Modèle de propagation d'onde

Les ondes constituent un phénomène auto-entretenu parmi les plus simples à modéliser, et elles peuvent être considérées comme la base de l'électromagnétisme. Nous allons explorer ce phénomène en commençant par la dimension d'espace zéro c'est à dire en commençant par le cas d'une variable d'état réel évoluant sinusoïdalement en fonction du temps, et que nous appelons signal sinusoïdal. Puis nous traiterons du cas à une dimension spatiale simulant une corde vibrante. Puis nous traiterons du cas à deux dimensions simulant des vaguelettes sur la surface d'un plan d'eau. etc.. Nous expliquerons les notations différentielles totales, partielles, scalaires, vectorielles, matricielles...., Et nous expliquerons ce qu'est la transformation de Fourier discrète.

La formalisation du calcul différentiel comprend la formalisation d'un système de variables chacune associée à un système de coordonnées, et comprend la formalisation du corps des hyperréels comme décrit dans les articles « Introduction au calcul différentiel » et « Calcul différentiel ». Nous présentons ici seulement leurs aspects pratiques.

Et nous explorerons des algorithmes de calcul qui s'avéreront être exacte grâce à la structure de corps des nombres complexes et au théorème de l'échantillonnage de Shannon.

2) Modèle d'onde en zéro dimension d'espace

S'il y a onde, il y a champ, et donc une variable d'état U qui indique à chaque instant t, un réel appelé valeur du champ que l'on note `U` ou explicitement `Ucolor(#006090)((t))`. Et on note parfois l'appel d'une application, qui est à la fois une variable d'état, dans une couleur légèrement plus verte pour faire la distinction avec le produit.

Nous avons donc une variable d'état `U` fonction du temps `t`, ce qui se déclare par le neurone suivant :

Une onde en zéro dimension d'espace s'appelle un signal, et ce signal se décrit par une fonction `t|->Ucolor(#006090)((t))`. On s'interresse à des signaux U qui ondulent de façon régulière. L'équation locale à laquelle satisfait `U` est assez simple à retrouver car il n'y en a pas beaucoup capablent de générer un signal ondulant aussi simplement. On en a vite fait le tour. L'équation locale du signal `U` est l'équation différentielle suivante :

L'équation est dite locale (ici une localité uniquement temporelle, mais dans le cas générale ce sera une localité temporelle et spatiale) parcequ'elle s'applique en chaque instant `t` du cours du temps. Et on utilise un paramètre `k` qui correspondra à une caractéristique du signal. Le signal est déterminé par cette équation locale à la quelle on ajoute les conditions initiales constituées de la valeur du signal `U` à l'instant `0` et de la valeur de sa dérivée `dU"/"dt` à l'instant `0`.

On remarque que la connaissance du champ `U` à un instant donné ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ `dU"/"dt` au même instant pour déterminer l'évolution du signal, ces deux données initiales étant libres. Cela est dû au fait que l'équation différentielle est linéaire c'est à dire une combinaison linéaire de `U` et de ses dérivés, et du fait qu'elle est d'ordre `2` c'est à dire que le degré de dérivation maximum est `2`.

Les conditions initiales sont posées le moins arbitrairement possible, mais dans un premier temps on les choisit le plus simplement possible. On choisit la valeur `1` pour la valeur du champ à l'instant `0`, et la valeur `0` pour la dérivé du champ à l'instant `0`. On reportera dans l'interprétation du résultat la liberté de choix de ces valeurs initiales. D'autre part, ce choix nous assure que le signal sera d'amplitude égale à `1`. En procédant ainsi, on met en exergue le coeur du problème sans se disperser dans des détailles. On peut, dans le même esprit, poser `k=1` en reportant dans un choix ultérieur la valeur de `k` que l'on obtient simplement en changeant l'unité du temps, car l'équation différentielle se met aussi sous cette forme :

Par convention la dérivée selon `t` d'une variable `U` se note `dot U` et sa dérivée seconde selon `t` se note `ddotU` :

L'équation locale à laquelle on ajoute les conditions initiales, forme un système d'équations déterminant complètement `U` :

Ce système d'équation est résolvable. Avec le logiciel de calcul formel MuPAD, que l'on peut trouver assez facilement en version 4.0.2 sur quelques sites pirates, et qui est un logiciel développé par l'université de Paderborn et d'autres universités, depuis rendu abusivement propriétaire, vieux maintenant de plus de 20 ans, l'instruction suivante résoud le système d'équation différentielle en question :

Nous nous intéressons à la construction d'algorithmes de calcul approché qui peuvent paradoxalement être exacte, et délors servir de modèle de résolution exacte pour des systèmes plus complexes. On considère donc que le système d'équations différentielles comprenant l'équation locale et les conditions initiales, constitue la définition signifiante du signal (son fondement), contrairement au résultat qui n'est qu'une illustration certe complète mais oubliant les causes du signal.

3) Système d'unités

Pour des raisons fondamentales, l'unité de temps est définie en premier. Le type d'unité de temps est noté `["T"]`, reste à choisir l'étalon de temps. Le type des valeurs sans unité est désigné par le symbole "[]" . Ce sont les nombres purs sans unité et où l'étalon est déjà fixé égale à `1`.

