Les lois physiques fondamentales sont plus vivantes présentées sous forme de modèle. Et on peut concevoir des lois imaginaires plus simples, dans un espace unidimensionnel, permettant rapidement la programmation de modèles et la simulation que nous préférons appeler expérimentation exacte. Ces modèles sont des exemples de construction à la fois théorique et algorithmique.
Un modèle s'expriment sous forme d'un système d'équations différentielles aux dérivées partielles, et se résoud numériquement par la méthode d'Euler avec une précision arbitraire. Un tel système peut se mettre sous forme d'un calcul itératif, en effectuant une discrétisation des données et un changement de variable approprié. Dans la plus part des cas, le calcul itératif est approché, mais rien ne nous interdit qu'un calcul itératif ne puisse être exacte et constituer la loi proprement dite.
On modélisera les particules, les ondes, les ondes stationnaires, la quantification, la relativité..., en proposant aux lecteurs, non seulement la description des lois qu'il n'est pas en mesure de vérifier, mais accompagnées d'un modèle qu'il pourra à loisir expérimenter sur son ordinateur personnel avec différentes conditions initiales.
On appelle expérimentation exacte, le calcul du modèle par l'ordinateur, essayant un certain nombre de conditions initiales et de paramètres. Tandis qu'on appelle expérimentation réel, la comparaison du modèle avec la réalité. Par la seul expérimentation exacte, on peut tirer certains enseignements. Et cette science basée sur l'expérimentation du calcul de modèle a l'avantage d'être abordable par tous, et d'être transmissible par simple copie. Elle peut donc constituer à elle seule un véhicule pour transmettre un argumentaire, autrement dit un vecteur pour la propagande.
Le modèle permet à l'utilisateur final d'expérimenter. Il permet d'observer la cohérence de la théorie en vérifiant que, dans les simulations, les propriétés attendues se réalisent bien. L'algorithme et la loi sont misent sur un même pied d'égalité. Ils sont transmis par copie : la copie d'une théorie, et la copie d'un programme. Cette dualité offre un mécanisme de vérification d'erreur de copie de haut-niveau : l'exécution du programme vérifie les propriétés intrinsèques de la théorie. La charge de cette vérification revient à l'utilisateur final. Et selon la maxime de saint Thomas « Je ne crois que ce que je vois », la preuve n'est plus antérieur au programme, inévitablement soumise à l'appropriation et à la rétention d'information de la part du concepteur, mais postérieur au programme, s'effectuant lors de l'exécution de celui-ci, sous l'entière responsabilité de l'utilisateur final qui satisfait ainsi à la maxime. L'expérimentation exacte se comporte alors comme un élément d'un démonstrateur de théorèmes.
La même problèmatique existe en mathématiques. Un théorème doit être accompagné de sa preuve qui est un programme. Et à défaut d'une preuve exacte, une preuve partielle qui assure une grande probabilité nous suffit. Le modèle joue ce rôle, et constitue cette preuve partielle.
Le sens physique que nous proposons est basé sur quatres principes : un principe de causalité qui affirme que toute action a une cause, un principe de relativité qui affirme la neutralité du choix du référentiel, un principe de finitude qui affirme que la quantité d'information est finie, et un quatrième principe sur la nature différentielle de la position, le principe analytique, qui affirme que toutes les grandeurs de position sont infiniment dérivables selon le temps et que leurs series de Taylor convergent en toute valeur du temps.
L'approche intuitionniste se sert de ce sens physique pour construire des structures mathématiques. Une large place est donnée à la description des équations, des structures, des algorithmes, et à leurs langages, véhicules du savoir, permettant la construction d'outils. Mais ces outils ne seront utilisés que d'une manière paresseuse, c'est à dire en étant ni définies ni prouvées complètement. La charge de la preuve doit revenir à l'utilisateur final, rappelez-vous, et se fait donc après coup. La construction propre à l'approche intuitionniste constitue cette preuve qui se déroule par la construction même, et qui apparait donc nécessairement après partiellement ou en même temps.
Pour qu'un évènement ponctuel `A` influe un évènement ponctuel `B`, il est nécessaire qu'une information soit partie de `A` pour aller en `B`. On dit alors qu'il y a connaissance. Cet échange d'information qui joue un rôle déterminant est appelé le processus causal. Ce processus met en oeuvre un circuit de l'information partant des causes et allant sur les effets.
Le temps est à la base du processus causal, et réciproquement, le processus causal est sucesptible de définir le temps. L'approche intuitionniste met en avant le principe de calculabilité, et épouse le principe de causalité en remplaçant la cause par le calcul et le temps par l'effectivité.
