On considère un gaz parfait (non relativiste et non quantique) comprenant `N` molécules confinées dans une cavité de volume `V`. On note `P` la pression, `D` la densité moléculaire et `T` la température. L'état macroscopique du système est déterminé par ces trois variables, `P,D,T`, qui sont intensives c'est à dire que si on regroupe deux tels systèmes physiques identiques en un seul système, le système résultant aura un état macroscopique décrit par ces mêmes variables d'état `P,D,T`. Puis, on exprime la loi des gaz parfaits en n'utilisant que des variables intensives. La densité moléculaire s'exprime en molécules par mètre cube, et la température s'exprime en joules par molécule.
Loi des gaz parfaits :
`P = 2/3 TD`
`P` : Pression du gaz.
`D` : Densité moléculaire du gaz. `D = N"/"V`
`T` : Température du gaz exprimée en unité d'énergie par molécule. `T = U"/"N`
`U` : Energie interne du gaz.
Etant donné une caractéristique quelconque d'une molécule, telle que par exemple sa vitesse `vec v`, on adopte la notation suivante : Pour désigner la valeur moyennée de la caractéristique en question sur l'ensemble des molécules du gaz, on la note entre crochet. Par exemple `"<"vec v">"` désignera le vecteur vitesse des molécules moyénné sur l'ensemble des molécules. Le gaz parfait ne se déplaçant pas, à l'état d'équilibre statistique nous avons :
`"<"vec v">"=vec 0`
Les chocs intermoléculaires, même s'ils sont en nombres négligeables par rapports aux chocs sur les parois lisses, sont la cause de l'évolution du système vers l'état d'équilibre statistique. Par la suite, le gaz est considéré en équilibre statistique, c'est à dire que le nombre de molécules par élément de volume qui ont une vitesse comprise dans un intervalle donné est le même en tout endroit du gaz, et la vitesse quadratique moyenne de chaque molécule (sur un intervalle de temps long) est égale à la vitesse quadratique instantanée moyennée sur l'ensemble des molécules `"<"v^2">"`.
Dans un espace à trois dimensions, la vitesse `vec v` est déterminée par ses `3` composantes `vec v = (v_x,v_y,v_z)` selon un repère préétabli. La répartition statistique des vitesses étant isotrope, c'est à dire identique dans toutes les directions, les moyennes des composantes de la vitesse sont également nulle :
`"<"v_x">"="<"v_y">"="<"v_z">"=0`
Par contre, les moyennes quadratiques ne sont pas nulles. Mais elles sont égales pour la même raison d'isotropie :
`"<"v_x^2">"="<"v_y^2">"="<"v_z^2">"`
Et d'après le théorème de pythagore, nous avons toujours :
`v_x^2+v_y^2+v_z^2 = v^2`
`"<"v_x^2">"+"<"v_y^2">"+"<"v_z^2">" = "<"v^2">"`
Et donc :
`"<"v_x^2">"="<"v_y^2">"="<"v_z^2">" = 1/3 "<"v^2">" `
Nous allons maintenant utiliser l'isotropie sur l'ensemble de la distribution des vitesses, et nous allons utiliser l'indépendance des propabilités entre la probablité qu'une composante de vitesse soit comprise dans un intervalle et la probabilité qu'une autre composante de vitesse soit comprise dans un intervalle.
Dans un gaz en état d'équilibre statistique, les vitesses des molécules se répartissent selon une distribution représentée par une fonction `F` de `RR^3 "→" RR` selon une base orthonormée préétablie `(vece_x,vece_y,vece_z)`. Considérons une vitesse `vecv`, la distribution `F` appliquée à `vecv` donne `F(vecv)`, une valeur de distribution des molécules dans le gaz ayant cette vitesse. Comme il s'agit d'une distribution continue, et on entend par continue qu'elle ne contient pas de composante discrète, la proportion de molécules ayant exactement la vitesse `vec v` est infiniment petite. Pour obtenir une proportion de molécule qui ne soit pas infiniment petite, il faut nécesssairement choisire un critère non réduit à un point, que chaque composante de la vitesse soit comprise dans un intervalle non réduit à un point. Et pour obtenir la proportion des molécules ayant cette bonne vitesse, il faut intégrer cette valeur de distribution sur la plage des valeurs de vitesses autorisées, et normer le résultat c'est à dire diviser par l'intégrale complète sur toutes les valeurs possibles de vitesse.