Reconsidérons maintenant notre équation différentiel définissant un signal `U` :

L'introduction de valeurs physiques est suceptible d'enrichire notre système d'unités. A ce stade nous n'avons définie qu'un seul type d'unité physiques qu'est le temps `["T"]`. L'équation différentiel de l'onde stipule donc que `k` est de type `["T"]^-1`. Mais aucun argument nous indique qu'elle est le type d'unité de champ, ou s'il n'en possède pas c'est à dire si c'est un nombre pur.

Quel est la nature du champ ? Le champ veut être défini ici de la manière la plus générale et donc on lui donne autant que possible une nouvelle unité indépendante, ou mieux, plus en amont encore, on le considère comme sans unité, c'est à dire comme un nombre pur. Ainsi le champ n'a pour l'instant pas d'unité. La valeur du champ varie selon un axe, l'axe du champ, et cet axe n'est apriori pas un axe d'espace, mais l'axe des nombres sans unité.

Pour le temps, on a choisit comme unité la seconde. Pour le champ, il n'est pas nécessaire de choisire un étalon puisque c'est un nombre sans unité, ou autrement dit, l'étalon est le nombre `1` et est déterminé par l'équation et non par le système d'unité pour l'instant.

On remarque alors que le nombre sans unité `kt` représente, en y regardant de plus près, un angle exprimé en radian. C'est le choix d'une construction géométrique qui nous fait définir ce qu'est un angle, et donc le type d'unité qui lui est associé. C'est ce choix, qui affine la nature des données, qui nous fait distinguer un angle en radian avec un nombre sans unité. Mais cette distinction est purement artificiel. Aussi, en l'état de l'évolution de notre système d'unité, le radian de type `["Angle"]` est égale à `1` de type `[]`. Mais les étalons de ces deux types peuvent être différents, c'est ce qui arrive lorsque l'on choisie une autre unité d'angle que le radian.

On homogénise la formule en attribuant une unité à l'opérateur `cos(".")`, ainsi que pour toutes les fonctions trigonométriques s'appliquant à un angle, mais cette unité est constitué d'une unité d'entré et d'une unité de sortie. On lui attribut l'unité `rad -> 1`. Cela signifie qu'il prend en argument un angle exprimé en radian et retourne en résultat un nombre sans unité.

L'adjonction de type `["Angle"]` dans notre système d'unité, va modifier les formules en adjoingnant à `k` une constante de conversion d'unité d'angle `vartheta` qui est sans unité et qui est égale au radian divisé par l'unité d'angle du système d'unité choisi. Ainsi `k` devient de type `["Angle"]["T"]^-1`, et `vartheta` qui est de type `[]`, est égale à un radian divisé par une unité d'angle du système d'unité choisi. Ainsi, dans un système d'unité où l'unité d'angle n'est pas le radian, les formules s'écrivent :

Où `vartheta` est égale à `1` radian divisé par `1` unité d'angle. Ainsi `vartheta k` est une fréquence exprimée en radian par seconde. Tandis que `k` est maintenant une fréquence exprimée en unité d'angle par seconde. `k` est la fréquence exprimée dans le système d'unité en cours.

A ce stade nous considérons deux types d'unité physique que sont le temps `["T"]` et l'angle `["Angle"]` :

Pour désigner de façon formelle le type d'une expression, on utilisera l'opérateur `ccT"(.)"`. Ainsi nous avons `ccT(t)"="["T"]`, `ccT(kt)"="["Angle"]`, `ccT(U)"="[]`, `ccT(k)"="["Angle"]"/"["T"]`, etc..

Puis nous définissons un système d'unité en fixant pour chaque type d'unité, un étalon. Considérons le système d'unité suivant :

Ce sytème d'unité pose la seconde notée `"s"` comme unité de temps, et pose `"rad"` comme unité d'angle, et se dipense donc de `vartheta` dans les formules.

4) Dérivée du signal sinusoïdal

On définie formellement une seconde variable d'état dépendant du temps. Cela se fait en déclarant le neurone suivant :

Ce formalisme est nécessaire pour lever les ambiguités. Après cette déclaration la variable `V` possède un système de coordonnée par défaut qui est `(t)`. Chaque apparition de la variable `V` à un endroit où on attend une valeur, correspondra à la valeur `Vcolor(#006090)((t))`, c'est à dire la valeur de `V` à l'instant `t`, ce qui s'écrit `V"="Vcolor(#006090)((t))`. Et on définie cette variable `V` comme étant la vitesse de variation du signal `U`, c'est à dire comme étant égale à la dérivée de `U` selon `t` :

On remarque que la dérivée de `U` selon `t`, désignée par la variable `V`, est de type `["T"]^-1`. Et on remarque que `V` obéït à la même équation locale mais avec des conditions initiales différentes :

L'instruction suivante dans MuPAD résoud l'équation différentielle en question :

D'autre part les règles de dérivation confirme le résulat. `V` correspond bien à la dérivée de `U` selon `t` :

5) Linéarité et principe de superposition

Une combinaison linéaire de `U` et de ses dérivées successives selon le temps, `U, dotU, ddotU, ..., U^((n))`, que l'on pose égale à un second terme indépendant de `U`, constitue une équation différentielle dite linéaire. Et elle est dite d'ordre `n` si le degré de dérivation maximum est `n`.

