La formule de composition des couleurs s'établit à partir du modèle corpusculaire le plus simple mettant en oeuvre la conservation d'un flux de lumière interagissant avec un corps, dans un guide d'onde d'une seul dimension, selon trois lois linéaires que sont la réflexion, l'absorbtion et la transmission. Le phénomène étant linéaire, le calcule s'opèrent sur chaque fréquence de la lumière indépendament des autres fréquences et selon des facteurs linéaires constants appelés coefficients de reflexion r, coefficent d'absorbtion a, et coefficient de transmission t, définis globalement, c'est à dire caractérisant globalement le comportement du corps que l'on pose initialement symétrique par soucie de simplicité. On ne s'intéresse donc pas au détail, au comment les choses vont s'oppérer dans le corps ou à sa surface, mais seulement globalement :
Le flux lumineux d'intensité x interagit avec le corps, une partie r*x est réflechie, une partie a*x est absorbée et une partie t*x est transmise. Comme rien ne se perd, nous avons x = r*x + a*x + t*x, et la somme r + a + t = 1. Dans la suite, nous notons la multplication par absence de symbôle, ainsi nous avons rx+ax+tx =x et donc r+a+t=1.
Si on modèlise une lumière ne possèdant que trois fréquences, une dans le rouge, une dans le vert et une autre dans le bleu, le calcul s'opère alors sur chacune de ces fréquences, indépendament des autres. Il existe alors des coefficients de reflexion, d'absorbtion et de transmission relatives à chacune de ces composantes.
Le calcul de la composition des couleurs s'inscrit dans un problème plus vaste de calcul des coefficients de reflexion, d'absorbtion, et de transmission d'un corps composé de deux corps mis à la suite dans un guide d'onde, ayant ainsi une exclusivité du regard de l'autre, et ayant chacun leurs propres coefficients de reflexion, d'absorbtion et de transmission.
Mais une telle composition de deux corps ne constitue plus un corps symétrique. Il faudra faire le calcul des deux cotés, et le résultat de cette composition n'étant pas symétrique, on est amené à concevoir des corps asymétriques, avec une face et un dos, et dont le comportement lumineux passif diffère d'une face à l'autre, et se caractérise exactement par 4 coefficients nouvellement nommés (r, t, r', t') que sont les coefficients de reflexion et de transmisssion de face, et les coefficients de reflexion et de transmission de dos, et à partir desquels on déduit le coefficient d'absorbtion de face 1 - r - t et le coefficient d'absorbtion de dos 1 - r' - t'.
Il faut donc se poser la question générale de la composition de deux tels corps : Considérons une source lumineuse émettant une lumière d'intensité 1 dans une de ses composantes, puis un premier corps en regard exclusif avec cette source, et déterminé par ses 4 coefficients (r, t, r', t'), puis un second corps en regard exclusif du dos du premier corps, déterminé par ses 4 coefficients (R, T, R', T'), et traçons le parcours des rayons lumineux sans considération géométrique, juste topologique, le guide d'onde étant considéré d'une seul dimension :
Nous obtenons des suites géométriques, et le calcule donne comme résultats :
Coefficient de réflexion de face : r + tt'R/(1 - Rr')
Coefficient de transmission de face : tT/(1 - Rr')
Et par symétrie, en intervertissant les corps et en les retournants, c'est à dire en permutant (r,t,r',t') par (R',T',R,T) nous obtenons :
Coefficient de réflexion de dos : R' + TT'r'/(1 - Rr')
Coefficient de transmission de dos : t'T'/(1 - Rr')
On formalise l'opération binaire, sur, consistant à former un corps en le composant de deux corps, le premier étant placé entre la source lumineuse et le second corps, face à la source, et le second corps étant placé face au dos du premier. Nous avons :
(r,t,r',t') sur (R,T,R',T') = ( r + tt'R/(1-Rr'), tT/(1-Rr'), R' + TT'r'/(1-Rr'), t'T'/(1-Rr') )
Noter que cette opération n'est pas symétrique, mais qu'elle est associative de par sa construction :
(X sur Y) sur Z = X sur (Y sur Z)
On vérifie cette associativité sur un exemple générale. Cela constitue un contrôle d'intégrité (ou d'erreur) de haut niveau, un point important qui nous permet ainsi de s'assurer fortement qu'il n'y a pas d'erreur de calcul.
Pour être plus complet dans ce mode de raisonnement simple et global, on rajoute un autre phénomène simple et global qu'est la luminescence constante du corps, spécifique pour chaque face et pour chaque composante de la lumière. On ajoute donc deux coefficients de plus, s caractérisant l'émission constante de lumière de la face du corps, et s' caractérisant l'émission constante de lumière du dos du corps.
Le phénomène est linéaire et la luminescence n'interfère pas sur la reflexion, l'absorbtion et la transmission. Par contre, la luminescence résultante de la composition de deux corps y dépend : Considérons un premier corps luminescent avec ses 6 coefficients (s, r, t, s', r', t'). puis un second corps luminescent avec ses 6 coefficients (S, R, T, S', R', T'), et traçons le parcours des rayons lumineux sans considération géométrique, juste topologique, à partir de la seul source lumineuse émanante du premier corps :
Nous obtenons des suites géométriques, et le calcule donne comme résultats la luminescence produite par le premier corps :
Coefficient de luminescence de face : s + s'Rt'/(1 - Rr')
Coefficient de luminescence de dos : s'T/(1 - Rr')
auquel il faut ajouter la luminescence produite par le deuxième corps, que l'on obtient par symétrie en retournant le shema, c'est à dire en permutant (s,r,t,s',r',t') par (S',R',T',S,R,T), et en permutant la face et le dos. Nous obtenons la luminescence produite par le second corps :
Coefficient de luminescence de face : St'/(1 - Rr')
Coefficient de luminescence de dos : S' + Sr'T/(1 - Rr')
Ce qui donne une luminescence résultante :
Coefficient de luminescence de face : s + (s'R + S)t'/(1 - Rr')
Coefficient de luminescence de dos : S' + (Sr' + s')T/(1 - Rr')
On formalise l'opération, sur, consistant à former un corps à partir de deux corps, le premier étant placé, la face vers une direction privilégiée (d'où émanait la source lumineuse lors des experiences précédentes) et le second étant placé dérrière, face au dos du premier corps, la face toujours dirigée vers cette direction privilégié. On pose µ = 1/(1 - Rr'), Nous avons :
(s,r,t,s',r',t')sur(S,R,T,S',R',T') = ( s + (s'R + S)t'µ, r + tt'Rµ, tTµ, S' + (Sr' + s')Tµ, R' + TT'r'µ, t'T'µ )
Noter que cette opération n'est pas symétrique, mais qu'elle est associative de par sa construction :
(X sur Y) sur Z = X sur (Y sur Z)
On vérifie cette associativité sur un exemple générale. Cela constitue un contrôle d'intégrité (ou d'erreur) de haut niveau, un point important qui nous permet ainsi de s'assurer fortement qu'il n'y a pas d'erreur de calcul.