On formalise 3 variables qui sont les composantes d'un vecteur vitesse sur laquelle on focalise notre attention :
`v_x, v_y, v_z`
On lie les variables `vec v, v_x,v_y,v_z` par la définition du vecteur vitesse :
`vec v = v_xvece_x"+"v_yvece_y"+"v_zvece_z = ((v_x),(v_y),(v_z))` `dvec v = vece_x dv_x"+"vece_ydv_y"+"vece_zdv_z = ((dv_x),(dv_y),(dv_z))`
La distribution `f` est normée c'est à dire que son intégrale sur toutes les valeurs de vitesse est égale à `1` et représente la proportion complète, l'ensemble de toutes les molécules. Ainsi, si l'intégration de `F` sur une plage de vitesse est égale à `1` cela signifie que toute les molécules ont la vitesse comprise dans cette plage. La distribution continue est intégrable et normée. Intégrée sur tous les valeurs possibles de vitesse, elle donne la valeur `1` :
`int_(v_x=-oo)^(+oo) int_(v_y=-oo)^(+oo) int_(v_y=-oo)^(+oo) F(v_xvece_x"+"v_yvece_y"+"v_zvece_z) dv_xdv_ydv_z = 1`
Par convention, lorsqu'une intégrale ne préscise pas la variable d'intégration, c'est qu'elle utilise celle mentionnée par l'élément différentiel placé en bout. Et si elle ne précise pas de bornes, c'est qu'elle intègre sur toutes les valeurs possibles de la variable en question. Ainsi l'équation de normalisation précédente se réécrit :
`int int int F(vec v) dv_xdv_ydv_z = 1`
C'est la définition d'une distribution continue `F`. Mais il existe un concept plus simple qu'est la distribution discrète. Si les composantes des vitesses sont des nombres entiers, la distribution devient discrète, et l'équation de normalisation devient :
`sum_(v_x) sum_(v_y) sum_(v_z) F(vec v) = 1`
Dans le cas discret, la valeur de distribution `F(vecv)` désigne la proportion de molécules dans le gaz ayant cette vitesse. La différence entre le cas discret et le cas continu tient dans la taille du pas de sommation qui est `1` dans le premier cas, et qui est un élément différentiel dans le second cas.
Dans le cas continu, `F(vec v) dv_xdv_ydv_z` désigne la proportion de molécules dans le gaz ayant une vitesse dont les composantes sont dans les intervalles respectifs `[v_x, v_x"+"dv_x]`, `[v_y,v_y"+"dv_y]`, `[v_z, v_z"+"dv_z]`. Tandis que `F(vec v)` s'appelle la valeur de distribution des molécules ayant cette vitesse.