La notion d'indépendance évoquée ici est d'ordre syntaxique et programmative. Un terme est indépendant de `U` si et seulement si il est prédéterminé et précalculé, c'est à dire si dans le processus de calcul de `U`, il est déterminé et complétement calculé avant la moindre détermination concernant `U`. Mais cette condition n'est utilisée ici que pour définir ce qu'est une équation différentielle linéaire. Les démonstrations suivantes s'appliquent même si cette condition n'est pas satisfaite.

Si ce second terme de l'égalité est nul, l'équation est dite linéaire homogène. Une telle équation différentielle linéaire homogène possède la propriété suivante qui est évidente mais trés intéressante :

Cette propriété s'appelle le principe de superposition ou plus simplement s'appelle la linéarité.

L'équation différentielle en question ne comprend que l'équation locale et aucune condition initiale, c'est pourquoi il existe une infinité de solutions, chacune correspondant à une condition initiale. Par exemple, si `U` et `V` sont deux solutions c'est à dire satisfaisant :

Alors la superposition des deux signaux, `S = U+V`, constitura une autre solution, c'est à dire satisfera :

On a simplement sommer les deux équations membre à membre. Et de même si nous considérons une combinaison linéaire quelconque des signaux, `S = aU+bV`, le résultat satisfera encore cette même équation différentielle.

Une conséquence annexe de cette linéarité est que si on admet que les solutions sont des signaux sinusoïdaux c'est à dire de la forme `U``=``rsin(kt"+"varphi)`, alors la somme de signaux sinusoïdaux de même fréquence `k` produira nécessairement un signal sinusoïdale de même fréquence `k`.

Si dans l'équation différentielle le second terme de l'égalité n'est pas nul et est une constante ou une fonction quelconque du temps mais indépendante de `U`, alors l'équation est dite linéaire inhomogène. Et dans ce cas, le principe de superposition s'applique toujours mais avec une petite variante, le second terme de l'égalité qui exprime une contrainte imposée au système — on parlera de signaux oscillants asservies — doit s'ajouter également. C'est une propriété qui est évidente mais intéressante :

Par exemple si `U` et `V` sont deux solutions du système asservies respectivement par `F` et `G` qui sont deux fonctions du temps, autrement dit, si nous avons :

Alors la superposition des deux signaux, `S = U+V`, constitura une autre solution du système mais devant être asservie par `F+G`, c'est à dire satisfaisant :

On a simplement sommer les deux équations membre à membre. Et de même si nous considérons une combinaison linéaire quelconque des signaux `S = aU+bV`, le résultat satisfera cette même équation différentielle asservie par `F` et `G` pondérés par les facteurs de la combinaison linéaire :

On appel médium, ou éther, ou guide d'onde, le système qui héberge l'onde, qui lui sert de support, qui la contient et qui lui permet de se propager. Et on dit que le médium ou l'éther, ou le guide d'onde est linéaire lorsque ces propriétés sont vérifiés.

Quel est la nature du champ ? Le champs défini ici n'a pas d'unité, c'est un nombre pure. La valeur physique du signal varie selon un axe, l'axe du champ. Cet axe n'est pas apriori un axe d'espace, mais l'axe des nombres sans unité.

Selon Galilé il n'existe pas de centre de l'univers, de point singulier qui serait une origine spatiale, ni de point singulier dans le temps qui serait une origine temporelle. C'est le premier principe de relativité classique. Si on étend ce principe également à l'axe du champ, alors il ne doit pas y avoir de différence de nature entre un champ nul et un champ constant. L'équation local de propagation d'onde, si elle veut satisfaire à ce principe de Galilé, doit définire un champ `U` à une constante près `U_0`. L'équation local devient une équation différentielle linéaire inhomogène avec un terme constant comme second membre, `U_0`, qui représente la composante constante du champ :

La valeur `U_0` est la composante constante du champ. Tout se passe comme si nous avions ajouté au signal `U` défini dans le chapitre précédent, une constante c'est à dire un signal constant `U_0`. Et donc ce champ constant n'a rien à voir avec le paramètre `k`. Et il convient d'avoir une expression de l'équation locale qui mettent en évidence cette propriété. Cela se fait en regroupant le paramètre `k` avec le temps, et on peut ainsi facilement isoler la composante constante `U_0` du signal `U` :

6) Application du principe de linéarité

Nous avons résolut cette l'équation deux fois avec des conditons initiales différentes. Nous avons ainsi trouvé deux solutions :

Grace à la linéarité, on en déduit que toutes combinaisons linéaires de ces deux solutions est encore une solution. La solution générale est :

Et les conditions initiales sont données par les `2` valeurs `U` et `dotU` à l'instant `t"="0`, et qui sont les mêmes que ceux obtenues par combinaison linéaire des deux condition initiales.

La somme de signaux sinusoïdaux de même fréquence produit nécessairement un signal sinusoïdal de même fréquence. Donc la solution générale se met sous la forme d'une sinusoïde suivante :

On résoud le système d'équation suivant uniquement en considérant les deux valeurs `kt"="0` et `kt"="pi"/"2` :

Si nous partons de l'équation locale plus générale contenant une composante constante inconnue `U_0` :

Et les conditions initiales sont données par les `3` valeurs `U, dotU` et `ddotU` à l'instant `t"="0` :

La composante constante s'avère simplement ajoutée aux solutions de l'équation différentielle homogène et ne change rien d'autre.

