Sommaire
La notion d'indépendance est la clef de voûte permettant de construire des univers idéaux avec le moins d'arbitraire possible...
L'univers est un ensemble fini de mondes exclusifs, exhaustifs et équiprobables.
Chaque monde est appelé un évènement élémentaire. Ces mondes sont par définition exclusifs, exhaustifs et équiprobables, c'est à dire qu'à chaque tirage au sort un seul d'entre eux ne peut se produire à la fois, à chaque tirage au sort nécessairement un d'entre eux se produit, et lorsque le nombre de tirage au sort tend vers l'infini, la fréquence d'apparition de chaque monde tend vers l'inverse du nombre de mondes dans l'univers.
Les évènements élémentaires sont par principe équiprobables. Car s'ils ne l'étaient pas alors on subdiviserait chacun d'eux afin de les rendre quasiment équiprobables avec une précision aussi fine que l'on veut. Et parce qu'il n'y a pas de raison pour rompre l'égalité, la démarche la moins arbitraire consiste à procéder ainsi, telle que décrite dans Proba 1 - Probabilité et quantité d'information. Ce procédé pragmatique simplifie considérablement la théorie sans nuire à sa généralité.
Un univers `Omega` est donc par définition simplement un ensemble fini.
Ses éléments sont appelés des évènements élémentaires, et sa loi de probabilité `P` se définit comme suit :
`P(A) = |A|/|Omega|`
Un évènement est une notion plus générale qu'un évènement élémentaire. L'évènement est par définition un ensemble d'évènements élémentaires, c'est à dire un sous-ensemble de l'univers considéré. Et il définie un sous-univers.
Le sous-univers n'est pas qu'une restriction de son ensemble, il ignore tous les évènements qui se déroulent en dehors de lui ainsi que les tirages au sort qui les ont apporté. Et donc, pour lui-même, la probabilité de son auto-réalisation est toujours égale à `1`, formant ainsi un univers à part entière.
La probabilité d'un évènement `A` que l'on note `P(A)` est par définition le nombre de ses éléments divisés par le nombre d'éléments de l'univers.
Afin que les évènements élémentaires soient des évènements, on ne fait pas de distinction entre un ensemble comprenant un évènement élémentaire, et l'évènement élémentaire question.
L'intersection de deux évènements correspond à leur conjonction, et l'union correspond à leur disjonction. Par commodité nous adoptons la notation propositionnelle comme suivante pour désigner les sous-ensembles de `Omega` suivants :
`A" et "B` `=` `A"∩"B` `A" ou "B` `=` `A"∪"B` `A"⇒"B` `=` `barA"∪"B` `A"⇔"B` `=` `(barA"∩"barB)"∪"(A"∩"B)` `=` `(barA"∪"B)"∩"(A"∪"barB)` `(A"⊕"B)` `=` `(A"\"B)"∪"(B"\"A)` `=` `(A"∪"B)"-"(A"∩"B)` `("¬"A)` `=` `barA`
Notez que `"⊕"` désigne le « ou exclusif » et que `(A"⊕"B) <=> ¬(A"⇔"B)`.
Lors d'un tirage, chaque évènement est soit réalisé ou non, et correspond à un booléen `0` (non réalisé) ou `1` (réalisé). De tel sorte qu'une proposition logique (d'ordre zéro) utilisant des évènements comme variable constitue toujours un évènement qui est à la fois un ensemble obtenue par les règles ainsi décrites, et à la fois la réalisation d'une proposition logique (d'ordre zéro).
Il découle de la théorie des ensembles finies toutes sortes de règles de dénombrement s'appliquant à des sous-ensembles `A,B,C` de `Omega`, et qui se transcrivent à l'aide des probabilités, telles que par exemples :
`P("¬"A)` `=` `1 - P(A)` `P(A) + P(B)` `=` `P(A" ou "B) + P(A" et "B)` `P(A) + P(B) + P(C)` `=` `P(A" ou "B" ou "C) - P(A" et "B" et "C) +`
`P(A" et "B) + P(A" et "C) + P(B" et "C)`` P(A) + P(A"⇒"B)` `=` `P(B) + P(B"⇒"A)` `P(A"⊕"B)` `=` `P(A" ou "B) - P(A" et "B)` `1 + P(A"⇔"B)` `=` `P(A"⇒"B) + P(B"⇒"A)`
Des évènements sont exclusifs s'il ne peuvent pas s'en produire deux à la fois en même temps au cours d'un même tirage. Vu la définition de la probabilité au chapitre `2`, des évènements sont exclusifs si et seulement si ils sont disjoints, c'est à dire de façon pratique deux à deux disjoints.