Tout effet a une cause. Ce principe philosophique est un moteur essentiel dans la recherche en science exacte, car s'il n'y a pas de cause il n'y a pas à les rechercher. Dire qu'un effet est indéterminé signifie que sa cause est inconnue.
On ne peut pas être juge et partie prenante. Ce principe juridique coïncide avec le principe d'incertitude d'Heisenberg. Si l'observation perturbe l'expérience alors il n'est pas possible d'observer en tout indépendance, et de connaitre ce qui se serait passé si on n'avait pas observé. L'observation ne peut donc pas nous donner une connaissance exacte de l'expérience. Si on considère l'univers comme doué d'une conscience, il sera dans cette même situation, juge et partie prenante, et il ne pourra pas avoir une conscience exacte et complète de lui-même. La part indéterminée de l'univers découle de ce paradoxe.
On ne peut pas diviser la matière indéfiniment sans à un moment donné, en changer sa nature. Et c'est en optant pour cette thèse, sa négation étant beaucoup trop contraignante pour la nature avec des conséquences beaucoup trop impondérables, que les Grecs ont défini abstraitement l'atome il y a environ 500 ans av J.-C. Ils ont ainsi posé le principe de finitude du nombre d'atomes d'un système physique.
Ce principe de finitude se généralise à l'information. Tout échange d'information est de quantité finie. L'état d'un système physique est une quantité d'information finie. Ce principe est nécessaire pour pouvoir remplacer la cause par le calcul.
On peut penser que l'information possède une masse minimum, et qu'une quantité d'information infinie possederait une masse infinie.
Le principe d'inertie affirme qu'une particule soumise à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. Cela correspond au principe de conservation de la quantité de mouvement.
Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes et qui seront définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiels galiléens.
Le principe d'inertie s'étend en un principe plus générale appelé principe de relativité qui affirme que la loi s'exprime identiquement dans chaque référentiel galiléens, faisant qu'il n'existe pas de référentiel absolu. La loi ne discrimine pas les référentiels galiléens.
Le principe d'inertie affirme également qu'un corps solide soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme et en rotation uniforme sur lui-même. Cela correspond au principe de conservation du moment cinétique.
Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes avec rotation uniforme des axes et qui seront définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiels dits inertiels.
Pour appliquer ce principe, il faut définir ce qu'est un référentiel. Un référentiel est une situation où un observateur imaginaire peut se trouver. Le référentiel porte l'information nécessaire pour trancher, sous forme de choix, toutes les symétries existantes de l'univers, et détermine ainsi totalement la situation subjective dans la quelle se trouve l'observateur.
Il découle de la définition du référentiel et du fait que tout observateur constatera les mêmes lois physiques, que la loi est la même dans chaque référentiel.
On sépare ce qui est propre à la loi et ce qui est propre au système physique, c'est à dire les variables globales propres à la loi, appelées constantes universelles, et les variables locales au système physique. Ces dernières se séparent en deux catégorie, celles qui ne dépendent pas du choix du référentiel et celles qui peuvent en dépendre, tout en étant indépendantes pour certains types de choix du référentiel. Les constantes universelles sont inchangées par changement de référentiel, ainsi que certaines variables d'état du système, et le système possède un référentiel propre.
Une première étape consistera à se limiter aux seuls référentiels galiléens, qui sont obtenus à partir du prima-référentiel par déplacements et translations uniformes.
A partir du principe de finitude et du principe de causalité, on peut compléter les hypothèses sur le processus causal en optant pour un principe de transmission instantané et efficiente de l'information. Cela définie la mécanique classique avec un champ instantané.
Ce choix principiel supplémentaire va être fait en considérant que chaque particule possède la connaissance exacte de l'état des autres particules à l'instant présent, entainant le concept de champ instantané. Cest le principe de transmission instantané, et sans rémanence de l'information, car cette dernière agirait comme une composante de champ non instantané. Tout ce qui n'est pas instantané et transmis en particules et non en champ qui est par principe instantané.
La première hypothèse affirme donc que l'information sur la position et les vitesses des particules est transmise de manière instantanée au autres particules. Il s'en suit que le temps publique est le même pour toutes les particules, et que la particule connait instantanément la configuration présente des autres particules quelque soit leur éloignement et leur état. Le temps publique est représenté par la variable `t`. Les paramètres d'état du sytème physique sont donc fonction de `t`.
La seconde hypothèse affirme qu'il n'y a pas de résurgence ni de rémanence du passé au niveau des particules, c'est à dire que les effets de cette information transmise instantanément ne sont pas différés dans le temps, l'information agit tout de suite.
Il s'en suit que la part déterministe de l'univers est déterminée par la connaissance de toutes ses variables d'état à l'instant `t`, et que la connaissance des états antérieurs n'apportent aucune information supplémentaire. Il est alors inutile de considérer un espace-temps, seul la connaissance de l'espace à un instant `t` suffit.