7) Résolution à l'ordre 1

Toute équation différentielle linéaire peut être résolue à l'ordre `1` dans un espace plus grand comprenant autant de dimension que l'ordre de l'équation différentielle. Ici on considère l'espace vectorielle `RR^2`, et on note les vecteurs avec une flèche tandis que leur composantes sont notées avec un indice `""_1,""_2`, et à ne pas confondre avec le champ constant `U_0`. Considérons un vecteur `vecV` quelconque de `RR^2`. La dérivé selon `t` d'un vecteur s'obtient par définition en dérivant chacune de ses composantes selon `t` :

On considère une nouvelle variable d'état `vec(bbU)` notée en lettre droite, définie à partir des variables `U` et `dotU` comme suit :

L'équation locale `ddotU + k^2U = k^2U_0` se réécrit fonction de cette nouvelle variable `vec(bbU)` et de ses composantes `bb(U)_1` et `sf(U)_2` comme suit :

L'équation locale, qui est une équation différentielle linéaire d'ordre 2, est équivalente à une équation différentielle linéaire d'ordre 1 et de dimension 2 :

8) Résolution par éléments finis

On procède à un maillage du temps en une succétion de portions égales à `dt`. Puis nous établissons l'équation aux mailles à partir de l'équation locale :

Cette égalité permet de déterminer `Ucolor(#006090)((t"+"dt))` en fonction de `U` et de `Ucolor(#006090)((t"-"dt))` avec une approximation en `o(dU^2)`. Le calcul devient approximatif car `dt` n'est plus un élément différentiel mais la taille de la maille.

On choisie un système d'unité où `dt"="1`. On dira que l'on se place à l'échelle de la maille. L'équation aux mailles se traduit alors en une équation numérique notée comme suit :

Où `t` est un entier, où `U` est une listes de valeurs, et où `U[t]` désigne la valeur placé à la place `t` dans la liste `U`, et qui corespond à la valeur de `U` à l'instants `t`.

Nous établissons une seconde équation aux mailles pour calculer `dotU` avec une approximation en `o(dU)`, de la même façon à partir de la définition de la dérivée de `U`. Et deux possibilités simples s'offrent à nous :

L'une est dite avancé d'une demi-maille, l'autre est dite retardé d'une demi-maille.

Les conditions initiales sont les valeurs de `Ucolor(#006090)((0))"="0` et `dotUcolor(#006090)((0))"="1`. Ce qui se traduit à l'échelle de la maille où `dt"="1` par :

8.1) Résolution à l'ordre 1 et par éléments finis

Il existe une autre façon d'établir l'équation aux mailles qui consiste à utiliser la résolution à l'ordre `1`. On utilise le vecteur `vec bbU` dont les composantes sont `U` et `dotU`, et qui satisfait l'équation locale suivante :

C'est un système d'équations locales pour deux variables d'état `U` et `dotU` :

Ce système correspond à la solution où `dotU` est avancé d'une demi-maille. En notant `V"="dotU`, l'équation aux mailles à l'échelle de la maille où `dt"="1` est :

Le signal est déterminé par la connaissance de `U(0)` et de `dotU(0)` la dérivée avancée d'une demi-maille, ainsi que de la constante `U_0`. Si on ne connait pas cette constante il faut alors connaitre une troisième valeur. Par exemple il faut connaitre `3` valeurs de champs telles que `U(0), dotU(0), ddotU(0)`.

Le calcul différentielle n'est exacte que si `dt` est un infiniment petit. En se basant sur le théorème de l'échantillonnage de Shannon, y-a-t-il un algorithme de calcul exacte qui détermine l'évolution de la valeur du champ pour une suite échantillonnée d'instants `0,dt,2dt,3dt,...` ?

9) Résolution exacte par éléments finis

En décomposant le signal sinusoïdale en sa composante constante `U_0`, son amplitude `a`, et sa phase `varphi`, l'algorithme de calcul par éléments finis d'un signal sinusoïdal devient exacte. L'algorithme consiste à chaque itération à ajouter à la phase `varphi` la même quantité `k dt`. Le système discrétisé exacte (système d'équations aux mailles) est alors le suivant :

Le calcul procède à un échantillonnage de fréquence `1"/"dt`. Et donc `k` doit être inférieur ou égale à `1"/"(2dt)` pour qu'il n'y ait aucune perte d'information causé par l'échantillonnage du signal.

10) Le changement d'unité d'angle

A certain moment, on ne souhaitera pas utiliser comme unité, le radian, qui semble une façon impropre de masquer `pi`. On préfèrera utiliser comme unité, le tour, qui vaut `2pi` radians. Ainsi, on exprimera la fréquence en tour par seconde c'est à dire en hertz, c'est à dire en nombre de fois `2pi` radian par seconde. Le tour est une unité canonique (on verra plus tard que le 2 tours et encore davantage canonique), c'est pourquoi il peut être judicieux de le choisire comme unité d'angle.

Le formalisme expliqué au chapitre 3 va oppérer ce changement sans changer la forme des formules de l'onde :

où `k` désigne la fréquence en hertz (tour par seconde), `varphi` désigne la phase en tour, `a` et `b` sont des valeurs sans unité désignant les facteurs de la décomposition en deux signaux déphasés d'un quart de tour.

