produit de deux éléments est dans l'ordre résultant du produit des deux ordres.
On considère une évolution infinitésimale du système. Le système étant analytique, chaque variable va subire une variation infinitésimale.
L'élément différentiel `du` désigne une variation infinitésimale de `u` sous forme d'une variable libre infinitésimale.
Il n'est pas forcement opportun de vouloir définir complètement cet élément différentielle `du`, car déjà la signification de la valeur réel `u` dépasse la réalité physique qui ne contient pas cet infini informationnel des nombres réels. Il s'agit d'un modèle qu'on applique pour simuler le monde. Et on ne fait, semble-t-il, qu'approcher la réalité par des lois et modèles toujours imparfaits. Néanmoins il existe des propriétés portées par l'opérateur de différentialisation noté par le préfixe `d` qui peuvent s'appliquer à d'autres structures mathématiques pouvant prétendrent refléter davantage la réalité. C'est pourquoi, on s'en tient à le définir dans un cadre plus général mais incomplet, dit analytique, qui est une induction faite en ne gardant que quelques propriétés jugées fondamentales.
La différentialisation `d` a une priorité syntaxique posée plus élevée que les opérations `"+-*/^’()"`, faisant que `du^2` est égale à `du"·"du` et non à `d(u^2)`. Et appliqué plusieurs fois de suite, elle se compose en une puissance `d(d(du))= d^3u`. Ainsi `d^3` est l'opérateur qui différentialise trois fois de suite.
`du"·"du=du^2`
`d(d(du))= d^3u`
Vu l'écart entre le formalisme mathématique et la réalité physique, entre l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des positions réels, la définition d'un model analytique qu'il faut retenir n'est pas dans la théorie formelle vue plus loin qui ne sert qu'à construire un modèle formel valable pour un temps, mais dans sa raison physique propre basée sur l'interdépendance des causes et des effets qui agissent à leur tour comme cause, toujours d'une façon harmonieuse en y regardant suffisament près. Et nous verrons plus loin, qu'elles agissent nous seulement de façon harmonieuse mais de façon harmonique. Concrètement cela consiste à généraliser le concept de modèle analytique en une raison ne retenant que quelques propriétés fondamentales.
La dépendance de `u` à `vec w` décrite au paragraphe 4, pour des raisons propre à la nature, est posée comme étant analytique. Cela se traduit dans notre modèle formel plus vaste que la réalité, par la propriété de contitnuité, et par la propriété que la variable est indéfiniment dérivable et égale par morceau à des séries de Taylor convergente. Et cela ne sera pas rédhibitoire si ces notions ne se retrouvent pas dans la réalité dans les mêmes termes, le raisonnement inductif va rechercher une invariance plus générale ne conservant que quelques propriétés jugées fondamentales.
L'évolution étant supposée analytique, la liste des variables décrivant l'état du système, comprenant variables d'entrée et variables de sortie, forme un vecteur qui évolue analytiquement et possède donc un domaine de définition analytiquement connexe.
Les réels se construisent à partir de l'unité `1` et de la somme `+` définie comme opération associative commutative libre, ce qui engendre le semi-groupe `NN^"∗"`, auquel on ajoute le passage à l'opposé représenté par la fonction unaire `x|->-x` ce qui engendre l'anneau `ZZ`, auquel on ajoute le passage à l'inverse représenté par la fonction `x|->1"/"x` où le produit reste associatif, commutatif et distributif par rapport à l'addition, ce qui engendre le corps `QQ`, qui est ordonné et que l'on complète selon cette métrique en le corps ordonné complet `RR`.
La complétion de `QQ` en `RR` passe de l'infini dénombrable à l'infini continu. La génèse est incompatible avec l'infini, et donc d'autant plus avec l'infini continu. Cet infini continu est une construction abstraite, un artifice mathématique. Il est pondéré par la restriction analytique, une restriction qui consiste à n'utiliser que des fonctions analytiques, c'est à dire continues, indéfiniment dérivables et égales par morceaux à des développement de Taylor convergents.