Les évènements disjoints généralisent en quelque sorte les évènements élémentaires mais en n'étant plus nécessairement équiprobables.
Etant donné des évènements disjoints `A,B,C,...`, la probabilité de leur conjonction est égale à la somme de leur probabilité :
`{A,B,C,...}" disjoint " <=> P(A" ou "B" ou "C" ou "...) = P(A)+P(B)+P(C)+...`
Etant donné deux évènements quelconques `A,B`, les évènements `(A" et "B)` et `(A" et ""¬"B)` sont assurement disjoints, et donc nous avons toujours l'égalité suivante :
`P((A" et "B)" ou "(A" et ""¬"B)) = P(A" et "B) + P(A" et ""¬"B)`
`P(A) = P(A" et "B) + P(A" et ""¬"B)`
Des évènements sont exhaustifs si à chaque tirage, au moins l'un d'entre eux se réalise. Vu la définition de la probabilité au chapitre `2`, des évènements sont exhaustifs si et seulement si leur réunion est égale à `Omega`.
Les évènements exhaustifs sont les complémentaires des éléments disjoints.
Par dualité, à partir des règles sur les éléments disjoints, en remplaçant `A,B,C,...` par `"¬"A,"¬"B,"¬"C,...`, on obtient la règle suivante :
`{A,B,C,...}" exhaustif " <=> 1+P(A" et "B" et "C" et "...) = P(A)+P(B)+P(C)+...`
Etant donné deux évènements quelconques `A,B`, les évènements `(A" ou "B)` et `(A" ou ""¬"B)` sont assurement exhaustifs, et donc nous avons toujours la règle suivante :
`1+P((A" ou "B)" et "(A" ou ""¬"B)) = P(A" ou "B) + P(A" ou ""¬"B)`
`1+P(A) = P(A" ou "B) + P(A" ou ""¬"B)`
Par définition, la probabilité de l'évènement `A` sachant l'évènement `B` se note `P(A "/" B)` est vaut exactement :
`P(A "/" B) = (P(A" et "B))/(P(B)) = |A"∩"B|/|B|`
C'est la probabilité de `A` dans l'univers restreint à `B`. Si `B` est l'ensemble vide, la probabilité conditionnelle est non définie, ce qui se note par le symbole `NAN"`.
Un évènement `B` constitue un sous-univers de `Omega`. La probabilité conditionnelle de `A` sachant `B` est la probabilité de `(A" et "B)` dans ce sous-univers. Et ce sous-univers `B` ignore tous les évènements qui se déroulent en dehors de lui ainsi que les tirages au sort qui les ont apporté. Et donc, pour lui-même, la probabilité de son auto-réalisation est toujours égale à `1`, formant ainsi un univers à part entière.
Dans un tel sous-univers `U`, toutes les règles de dénombrements s'applique pareillement :
`P("¬"A "/" U)` `1 - P(A "/" U)` `P(A "/" U) + P(B "/" U)` `P(A" ou "B "/" U) + P(A" et "B "/" U)` `P(A "/" U) + P(B "/" U) + P(C "/" U)` `P(A" ou "B" ou "C "/" U) - P(A" et "B" et "C "/" U) +`
`P(A" et "B "/" U) + P(A" et "C "/" U) + P(B" et "C "/" U)`` P(A "/" U) + P(A"⇒"B "/" U)` `P(B "/" U) + P(B"⇒"A "/" U)` `P(A"⊕"B "/" U)` `P(A" ou "B "/" U) - P(A" et "B "/" U)` `1 + P(A"⇔"B "/" U)` `P(A"⇒"B "/" U) + P(B"⇒"A "/" U)`
Et pour alléger l'écriture, on note la restriction à un sous-univers `U` globalement, s'appliquant à la formule entière en ajoutant à la fin l'expression `[/U]`, ou s'appliquant au contexte en déclarant « Dans le sous-univers `U` » :
On appelle la probabilité contingente de `A` sachant `B`, la fonction qui pour chaque valeur `beta` de `B` donne la probabilité conditionnelle de `A` sachant que `B=beta`.