L'inverse de `k` représente la période `T` du signal, c'est à dire le temps nécessaire exprimé en secondes pour que le signal retrouve de mêmes valeurs et se répète exactement :

11) Échantillonnage

Le théorème de l'échantillonnage dit qu'un signal qui ne contient pas de composantes de fréquences supérieures ou égales `nu`, est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacées par la demi-période de la fréquence `nu`, soit régulièrements espacées de la durée de `1"/"(2nu)` secondes où la fréquence `nu` est exprimée hertz c'est à dire en nombre de tours par seconde.

  Un signal ne contenant pas de fréquence supérieure ou égale à `nu` peut être échantillonné à la fréquence `2nu` sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

  Et réciproquement :

  Un échantillonnage de fréquence `nu` détermine un unique signal passant par tous les points de l'échantillonnage et n'ayant pas de composante de fréquence supérieure ou égale à `nu"/"2`.

Le même théorème mais exprimé à l'aide des périodes :

  Un signal ne contenant pas de composante de période inférieure ou égale à `tau` peut être échantillonné par intervalle de `tau"/"2` sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

  Et réciproquement :

  Un échantillonnage par intervalle de temps `tau` détermine un unique signal passant par tous les points de l'échantillonnage et n'ayant pas de composante de période inférieure ou égale à `2tau`.

D'autre part,

Si le signal est périodique se répétant à la fréquence `omega` alors il ne contient en dehors de la composante constante que des composantes de fréquence égale à un multiple entier de `omega`

La même remarque mais exprimée à l'aide des périodes :

Si un signal est périodique de période `T` alors il ne contient en dehors de la composante consatante que des composantes périodiques de période divisant `T` de façon entière, et donc il est égale à une somme de signaux de période ` T, T"/"2, T"/"3,T"/"4 ...` plus une constante.

Le maillage correspond à un échantillonnage du signal à la fréquence `1"/"dt`. Si le signal ne comporte pas de fréquence supérieure ou égale à `1"/"(2dt)`, alors le maillage n'opère aucune perte d'information.

12) Comment définir l'énergie d'un signal sinusoïdal ?

On pose un signal sinusoïdal `U` quelconque de fréquence `k`, d'amplitude `a`, de phase initiale `varphi` et de composante constante `U_0` :

`U = U_0+a sin(kt +varphi)`

et qui constitue une solution générale de l'équation locale :

`U + ddotU^2/k^2= U_0 `

On veut définir une variable d'état `E` représentant l'énergie, qui doit être constante puisque le système n'intéragit pas avec l'extérieur et donc n'échange pas d'énergie avec l'extérieur.

`E←t`

La variable d'état `E` doit être invariante selon le temps `t`, autrement dit, de dérivée nulle `dotE=0`. Cette condition ne suffit pas pour définir `E`, mais elle entraine que `E` est une fonction de `(a,varphi,k,U_0)`, puisque ces 4 paramètres déterminent complètement le signal `U`.

Le médium (ici ponctuel) étant supposé linéaire, ou autrement dit, l'équation locale étant une équation différentielle linéaire, la phase instantanée varie en fonction du temps alors que les autres paramètres `a, varphi,k` et `U_0` sont constant. Donc l'énergie ne peut pas dépendre de la phase instantanée. Et si elle ne dépend pas de la phase instantanée alors elle ne dépend pas non plus de la phase initiale. D'autre part, le relativisme classique (Galilé) appliqué à l'axe du champ fait qu'il n'y a pas de point singulier sur l'axe du champ et donc que l'énergie ne dépend pas de `U_0`. L'énergie ne peut donc dépendre que des deux autres paramètres que sont l'amplitude `a` et la fréquence `k`. On reconsidère l'équation en posant `U_0"="0`.

On choisira de définir une énergie proportionnelle au carré de l'amplitude comme on le rencontre dans de nombreuses expériences mécaniques et électriques.

Les variables `U, dotU, E ` possèdent un système de coordonnées par défaut qui est `(t)`. Puis on pose les expressions de `U` et `dotU`, et on définit l'énergie `E` comme suit :

`U = a sin(kt "+"varphi)`

`dotU = ak cos(kt "+"varphi)`

`E = U^2+(dotU/k)^2`

C'est l'identité de Pythagore `sin(x)^2+cos(x)^2 = 1` qui nous permet de calculer l'amplitude à partir des seuls valeurs du champ `U` et `dotU` et de la fréquence `k`.

`E = U^2+1/k^2dotU^2`

`E = a^2 sin(kt "+"varphi)^2 + a^2cos(kt "+"varphi)^2`

`E = a^2 (sin(kt "+"varphi)^2 + cos(kt "+"varphi)^2)`

`E = a^2`

Et on démontre que la dérivé de l'énergie, notée `dotE`, est bien nulle :

`(dE)/dt = (dU^2)/dt+1/k^2(d dotU^2)/dt `

`dotE = (dU^2)/(dU) (dU)/(dt) + 1/k^2(d dotU^2)/(d dotU) (d dotU)/dt `

`dotE = 2U(dU)/(dt)+1/k^2 2dotU (d dotU)/(dt) `

`dotE = 2UdotU+2/k^2dotU ddotU `

`dotE = 2UdotU+2/k^2dotU ("-" k^2U) `

`dotE = 0`

C'est la définition de référence d'une énergie égale au carré de l'amplitude du signal. Considérons un signal `U` avec une composante constante `U_0`. L'énergie du signal est :