La définition de la multiplication dans `ZZ` puis le passage de `ZZ` à `QQ`, c'est ainsi que l'addition engendre la multiplication. Il est alors opportun de s'interesser aux fonctions exponentielles, c'est à dire aux fonctions `f` dans `RR` satisfant la propriété suivante :
`AA(x,y) in RR^2, f(x"+"y)=f(x)f(y)`
Une telle fonction `f` établit un isomorphisme entre deux structures de corps. Le corps des réels, `(RR,"+","∗",0,1)`, muni de son addition, `"+"`, de sa multiplication, `"∗"`, de son zéro, `0`, et de son un, `1`. Et le corps multiplicatif des réels strictements positifs `(RR_"+"^"∗","∗","∙",1,b)` de base `b`, muni de son addition `"∗"`, de sa multiplication `"∙"`, de son zéro, `1`, et de son un, `b`, qui constitue la base de l'exponentielle `b"="f(1)` :
`f : (RR,"+", 0, "∗", 1) -> (RR^"∗+","∗", 1, "∙",b)`
`AA(x,y) "∈" RR^2, EE(u,v) "∈" RR^"∗+2",`
`0|->1`
`1|->b`
`x|->u`
`y|->v`
`x"+"y|->u"∗"v`
`x"∗"y|->u"∙"v``f(0)=1`
`f(1)=b`
`f(x)=b^x`
`u"∙"v = u^(f^("-"1)(v))`
Cela se démontre comme suit : L'isomorphsisme entraine une succession d'évidences.
`1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)`
`f(-x)=1/f(x)`
`f(x-y)=f(x)/f(y)`
La fonction `f` est continue par principe. En effet, on s'aventure dans le monde du continu en se restreingnant aux seuls fonctions analytiques.
`AAn "∈" NN`, `AAq "∈" NN^"∗+"`,
`f(n"∗"x)=f(x)^n`
`f(x)=f(n"∗"(x"/"n))=f(x"/"n)^n`
`f(x"/"n)=f(x)^(1"/"n)`
`f((n"/"q)"∗"x)=f(x)^(n"/"q)`
et comme `f` est continue, `f(x"∗"y)=f(y)^x=f(x)^y`, et donc :
`f(x)=f(x"∗"1)=f(1)^x=b^x`
`u"∙"v = f(x"∗"y)=f(x)^y=u^(f^("-"1)(v))=v^(f^("-"1)(u))`
---- 1 octobre 2022 ----
La construction des hyperréels noté `"*"R` est plus vaste. On n'en explore qu'une partie qu'est l'ensemble des séries formelles d'`epsilon` multipliées par une puissance entière négative de `epsilon`. Cet ensemble de valeurs dites non-standard se note donc par `RR[[epsilon]]"/"epsilon^NN` où `epsilon` joue le rôle d'étalon de l'infiniment petit c'est à dire vérifiant `0"<"epsilon"<"R_"+"^"*"` où `R_"+"^"*"` désigne l'ensemble des réel positifs non-nuls. Les variables non-standards de l'ordre de `O(1)` sont notée en gras `bbv` et posséde une infinité de composante `v_0`, `v_1`, `v_2`, `v_3`, ... :
`bbv= v_0+v_1epsilon +v_2epsilon^2+v_3epsilon^3 + ...`
Et si deux tels variables n'ont pas exactement les mêmes composantes réels, elles désigneront nécessairement deux valeurs non-standard bien distinctes.
---- 30 septembre 2022 ----
La complétion des réels `RR` en les hyperréels `"*"RR` passe de l'infini continu à une sorte d'infini hypercontinu. La génèse est incompatible avec l'infini, et donc d'autant plus avec l'infini continu, et d'autant plus avec l'infini hypercontinu. Cet infini hypercontinu est une construction abstraite, un artifice mathématique. Il est pondéré par la restriction analytique, une restriction qui consiste à n'utiliser que des fonctions analytiques, c'est à dire continues, indéfiniment dérivables et égales par morceaux à des développement de Taylor convergents. Cet artifice mathématique va nous permettre de plonger l'espace des fonctions analytiques dans celui des valeurs hyperréels, car chaque valeur hypereél est une série entière d'`epsilon` c'est à dire une somme infinie de puisssances entières d'`epsilon` multipliées par des composantes réels. Une variable hyperréel de l'ordre de `O(1)`, notée en gras `bbv`, posséde une infinité de composante `v_0`, `v_1`, `v_2`, `v_3`, ... :
`bbv= v_0+v_1epsilon +v_2epsilon^2+v_3epsilon^3 + ...`
Et si deux tels variables n'ont pas exactement les mêmes composantes réels, elles désigneront nécessairement deux hyperéels bien distinct.