Les variables de position `x` fonction du temps `t`, sont toutes supposées infiniment dérivables et telles que leurs séries de Taylor soient convergentes en toute valeur du temps. Ce principe est aussi appelé l'hypothèse analytique des forces, c'est à dire l'hypothèse que la force est une fonction analytique de la position, de la vitesse, de l'accélération..., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules. Il s'en suit que la position, la vitesse, l'accélération..., la dérivé n-ième de la position...., d'une particule sont également des fonctions analytiques, c'est à dire des quantitées `x` indéfiniment dérivables et telle que la série de Taylor convergent pour toute valeur de t.
Ce principe fondamentale donne aux mouvements une signification aux propriétés mathématiques étonnantes. En particulier, si on connait la position `x` sur un intervalle quelconque de temps `]t_1, t_2[`, ou bien si on connaît la suite de ses dérivés n-ième en un instant précis `t_1`, alors on connaît `x` en tout instant `t`.
La position `x` d'une particule est fonction du temps `t`. Cette dépendance se note par le neurone suivant :
`x"←"(t)`
Cette déclaration fait de `x` une fonction et le munie d'un argument par défaut `t`. Ainsi `x` désigne la position de la particule à un instant `t`, et `x’, x’’, x’’’, x’’’’` désignent les dérivés successives de `x` à l'instant `t`, et `x^((n))` désigne la dérivé n-ième de `x` à l'instant `t` :
`x = x(t)`
`x’ = (dx)/(dt) = (dx(t))/(dt)`
`x’’ = (d^2x)/(dt^2) = (d^2x(t))/(dt^2)`
...`x^((n)) = (d^nx)/(dt^n) = (d^nx(t))/(dt^n)`
La valeur `x(t"+"dt)` est calculée par la série de Taylor :
`x(t"+"dt) = x + sum_(n=1)^oo x^((n))dt^n/(n!)`
`x(t"+"dt) = x + x’dt + x’’(dt^2)/2 + x’’’(dt^3)/(3!) + x’’’’(dt^4)/(4!) +....`
Une autre façon de représenter la série de Taylor :
`x(t"+"dt) = x + dt(x^((1))/1 + dt(x^((2))/2 + dt(x^((3))/(3!) + dt(x^((4))/(4!)+...))))`
On pourrait s'intéresser au cas où la série de Taylor ne converge pas en certains points, des points singuliers. Mais ce sont des cas isolées qui n'apportent pas réellement de nouveautés (et qui de plus peuvent être approchés aussi finement que l'on veut par des fonctions partout analytiques). On préfaire choisire des modèles ne pouvant pas posséder de tels points singuliers, ce qui s'obtient simplement en ajoutant à la théorie des éléments permettant de résoudre ces cas singuliers de façon entièrement analytique. La quantité d'information étant supposé finie, ce moyen d'approche uniquement analytique nous assure de pouvoir répondre à toutes les situations, et possède l'avantage d'écarter les valeurs infinies et toutes les indéterminations qui en découlent.
Le principe analytique ne doit pas contredire le principe de finitude. Le théorème de l'échantillonnage découvert par C.E.Shannon, affirme qu'un signal qui ne comprend pas de fréquence égale ou supérieur à `F` peut être échantillonné à la fréquence `2F` sans qu'il n'y ait aucune perte d'information. Ce théorème constitue un premier pas pour assurer qu'une grandeur indéfiniment dérivable ne contienne qu'une quantité d'information finie lorsque son spectre de fréquence est borné. Puis le principe de quantification de l'action de la trajectoire d'une particule va limiter les cas possibles en un nombre fini.
On définie la particule comme un système physique source de forces, possédant une position `x` fonction du temps `t`. On définie cela par le neurone `x"←"(t)`. C'est à dire que `x` est une variable d'état fonction de `t` et possède comme système de coordonnée par défaut `(t)` faisant que l'expression `x` interprétée comme une valeur est identique à l'expression `x(t)`. De même pour les dérivées `x’"="x’(t)`, `x’’"="x’’(t)`, ... , `x^((n))"="x^((n))(t)`.
Et les forces doivent être des fonctions analytiques de la position, de la vitesse, de l'accélération...., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules.