`E = (U-U_0)^2+(dotU^2)/k^2`

`E = ((ddotU)/(k^2))^2+(dotU^2)/k^2`

`E = (ddotU^2)/(k^4)+(dotU^2)/k^2`

Considérons maintenant le principe de superposition. La somme de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence produit un signal sinusoïdal de même fréquence mais dont l'énergie n'est pas forcement la somme des énergies des deux signaux. Elle peut en effet être nulle si les signaux s'annule par interférence. Et elle peut être plus grande que la somme des deux si les signaux sont en phase et s'ajoutent complétement. En effet, dans ce cas les amplitudes s'ajoutent, et l'énergie qui est proportionelle au carré de l'amplitude est alors plus grande que le somme des énergies, le carré d'une somme de valeurs positives étant plus grand que la somme des carrés de ces valeurs.

Dans un medium linéaire homogène l'énergie d'un signal ne dépend pas de sa phase. Et pour une fréquence fixe, l'énergie est une fonction de l'amplitude. Les amplitudes de deux signaux superposés se retranchent si les signaux sont en opposition de phase, et s'ajoutent s'ils sont en phase. L'énergie en est leur carré.

Peut-on donner une définition de référence de l'énergie d'un signal sinusoïdal ? Chaque signaux sinusoïdaux a-t-il une énergie proportionnelle à son amplitude, et ceci quelque soit sa nature ? Pour l'instant nous ne pouvons pas répondre à cette question, car l'énergie se définie dans un système mécanique où des forces travaillent en produisant et consommant cette énergie. Néanmoins on peut répondre à cette question dans des cas trés généraux tel qu'une oscillation mécanique.

13) Oscillateur mécanique

Considérons un espace unidimensionnel dans lequel évolue une particule de masse `m` à la position `x` et à la vitesse `v`, et considérons une force de rappel vers le point `0` qui est proportionnelle à `x`. Comme si on avait attaché la particule au point `0` à l'aide d'un ressort capable de se rétracter complètement et de se retourner.

Le mouvement de la particule est déterminé par l'équation fondamental de la dynamique qui dit que la force est égale à l'accélération multipliée par la masse, ou autrement dit, égale à la variation de la quantité de mouvement (et on considère le cas non relativiste) :

`m(d^2x)/(dt^2)= - zetax`

Où zeta `zeta` est le facteur de proportionnalité entre la force de rappel et l'éloignement, la raideur du ressort si on reste dans la métaphore. Cette formule correspond à la même équation différentielle étudiée au chapitre 2 en remplaçant `U` par `x` et `k^2` par `zeta"/"m` :

`(d^2x)/(dt^2)= - k^2x`

`k^2=zeta/m`

Le mouvement est donc sinusoïdal de fréquence `k` et d'amplitude `a = sqrt(x^2 + ( dotx^2)/k^2)`

`k = sqrt(zeta/m)`

`a = sqrt(x^2 + m/zeta dotx^2)`

A partir de l'équation locale `mddotx = - zetax` et du principe d'inertie, on peut déduire le champ de force constant (dans le temps) qui en est la cause. Pour un champ de force constant, il n'y a donc que ce type de champ de force, une force attractive centrale et linéaire, qui engendre un mouvement sinusoïdal. La mécanique va pouvoir nous donner une définition de l'énergie. Mais il convient d'abord de présenter les principes mécaniques nécessaires à la définition de l'énergie.

14) Les bases de la mécanique classique

La première hypothèse qu'il convient de poser, consiste à décrire l'expérience. On se place dans un espace unidimensionnel et on y place une particule de masse `m` à la position `x` et ayant une vitesse `v`. On note `dotx=v` la vitesse de la partivule, et `ddotx=dotv` l'accélération de la particule. On pose qu'il existe un champ de force en tout point de l'espace défini comme suit :

`f = - zetax`

C'est une force qui est attractive vers le point `0` et proportionnelle à la distance à ce point. Plus on est éloigné et plus on est attiré, plus on est proche moins on est attiré, et lorsque on est au point `0` la force est nulle. Cela se comporte comme si nous étions attaché à un ressort au point zéro, un ressort qui serait capable de se replier sur lui-même complétement et de se retourner. Et la raideur du ressort serait `zeta`. Autrement dit, on considère une force attractive centrale et linéaire de raideur `zeta`.

La seconde hypothèse est le principe fondamental de la dynamique qui dit que la force résultante sur la particule est égale à la variation de sa quantité de mouvement (cas non relativiste) :

`f = mddotx`

`f = mdotv`

`f = m(dv)/dt`

`f dt = mdv`

Ce principe comprend le principe d'intertie qui dit qu'une particule soumise à aucune force possède une vitesse constante, et qu'elle possède donc une énergie inertielle dite cinétique noté `E_c` fonction de sa vitesse et de sa masse.