Intuitivement, un évènement `A` est indépendant d'un évènement `B` si et seulement si la probabilité contingente de `A` sachant `B` est invariante, c'est à dire si et seulement si :
`P(A "/" B) = P(A "/" "¬"B)`
Ou autrement dit :
`|A"∩"B|/|B| = |A"∩"barB|/|barB|`
C'est à dire que la proportion d'élément de `A` est la même dans les parties `B` et `barB`.
Lorsque la proportion est la même sur chaque fraction non nulles disjointes alors elle est la même sur l'ensemble réuni des fractions. Nous le démontrons comme suit. Supposons deux ensembles non nulles disjoints `X,Y`, et supposons un ensemble `A` tel que la proportion d'éléments de `A` soit la même dans `X` et dans `Y`.
`X"∩"Y=0` `<=> |X"∪"Y| = |X|+|Y|`
`|A"∩"X|/|X|=|A"∩"Y|/|Y|` `<=> |A"∩"X||Y| = |A"∩"Y||X|` `<=> |A"∩"X|(|X|+|Y| -|X|) = |A"∩"Y||X|` `<=> |A"∩"X|(|X"∪"Y| -|X|) = |A"∩"Y||X|` `<=> |A"∩"X||X"∪"Y| = (|A"∩"X|+|A"∩"Y|)|X|` `<=> |A"∩"X||X"∪"Y| = |A"∩"(X"∪"Y)||X|` `<=> |A"∩"X|/|X| = |A"∩"(X"∪"Y)||X"∪"Y|`
Pour cette raison, l'évènement `A` est indépendant d'un évènement `B` si et seulement si la probabilité conditionalle de `A` sachant `B` est égale à la probabilité de `A` :
`P(A "/" B) = P(A)`
On remarque que `A` est indépendant de `B` si et seulement si :
`P(A" et "B) = P(A) P(B)`
Cette relation d'indépendance est donc symétrique. Nous dirons que deux évènements `A, B` sont indépendant si et seulement si la probabilité de leur conjonction est égale aux produits de leur probabilité. Et nous dirons que l'ensemble `{A,B}` est indépendant, ou simplement :
`{A,B}` indépendant
On note la probabilité contingente de `A` sachant la valeur de `B` par l'expression `P(A "/" hatB)`. Cette expression est égale à une fonction de `B`, et si elle est invariante, nous noterons simplement `P(A "/" hatB)` constant. Ainsi nous utilisons le symbole chapeau pour désigner l'évènement variant, et le qualificatif constant pour désigner un résultat constant.
Ainsi, selon la définition première, un évènement `A` est indépendant d'un évènement `B` si et seulement si la probabilité contingente de `A` sachant `B` est invariante, ce qui s'écrit :
`P(A "/" hatB)` constant
En résumé, les 5 assertions suivantes sont équivalentes :
Nous avons :
`P(A) = P(A" et "B) + P(A" et ""¬"B)`
Et donc en supposant que `{A,B}` soit indépendant, nous avons :
`P(A" et ""¬"B) = P(A) - P(A" et "B)`
`= P(A) - P(A)P(B)`
`= P(A)(1-P(B))`
`= P(A)P("¬"B)`
Ce qui entraine que `{A, "¬"B}` indépendant. Et donc par symétrie nous avons :
`{A,B} "indépendant" <=> (({A", "B} "indépendant"),( {A", ""¬"B} "indépendant"),({"¬"A", "B} "indépendant"),({"¬"A", ""¬"B} "indépendant"))`
L'indépendance s'applique donc entre variables indépendament de leur affirmation ou de leur négation.