Si nous tirons au sort de façon équiprobable une molécule parmis toutes les molécules du gaz, et que l'on produise son vecteur vitesse, on obtient une variable aléatoire. Si à partir d'une molécule nous produisons après chaque choc sa nouvelle vitesse, on obtient une seconde variable aléatoire. Dans l'état d'équilibre statistique, ces deux variables aléatoires obéïront à la même loi de probabilité. C'est ainsi que l'on définit la probabilité `d^3P(vecv)` qu'une molécule possède une vitesse dont les composantes sont comprises dans les intervalles respectifs `[v_x, v_x"+"dv_x]`, `[v_y,v_y"+"dv_y]`, `[v_z, v_z"+"dv_z]`. Et l'hypothèse d'une distribution continue fait que cette probabilité est proportionnelle à chacun des intervalles différentiels `dv_x, dv_y, dv_z` :
Notez qu'on utilise la notation `P`(évènement) pour désigner la probabilité que l'évènement se produise. Et on décrit l'évènement par une équation regroupant les valeurs de tirages notées en gras et les paramètres cibles notés de façon normale. Ainsi l'équation `bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"d v_x]` désigne l'évènement d'un tirage où la composante de la vitesse selon l'axe des `x` est comprise entre les paramètres `v_x` et `v_x"+"d v_x`. Et la propabilité de cet évènement est notée `P(bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"d v_x])`.`d^3P(vec v)=P(bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"d v_x] "et" bbv_y"∈"[v_y,v_y"+" d v_y] "et" bbv_z"∈"[v_z, v_z"+"d v_z])`
`d^3P(vec v)= F(vecv)dv_xdv_ydv_z`
Cette probabilité `d^3P(vec v)` est une différentielle du troisième ordre (notée à l'aide de l'opérateur de différentialisation d'ordre trois), car étant dans un espace tridimensionnelle, cette probabilité est proportionnelle au volume différentiel `dv_xdv_ydv_z` (qui n'est pas un volume dans l'espace mais qui est un volume dans l'espace des vitesses). Puis, le nombre de molécules étant considéré comme d'un ordre de grandeur autant supérieur que nécessaire, la probabilité qu'une molécule est la bonne vitesse, `d^3P(vec v)`, correspond à la proportion des molécules ayant la bonne vitesse. On utilise une notation similaire, `N`(évènement) et `N(vec v)`, pour exprimer le nombre de molécules ayant la bonne vitesse :
`N(vec v)=N(bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"d v_x] "et" bbv_y"∈"[v_y,v_y"+" d v_y] "et" bbv_z"∈"[v_z, v_z"+"d v_z])`
`d^3P(vec v) = (N(vec v))/N`
C'est une loi de probabilité continue. Elle s'exprime à l'aide d'un rapport d'entier. Cela signifie que l'entier `N` (nombre d'Avogadro), dans notre modèle formel est d'un ordre de grandeur supérieure de trois fois à `1`, ce que l'on note `N "≻≻≻" 1` où simplement `N "≻"^3 1`. Comme pour la distribution, on attribut au qualificatif continue le fait qu'elle ne contient pas de composante discrète.
Ainsi, la probabilité qu'une molécule est exactement la vitesse `vec v` et que l'on note `P(bb(vec v)"="vec v)`, est infiniment petite d'ordre 6. Tandis que `d^3P(vec v)` est un infiniment petite d'ordre 3. Le terme `d^3P(vec v)` désigne la probabilité qu'une molécule possède la bonne vitesse comprise dans les intervalles différentiels. L'intégration sur l'ensemble des valeurs possibles des vitesses se note sans mentionner `dv_xdv_ydv_z` puisque inclus dans `d^3P(vec v)` :
`int_(v_x) int_(v_y) int_(v_z) d^3P(vec v) = 1`
Dans le cas discret, la probabilité qu'une molécule possède exactement la vitesse `vecv` correspond exactement à la distibution discrète `F(vec v)` :
`F(vec v) = P(bb(vec v)"="vec v) = (N(vec v))/N`
La probabilité est normé, c'est à dire qu'elle vaut `1` dans le cas sûr :
`sum_(v_x)sum_(v_y)sum_(v_z)F(vecv) = 1`
Dans le cas discret, la valeur de distribution `F(vecv)` désigne la probabilité qu'une molécule est exactement la vitesse `vecv`, et désigne la proportion de molécules dans le gaz ayant exactement cette vitesse. La différence entre le cas discret et le cas continu tient dans la taille du pas de sommation qui est `1` dans le cas discret, et qui est un élément différentiel dans le cas continu. Dans le cas continu, `F(vec v) dv_xdv_ydv_z` désigne la proportion de molécules dans le gaz ayant la bonne vitesse comprise dans les intervalles différentiels, et `F(vec v)` s'appelle la valeur de distribution des molécules ayant cette vitesse.