L'hypothèse newtonienne affirme que l'espace correspond à l'espace vectoriel euclidien de dimension 3, que l'on représente sous forme de produit directe de corps de réels :
` RR × RR × RR = RR^3`
Chaque point est caractérisé par trois nombres réels `(x, y, z)` que sont ses coordonnées cartésiennes absolues (ses coordonnées dans le prima-référentiel) et qui définissent sa position :
`(x, y, z) in RR^3`
L'espace étant euclidien, il est munie de la norme canonique suivante qui traduit algèbriquement le théorème de Pythagore :
`|"("x, y, z")"| = sqrt(x^2+y^2+z^2)`
Cela permet de définir la distance entre deux points quelconques :
`"dist("(x, y, z),(a,b,c)")" = |"("x,y,z")" - "("a,b,c")"| `
` = |"("x"-"a, y"-"b, z"-"c")"|`
` = sqrt((x"-"a)^2 + (y"-"b)^2 + (z"-"c)^2)`
L'espace est munie du produit scalaire `bb"⋅"` qui complète la définition de la norme :
`(x, y, z)bb"⋅"(a,b,c) = (xa + yb + zc)`
`(x, y, z)^2 = |"("x, y, z")"|^2`
` = (x, y, z)bb"⋅"(x, y, z) `
` = x^2 + y^2 + z^2`
Ce produit scalaire affirme que `"("(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)")"` constitue une base orthonormée, et il permet de définir les angles entre deux droites comme suit :
`0 ⩽ theta ⩽ pi/2` et `cos(theta)= |vec u bb"⋅" vec v|/(|vec u| |vecv|)`
Par convention d'écriture, les variables vectorielles sont notées avec une flêche ou bien en caractère gras, et lorsqu'elles sont notées sans la flêche et en non gras, il s'agit alors de leur norme. Pour tout vecteur `vecv` nous avons :
`v = |vecv|`
`v = sqrt(vecv bb"⋅" vecv)`
`v^2 = vecv bb"⋅" vecv`
Le temps est absolu et est le même en chaque point de l'espace, on le représente par un réel `t`. L'espace-temps de Newton correspond alors au produit directe de l'espace et du temps :
`RR^3×RR = RR^4`
Le mouvement d'une particule est représenté par une courbe dans cet espace-temps appelé ligne d'univers ou simplement trajectoire. Le prima-référentiel à une position spatio-temporelle `(0,0,0,0)`, Une orientation canonique, une vitesse de translation nulle, une vitesse de rotation nulle, un étalon de longueur égale à `1`, et un étalon de temps égale à `1`.
Les étalons de distance pour chaque axe sont liés car l'espace est euclidien, ils sont de norme nécessairement égale. Mais il n'en est pas de même avec le temps. l'étalon de longueur n'est pas liés avec l'étalon de temps.
L'écoulement du temps est subjectif. Si l'observateur se met à fonctionner au ralenti, il verra le temps autours de lui s'écouler plus rapidement. Il y a donc un paramètre propre à l'observateur qui caractérise l'écoulement du temps qu'il perçoit. On regroupe ce paramètre dans le choix d'un étalon de temps, propre à l'observateur, donc propre à son référentiel.
Un référentiel peut être davantage que seulement son évolution au cours du temps par rapport au prima-référentiel, il peut contenir d'autres informations. Il peut contenir le sens +1 ou -1 de la charge électrique, le sens +1 ou -1 du temps, le sens +1 ou -1 des axes de position, etc... Car il y a des symétries dans l'univers, si on inverse les signes des charges électriques, de même si on inverse le sens du temps, et de même si on inverse le sens des axes de l'espace. Et c'est justement le rôle du référentiel que de préciser dans quel monde symétrique on se situe, et qui prédispose ainsi la subjectivité de l'observateur qu'il représente.
Les particules s'observent mutuellement. Le référentiel devient l'équivalent d'une particule élémentaire à ceci près qu'il peut ne pas intéragire avec les autres particules, telle une particule fantôme, et, ne subissant alors aucune interaction extérieure, suivre selon le principe d'inertie un mouvement de translation uniforme et une rotation uniforme sur lui-même. Cela désigne les référentiels inertiels ou dits newtoniens, généralisés par l'ajout de paramètres supplémentaires relatifs aux symétries de l'univers.
La premère lois de Newton affirme la conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé, ainsi que la conservation de son moment cinétique. C'est pourquoi les référentiels inertiels que nous définissons sont en mouvement rectiligne uniforme et en rotation uniforme sur eux-même. Ils comprènent donc une position spacio-temporelle `(x,y,z,t)`, une orientation décrite par une rotation que l'on représente également par un vecteur `(r_x,r_y,r_z)`, une vitesse de translation `(v_x,v_y,v_z)`, une vitesse de rotation que l'on représente également par un vecteur `(omega_x,omega_y,omega_z)` et un étalon de temps `tau != 0`. L'étalon de temps négatif correspond à un observateur évoluant dans le sens inverse du temps. Puis l'ensemble des lois étant invariantes par changement d'échelle, il convient de donner une échelle propre à l'observateur qui correspond à un étalon de longeur, le même pour chaque axe, noté `e != 0`. L'étalon de longueur négatif correspond au triède indirecte tel que vue dans un miroir. Ainsi, à ce stade, un référentiel est déterminé par `15` paramètres réels.
