Le développement de logiciel de calcul formel, libre et open source, donne un motif de recherche pour une structuration de l'algèbre épousant un langage de programmation.
Les structures algébriques, telle les complexes et les quaternions notamment, sont engendrées par leurs unités qui forment de petites structures de groupe avec un très petit nombre d'éléments générateurs. On peut parcourir ces groupes de façon exhaustive selon leur nombre d'éléments. Il y a exactement `14` groupes à isomorphisme près, ayant au plus `8` éléments. Tous ces groupes se plongent dans un groupe de permutation commun.
La structure comprend un langage complété par des éléments générateurs et comprend une théorie écrite dans ce langage. On se propose de lancer un processus de construction de structures algébriques en partant des groupes d'unités les plus simple d'abord, puis définissant par dessus une structure d'anneau dont la loi de produit étend la loi de produit du groupe des unités. Chaque élément générateur ainsi exposé pourra porter une définition permettant une extension de structures. Nous parcourrons la liste de ces structures d'anneau en définissant des éléments générateurs comme clefs d'entrée.
On utilise la description complète des groupes d'ordre 1 à 32 faite par Alain Debreil dans son ouvrage "Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes", (Edition Calvage & Mounet 2016).
La structure de groupe `U` en notation multiplicative, dans sa forme de Skolem plus apte à être interprété informatiquement, possède comme langage; un opérateur binaire `"∗"` appelé multiplication ou produit et que l'on note souvent par absence de symbole simplement en juxstaposant les arguments, un élément neutre `1`, un opérateur unaire `sf"inv"` appelé inverse que l'on note souvent par l'exposant `""^(-1)`. Et elle possède comme théorie; l'associativité, l'élément neutre et l'inverse.
Le langage commun à tous les groupes en notation multiplicative est :
`"∗(.,.)",1, sf"inv""(.)"`
Avec ses variantes permettant d'écrire : `AAxAAy,`
`x"*"y = xy`
`sf"inv"(x)=x^-1`
La théorie commune à tous des groupes comprend les 5 axiomes suivants : `AAxAAyAAz,`
`xyz=xyz`
`x"∗"1 = x`
`1"∗"x = x`
`x x^-1 = 1`
`x^-1x = 1`
Il n'existe pas de groupe vide. Tout groupe possède au moins un élément, car il possède nécessairement son élément neutre nommé dans son langage par `1`.
La théorie des groupes ainsi formulée est une théorie d'égalité universelle. Elle ne contient que des égalités entre termes et des variables quantifiées universellement. Elle nous permet de définir ce qu'est le groupe libre engendré par des éléments générateurs.
Quelques propriétés des groupes qui peuvent être démontrées : `AAxAAyAAz,`
`(x^-1)^-1 = x`
`(xy)^-1= y^-1x^-1`
`(xyz)^-1= z^-1y^-1x^-1`
...
Lorsque la structure n'a qu'un seul ensemble sous-jacent et que le langage de la structure n'est composé que d'éléments et d'opérateurs qui sont des applications de cet ensemble sous-jacent sur lui-même, on définie le langage simplement par une séquence d'éléments et d'opérateurs en précisant leur arité à l'aide du préfixe `"(.)"`, ou `"(.,.)"` ou `"(.,.,.)"`, etc., ou par absence de préfixe pour les éléments. Par exemple :
`a,b,f"(.)",g"(.,.)"`
On adopte une seconde notation plus riche pour présenter le langage sous forme de grammaires lorsque l'on souhaite nommer l'ensemble sous-jacent de la structure, ou lorsqu'il y a plusieurs ensembles sous-jacents distincts. Par exemple considérons la grammaire suivante :
`P"←" {a,Q,g(P,P)}`
`Q"←" {b,f(Q)}`
Cela signifie que :
`g in (P"×"P"→"P)`
`Q sube P`
`f in (Q"→"Q)`
`a in P`
`b in Q`
Vous remarquerez que les opérateurs sont appliqués à leur domaine de définition sous forme de produit directe et que chaque règle de grammaire précise l'ensemble d'arrivé avec le symbole `"←"`. Dans le cas où il n'y a qu'un seul ensemble sous-jacent et que celui-ci n'a pas besoin d'être nommé, on utilise alors la notation précédente plus légère utilisant le point.
