Les choix du langage formel sont liés aux choix des structures de données. Et ces choix sont déterminants pour l'efficacité des traitements. En effet, une partie du traitement peut être déjà résolue en prenant une représentation adéquate des données. Nous sommes donc obligés d'effectuer une recherche fondamentale sur les différentes représentations possibles des données et de leur structure, en vue d'utiliser un langage efficace dans la construction et l'exploitation mathématique future.
1) Psychogenèse
La psychogénétique étudie la naissance et le développement de l'intelligence chez l'homme. C'est effectivement le seul exemple que nous ayons de développement de l'intelligence à partir de rien. L'aspect psychanalytique explique les fondations de ce développement par le biais d'un mécanisme de personnification des mystères qui nous entourent. L'être s'attache à ce qui est à la fois changeant et qui possède une permanence. L'objet changeant attire l'attention, et la permanence de celui-ci le rend intelligible.
2) Groupes de transformations
Nous adoptons une approche similaire à la thermodynamique qui permet d'appréhender des systèmes macroscopiques, en introduisant les notions de systèmes pour désigner les objets dans toutes leurs complexités, et de variables d'état d'un système pour désigner des grandeurs exactes propres au système (même si nous n'avons aucun moyen de les mesurer). Le système est dans un état A à l'instant t. Le changement de l'état A en l'état B est représenté par une fonction appelé transformation f : W-->W tel que f(A) = B, où W représente l'ensemble de tous les états possibles. Dans cette approche qui se veut constructive, la fonction f, appliqué à une variable d'état, est perçue comme une action se déroulant dans le temps, pouvant se répéter autant de fois que l'on souhaite, et nécessitant une quantité d'effectivité donnée. Le temps même peut être défini comme une effectivité minimum. En répétant cette fonction f(f(A)) = (f°f)(A) et en la combinant avec d'autres fonctions f(g(A)) = (f°g)(A), on construit un ensemble de fonction F engendré par f, g… et clos par composition d'application °. Cette structure (F,°) est un monoïde car la composition ° est une opération associative et possède un élément neutre noté id que l'on ajoute s'il n'est pas présent f°(g°h) = (f°g)°h = f°g°h et f°id = id°f = f. C'est la définition même des transformations au sense intuitif du terme : l'identité est la transformation qui ne change rien, et l'associativité des transformations et une propriété qui leur est propre, et même suffisante, car tous les monoïdes peuvent se construire de cette façon. En effet, soit (M,*) un monoïde, on peut considérer que chaque élément m appartenant à M est une application de M-->M tel que m(x) = m*x. On dit que l'on fait opérer (M,*) sur lui-même par translation gauche.
La permanence de l'objet affirme la possibilité de revenir à l'état initial A. Pour admettre l'existence d'une permanence ayant plusieurs représentations possibles il faut admettre cette possibilité de retour. Et si cette possibilité existe, elle existe aussi pour tous les états intermédiaires rencontrés. Pour admettre l'existence d'une permanence il faut donc admettre que les changements passant d'une représentation à une autre sont réversibles. C'est à dire que la fonction f soit réversible. En ajoutant cette condition à la structure mathématique (F,°) on obtient la définition d'un groupe. C'est la définition même des transformations réversibles au sense intuitif du terme : l'associativité et l'inversibilité sont des propriétés qui leur sont propres, et même suffisantes, car les groupes peuvent se construirent de cette façon. En effet, soit (G,*) un groupe, on peut considérer que chaque élément g appartenant à G est une application de G-->G tel que g(x) = g*x. On dit que l'on fait opérer (G,*) sur lui-même par translation gauche.
3) Relations d 'équivalence
Considérons un ensemble d'état W, et le groupe G des transformations réversibles de W-->W. tout sous-groupe S de G va partitionner W en classe d'équivalence, deux états étant équivalent si et seulement si il existe une fonction appartenant à S qui transforme l'un en l'autre. On note W/S l'ensemble des classes d'équivalences. Une classe d'équivalence correspond à une permanence recherchée (qui possède autant de représentation différentes que d'éléments). Toutes les partitions de W peuvent se construire de cette façon en faisant opérer un sous-groupe S. Soit {E1, E2, ..., Ei...}une partition de W. Il suffit de construire S comme le produit, pour chaque partie Ei de W, du groupe Si des transformations réversibles de Ei-->Ei. Les partitions de W sont utilisées pour factoriser et simplifier. En effet, nous simplifions un problème en regroupant les éléments par classe, et en résonnant sur les classes.
4) Fonctions symétriques
Des partitions de WXWXW indépendantes de W apparaissent lorsque nous utilisons des fonctions symétriques à plusieurs variables. Par exemple, posons une fonction f(x,y,z) définie de WXWXW-->E, où W désigne un ensemble quelconque. Pour tout sous-groupe S du groupe des permutations sur le n-uplet (x,y,z), on peut définire une relation d 'équivalence sur WXWXW, indépendante de W de la façon suivante : (x,y,z)R(x',y',z') si et seulement si il existe s appartenant à S tel que s(x,y,z) = (x',y',z'). On note WXWXW/S l'ensemble des classes d'équivalences. La fonction f est dite S-symétrique lorsque quel que soit s appartenant à S on a f(x,y,z) = f(s(x,y,z)). Si f est S-symétrique, la fonction F: (WXWXW/S)-->E qui transforme chaque classe d'équivalence en l'image par f d'un de ses éléments est une factorisation de f indépendante de W. Les fonctions symétriques jouent un rôle majeur, et leurs factorisations constituent des simplifications importantes.