On considère une particule de coordonnée `(x,y,z)` évoluant au cours du temps `t`, c'est à dire que `x` et `y` et `z` sont des fonctions de `t`. Par défaut lorsque on évoque `x` ou `y` ou `z`, il faudra entendre respectivement `x(t)` ou `y(t)` ou `z(t)`, les coordonnées de la particule à l'instant `t`. On pose ce comportement par défaut en déclarant les neurones suivants qui définissent complétement les liens de dépendance et le choix des arguments par défaut (le choix d'un système de coordonnées par défaut).
`x"←"(t)`
`y"←"(t)`
`z"←"(t)`
La position est notée par le vecteur `vecl"="(x,y,z)` et est donc dépendant de `t`. L'argument par défaut sera `t`, les déclarations précédentes entrainent le neurone suivant :
`vecl "←"(t)`
Par convention les dérivés selon `t` de `x`, de `y`, de `z` et du vecteur `vec l` se notent respectivement `dot x`, `doty`, `dot z` et `dot vec l`, et sont également fonctions de `t` et auront également par défaut cet argument. Et nous avons évidement l'égalité suivante :
`dot vecl` = `(dot x,dot y,dot z)`
La vitesse est notée habituellement par la lettre `vec v` = `dot vecl` = `(dot x,dot y,dot z)`. Les déclarations précédentes entrainent le neurone suivant :
`vecv"←"(t)`
De même, les éléments différentiels `dx, dy, dz` sont des fonctions de `t` et auront également par défaut cet argument. L'élément différentiel `dt` est un intervalle de temps infinitésimal dit libre c'est à dire, qu'il peut être choisi arbitrairement du moment qu'il reste infinitésimal. Parcontre les éléments `dx` et `dy` et `dz` sont déterminés par `t` et aussi déterminés linéairement par ce `dt`. En effet, si on conçoit un `dt` deux fois plus grand alors `dx`, `dy` ainsi que `dz` seront deux fois plus grand au premier ordre. Ils sont de par leur définition des fonctions de `t`, et aussi de `dt` mais selon ce dernier argument uniquement linéairement. Leur argument par défaut est `t`. Ainsi nous calculons `dx`, `dy`, `dz` comme suit :
`dx"="(dx)(t)`
`dy"="(dy)(t)`
`dz"="(dz)(t)`
en les multipliant par un facteur de proportionnalité si `dt` est modifié.
L'opérateur de différentialisation exacte `d` possède une priorité syntaxique plus faible que l'appel de fonction, faisant que `df(u)` signifie `d(f(u))` et non `(df)(u)`. Parcontre il possède une priorité syntaxique plus forte que l'élèvation à la puissance, faisant que `dx^2` signifie `(dx)^2` et non `d(x^2)` qui est égale à `2xdx`. Voir Calcul différentiel.
Mais cette écriture entretien une ambiguïté entre produit et application, confondant par exemple l'appel `f(u)` avec le produit `fu`. Pour lever cette ambiguïté on adopte un autre type de parenthèse `(: :)` pour appliquer une fonction neurale à ses arguments. Ainsi une fonction neurale `f` appliquée à l'argument `(a"+"b)` s'écrira `f(:a"+"b:)`, et l'expression `f(a"+"b)` correspondra au produit et sera égale à `(fa"+"fb)` où `f` désigne la valeur de la fonction neurale `f` appliquée à ses arguments par défaut tels que précisés dans sa définition neuronale qui reprendra le même type de parenthèse `(: :)`.