Puis il y a une troisième notation plus précise encore, dans laquelle les arguments sont nommés par des variables indépendantes. L'exemple précédent s'écrit :
`P"←" {g(x,y),x "/" EEx "∈" P, EEy "∈" P}`
`Q"←"{g(x) "/" EEx "∈" Q }`
Notez qu'une séquence d'éléments non-entourée de parenthèse s'interprète comme la réunion de ces éléments et non comme un couple d'éléments. Et, une séquence de proposition s'interprète comme la conjonction de ces propositions. On utilise le symbole `"←"` plutôt que l'inclusion pour préciser que le langage présenté s'inscrit dans un processus énumératif défini par une grammaire.
A isomorphisme près, il existe un seul groupe à un élément. C'est le groupe trivial, noté `C_1` ou simplement `{1}`.
`C_1"="{1}`
Le chiffre `1` désigne l'élément neutre du groupe en notation multiplicative, c'est à dire, qu'il vérifie `1"∗"1"="1`. L'élément symbolique `1` joue un rôle général puisqu'il est dans la définition de tous les groupes : C'est le seul élément du groupe qui satisfait la proposition `AAx,1"∗"x"="x, x"∗"1"="x`. Et il est nécessairement unique, car s'il y en avait deux, `1` et `e`, alors `1"∗"e"="1` et `1"∗"e"="e` donc `1"="e`. L'élément neutre est donc définissable de façon unique. C'est à dire qu'il existe une fonction propositionelle unaire `P"(.)"` écrite dans le langage des groupes, qui, pour n'importe quel groupe `G`, n'est vrai que pour un et un seul élément de `G`. Cette fonction propositionelle est appelée la définition singleton de l'élément neutre. Le qualificatif singleton signifie que l'ensemble `{x"/"P(x)}` souvant désigné par `P` est un singleton, autrement dit, que l'élément satisfaisant la proposition `P"(.)"` existe nécessairement et est nécessairement unique. Les définitions en compréhension et en extension de `P` sont :
`P = (u|->(AAx, ux"="x, xu"="x))` `P={1}`
Le seul élément qui satisfait `P"(.)"` est l'élément désigné par `1`. On associe à l'élément symbolique `1` la propriété qui le défini complètement `AAx, 1"∗"x"="x, x"∗"1"="x`. Parce qu'il possède une définition lui assurant son existence et son unicité dans chaque groupe, `1` désigne l'élément neutre dans chaque groupe. Dans chaque groupe il n'y a qu'un et un seul élément qui a ce rôle, et qui est désigné par le symbole `1`. On plonge ainsi le groupe trivial `{1}` dans chaque groupe `G` et on procède à l'identification `1"="1_G`. Ainsi `C_1` est inclus dans tous les groupes, et l'élément symbolic `1` est associé à la propriété `AAx, 1"∗"x"="x, x"∗"1"="x`.
`AAx,1x"="x, x1"="x`
Étant donné un petit groupe `U`, on cherche à construire un anneau `A` ayant comme groupe d'unités `U` et un langage comprenant ses éléments, `U"="{1,u_1,u_2,u_3,...}`. L'anneau comprend l'addition `"+"` qui est application de `A"×"A"→"A`, la multiplication `"*"` qui est application de `A"×"A"→"A`, l'opposé `sf"opp"` qui est une application de `A"→"A`. Et de façon redondante il comprend l'inverse `sf"inv"` qui ne s'applique qu'aux unités et qui est une application de `U"→"U`.
Pour cela, il faut définir une addition formant un groupe en notation additive, c'est à dire associative, commutative, possédant un élément neutre noté `0`, possèdant pour chaque élément un éléments opposé, telle que la multiplication soit distributive par rapport à l'addition, et que la loi de produit sur l'anneau forme un monoïde c'est à dire soit associative et admette `1` comme élément neutre. Il faudra ajouter à cela que `{0,1}` engendre tous les éléments à l'aide des deux opérateurs `"+"` et `"∗"`, et n'engendre pas de nouvelles unités à l'extérieur de `U` .