On explicite la base orthonormée choisie `(vec e_x, vec e_y, vec e_z)` et on rappelle les définitions de `v_x,v_y,v_z`, `vecv`, `dv_x,dv_y,dv_z`, `dvecv` :
`vec v = v_x vec e_x "+" v_y vec e_y"+" v_z vec e_z`
`d vec v = vec e_x dv_x "+" vec e_y dv_y "+" vec e_z dv_z `
`||vec v|| = sqrt(v_x^2 "+"v_y^2"+"v_z^2)`
`||d vec v|| = sqrt(dv_x^2"+"dv_y^2"+"dv_z^2)`
Et nous définissons l'intensité de la vitesse (appelé aussi le module de la vitesse) que l'on note par la même lettre sans la flèche :
`v = ||vec v||`
Parcontre il n'y a pas de notation pour désigner l'intensité de la variation infinitésimale de vitesse `||d vec v||`, et il ne faut pas la confondre avec l'élément différentiel `dv` qui dénote une variation infinitésimale de l'intensité `v` :
`dv = d sqrt(v_x^2"+"v_y^2"+"v_z^2) = 1/(2 sqrt(v_x^2"+"v_y^2"+"v_z^2)) d(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = 1/(2v) (2v_xdv_x+2v_ydv_y+2v_zdv_z)`
`dv = = (vec v"·"dvec v)/v`
La probabilité qu'une molécule ait une vitesse dont les composantes soient dans les intervalles respectifs `[v_x, v_x"+" Delta v_x]`, `[v_y,v_y"+" Delta v_y]`, `[v_z, v_z"+"Delta v_z]`, est égale à l'intégrale triple :
`P(bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"Delta v_x] "et" bbv_y"∈"[v_y,v_y"+" Delta v_y] "et" bbv_z"∈"[v_z, v_z"+"Delta v_z]) = int_(v_x)^(v_x+Delta v_x) int_(v_y)^(v_y+Delta v_y) int_(v_z)^(v_x+Delta v_z) F(vec v) dv_xdv_ydv_z`
Et si l'intégrale ne porte que sur le seul volume différentiel `dv_xdv_ydv_z`, cela donne l'équation locale :
`P(bbv_x"∈"[v_x, v_x"+"d v_x] "et" bbv_y"∈"[v_y,v_y"+" d v_y] "et" bbv_z"∈"[v_z, v_z"+"d v_z]) = F(vec v) dv_xdv_ydv_z`
`d^3P(vec v)= F(vecv)dv_xdv_ydv_z`
On formalise la distribution et la loi de probabilité par les neurones suivant :
`F"←"(vec v)`
`d^3P"←"(vec v)`
Délors, la formule liant la distribution avec la loi de probabilité peut s'écrire plus simplement en ommettant l'argument qu'est la vitesse.
`d^3P= F dv_xdv_ydv_z`
Néamoins, dans la suite de l'exposé, on explicitera systématiquement l'argument vitesse.
Le gaz, comme l'espace, est isotrope, il n’y a pas de direction privilégiée. Nous pouvons faire une rotation des axes, la probabilité reste inchangée. La valeur de distribution `F(vec v)` ne dépend pas de la direction de `vec v`, elle est déterminée uniquement par l'intensité de la vitesse `v=||vecv||`. Nous allons reformuler une fonction de distribution `F` s'appliquant à l'intensité de la vitesse. Puisque pour tous vecteurs `vecu,vecv` lorsqu'ils ont une même intensité `u"="v` on a `F(vec u)"="F(vec v)`, on peut donc définir une fonction de même nom `F` mais s'appliquant à un scalaire, telle que `F(v)``=``F(vecv)`. Et de même pour la proportion `d^3P(v)``=``d^3P(vec v)`. L'isotropie du gaz et de l'espace permet ainsi de définir les second neurones suivants :
`F"←"(v)`
`d^3P"←"(v)`
On utilise les mêmes parenthèses d'appel `()` car c'est le type de l'argument, scalaire ou vecteur, qui détermine quel neurone est sollicité.