`x"←"(:t:)`
`y"←"(:t:)`
`z"←"(:t:)``vecl"←"(:t:) vecl = (x,y,z)`
`vecv"←"(:t:) vecv = dot vecl = (dotx,doty,dotz)`
Au cours d'un intervalle de temps `dt`, les coordonnées `(x,y,z)` vont changer en se déplaçant d'un vecteur `(dx,dy,dz)`, et devenir `(x"+"dx,y"+"dy,z"+"dz)`. Nous avons :
`x(:t"+"dt:) = x+dx`
`y(:t"+"dt:) = y+dy `
`z(:t"+"dt:) = z+dz ``((x(:t"+"dt:)),(y(:t"+"dt:)),(z(:t"+"dt:))) = ((x),(y),(z)) "+" ((dx),(dy),(dz))`
` vecl(:t"+"dt:) = vec(l) "+" vec(dl)`
Remarquez que les vecteurs peuvent être représentés en ligne ou en colonne et que cela n'a pas d'importance à ce stade. Remarquez que ces expressions ne sont exactes qu'au premier ordre, c'est à dire qu'elles négligent les termes en `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` et plus exactement qu'elles négligent tous les termes doublement infinitésimaux dit en `epsilon^2`. Ces expressions couvrent deux ordres que sont les nombres réels et les nombres infinitésimaux, et se mettent sous la forme `a+epsilonb` où `a` et `b` sont deux nombres réels, les nombres hyperreéls d'ordre infinitésimal supérieurs en `epsilon^2, epsilon^3,...` sont tout simplement retirés et ignorés. C'est un artifice mathématique qui consiste à se placer dans le corps des hyperréels, un corps totalement ordonnée possédant une infinité d'ordres notés `..., epsilon^3, epsilon^2, epsilon, 1, epsilon^(-1), epsilon^(-2), ...` et davantage encore. Les expressions `dt`, `dx`, `dy`, `dz` sont dits du premier ordre ou dits de l'ordre d'`epsilon`, c'est à dire que leur valeur hyperréel se mettent sous la forme `epsilona` où `a` est un réel. Cela signifie que ces grandeurs ont une norme infiniment petit par rapport à tous nombres réels strictements positifs. Les expressions `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` sont dits du second ordre ou dits de l'ordre d'`epsilon^2`, c'est à dire que leur valeur hyperréel se mettent sous la forme `epsilon^2a` où `a` est un réel. Cela signifie que ces grandeurs ont une norme infiniment petit par rapport à `epsilon`. Et ainsi de suite. Cette classification est pertinente parceque les fonctions analytiques respectent les ordres de grandeurs.
L'élément `vec(dl)` représente le déplacement de la particule entre l'instant `t` et `t"+"dt`.
`vec(dl) = (dx,dy,dz)`
La première règle cinématique s'écrie ainsi :
`dx = dot xdt`
`dy = dot ydt`
`dz = dot zdt``((dx),(dy),(dz)) = ((dot x),(dot y),(dot z))dt`
`vec(dl) = vec v dt`
Remarquez que ces expressions ne sont exactes qu'au premier ordre, c'est à dire qu'elles négligent les termes en `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` ou plus exactement qu'elles négligent tous les termes doublement infinitésimaux en `epsilon^2`. Mais cette approximation mathématique reste physiquement exacte, c'est là toute la force du calcul différentiel.
Le calcul différentiel met en oeuvre ce concept d'élément différentiel, qui, au premier ordre, dévoile l'aspect linéaire local des fonctions différentiables. C'est pourquoi Le calcul différentiel est étudié en même temps que le calcul linéaire, et que les opérateurs de dérivée partielle sont étudiés en même temps que les opérateurs linéaires que sont les matrices et qui font partie du domaine du calcul matriciel.
`dl` est appelé l'élément de longueur du déplacement. Il permet de mesurer la longueur des trajectoires par intégration.
`vec(dl) = vec v dt`
`dl = |vec(dl)| = | vec v| |dt|`
Si on s'impose la condition `dt">"0` alors nous avons :
`dl = | vec v| dt`
Lors de l'intervalle de temps infinitésimal `[t, t"+"dt]`, la particule de coordonnée `(x,y,z)` se déplace d'une translation infinitésimale de longueur `dl`. La longueur parcourue entre l'instant `t_1` et `t_2` est alors donnée par l'intégrale suivante :
`int_(t=t_1)^(t=t_2) dl`
Et comme nous avons `dl = | vecv| dt` en prenant toujours `dt ">" 0`, la longueur parcourue entre l'instant `t_1` et `t_2`, en faisant parcourir `t` de `t_1` à `t_2` avec `t_1 "<" t_2`, est calculée par :
`int_(t=t_1)^(t=t_2) | vecv| dt = int_(t=t_1)^(t=t_2) sqrt(dot x^2+dot y^2+dot z^2) dt`
On se place dans un espace unidimensionnel. Cela constitue une droite. Et on considère un ensemble de particules positionnées sur cette droite. Délors, la position `x`, la vitesse `v"=" dotx`, l'acceleration `a"="dotv"="ddotx` d'une particule sont de simple réel. La cinématique se transcrit comme suit :
`x"←"(:t:)`
`x(:t"+"dt:)= x"+"vdt`
`v"←"(:t:) v = dotx`
`a"←"(:t:) a = dotv = ddotx`
Les référentiels inertiels sont déterminés avec `4` paramètres réels : La position `x`, la vitesse `v`, l'étalon de temps `tau` et l'échelle `e`.
La deuxième loi de Newton affirme que la variation de la vitesse de la particule multipliée par sa masse est égale à la somme des forces qui s'exercent sur la particule.