Le langage commun à tous les anneaux comprend une opération binaire supplémentaire, `"+(.,.)"`, à laquel on donne une priorité syntaxique plus faible que celle de `"∗"(".,.")` faisant qu'une expression `x"+"y"∗"z` doit être interprété comme `x"+"(y"∗"z)` et non comme `(x"+"y)"∗"z`. Le langage comprend également une opération unaire supplémentaire, `sf"opp""(.)"` appelé opposé et souvent noté par le symbole `-` en préfixe. Et il comprend un élément symbolique supplémentaire `0` qui joue le rôle d'élément neutre de l'addition et d'élément absorbant pour la multiplication. On complète le langage du groupe comme suit pour en faire celui d'un anneau :
Le langage de l'anneau sur `U`, qui comprend les éléments de `U` :
`U"←"{ sf"inv""(U)", 1,u_1,u_2,u_3,... }`
`A"←"{0,U,"+"(A,A), sf"opp"(A),"∗"(A,A),}`
Avec ses variantes permettant d'écrire : `AAxAAy,`
`sf"inv"(x)=x^(-1)`
`sf"opp"(x)="-"x`
`x"*"y=xy`
La théorie de l'anneau sur `U` comprend d'abord 9 premiers axiomes : `AA(x,y,z) "∈"A^3`
`(xy)z = x(yz)`
`x"∗"1 = x`
`1"∗"x = x`
`(x"+"y)"+"z = x"+"(y"+"z)`
`x"+"y = y"+"x`
`x"+"0 = x`
`x"+"("-"x)=0`
`x(y"+"z) = xy"+"xz`
`(y"+"z)x = yx"+"zx`
Auquel il faut ajouter les axiomes définissant le groupe fini `U`, donnant la valeur de `uv` pour chaque couple `(u,v)"∈"U^2`.
Dans un anneau, un élément `x` est inversible si et seulement si il existe un élément `y` tel que `xy"="1` et `yx"="1`. L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau forme le groupe des unités noté `U`. Et l'inverse de `x` est noté `sf"inv"(x)` ou `x^(-1)`.
Mais, de par l'hypothèse de départ, aucun élément extérieur à `U` ne devra être inversible.
La théorie de l'anneau sur `U` est encore une théorie d'égalité universelle, elle nous permet de définir ce qu'est l'anneau libre sur `U`, engendré par les éléments de `U`, et qui contient donc tous les anneaux sur `U`. Cela permet un type de raisonnement basé sur cette structure libre que l'on réduit par quotientages successif, grace à des mises en égalité successives comme autant de relations d'équivalence qui permettent de quotienter la structure.
Quelques propriétés des anneaux qui peuvent être démontrées : `AAxAAyAAz "∈"A^3`,`
`0"*"x=0`
`x"*"0=0``"-"("-"x) = x`
`"-"(x"+"y)= ("-"x)"+"("-"y)`
`"-"(x"+"y"+"z)= ("-"x)"+"("-"y)"+"("-"z)`
...
On construit un anneau engendré par l'unique unité `1`, avec ses opérations que sont l'addition `"+(.,.)"`, la multiplication `"*(.,.)"`, et l'opposé `sf"opp""(.)"`. On complète le langage du groupe comme suit pour en faire celui de l'anneau :
Langage de l'anneau sur {1} :
`A"←"{0,1,"∗"(A,A),"+"(A,A)}`
La théorie de l'anneau sur {1} comprend exactement 9 axiomes : `AA(x,y,z)`
`(xy)z = x(yz)`
`x"∗"1 = x`
`1"∗"x = x`
`(x"+"y)"+"z = x"+"(y"+"z)`
`x"+"y = y"+"x`
`x"+"0 = x`
`x"+"("-"x)=0`
`x(y"+"z) = xy"+"xz`
`(y"+"z)x = yx"+"zx`
Mais, de par l'hypothèse de départ, aucun élément autre que `1` ne devra être inversible. Ou autrement dit, puisque nous sommes dans une théorie d'égalité, tout élément inversible sera rendu égale à `1`.
La théorie d'anneau sur `{1}` est une théorie d'égalité universelle. On peut donc définir l'anneau libre sur `{1}`, et cette anneau comprendra tous les anneaux sur `{1}`.