On définie les 3 distributions des composantes de vitesses, `F_x,F_y,F_z`, qui définissent respectivement les 3 loi de probabilités `dP_x, dP_y, dP_z`. Considérons-en une. `dP_x` désigne la probabilité qu'une molécule possède une vitesse dont la composante selon l'axe des `x` est dans l'intervalle `[v_x, v_x"+"dv_x]`. Cette propabilité est proportionnelles à l'intervalle `dv_x`. Et de même pour les autres axes :
`dP_x(v_x) = F_x(v_x)dv_x`
`dP_y(v_y) = F_y(v_y)dv_y`
`dP_z(v_z) = F_z(v_z)dv_z`
On formalise ces distributions et ces lois de probabilité par les neurones suivant :
`F_x"←"(v_x)` `dP_x"←"(v_x)`
`F_y"←"(v_y)` `dP_y"←"(v_y)`
`F_z"←"(v_z)` `dP_z"←"(v_z)`
Délors, la formule liant la distribution avec la loi de probabilité peut s'écrire plus simplement, ces mêmes équations locales peuvent être réécrite en omettant les arguments vitesse par défaut.
`dP_x=F_x dv_x`
`dP_y=F_y dv_y`
`dP_z=F_z dv_z`
L'isotropie entraine que les distribution des composantes de la vitesses sont les mêmes selon les trois axes. Ainsi, quelque soit une intensité `u`, celle-ci correspondra à une même valeur de distribution pour chacune des composantes :
`F_x(u)=F_y(u)=F_z(u)`
Par respect de la symétrie on va appeler cette valeur `varphi(u)`
`varphi(u) = F_x(u)=F_y(u)=F_z(u)`
l'indépendance des propabilités entre la probablité qu'une composante de vitesse soit comprise dans un intervalle et la probabilité qu'une autre composante de vitesse soit comprise dans un intervalle entraine que :
`d^3P(v)=d^3P(vec v)=dP_x(v_x)dP_y(v_y)dP_z(v_z)`
`d^3P=dP_xdP_ydP_z``F(v) =F(vecv) = F_x(v_x)F_y(v_y)F_z(v_z)`
`F= F_xF_yF_z``F(v) = varphi(v_x)varphi(v_y)varphi(v_z)`
Les fonctions `F` qui possèdent cette propriété se mettent sous la forme suivante où `A` et `B` sont deux paramètres réels (la démonstration est faite en annexe) :
`F(v) = A^3e^(-Bv^2)`
`varphi(v) = Ae^(-Bv^2)`
Et nous vérifions que ce résultat est cohérent :
`F(v) = varphi(v_x)varphi(v_y)varphi(v_z)`
`A^3e^(-Bv^2) = Ae^(-Bv_x^2)Ae^(-Bv_y^2)Ae^(-Bv_z^2)`
`A^3e^(-Bv^2) = A^3e^(-Bv_x^2-Bv_y^2-Bv_z^2)`
`A^3e^(-Bv^2) = A^3e^(-B(v_x^2+v_y^2+v_z^2)`
Il n'y a pas de proportion négative, donc le paramètre `A` est nécessairement positif. Les molécules ont une intensité moyenne de vitesse fini, donc le paramètre `B` est nécessairement positif. La probabilité pour qu'une molécule est une composante de vitesse en `x` comprise entre `-oo` et `+oo` est égale à `1` (probabilité certaine) :
`A int_(-oo)^(+oo) e^(-Bv_x^2)dv_x = 1`
L'intégrale se calcule (voir ici ) et donne comme résultat : `sqrt(pi/B)`
`Asqrt(pi/B) = 1`
`A=sqrt(B/pi)`
La probabilité qu'une molécule est un module de vitesse compris entre `v` et `v"+"dv` se note en minuscule `dp(v)``=``P(bbv"∈"[v, v"+"dv]) `.
Expliquer le changement de variable dans l'intégrale, et formaliser la.