`f"←"(:t:)`
`f = m (dv)/(dt)`
Où `m` désigne la masse de la particule, `v` désigne la vitesse de la particule, `f` désigne la somme des forces causées par chacune des autres particules et s'appliquant sur la particule. Newton suppose de plus que les masses des particules sont constantes. L'équation fondamentale de la dynamique se met sous la forme suivante :
`f dt = mdv`
Ce principe comprend le principe d'intertie (cas `f"="0`) qui dit qu'une particule soumise à aucune force possède une vitesse constante, et qu'elle possède donc une énergie inertielle dite cinétique notée `T` (en référence à la température d'un gaz qui se défini à partie de l'énergie cinétique des particules composant le gaz) qui est fonction de sa vitesse et de sa masse. L'énergie cinétique de la particule évolue en fonction du temps ce qui se note par le neurone suivant :
`T"←"(:t:)`
La deuxième lois de Newton affirme implicitement que les forces s'ajoutent. Cette hypothèse est beaucoup plus conséquente qu'elle ni parait car elle designe une catégorie de force qui se calcule entre une particule source et une particule cible et qui s'ajoute pour toutes les particules sources à la particule cible.
En résumé la deuxième lois de Newton appelé aussi le principe fondamentale de la dynamique, affirme que les forces qui se déterminent entre chaque couples de particules, s'ajoutent indépendamment les une des autres, et qu'il existe une force d'inertie pour chaque particule égale à `-mdv"/"dt` qui s'ajoute également, et que la sommes des forces est toujours égale à zéro.
La troisième loi de Newton affirme que les forces s'exerçant entre deux particules sont centrales et opposées. Si une particule `P_1` exerce une force sur une particule `P_2`, alors la particule `P_2` exerce une force de même valeur et de sens opposé sur la particule `P_1`. Et les forces en question sont parallèles à la droite passant par `P_1` et `P_2`.
Dans un univers unidimensionnel, la loi de Newton se réduit à affirmer que les forces s'exerçant entre deux particules sont égales et opposées.
La force est causée par une particule source et s'exerce sur une particule cible, mais sa grandeur dépend des deux particules. La force se décompose en une somme de petites forces déterminées chacune par un couple de particules source-cible.
Si on superpose les sources de force, les forces engendrées s'ajoutent. C'est pourquoi on attribut comme source de la force, une charge spécifique au type de force considérée, qui constitue un paramètre réel de la particule source de force.
De même si on superpose les particules subissantes, les forces subies s'ajoutent. C'est pourquoi on attribut comme facteur subissant la force, une charge spécifique au type de force considérée, qui constitue un paramètre réel de la particule subissantes.
La troisième lois de newton fait que pour une particule, ces deux charges, charge source de la force et charge subissant la force, sont nécessairement égales.
Ce principe de superposition entraine l'existence d'une charge spécifique au type de force considérée, et entraine que toute force exercée par une particule sur une autre, se met sous la forme d'un produit des charges des deux particules, multiplié par une fonction de la distance entre les deux particules qui doit être symétrique et qui est déteminée par le type de force considéré :
`f = q_1q_2F(x_2-x_1)`
`F(x_1-x_2) = - F(x_2-x_1)`
où `f` est la force exercée par la particule `P_1` sur la particule `P_2`,
où `q_1` et `q_2` sont les charges respectives des particules `P_1` et `P_2`,
où `x_1` et `x_2` sont les positions respectives des particules `P_1` et `P_2`,
où `F"(.)"` est une fonction de la distance définissant le type de force.
La nature de sommabilité des forces et de leur détermination à partir des couples de particules, constitue un principe à part entière. Ce principe affirme l'existence de charge spécifique au type de force, et affirme que les forces sont de la forme décrite ci-dessus et s'ajoutent. On en déduit ce qu'est un champ spécifique au type de force concerné.
On définie le champ engendré par la particule `P_1` au point `x` et à l'instant `t`, par :
`q_1 F(x - x_1(:t:))`
où `q_1` est la charge de la particule `P_1` source du champ,
où
`x_1` est la position de la particule `P_1`,
où
`F"(.)"` est une fonction de la distance définissant le type de force.
Chaque particule émet donc un tel champ de façon instantané. Les champs émis de chaque particule s'ajoutent. La force s'appliquant sur une particule cible s'obtient en calculant le champ créée par les autres particules au point où se trouve la particule cible et en le multipliant par la charge de la particule cible.
Une difficulté apparait pour définir l'énergie avec ces seuls principes. Les équations du mouvement des particules vont faire apparaitre une caractéristique invariante fonction du potentiel V qui est définie à une constante près comme étant la primitive du champ selon x.