La structure libre engendrée par `"<"0, 1,"+(.,.)"">"` est identifiée à `NN`. La structure libre engendrée par `"<"0, 1,"+", sf"opp""(.)"">"` est identifiée à `ZZ`.
...
`"-"4=("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)`
`"-"3=("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)`
`"-"2=("-"1)"+"("-"1)`
`"-"1="-"1``0=0`
`1=1`
`2=1"+"1`
`3=1"+"1"+"1`
`4=1"+"1"+"1"+"1`
...
Ajoutons par extension élémentaire l'opération de produit `"∗(.,.)"` et quotientons la structure libre ainsi obtenue par la présente théorie :
On voit grace à la distributivité que :
`2"∗"3=(1"+"1)"∗"(1"+"1"+"1)=1"+"1"+"1"+"1"+"1"+"1=6`
Cela ne crée donc pas de nouveaux éléments, et cela en est de même pour tout produit d'entiers positifs. On voit grace à l'élément neutre de l'addition que :
`("-"1)"∗"1 = "-"1`
`1"∗"("-"1)= "-"1`
Donc le produit de deux entiers de signe opposé ne crée pas de nouveaux éléments. Reste à déterminer ce que vaut `("-"1)"∗"("-"1)`.
`(1"+"("-"1))"∗"x = 0"∗"x = 0`
`(1"+"("-"1))"∗"x= 1"∗"x "+" ("-"1)"∗"x`
`0 = 1"∗"x "+" ("-"1)"∗"x `
`"-"(1"∗"x) = ("-"1)"∗"x`
`"-"(1"∗"("-"1)) = ("-"1)"∗"("-"1)`
`"-"("-"1) = ("-"1)"∗"("-"1)`
`1 = ("-"1)"∗"("-"1)`
Donc le produit de deux entiers négatifs ne crée pas de nouveaux éléments. Reste à déterminer les éléments inversibles. Visiblement il existe un second élément inversible qui est `("-"1)`. Hors l'ensemble des unités est par hypothèse égale à `U"="{1}`. Cela entraine l'égalité `"-"1"="1` et donc, `AAx"∈"A, "-"x"="x`, et donc `2"="1"+"1"=" 1"+"("-"1) = 0`. On en conclut que l'anneau libre engendré par le groupe d'unité `{1}` est
`ZZ/(2ZZ)= {0,1}`
Cette anneau contient un sous-anneau obtenue en rendant égal `1` et `0` qui est l'anneau trivial noté `{0}` contenant un seul élément.
Il existe un seul groupe de deux éléments. C'est le groupe cyclique `C_2`. Il se présente comme suit :
`C_2="<"a | a^2"="1 ">"`
L'expression `"<"a">"` désigne la clôture par composition de `a,1,"∗(.,.)",sf"inv(.)"`. C'est la clôture par composition close des opérateurs énumérés entre crochets et auquel on a ajouté les opérateurs du langage de groupe `1,"∗(.,.)",sf"inv(.)"`.
L'expression `"<"a|T">"` désigne le quotientage de la structure libre `"<"a,1,"∗",sf"inv"">"` par la théorie d'égalités `T`.
Le groupe `C_2` est engendré par un élément `a` satisfaisant l'égalité `a^2"="1`.
Dans la nomenclature classique, les groupes sont présentés avec des générateurs anonymes toujours `a,b,c,...` en présentant d'abord les générateurs d'ordre les plus grands. L'ordre d'un élément `x` d'un groupe fini est l'entier `n` tel que `x^n"="1`.
`C_2= {1,a}`
Ce groupe possède un élément d'ordre `1` et un élément d'ordre `2` ce qui se note par la suite suivante `"Ordres"(C_2) = (1,1)`. Et plus précisement, on énumére les éléments selon leur ordre annoté au-dessus :
`C_2={overset(1)(1) "|" overset(2)(a)}`
Si tous les groupes que nous étudions n'avait au plus qu'un seul élément d'ordre `2`, alors cet propriété `x^2"="1` serait le bon candidat pour le définir. Mais cela n'est pas le cas, et on découvrira des groupes où il y a plusieurs éléments d'ordre `2` formant ainsi plusieurs symétrie d'ordre `2`. Et il se pourra même qu'il y ait deux éléments d'ordre `2` qui n'aient pas le même rôle, c'est à dire, tel qu'il n'existe pas d'automorphisme passant de l'un à l'autre, formant ainsi deux types différents de symétries d'ordre 2.