Elle est égale à la probabilité `d^3P(vec v)` intégrée sur l'augmentation du volume de la sphère passant de rayon `v` à un rayon `v"+"dv`, soit sur le volume `4piv^2dv`. Cette intégration est simple puisque l’intensité `v` de la vitesse dans cet espace des vitesse est constante :
`dp(v) = P(bbv"∈"[v, v"+"dv])`
`dp(v) = int_(v_x,v_y,v_z) d^3P(vec v)`
L'intégrale s'opère pour les valeurs de `bbv_x,bbv_y,bbv_z` où `bb(vec v) = bbv_x vec e_x "+" bbv_y vec e_y"+" bbv_z vec e_z` parcourt toutes les vitesses d'intensité comprise entre `v` et `v"+"dv`
`dp(v) = int F(v)dv_xdv_ydv_z`
`dp(v) =f(v)dv`
L'intégrale s'opère sur un volume de `4piv^2dv`, donc :
`dp(v) = F(v) 4piv^2dv`
La distribution du module de la vitesse se note en minuscule `f(v)` :
`dp(v) = f(v)dv`
`f(v) = F(v) 4piv^2`
`dp(v) = A^3e^(-Bv^2) 4piv^2dv` avec `A=sqrt(B/pi)`
`dp(v) = 4pi(B/pi)^(3/2) v^2 e^(-Bv^2)dv`
`dp(v) = (4B^(3/2))/sqrt(pi) v^2 e^(-Bv^2)dv`
La valeur moyenne `"<"G">"` d’une grandeur `G` est le produit de `G` multiplié (pondérée) par la probabilité d’obtenir `G`, intégré à toutes les valeurs possibles de cette grandeur. En appliquant cette définition à une composante carré de la vitesse des molécules `v_x^2` on obtient :
`"<"v_x^2">" = int varphi(v_x) v_x^2dv_x`
`"<"v_x^2">" = int sqrt(B/pi) v_x^2 e^(-Bv_x^2) dv_x`
Cette intégrale se résoud. On utilise pour cela l'outil MuPAD :
assume (B>0);int(sqrt(B)/sqrt(PI) *x*x*exp(-B*x*x),x=-infinity..+infinity);
Et on obtient comme résultat :
`"<"v_x^2">" = 1/(2B)`
L'intensité moyenne du carré de la vitesse `"<"v^2">"` est `3` fois plus élevé que l'intensité moyenne du carré d'une composante de la vitesse (vu en introduction) :
`"<"v^2">" = "<"v_x^2">"+"<"v_y^2">"+"<"v_z^2">" = 3 "<"v_x^2">" `
`"<"v^2">" = 3/(2B)`
Dans le cas d'un gaz parfait composé de molécule de masse `m`. L'énergie cinétique d'une molécule est :
`1/2mv^2`
L'énergie cinétique moyenne des molécule est :
`1/2m"<"v^2">"`
Elle correspond à la température du gaz ,`T`, exprimée en unité d'énergie par molécule :
`T = 1/2m"<"v^2">"`
`T = 3/4 m/B`
`B = 3/4 m/T`
Récapitulons : Pour un gaz à la température `T` exprimée en unité d'énergie par molécule, et dont les molécules ont chacune une masse `m`, la distribution de l'intensité des vitesses des molécules est :
`f(v) = (4v^2B^(3/2))/sqrt(pi) e^(-Bv^2) = (4v^2 (3/4 m/T)^(3/2))/sqrt(pi) e^(-3/4 m/T v^2)`
`f(v) = 3/2 sqrt(3/pi) v^2 (m/T)^(3/2)e^(-3/4 m/T v^2)`
Il est donc possible grace à la physique statistique de déterminer cette distribution des vitesses sans même être en mesure de percevoir les molécules, seulement en adoptant l'hypothèse du gaz parfait. Cette méthode peut s'appliquer à de nombreux autres domaines.