L'indépendance a comme notion duale l'invariance. En utilisant le symbole chapeau et le qualificatif constant relatif à chaque variable, on crée un langage pour exprimer les relations d'indépendance. Intéressons-nous au pouvoir d'expression de ce langage. Nous avons :
| `P(A "/" hatB)` constant | `P(A "/" B) = P(A "/" "¬"B)` |
`{A, B}` indépendant |
| `P(hatA "/" B)` constant | `P(A "/" B) = 1"/"2` | si `B"="1` alors nous n'avons aucune connaissance sur `A`. |
| `P(hatA "/" hatB)` constant | `P(A)=1"/"2` `P(A "/" B) = 1"/"2` |
Nous n'avons pas de connaissance sur `A`. Et la connaissance de la valeur de `B` n'apporte
aucune connaissance sur `A`. |
| `P(hatA "/" hatB)` constant en `A` | `P(A "/" hatB)` constant | Nous n'avons pas de connaissance sur `A`. Et la connaissance de la valeur de `B` n'apporte aucune connaissance sur `A`. |
| `P(hatA "/" hatB)` constant en `B` | `P(A "/" hatB)` constant | `{A, B}` indépendant |
On considère l'univers suivant :
`Omega = {0,1}^3`
Il est constitué de `8` mondes :
`Omega = {(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}`
Mais l'objet que nous avons définie est davantage qu'un simple ensemble. De par la façon dont il a été construit, il constitue une structure possédant un constructeur de `{0,1}^3->Omega` que nous nommons `m"(.,.,.)"`, et trois opérateurs inverses de `Omega->{0,1}` que nous nommons `x"(.)"`, `y"(.)"`, `z"(.)"`. Tout cela peut paraître redondant et superfétatoire. Mais concrètement cela signifie que l'on peut construire un monde à l'aide de l'opérateur ternaire `m"(.,.,.)"` et de trois booléens, ainsi en prenant trois variables booléennes `a,b,c` on construit le monde `m(a,b,c)`. Et que inversement à partir d'un monde on peut extraire ses coordonnées booléennes à l'aide des opérateurs unaires `x(.)`, `y(.)`, `z(.)`, ainsi en prenant une variable monde `e`, on calcule ses coordonnées `(x(e), y(e), z(e))`.
En reprenant les conventions élémentariennes d'écriture des structures, cela se traduit par :
`Omega = (m_({0,1}^3->Omega),x_(Omega -> {0,1}),y_(Omega -> {0,1}),z_(Omega -> {0,1})) / {m(x(e), y(e), z(e)) "="e }`
C'est la définition dynamique de `Omega` qui présente de façon explicite toute les opérations de base que l'on peut faire avec.
La théorie `m(x(e), y(e), z(e))"="e` affirme que `x"(.)×"y"(.)×"z"(.)"` est bien l'opérateur inverse du constructeur `m"(.,.,.)"`, et la liberté de la structure garantie que les mondes sont distincts.
Néanmoins nous n'utiliserons pas les opérateurs `x"(.)", y"(.)", z"(.)"` appliqués à un monde, mais directement leur résultat c'est à dire directement les coordonnées du monde et que nous nommons pareillement `x,y,z`. Le concept des coordonnées est identique au concept des opérateurs les produisant, seul la notation change.
De même nous n'utiliserons pas l'opérateur `m"(.,.,.)"` appliqué à trois booléens, mais directement son résultat c'est à dire directement un triplet de booléens. Le constructeur est ainsi utilisé implicitement, on a effectivement pas besoin de le nommer puisque `m(a,b,c)` `=` `(a,b,c)`.
Ces variables booléennes `x,y,z` qui représentent les coordonnées possibles d'un monde, sont appelées des variables d'univers. Un monde correspond à une instantiation de ces 3 variables. Par exemple `(0,1,0)` est un monde où `x"="0`, `y"="1`, `z"="0` en respectant à la fois l'ordre des variables et l'ordre du triplet. Cette opération de nommage des variables se résume par l'expression suivante :
`Omega = U(x,y,z)`
Cette expression signifie que `Omega = {0,1}^3` et que l'univers s'enrichie d'une structure comprenant trois variables booléennes d'univers `x,y,z` déterminant les différentes coordonnées possibles des mondes.