La propriété n'est pas unique c'est à dire que `x^2"="1` et `y^2"="1` n'entraine pas nécessairement `x"="y`. Et la propriété n'est pas de rôle unique, c'est à dire que `x^2"="1` et `y^2"="1` n'entrainement pas necéssairement `EEvarphi "∈" sf"Aut"(G),x=varphi(y)`
Mais à ce stade, cette popriété `x^2"="1` qui s'appelle être une racine carrée de `1`, constitue le début d'une caractériation d'un nouvel élément `x` qui se distingue ou pas de `1` et que l'on notera `"-"1`. Et, tout laisse à pensée qu'il existe un chemin canonique pour définir complètement un tel élément, et ce sera la définition la plus simple d'une racine carré de l'unité `1` autant que possible distincte de `1`.
On commence ainsi à construire un groupe modèle `M` qui contiendra `C_2` comme sous-groupe.
La présentation instanciée du groupe `C_2` est la suivante (version anonymisée et version nominalisée) :
L'élément `"-"1` est une racine carrée génératrice de l'élément neutre. Le qualificatif génératrice signifie que les puissances entières de la racines en question permettent de calculer toutes les autres racines carrés de l'élément neutre, et ici il n'y a que `1` et `"-"1` .
L'élément `"-"1`, dans le choix de son nom, est quand même prédestiné à faire parti du centre du groupe, c'est à dire à commuter avec tous les éléments du groupe. Ajouter cette propriété s'inscrit bien dans la recherche de la définition la plus simple, et elle permet de définir un automorphisme appelé l'opposé. c'est pourquoi nous la choisissons. Ainsi l'élément nommé `"-"1` est un élément satisfaisant la propriété `P"(.)"` ainsi définie :
`P"(u)" = (AAx,u^2=1,ux"="xu)`
Si un tel élément `"-"1` existe autre que `1`, alors nous pouvons définir un automorphisme d'ordre 2 appelé l'opposé. On définie l'opposé de `x` noté `sf"opp"(x)` ou simplement `"-"x` comme étant le produit de `"-"1` par `x` qui sera aussi égale au produit de `x` par `"-"1`.
`("-"1)("-"1)=1`
`AAx,"-"x"="x("-"1)`
Nos groupes étant définis à isomorphisme près, leur utilisation de façon générale commencera par appliquer un automorphisme. C'est pourquoi on veut les connaitre. Le groupe `C_2={1,"-"1}` admet un groupe d'automorphisme trivial, qui ne comprend que l'identité :
`"Aut"(C_2) = {sf"id"}`
Il n'y a donc qu'une seule façon d'utiliser `C_2`. Le groupe admet `2` rôles d'élément ; l'élément neutre et l'élément générateur.
Le groupe `C_2` n'admet aucun sous-groupe propre. Le qualificatif « propre » veut dire « autre que lui-même et autre que le groupe trivial ». Et il est engendré par :
`C_2="<-"1">"`
Condidérons le groupe `C_2="<"a | a^2"="1 ">"`. Ce groupe à juste deux élément `C_2={1,a}`. On construit un anneau engendré par `1` et `a`, avec ses opérations que sont l'addition `"+(.,.)"`, la multiplication `"*(.,.)"`, et l'opposé `sf"opp""(.)"`. On complète le langage du groupe comme suit pour en faire celui de l'anneau :
Langage de l'anneau sur `C_2="<"a | a^2"="1 ">"` :
`A"←"{0,1,a,"∗"(A,A),"+"(A,A)}`
La théorie de l'anneau sur {1} comprend exactement 10 axiomes : `AA(x,y,z)`
`(xy)z = x(yz)`
`x"∗"1 = x`
`1"∗"x = x`
`(x"+"y)"+"z = x"+"(y"+"z)`
`x"+"y = y"+"x`
`x"+"0 = x`
`x"+"("-"x)=0`
`x(y"+"z) = xy"+"xz`
`(y"+"z)x = yx"+"zx`
`a^2=1`
Mais, de par l'hypothèse de départ, aucun élément autre que `1` et `a` ne devra être inversible. Ou autrement dit, puisque nous sommes dans une théorie d'égalité, tout élément inversible sera rendu égale à `1` ou à `a`.