La troisième hypothèse est la définition du travail d'une force, qui dit qu'une force `f` s'appliquant sur une particule se déplaçant d'une longueur `dx` effectue un travail `dW` égale au produit de la force et du déplacement effectué, et que ce travail est une énergie qui s'ajoute à l'énergie inertielle de la particule. Appliqué à la force résultante, nous avons :

`dW= fdx`

`dW= m(dv)/(dt) v dt`

`dW= mvdv `

L'élément différentiel `mvdv` étant exacte, il s'intègre sans difficulé sur un chemin quelconque et donne un résultat ne dépendant que de la vitesse de départ et de la vitesse d'arrivé et de `m`. Si nous intégrons sur le chemin parcouru entre l'instant `0` et l'intant `t`, nous obtenons :

`W = int_(xcolor(#006090)((0)))^(xcolor(#006090)((t))) fdx = int_(vcolor(#006090)((0)))^(vcolor(#006090)((t))) mvdv = m[v^2/2]_(vcolor(#006090)((0)))^(vcolor(#006090)((t)))`

`W = 1/2 mvcolor(#006090)((t))^2 - 1/2mvcolor(#006090)((0))^2`

Et comme par principe cette énergie `W` est ajoutée à l'énergie cinétique `E_c` nous avons :

`W = E_c color(#006090)((t)) - E_c color(#006090)((0))`

`E_c color(#006090)((t)) - 1/2 mvcolor(#006090)((t))^2 = E_c color(#006090)((0)) - 1/2mvcolor(#006090)((0))^2`

On en déduit la définition de l'énergie cinétique :

`E_c = 1/2 mv^2`

L'énergie d'un système sans échange avec l'extérieur étant constante, et ayant exhibé une composante de l'énergie qu'est l'énergie cinétique, il existe une seconde composante qui est son complémentaire par rapport à l'énergie totale de la particule, et que nous appellons energie potentielle `E_p`. Et l'énergie totale de la particule noté `E` est égale à leur somme :

`E = E_c + E_p`

L'énergie potentielle se calcule par ses variations qui traduise le travail de la force. Pour des forces centrales, le travail de la force au cours d'une excursion de la particule ne dépend que du point de départ et du point d'arrivé de la particule, et ceci quelque soit le chemin qu'elle a suivi, créant ainsi un champ potentiel lié à l'espace.

Le champ de force `f=zetax` étant particulièrement simple, l'intégration précédente se résoud directement :

`W = int_(xcolor(#006090)((0)))^(xcolor(#006090)((t))) fdx = int_(xcolor(#006090)((0)))^(xcolor(#006090)((t))) - zetaxdx = -zeta[x^2/2]_(xcolor(#006090)((0)))^(xcolor(#006090)((t)))`

`W = - 1/2zeta(xcolor(#006090)((t))^2 - xcolor(#006090)((0))^2)`

Et comme par principe cette énergie `W` est retirée à l'énergie potentielle `E_p` nous avons :

`W = -(E_p color(#006090)((t)) - E_p color(#006090)((0)))`

`E_p color(#006090)((t)) - 1/2 zetaxcolor(#006090)((t))^2 = E_p color(#006090)((0)) - 1/2zetaxcolor(#006090)((0))^2`

On en déduit la définition de l'énergie potentielle :

`E_p = 1/2 zetax^2`

Dans ce champ de force étudiée, le travail de la force ne dépend pas du chemin parcouru mais seulement du point de départ et du point d'arrivé. L'énergie totale est égale à :

`E= 1/2 (mv^2 + zetax^2)`

Le mouvement sinusoïdal possède une fréquence `k` et une amplitude `a` comme suit :

`k = sqrt(zeta/m)`

`a = sqrt(x^2 + m/zeta v^2)`

L'énergie `E` s'exprime en fonction de l'amplitude `a` comme suit :

`a = sqrt(x^2 + m/zeta v^2)`

`a^2= x^2 + m/zeta v^2`

`zeta a^2= zetax^2+mv^2`

`zeta a^2=mv^2 + zetax^2`

`1/2zeta a^2= 1/2(mv^2+zetax^2)`

`1/2zeta a^2= E`

Ainsi dans le cas d'une force attractive centrale linéaire, le mouvement est sinusoïdal et l'énergie est proportionnelle au carré de l'amplitude, et le facteur de proportionnalité vaut la moitier de la raideur de la force `zeta"/"2`.

15) Système d'unités

Pour des raisons toutes aussi fondamentales, la seconde unité qui est définie, est la distance. Le type d'unité de distance est noté `["L"]` pour longueur. L'étalon de longueur choisie est le mètre noté "m". Puis la troisième unité qui est définie est la masse inerte. Le type d'unité de la masse inerte est noté `["M"]` pour masse. L'étalon de masse inerte choisie est le kilogramme noté "kg". A ce stade, le système d'unité choisie est :

`{["T"]:"s", ["L"]:"m", ["M"]:"kg"}`

1) Force

Le principe de la dynamique définit la force :

`f=m ddotx`

Et indique que la force `f` a comme type d'unité `["M"]["L"]["T"]^-2`. Noter que `ddotx = d^2x"/"dx^2`, et que le type de `d^2x` est le même que `dx` qui est le même que `x`, tandis que le type de `dx^2` est le même que celui de `x^2`. La force étant définie en chaque point de l'espace, on parle de champ de force.

2) Raideur

Le champ de force attractif central linéaire est définie par :

`f = - zeta x`

Et indique que le facteur de raideur `zeta` a comme type d'unité `["M"]["T"]^-2`.