On définie deux sortes de variables. Les variables tout court ou dites standards qui ont un domaine inclus dans `RRepsilon^n` avec `n in ZZ`, et les variables hyperréels à plus d'une composante dites non-standard qui sont des sommes de variables standards d'ordres différentiels différents que l'on note en gras pour les distinguer. Notez que nous élargissons ainsi la définition de variable standard qui peut être d'un ordre différentiel `O(epsilon^n)` quelconque, quoique ne comprenant qu'une composante c'est à dire dont le domaine est inclus dans `RRepsilon^n`.
Toutes fonctions analytiques `f` de `RR->RR` se prolongent canoniquement en une fonction de `"*"RR->"*"RR`. Ce prolongement de `f` dans les hyperréels se fait de la même façon que le prolongement analytique. Quelque soit `t` appartenant au domaine de définition de `f`, quelque soit un hyperréel `bb"dt"` appartenant à `O(epsilon)`, le calcul de `f(t"+"bb"dt")` s'obtient par le développement local de Taylors :
`f(t"+"bb"dt") = f+f’bb"dt"+(f’’)/2 bb"dt"^2+(f’’’)/(3!)bb"dt"^3+ ... + f^("("n")")/(n!) bb"dt"^n + ...`
Où `f^("("n")")` représente la dérivée `n`-ième de `f` . Où `bb"dt"` est une série entière d'`epsilon` puisque appartenant à `O(epsilon)`. Et donc cette série entière de `bb"dt"` se transforme bien en une série entière d'`epsilon` qui désigne bien un hyperréel.
7. Opérateur de différentialisation `d` (introduction)
On considère une évolution infinitésimale du système. Chaque variable va subire une variation infinitésimale. Et on distingue la variation standard de la variation non-standard qui est complète contrairement à la première.
L'élément différentiel `du` désigne une variation infinitésimale de `u` sous forme d'une variable libre infinitésimale mais standard. Tandis que la variable non-standard désignant la variation infinitésimale de `u` se note en caractère gras `bb"du"`, et possède une infinitée de composantes dont la prémière est `du`.
Il n'est pas forcement opportun de vouloir définir complètement cet élément différentielle `du`, car déjà la signification de la valeur réel `u` dépasse la réalité physique qui ne contient pas cet infini informationnel des nombres réels. Il s'agit d'un modèle qu'on applique pour simuler le monde. Et on ne fait, semble-t-il, qu'approcher la réalité par des lois et modèles toujours imparfaits. Néanmoins il existe des propriétés portées par l'opérateur de différentialisation noté par le préfixe `d` qui peuvent s'appliquer à d'autres structures mathématiques pouvant prétendrent refléter davantage la réalité. C'est pourquoi, on s'en tient à le définir dans un cadre plus général mais incomplet, dit analytique, qui est une induction faite en ne gardant que quelques propriétés jugées fondamentales.
La différentialisation `d` a une priorité syntaxique posée plus élevée que les opérations `"+-*/^’()"`, faisant que `du^2` est égale à `du"·"du` et non à `d(u^2)`. Et appliqué plusieurs fois de suite, elle se compose en une puissance `d(d(du))= d^3u`. Ainsi `d^3` est l'opérateur qui différentialise trois fois de suite.
`du"·"du=du^2`
`d(d(du))= d^3u`
Vu l'écart entre le formalisme mathématique et la réalité physique, entre l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des positions réels, la définition d'un model analytique qu'il faut retenir n'est pas dans la théorie formelle vue plus loin qui ne sert qu'à construire un modèle formel valable pour un temps, mais dans sa raison physique propre basée sur l'interdépendance des causes et des effets qui agissent à leur tour comme cause, toujours d'une façon harmonieuse en y regardant suffisament près. Et nous verrons plus loin, qu'elles agissent nous seulement de façon harmonieuse mais de façon harmonique. Concrètement cela consiste à généraliser le concept de modèle analytique en une raison ne retenant que quelques propriétés fondamentales.