La structure libre engendrée par `"<"0, 1,"+(.,.)", sf"opp""(.)", "∗(.,.)"">"` est identifiée à `ZZ`.
...
`"-"4=("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)`
`"-"3=("-"1)"+"("-"1)"+"("-"1)`
`"-"2=("-"1)"+"("-"1)`
`"-"1="-"1``0=0`
`1=1`
`2=1"+"1`
`3=1"+"1"+"1`
`4=1"+"1"+"1"+"1`
...
La structure libre engendrée par `"<"0, a,"+(.,.)", sf"opp""(.)"">"`est identifiée à `bar ZZ`, une copie de `ZZ`
...
`"-"bar3=("-"a)"+"("-"a)"+"("-"a)`
`"-"bar2=("-"a)"+"("-"a)`
`"-"bar1="-"a``bar0=0`
`bar1=a`
`bar2=a"+"a`
`bar3=a"+"a"+"a`
...
Ajoutons par extension élémentaire l'opération de produit `"∗(.,.)"` et quotientons la structure libre ainsi obtenue par la présente théorie. On voit grace à la distributivité que :
`bar2"∗"bar3 = (a"+"a)"∗"(a"+"a"+"a) = a^2"+"a^2"+"a^2"+"a^2"+"a^2"+"a^2=6`
Cela ne crée donc pas de nouveaux éléments, et cela en est de même pour tout produit d'entiers de `bar ZZ` et de `ZZ`. Notons le produit dans `ZZ` par l'opération `"×"` tandis que le produit dans l'anneau est `"∗"`. Nous avons :
`bar n"∗"bar m =n"×"m`
`bar n"∗" m =bar (n"×"m)`
`n"∗"bar m =bar (n"×"m)`
`n"∗"m = n"×"m`
On voit apparaitre 2 unitées que sont `"-"a` et `"-"1`, c'est à dire des éléments inversibles :
`bar ("-"1) "∗" bar ("-"1) = 1` c'est à dire `("-"a)"∗"("-"a) = 1`
`("-"1) "∗" ("-"1) = 1`
De part l'hypothèse, il y a 2 unitées, et ces unités sont dans `C_2"="{1,a}`, donc `"-"1 "∈" {1,a}` et `"-"a "∈" {1,a}`, soit 4 cas possibles :
`2=1"+"1=1"-"1=0`
`2a=a`+`a=("-"("-"a))+("-"("-"a))=("-"1)"+"("-"1)="-"2 = "-"0 = 0`
`A= {0,1,a}`
`1"+"("-"a) = 1+1 = 2 = 0`
`1"+"("-"a) "+" ("-"("-"a)) = ("-"("-"a))`
`1"+"("-"a) "+" a =a`
`1"+"0=a`
`1 =a`
C'est impossible car par hypothèse `|C_2| "=" 2` et `C_2"="{1,a}`
`2=1"+"1=1"-"1=0`
`2a=a"+"a=a"-"a=0`
`A= {0,1,a}`
`1"+"("-"a) = 1+1 = 2 = 0`
`1"+"("-"a) "+" ("-"("-"a)) = ("-"("-"a))`
`1"+"("-"a) "+" a =a`
`1"+"0=a`
`1 =a`
C'est impossible car par hypothèse `|C_2| "="2` et `C_2"="{1,a}`
`2a=a"+"a=a"+"("-"a)=0`
`2=1`+`1=("-"("-"1))+("-"("-"1))=("-"a)"+"("-"a)="-"2a = "-"0 = 0`
`A= {0,1,a}`
`a"+("-"1) = a "+" a = 0`
`a"+("-"1) +1 = 1`
`a"+0= 1`
`a"= 1`
C'est impossible car par hypothèse `|C_2| "=" 2` `C_2"="{1,a}`
La structure libre engendrée par `"<"0, 1,"+(.,.)", sf"opp""(.)"">"` est identifiée à `ZZ`. L'extension de la structure en ajoutant `a` ne change rien puisque `a"=-"1` est déjà un élément existant.