`(dV)/(dx) = F`
---- 3 novembre 2020 ----
On postule la définition du travail d'une force comme suit : Une force `f` s'appliquant sur une particule se déplaçant d'une longueur `dx` effectue un travail `dW` égale au produit de la force et du déplacement effectué, et ce travail est une énergie qui s'ajoute à l'énergie inertielle de la particule. Appliqué à la force résultante décrite précédement, nous avons :
`dW= fdx`
`dW= m(dv)/(dt) v dt`
`dW= mvdv `
L'élément différentiel `dW "=" mvdv` étant exacte, il s'intègre sans difficulé en fonction de `v` sur toute portion de chemin où la vitesse `v` évolue de façon monotone, et donne un résultat ne dépendant que de la vitesse de départ et de la vitesse d'arrivé et de la constante `m`. Si nous intégrons sur une telle portion de chemin passant du point `x_0` à l'instant `t_0` au point `x` à l'instant `t`, et passant de la vitesse `v_0` à l'instant `t_0` à la vitesse `v` à l'instant `t`, nous obtenons :
`W = int_(v_0)^v mvdv = m[v^2/2]_(v_0)^v`
`W = 1/2 mv^2 - 1/2mv_0^2`
Et comme par principe cette énergie `W`, qui représente le travail de la force entre l'instant `t_0` et l'instant `t`, est ajoutée à l'énergie cinétique `T` nous avons :
`W"←"(:t:)`
`T"←"(:t:)`
`x"←"(:t:)`
`v"←"(:t:)`
`x_0= x(:t_0:)`
`v_0= v(:t_0:)``W = T - T(:t_0:)`
`T - 1/2 mv^2 = T(:t_0:) - 1/2mv_0^2`
Comme cette égalité est valable quelque soit `t_0` compris dans la portion de chemin choisi, on en déduit que :
`T = 1/2 mv^2`
Cela définit l'énergie cinétique d'une particule de masse `m` et de vitesse `v`.
Du fait du choix analytique, toute force centrale exercé par une particule sur une autre, dérive d'un champ potentiel multiplié par la charge subissante. Dans le cas générale, toute les formes de champ potentiel sont possibles et déterminent ainsi toutes les formes de forces centrales possibles entre particules.
Le champ potentiel engendré par la particule source `P_1`, noté `U`, est définit en tout point de l'espace et du temps `(x,t)`.
`U"←"(:x,t:)`
`U = q_1F(x-x_1)`
A partir de ce champ potentiel `U` et de la charge subissante `q_2`, on peut calculer la force qui s'exerce sur la particule `P_2` en suivant la pente du champ potentielle et en la multipliant par la charge subissante :
Le signe moins indique que la force suit la pente du potentiel et non la montée du potentiel. L'énergie potentiel de la particule `P_2` que l'on note `V_2` s'avère égale à :
On le démontre dans le cas simple d'une particule placé dans un champ potentiel constant `U` selon le temps, en considérant la définition de la force `f`, du travail `dW`, de l'énergie cinétique `T`, et de l'énergie totale `E` qui est par principe constante :
`f = m (dv)/(dt)`
`dW = mvdv`
`T=1/2 m v^2`
`E = V + T`
On en déduit que :
`dv = f/m dt` `dW = mv f/m dt` `dW = v f dt` `dW = f dx` `dW = - (dV)/(dx) dx` `dW = -dV` `dW = -d(E-T)` `dW = dT`
Le travail de la force traduit un transfert d'énergie, de l'énergie potentiel du système vers l'énergie cinétique de la particule, leur somme constituant l'énergie totale du système. Et l'énergie totale est invariante puisque il n'y a pas d'échange avec l'exterieur.
---- 27 octobre 2020 ----
On définie l'action réalisés par une particule en mouvement au cours de l'intervale `t, t"+"dt`, comme égale au produit de sa masse, de sa vitesse et de son élément différentiel de déplacement :
`da = mvdl`
Où `da` représente l'élément différentiel d'action réalisé par la particule, où `v` représente la norme de la vitesse de la particule, et où `dl` désigne la norme de l'élément différentiel de déplacement. La formule se réécrit vectoriellement comme suit :
`da = m vecv bb"⋅" vecdl`
Et comme `vec(dl)=vecv dt`, nous avons :
`da = m v^2 dt`
Le principe de moindre action affirme que : la trajectoire partant du point `P_1` pour aller au point `P_2` constitura celle réalisant l'action minimum parmi toutes les trajectoires envisageables allant de `P_1` à `P_2`.
---- 22 octobre 2020 ----
`int m (vecdl)/(dt) bb "⋅" vec(dl)`
`int m (vecdl)/(dt) bb "⋅" vec(dl)`
la trajectoire