La dépendance de `u` à `vec w` décrite au paragraphe 4, pour des raisons propre à la nature, est posée comme étant analytique. Cela se traduit dans notre modèle formel plus vaste que la réalité, par la propriété de contitnuité, et par la propriété que la variable est indéfiniment dérivable et égale par morceau à des séries de Taylor convergente. Et cela ne sera pas rédhibitoire si ces notions ne se retrouvent pas dans la réalité dans les mêmes termes, le raisonnement inductif va rechercher une invariance plus générale ne conservant que quelques propriétés jugées fondamentales.
L'évolution étant supposée analytique, la liste des variables décrivant l'état du système, comprenant variables d'entrée et variables de sortie, forme un vecteur qui évolue analytiquement et possède donc un domaine de définition analytiquement connexe.
On ne retient pour l'instant que trois propriétés essentielles de la différentialisation que sont ; la linéarité, la règle du produit, et l'ordre différentielle :
`d(u"+"v) =du+dv`
`d(uv)=du v +u dv`
`du in O(uepsilon)`
---- 27 septembre 2022 ----
C'est encore le developpement de Taylors des fonctions analytiques qui va déterminer les définitions de dérivée, de différentielle, de différenciation et de différentialisation. Etant donné une fonction `f` que l'on présente selon la notation du physicien comme une variable `f` dépendant totalement d'une variable `t` :
`f←t`
La dérivée de cette fonction `f` que l'on note `f’` définit une variable dépendant totalement de `t` :
`f’←t`
Ainsi lorsque l'argument de la fonction n'est pas mentionné nous avons `f"="f(t)` et `f’"="f’(t)`. Le sens physique intuitif dépendra du sens physique de chaque variable. Si `t` désigne un temps qui s'écoule, alors `f` désignera l'état du système à l'instant `t`. Et si `f` représente plus précisement une position à l'instant `t`, alors la dérivé `f’` représentera une vitesse à l'instant `t`. La définition de la dérivée est la limite suivante :
`f’ = lim_(h->0) (f(t"+"h)-f)/h`
On transcrit cette limite dans le corps des hyperréels par une égalité à un ordre différentiel près en remplaçant l'arbitrairement petit `h` par l'infiniment petit `epsilon` :
`f’ = (f(t"+"epsilon)-f)/epsilon + O(epsilon)`
Mais, pour écrire cette équation locale avec toute la liberté de composition existante dans le corps des hyperréels, il faut donner un sens précis au terme `f(t"+"epsilon)` qui est une prolongation de la fonction `f` dans le corps des hypéreels. Une variable hyperréel de l'ordre de `O(1)`, notée en gras `bbv`, posséde une infinité de composante `v_0`, `v_1`, `v_2`, `v_3`, ... :
`bbv= v_0+v_1epsilon +v_2epsilon^2+v_3epsilon^3 + ...`
Le prolongement de `f` dans les hyperréels se fait de la même façon que le prolongement analytique. Le calcul de `f(t"+"epsilon)` s'obtient par le développement local de Taylors :
`f(t"+"epsilon) = f+f’epsilon+(f’’)/2epsilon^2+(f’’’)/(3!)epsilon^3+ ... + f^("("n")")/(n!) epsilon^n + O(epsilon^(n+1))`
Une variable standard, tel que `t` ou `dt`, est une variable hyperréel à une seul composante. Ainsi `t"+"dt` n'est pas une variable standart mais un hyperréel à deux composantes, c'est à dire la somme de deux variables standards d'ordre différentiel différent. On préfère donner davantage de liberté à la prémisse en utilisant à la place de l'étalon `epsilon` une variable libre `dt` que l'on dit de l'ordre `O(epsilon)` ou simplement de l'ordre de `epsilon`, ce qui signifit que `dt in O(epsilon)`. La variable `dt` représente la première composante de la variation infinitésimale du premier ordre de `t`. La définition de la dérivée est alors :