On en conclut que l'anneau libre engendré par le groupe d'unité `C_2` est :
`ZZ`
Et c'est l'unique anneau libre sur `C_2`, donc tout anneau sur `C_2` est soit `ZZ` ou soit un sous-anneau de `ZZ` ayant un groupe d'unités isomorphes à `C_2`. Les sous-anneaux de `ZZ` sont les anneaux `nZZ` avec `n>=2`. Le sous-anneau `ZZ"/"nZZ` possède `varphi(n)` éléments inversibles appelés unités, où `varphi` est la fonction phi d'euler. `varphi(n)` est le nombre d'entiers inférieurs à `n` qui sont premiers avec `n` . Seuls les entiers `3`, `4` et `6` on un `varphi` égale à `2`,
`varphi(3)=2`
`varphi(4)=2`
`varphi(6)=2`
Donc les anneaux sur `C_2` sont : `ZZ/(3ZZ), ZZ/(4ZZ), ZZ/(6ZZ), ZZ`
| En algèbre, quels sont les anneaux qui ont exactement 2 éléments inversibles notés `1` et `u`, et qui sont engendrés par `1` ou qui sont engendrés par `u` ? |
1. Étudier les cas où RR est engendré par `1`Si `R` est engendré par `1`, alors tous ses éléments sont obtenus par addition et multiplication de `1`. Exemple 1 : `ZZ`
✅ `ZZ` est un bon exemple.. Exemple 2 : `ZZ/(4ZZ)`
✅ `ZZ/(4ZZ)` est un bon exemple.. Exemple 3 : `ZZ/(6ZZ)`
✅ `ZZ/(6ZZ)` est un bon exemple..
2. Étudier les cas où `R` est engendré par `u`Si `R` est engendré par `u`, alors tous ses éléments sont obtenus à partir de `u`. Exemple 4 : `(ZZ/(2ZZ)[X])/(X^2"−"1)`
✅ Cet anneau est un bon exemple.. Exemple 5 : L’anneau `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`
✅ C'est un bon exemple si l’on considère que `u` seul engendre l’anneau.
ConclusionLes anneaux ayant exactement deux unités `{1,u}` et engendrés par `1` ou `u` incluent :
Ce sont les principaux candidats qui répondent à votre question. ✅ |
ChatGPT fait des erreurs, mais avec sa base de connaissance gigantesque et sa dialectique, on arrive à lever chacune de ses erreurs.
| L'élément (0,1) avec l'addition, la multiplication et l'opposé, engendre-t-il vraiment `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` ? |
ChatGPT : Examinons si `(0,1)` engendre `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` en prenant en compte les opérations d’addition, de multiplication et d’opposé. 1. Structure de `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`L’anneau `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` a quatre éléments :
Les opérations sont définies composante par composante :
Les unités sont `(1,0)` et `(0,1)`, car ce sont les seuls éléments dont le produit avec eux-mêmes donne `(1,1)`. 2. L’élément `(0,1)` engendre-t-il tout l’anneau ?Nous devons voir si en appliquant addition, multiplication et opposé à (0,1), nous pouvons obtenir tous les éléments de `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` .
Conclusion : L'élément `(0,1)` ne permet pas d'obtenir `(1,0)` ni `(1,1)`. Donc, il ne peut pas engendrer tout l’anneau `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`.
|
| Quels sont les éléments inversibles dans `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` ? |
ChatGPT : Dans l’anneau `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`, nous cherchons les éléments inversibles, c'est-à-dire ceux qui possèdent un inverse multiplicatif. 1. Structure de `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`Les éléments de l'anneau sont : ` (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)`. L'addition et la multiplication sont définies composante par composante :
2. Détermination des éléments inversiblesUn élément `(a,b)` est inversible s'il existe `(x,y)` tel que :
Cas 1 : (0,0)
🚫 Pas inversible.