Chaque monde `(x,y,z)` est codé par le numéro `x2^0 + y2^1 + z2^2`. Notez que ce codage peut être définie sans avoir recours à la nommination de variable `x,y,z` et ne dépend que de la construction `Omega = {0,1}^3`
Une conjonction complète est une conjonction où toutes les variables d'univers apparaissent une et une seul fois, soit affirmativement ou soit négativement. Par exemple dans l'univers `U(x,y,z)`, la conjonction `x" et ""¬"y" et "z` est complète. L'ordre n'a pas d'importance, mais un ordre particulier existe qui est celui des variables définies dans l'univers c'est à dire selon l'ordre `(x, y, z)`.
Une conjonction complète définie un monde, et détermine donc exactement un évènement élémentaire, qui n'est vrai que dans ce seul monde. Et réciproquement chaque monde correspond à une seul conjonction complète, à l'ordre près, autrement dit, en respectant l'ordre des variables définie dans l'univers.
Les conjonction complètes sont donc codées comme les mondes, selon l'ordre des variables dans l'univers, et selon un endianess ici le big-endian. Par exemple dans l'univers `U(x,y,z)`, le monde `(0,1,0)` qui correspond plus explicitement au monde `(x"="0, y"="1, z"="0)`, correspond à la conjonction complète `"¬"x" et "y" et ""¬"z`, et est codé par l'entier `0"⋅"2^0 + 1"⋅"2^1 + 0"⋅"2^2= 2`.
On ajoute une notation plus dense et en lettre droite dite « monde implicite » où seuls les variables d'univers affirmatives de la conjonction complète sont listées et où les variables d'univers non mentionnée sont implicitement posées à `0` c'est à dire négativées. Par exemple, le monde `(0,1,1)` correspond à l'évènement élémentaire `ttyttz` qui est l'évènement élémentaire `("¬"x" et "y" et "z)`. Ci-dessous le tableau récapitulant les différentes notations de monde :
Événement élémentaire,
Conjonction complèteConjonction condensée complète : Conjonction condensée anonyme complète : Monde implicite :
L'univers est un ensemble fini de mondes exclusifs, exhaustifs et équiprobables, ici composé de 8 mondes décrits ci-dessous :
vérité
`x"+"2y"+"4z`
complète
condensée
complète
implicite
Les évènements élémentaires peuvent être désignés par une variable `e_i` indicée par leur code entier `i`. Ainsi, en prenant par exemple les évènements élémentaires de code `3` et `7`, nous pouvons exprimer ces évènements de différentes façons. Notez que l'on ne fait pas de distinction entre un ensemble contenant un seul évènement élémentaire et l'évènement élémentaire en question. Ainsi par exemple `{e_3}=e_3`.
`3 = 1"⋅"2^0 "+" 1"⋅"2^1 "+" 0"⋅"2^2` `7 = 1"⋅"2^0 "+" 1"⋅"2^1 "+" 1 "⋅"2^2` `e_3 = x" et "y" et ""¬"z` `e_7 = x" et "y" et "z` `x" et "y = (x" et "y" et "z)" ou "(x" et "y" et ""¬"z) = {e_3, e_7}`
`P(x" et "y") = P({e_3, e_7}) = |{e_3, e_7}|/|Omega| = 2/|Omega|`
` P(x" et "y" et ""¬"z)=P(e_3)=1/|Omega|` `P(x" et "y" et "z)=P(e_7)=1/|Omega|`
Où `Omega` désigne l'univers en question `Omega = U(x,y,z)`.
Pour des évènements quelconques `A,B,C,D,...`, on adopte une notation condensée qu'est la conjonction condensée. On note par exemple `AbarBD`, la conjonction `A" et ""¬"B" et "D`. Dans cette expression `AbarBD`, l'opération binaire représentée par absence de symbole correspond à la fois au `"et"` logique, au produit des booléens, et à l'intersection d'ensembles. Et l'opération unaire représentée par la barre correspond à la fois à la négation logique, à la négation booléenne, et à l'ensemble complémentaire dans `Omega`.