L'énergie cinétique se répartie dans les 3 degrès de liberté que sont les trois composantes de la vitesse `v_x, v_y, v_z` :
`T = 1/2m"<"v^2">" = 1/2m"<"v_x^2">" + 1/2m"<"v_y^2">"+ 1/2m"<"v_z^2">" `
La distribution des molécules ayant une vitesse dont la composante selon l'axe des `x` est `v_x` est `F_x(v_x)` :
`F_x(v_x) = Ae^(-Bv_x^2) = sqrt(B/pi)e^(-Bv_x^2) = 1/sqrt(pi)sqrt(3/4 m/T)e^(-3/4 m/T v_x^2)`
`F_x(v_x) = 1/sqrt(pi)sqrt(3/4 m/T)e^(-3/(2T) 1/2 m v_x^2)`
On pose les énergies cinétiques de chaque degrès de liberté
`e_x = 1/2 m v_x^2`
`e_y = 1/2 m v_y^2`
`e_z = 1/2 m v_z^2`
Et l'énergie cinétique de la molécule `e` vaut :
`e=e_x+e_y+e_z`
La probabilité qu'une molécule est une composante de vitesse selon l'axe des `x` comprise entre `v_x` et `dv_x` est :
`dP_x(v_x) = F_x(v_x)dv_x`
`dP_x(v_x) = 1/sqrt(pi)sqrt(3/4 m/T)e^(-3/(2T) 1/2 m v_x^2) dv_x`
La probabilité qu'une molécule est une énergie cinétique selon l'axe des `x` comprise entre `e_x` et `de_x`se note `dQ_x(e_x)``=``P(bbe_x"∈"[e_x, e_x "+"de_x]) `. Elle est égale à la probabilité `dP_x(v_x)` intégrée sur l'augmentation de l'énergie passant de la vitesse `v_x` à la vitesse `v_x"+"dv_x`, soit une augmentation de `mvdv`. Cette intégration est particulièrement simple puisque `v_x` est constante :
`dQ_x(e_x) = P(bbe_x"∈"[e_x, e_x"+"de_x])`
`dQ_x(e_x) = int_(v_x) dP_x(vec v)`
L'intégrale s'opère pour les valeurs de `bbv_x` où `bb(e_x) = 1/2 m bbv_x` parcourt toutes les énergie comprise entre `e_x` et `e_x"+"de_x`
---- 25 septembre 2021 ----
`(del v)/(del v_x) = (del sqrt(v_x^2+v_y^2+v_z^2))/(del v_x)`
`(del v)/(del v_x) = 1/2 1/sqrt(v_x^2+v_y^2+v_z^2) (del(v_x^2+v_y^2+v_z^2))/(del v_x)`
`(del v)/(del v_x) = 1/2 1/v 2v_x`
`(del v)/(del v_x) = v_x/v `
Puis :
`(del F(v))/(del v_x) =(dF(v))/(dv) (del v)/(del v_x) =v_x/v (dF(v))/(dv)`
`(del F(v))/(del v_x) =del/(delv_x)(varphi(v_x)varphi(v_y)varphi(v_z)) = varphi(v_y)varphi(v_z) (dvarphi(v_x))/(dv_x)`
Puis :
`v_x/v (dF(v))/(dv) = varphi(v_y)varphi(v_z) (dvarphi(v_x))/(dv_x)`
`1/v (dF(v))/(dv) = 1/v_x (varphi(v_x)varphi(v_y)varphi(v_z))/(varphi(v_x)) (dvarphi(v_x))/(dv_x)`
`1/v (dF(v))/(dv) = 1/v_x F(v)/(varphi(v_x)) (dvarphi(v_x))/(dv_x)`
`1/(vF(v)) (dF)/(dv) = 1/(v_x varphi(v_x)) (dvarphi(v_x))/(dv_x)`
Le membre de gauche dépend de `v` et donc de `v_x` de `v_y` et de `v_z`, tandis que le membre de droite ne dépend que de `v_x`. Le résultat ne peut être qu’une constante que nous notons `a`.
`1/(v_x varphi(v_x)) (dvarphi(v_x))/(dv_x) = a`