Pour que `(0,y)=(1,1)`, il faudrait que 0=1, ce qui est impossible dans `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)`. 🚫 Pas inversible. Cas 3 : (1,0)
Pour que `(x,0)=(1,1)`, il faudrait que `0=1`, ce qui est impossible. 🚫 Pas inversible.
Pour que `(x,y)=(1,1)`, il suffit de prendre `(x,y)=(1,1)`. 🚫 `(1,1)` est inversible (c’est l’élément neutre du produit de deux corps). 3. ConclusionL’ensemble des éléments inversibles est :
Il n’y a qu’un seul élément inversible au lieu de deux. 🚫 `ZZ/(2ZZ)"×"ZZ/(2ZZ)` n’est pas un bon exemple, car il n’a qu’un seul élément inversible. |
Exemple 4 : `(ZZ/(2ZZ)[X])/(X^2−1)`
Les éléments sont `{0, 1, X, 1"+"X}`.
Les unités sont `1` et `X`.
L’anneau est engendré par `X`.
Cet exemple constitue bel et bien un anneau sur `C_2`. Reste à trouver l'erreur dans le chapitre 9.
---- 7 mars 2025 ----
Condidérons le groupe `C_2="<"a | a^2"="1 ">"`. Ce groupe à juste deux élément `{1,a}`. La règle choisie pour centré l'anneau est :
`sum_(g in G)g=0`
On en déduit que `a` est l'opposé de `1`. Et on le note donc `"-"1`.
`a="-"1`
Si on applique ce procédé de construction d'espace au groupe `C_2"="{1,"-"1}`, on obtient l'anneau `ZZ` que l'on note explicitement `(NN"*""×"C_2)uu{0}` où les éléments de `C_2` joue le rôle d'unité et `NN"*"` joue le rôle de multiplicateur.
Il existe un seul groupe de trois éléments. C'est le groupe cyclique `C_3`. Il se présente comme suit :
On donne un nom à l'élément générateur de `C_3` de présentation qui sera le tragdo, `?`, symbole du chiffre 3 en goudjarati. Le groupe d'automorphisme de `C_3` n'est plus trivial, il possède un élément supplémentaire qui est l'automorphisme d'inversion :
`{1"↦"1, "૩↦૩"^-1, "૩"^2"↦૩"}`
Les deux éléments d'ordre `3`, que sont `"૩"` et `"૩"^2`, jouent des rôles identiques. Car il y a un automorphisme qui est l'automorphisme d'inversion `{x"↦"x^("-"1)}` qui permute ces deux éléments. Tout automorphisme est entièrement déterminé en fixant l'image des générateurs. Ainsi, l'automorphisme peut être définie par :
`"<""૩↦૩"^2">"`
Maintenant qu'est-ce qu'engendrerait les deux éléments réunis `"-"1` et `"૩"` ? Une structure de groupe libre quotientée par les règles associées à ces deux éléments.
`({ {:( ("-"1)("-"1)"="1),( "૩"^2"=""૩"),(AAx"," "-"x"="x("-"1) ):} })`
Les règles étant associées aux éléments générateurs, il n'est pas nécessaire de les rappeller. Le groupe se note donc simplement par `"<""-"1,"૩"">"`. Les éléments générateurs `"-"1` et `"૩"` commutent, donc le groupe `"<""-"1,"૩"">"` est abelien. On constate que `("-""૩")^2``=``"૩"^2` et que `("-""૩")^3``=``"-૩"^3``=``"-"1`. Ce groupe possède `"-૩"` comme générateur et est isomorphe au groupe cyclique de 6 éléments noté `C_6`
`"<""-"1,"૩"">" = "<""-૩"">" { 1,"-૩","૩"^2,"-"1,"૩","-૩"^2}`
`"૩"^3"="1`
Le groupe `C_3` admet un deux automorphismes non-triviaux que sont les deux permutations circulaires :
`"Aut"(C_3) = {{x↦"૩"x}, { x↦"૩"^2x}}`
Il n'y a donc deux façons d'utiliser `C_3`.
Le groupe `C_3` n'admet aucun sous-groupe propre. Et il est engendré par le tragdo noté `"૩"` :
`C_3="<"૩">"`