On appel évènement de base, les évènements définies comme réalisant une variables d'univers. Il y a dans l'univers `U(x,y,z)` exactement `3` évènements de base qui sont `x`,`y`,`z`, où dit plus explicitement, qui sont `x=1`, `y=1`, `z=1`. Notez que les évènements de base ne sont généralement pas des évènements élémentaires.
Les trois évènements de base `x,y,z` sont représentés ci-dessous par trois ensembles en forme de cercle qui partitionnent `Omega` en 8 parties :
| Notation monde implicite : | `Omega = ttø + ttx + tty + ttz + ttxtty + ttxttz + ttyttz + ttxttyttz` |
| Notation condensée : | `Omega = barxbarybarz + xbarybarz + barxybarz + barxbaryz + xybarz + xbaryz + barxyz + xyz` |
Et chacune de ces parties est un évènement élémentaire.
Il y a 3 évènement de base :
`x`, `y`, `z`
Il y a 8 évènements élémentaires:
`ttø`, `ttx`, `tty`, `ttz`, `ttxtty`, `ttxttz`, `ttyttz`, `ttxttyttz`
On perfectionne notre univers en complexifiant les différents mondes qui le compose. Afin d'obtenir des mondes non équiprobables, on les subdivisent en plusieurs mondes. Les mondes initiaux sont appelés mondes macroscopiques, les nouveaux mondes sont appelés mondes microscopiques et constitue les nouveaux évènements élémentaires.
Un monde microscopique est décrit par ces `3` coordonnées booléennes `x,y,z` et par une quatrième coordonnée entière `n` qui est confiné entre `0` et une valeur maximum `N(x,y,z)` prédéfinie. Cette construction de l'univers se résume par l'expression classique d'un univers booléen tridimensionnel probabiliste que voici :
`Omega = (U(x,y,z),P)`
Où `P` définie la probabilité de chaque monde macroscopique.
On ne fait pas de distinction entre l'évènement `{e}`, le monde `e`, ou ses coordonnées `(x(e),y(e),z(e))`. Et on ne fait pas de distinction entre l'application de `N` appliquée au triplet de coordonnées `(x,y,z)` ou appliquée au monde correspondant, faisant que `N(x,y,z)= N("("x,y,z")")`. Le lien entre la représentation classique et élémentarienne tient dans les deux égalités suivantes :
`|Omega| = sum_(e in Omega)N(e)` `P(e) = (N(e))/|Omega|`
Dans cet univers, les notations précedentes s'appliquent toujours mais sont relatives aux mondes macroscopiques qui ne sont plus équiprobables.
L'univers comprend `8` mondes macroscopiques. Il faut donc choisire librement une suite de `8` entiers à un facteur entier près pour définir un univers booléen pondéré tridimensionnel. Ce sont les 8 cardinalitées `|ttø|`, `|ttx|`, `|tty|`, `|ttz|`, `|ttxtty|`, `|ttxttz|`, `|ttyttz|`, `|ttxttyttz|`, et qui correspondent à des nombres de mondes microscopiques équiprobables. Et cela revient au même que de choisire librement les probabilités rationnelles des 8 mondes macroscopiques avec comme seule contrainte que leur somme soit bien égale à `1`, c'est à dire telles que :
`P(ttø) "+" P(ttx)"+" P(tty)"+" P(ttz)"+" P(ttxtty)"+" P(ttxttz)"+" P(ttyttz)"+" P(ttxttyttz)= 1`
Comme pour les espaces projectifs, la dimension est égale à la dimension de l'espace moins un. Le modèle d'univers possède donc `7` degrés de liberté probabiliste, la `8` ième probabilité se calculant à partir des `7` premières.
Intuitivement, un évènement `A` est indépendant de deux évènements `B,C` si et seulement si la probabilité contingente de `A` sachant `B,C` est invariante. (Nous utilisons le symbole chapeau pour désigner les évènements variant et le qualificatif constant pour désigner un résultat constant.)