`f’ = (f(t"+"dt)-f)/dt + O(dt)` avec `dt!=0`
`f’dt = f(t"+"dt)-f + O(dt)dt`
`f(t"+"dt) = f + f’dt + O(dt^2)`
Cela correspond aux premiers termes du développement de Taylor. Les termes suivants sont :
`f(t"+"dt) = f + f’dt + (f’’)/2 dt^2 + O(dt^3)`
`f(t"+"dt) = f + f’dt + (f’’)/2dt^2 + (f’’’)/(3!)dt^3+ O(dt^4)`
Le développement complet se note :
`f(t"+"dt) = sum_(n in NN) (f^("("n")") dt^n)/(n!)`
Remarquez que la dérivée peut se déterminer directement plus précisement à un ordre différentiel `O(epsilon^(n+1))` près, comme suit :
`f’ = (f(t"+"epsilon^n)-f)/epsilon^n + O(epsilon^n)`
`f(t"+"epsilon^n) = f + f’epsilon^n + O(epsilon^(2n))`
Cela correspond aux premiers termes du développement de Taylor. Les termes suivants sont :
`f(t"+"epsilon^n) = f + f’epsilon^n + (f’’)/2epsilon^(2n) + O(epsilon^(3n))`
`f(t"+"epsilon^n) = f + f’epsilon^n + (f’’)/2epsilon^(2n) + (f’’’)/(3!)epsilon^(3n) + O(epsilon^(6n))`
Cela correspond encore au développement de Taylor avec un étalon de l'infiniment petit en `epsilon^n`. Le développement de Taylor dépend de l'étalon choisie. Ainsi nous avons :
`f(t"+"epsilon) = f + f’epsilon + (f’’)/2epsilon^2 + (f’’’)/(3!)epsilon^3+ (f’’’’)/(4!)epsilon^4 + ...`
`f(t"+"epsilon^2) = f + f’epsilon^2 + (f’’)/2epsilon^4 + (f’’’)/(3!)epsilon^6+ (f’’’’)/(4!)epsilon^8+...`
`f(t"+"epsilon^3) = f + f’epsilon^3 + (f’’)/2epsilon^6 + (f’’’)/(3!)epsilon^9+ (f’’’’)/(4!)epsilon^12+...`
On remarque que l'égalité hyperréel suivante `f(t"+"dx)=f(t"+"dy^2)`, si `dx!=0` ou `dy!=0` entraine que :
`f + f’dx + (f’’)/2dx^2 + (f’’’)/(3!)dx^3+ (f’’’’)/(4!)dx^4 + ... = f + f’dy^2 + (f’’)/2 dy^4 + (f’’’)/(3!)dy^6+ (f’’’’)/(4!)dy^8+...`
Et donc que `f’=f’’=f’’’=... = 0` et donc que `f` est constant
---- 25 septembre 2022 ----
La raison analytique ne se résume pas par l'expression locale de la série de Taylors. Il faut intégrer une portée plus vaste : La série de Taylors n'est pas seulement convergente localement, elle l'est sur un voisinage. C'est à dire qu'il existe un rayon réel strictement positif tel que pour toute valeur `a` de norme inférieure à ce rayon, la série de Taylors converge :
`f(t"+"a) = f + f’a +(f’’)/2 a^2 + (f’’’)/6 a^3+ ... + (f^("("n")"))/(n!)a^n + ...`
`f(t"+"a) = sum_(n=0)^oo (f^("("n")"))/(n!)a^n`
Cette propriété permet de déterminer et donc de calculer la fonction analytique `f` sur un voisinnage de `t` puis en répétant l'opération de voisinnage en voisinnage, de la déterminer et de la calculer sur la plus grande partie analytiquement connexe du domaine qui contient le point `t`. Et cela, à partir seulement de la valeur de `f` au point `t` et des valeurs de toutes ses dérivées `f^("("n")")` au point `t`.
Délors, il est possible de définir un concept plus large de convergence de la série de Taylors : La série est dite convergente indirectement si elle possède une extension analytique convergente. Ainsi le rayon de convergence de la série de Taylors est remplacé par un domaine de convergence correspondant à la plus grande partie analytiquement connexe du domaine de définition de `f` contenant le point `t`.