3) Vitesse et accélération

La vitesse et l'accélération sont définie par les formules de cinématiques suivante:

`v = dotx= (dx)/(dt)`

`Gamma = ddotx = (d^2x)/(dt ^2)`

Et indique que la vitesse `v` a comme type d'unité `["L"]["T"]^-1` et l'accélration `Gamma` a comme type d'unité `["L"]["T"]^-2`. Noter que le type d'une variable `v` est le même que `dv` car par définition nous avons `dv = v(t+dt)-v(t)`.

4) Travail

Le travail de la force est définie par :

`dW = mvdv`

`dv` désigne une petite variation de vitesse de la masse `m`, résultat de l'action de la force. Le travail `dW` représente une énergie apportée par la force au cours d'un lapse de temps `dt`. La formule indique que l'énergie `W` a comme type d'unité `["M"]["L"]^2["T"]^-2`.

5) Energie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule de masse `m` est

`E_c=1/2 m v^2`

La formule confirme que l'énergie `E_c` a comme type d'unité `["M"]["L"]^2["T"]^-2`.

6) Energie potentiel

L'énergie potentiel associée au champ de force central linéaire de raideur `zeta` est :

`E_p=1/2 zeta x^2`

La formule confirme que l'énergie `E_p` a comme type d'unité `["M"]["L"]^2["T"]^-2`.

7) Fréquence

L'équation différentiel indique que le mouvement est sinusoïdale de fréquence `k` en radian par seconde.

`k = sqrt(zeta/m)`

La formule confirme que la fréquence `k` a comme type d'unité `["T"]^-1`. Et comme nous n'avons pas définie d'unité d'angle, celle-ci est le radian. Si nous utilisons le tour comme unité d'angle alors la formule de la fréquence exprimée en Hertz sera :

`1/(2pi) sqrt(zeta/m)`

8) Amplitude

L'amplitude `a` est donnée par cette formule :

`a = sqrt(x^2 + m/zeta v^2)`

La formule confirme que l'amplitude `a` est une distance, et a comme type d'unité `["L"]`. Nous avons décrit un signal mécanique, dans laquel l'axe du champ correspond à l'axe des `x`. Donc dans cet exemple, le champ de l'onde possède une unité qui est la distance.

9) Energie totale

Le mouvement sinusoïdale engendré par la force central attractive linéaire possède une énergie totale `E` proposrtionnelle au carré de l'amplitude :

`E = 1/2 zeta a^2 = E_p+E_c`

La formule confirme que l'énergie `E` a comme type d'unité `["M"]["L"]^2["T"]^-2`.

10) Notation habituelle

Variable	Nature	Type	Unité	Unité alias	Nom
`t`	Temps	`["T"]`	`"s"`		Seconde
`x`	Distance	`["L"]`	`"m"`		Mètre
`v`	Vitesse	`["L"]["T"]^-1`	`"m" "s"^-1`
`Gamma`	Accélération	`["L"]["T"]^-2`	`"m" "s"^-2`
`f`	Force	`["M"]["L"]["T"]^-2`	`"kg" "m" "s"^-2`	`"N"`	Newton
`E`	Energie	`["M"]["L"]^2["T"]^-2`	`"kg" "m"^2 "s"^-2`	`"J"`	Joule
`k`	Fréquence	`["T"]^-1`	`"rad" "s"^-1`
`omega`	Fréquence	`["Angle"]["T"]^-1`	`"tour" "s^-1`	`"Hz"`	Hertz

16) Champ de force dérivant d'un potentiel

Lorsque le travail des forces ne tient compte que du point de départ et du point d'arrivé, et non du chemin emprunté, il définit un champ potentiel. Et dans le cas générale, toute les formes de champ potentiel sont possibles et déterminent le champ de force. Autrement dit, le champ potentiel `E_p` est définit en tout point de l'espace `x` par une fonction analytique (c'est à dire infiniment dérivable et de série de taylor convergente en tout point) :

`E_p "←"(x)`

A partir de ce champ potentiel, on obtient le champ de force en suivant la plus grande pente :

`f = -(dE_p)/(dx)`

On le démontre simplement en considérant la définition de la force `f`, du travail `dW`, de l'énergie cinétique `E_c`, et de l'énergie totale `E` qui est par principe constante :

`f = m (dv)/(dt)`

`dW = mvdv`

`E_c=1/2 m v^2`

`E = E_p+ E_c`

On en déduit que :

`dv = f/m dt`

`dW = mv f/m dt`

`dW = v f dt`

`dW = f dx`

`dW = - (dE_p)/(dx) dx`

`dW = -dE_p`

`dW = -d(E-E_c)`

`dW = dE_c`

Le travail de la force traduit un transfert d'énergie, de l'énergie potentiel du système vers l'énergie cinétique de la particule, leur somme constituant l'énergie totale du système. Et l'énergie totale est invariante puisque il n'y a pas d'échange avec l'exterieur.

Dominique Mabboux-Stromberg, 2020

Equation local	Equation aux mailles à l'échelle de la maille où `dt"="1` et où `V"="dot(U)`
`dotU =(Ucolor(#006090)((t"+"dt))-U)/(dt)`	`V[t]= U[t"+"1]-U[t]`

Modèle de propagation d'onde (I)

1) Introduction