Chaque variable possède un domaine de valeurs qu'elle peut parcourir. Les variables de sorties sont des fonctions analytiques ayant comme argument par défaut les variables d'entrées. L'ensemble de toutes les variables possible forment un ensemble de fonctions analytiques.
---- 27 septembre 2022 ----
Les hyperéels, en tout cas une partie d'entre eux, se construisent à partir du corps des réels et d'un étalon de l'infiniment petit `epsilon`. C'est un artifice mathématique que l'on pondère par la restriction analytique, une restriction qui consiste à n'utiliser que des fonctions analytiques, c'est à dire continues, indéfiniment dérivables et égales par morceaux à des série de Taylor convergentes.
La connaissance hyperréel de `f(t)` et de `f(t"+"dt)` est alors suffisante pour déterminée la fonction analytique `f` sur l'ensemble de son domaine analytiquement connexe contenant le point `t`.
---- 24 septembre 2022 ----
Réciproquement chaque couple d'hyperréel de la forme `(bbx, bb"dx")` où `bbx` est de l'ordre `O(1)` et où `bb"dx"` est de l'ordre `O(epsilon)`, désigne la fonction analytique `f` satisfaisant :
`f(t)=bbx`
`f(t"+"dt)=bbx+bb"dx"`
définie sur un domaine analytiquement connexe
, et réciproquement chaque fonction analytique `f` (définie sur un domaine analytiquement connexe), et pour chaque point `t` de son domaine de définition ouvert, le couple d'hypérréel `(f(t"+"dt), f(t))` détermine la fonction `f` par la série de Taylor.
Une série de Taylor convergente s'appelle également une série entière convergente. La somme ainsi que le produit de série convergentes est encore une série convergente, et la division par une série convergente non nul est encore une série convergente.
Réciproquement chaque couple d'hyperréel de la forme `(t, hepsilon)` où `t` et `h` sont de l'ordre `O(1)`. désigne une fonction analytique (définie sur un domaine analytiquement connexe), et réciproquement chaque fonction analytique `f` (définie sur un domaine analytiquement connexe), et pour chaque point `t` de son domaine de définition ouvert, le couple d'hypérréel `(f(t"+"dt), f(t))` détermine la fonction `f` par la série de Taylor.
que chaque couple d'hyperréel de la forme `(x, yepsilon)` désigne une fonction analytique (définie sur un domaine analytiquement connexe), et réciproquement chaque fonction analytique `f` (définie sur un domaine analytiquement connexe), et pour chaque point `t` de son domaine de définition ouvert, le couple d'hypérréel `(f(t"+"dt), f(t))` détermine la fonction `f` par la série de Taylor.
---- 20 septembre 2022 ----
Sauf exception dûment explicitée, chaque lettre désignera une variable de l'ordre `O(1)`. Toute expression ne contenant pas l'opérateur de différentialisation désignera donc une variable anonyme de l'ordre `O(1)`. Délors, la détermination de l'ordre différentielle d'une expression se fera en comptabilisant la présence des opérateurs de différentialisation. Ainsi par exemples en prenant deux variables `x` et `y`, voici une liste d'expressions avec leur ordre différentiel explicite :
Dans le cas général, chaque variable `x←vecv` engendre les variables d'ordre inférieur :
`dx,d^2x, d^3x,....,d^n x,... ← vecv`
qui, nous le verrons plus loin, sont respectivement liées `n`-linéairement à `d^nvecv`. Commençons par le cas unaire. Etant donné une variable `u` dépendant totalement de `t`. L'hypothèse analytique fait que le développement de Taylor de `u` s'exprime localement comme suit : Quelque soit l'entier `n"⩾"0` nous avons :
où `u’, u’’, u’’’, u^("("n")")` sont les dérivées successives de `u`. Nous avons présenté ici des développement limités. L'égalité exacte est donné par :
Les différentielles `du,d^2u,d^3u,...` se définissent à partir des dérivées `u’, u’’, u’’’`, ... comme suit :
---- 18 septembre 2022 ----