`P(A "/" hatB "et" hatC)` constant
c'est à dire si et seulement si :
`P(A "/" BC) = P(A "/" barBC) = P(A "/" BbarC) = P(A "/" barBbarC)`
Ou autrement dit :
`|ABC|/|BC| = |AbarBC|/|barBC| = |ABbarC|/|BbarC| = |AbarBbarC|/|barBbarC|`
C'est à dire que la proportion d'élément de `A` est la même dans les parties disjointes suivantes :
`BC, barBC, BbarC, barBbarC`
Lorsque la proportion est la même sur chaque fraction disjointes alors elle est la même sur l'ensemble réuni des fractions. Cela se démontre récurcivement en démontrant que la réunion de deux portions disjointes possédant un même rapport d'élément appartenant à `A` produit encore une portion possèdant ce même rapport. Et cela a été fait au chapitre `8`. Comme ici la réunion des parties est égale à `Omega`, nous avons :
`P(A "/" hatB "et" hatC) = P(A)`
On remarque que si `A` est indépendant de `B,C` alors il est indépendant de `B`, et ceci pour la même raison. La proportion d'élements appartenant à `A` étant la même dans les parties disjointes suivantes :
`BC,barBC,BbarC,barBbarC`
Elle est donc la même dans les deux parties suivantes :
`B = BC∪BbarC`
`barB = barBC∪barBbarC`
Et donc :
`P(A "/" B) = P(A "/" "¬"B) = P(A)`
`P(A "/" hatB )` constant `P(A "/" hatC )` constant
Par contre la réciproque n'est pas vrai. (Reste à montrer)
---- 18 juillet 2018 ----
Si `A` est indépendant de `B,C` alors P(A / BC) = P(A)`. Nous le démontrons ainsi :
`P(A "/" BC) = P(A "/" barBC)` `<=> |ABC|/|BC| = |AbarBC|/|barBC|` `<=> |ABC||barBC| = |AbarBC||BC|` `<=> |ABC|(|C|-|BC|) = |AbarBC||BC|` `<=> |ABC||C| = (|ABC|+|AbarBC|)|BC|` `<=> |ABC||C| = |AC||BC|` Comme {A,C} est indépendant
`<=> |ABC||C| = |A||C||BC|/ |Omega|` `<=> |ABC|/|BC| = |A|/ |Omega|` `<=> P(A / BC) = P(A)`
ET d'autre part rien n'empêche que `B` soit dépendant de `C`.
Si `A` est indépendant de `B,C` et que `B` est indépendant de `C` alors la probabilité de la conjonction des trois évènements est égale au produit des probabilités de chaque évènements. Nous le démontrons ainsi :
`A` est indépendant de `B,C` `=> P(A / BC) = P(A)` `=> |ABC|/|BC| = |A|/ |Omega|` `=> |ABC||Omega| = |A||BC|`
`{B,C}` indépendant `=> P(BC)=P(B)P(C)` `=> |BC|/|Omega| = |B|/|Omega||C|/|Omega|` `=> |BC||Omega| = |B||C|`
donc :
|ABC||Omega| = |A||BC|` `=> |ABC|/|Omega| = |A|/ |Omega||B|/ |Omega||C|/ |Omega|` `=> P(ABC) = P(A)P(B)P(C)`
Ainsi {A,B,C} est un ensemble d'évènements indépendants si et seulement si il vérifie les 4 équations suivantes :
`P(AB) = P(A)P(B)`
`P(AC) = P(A)P(C)`
`P(BC) = P(B)P(C)`
`PABC) = P(A)P(B)P(C)`
Montrons que ces `4` équations ne sont pas redondantes. Par raison de symétrie, il suffit d'exiber un univers `U` où :
`P(AB) ≠ P(A)P(B)`
`P(AC) = P(A)P(C)`
`P(BC) = P(B)P(C)`
`P(ABC) = P(A)P(B)P(C)`
`P(x) = 1"/"2`
`P(y) = 0`
`P(z) = 1"/"2`
`P(x" et "y) = 0`
`P(x" et "z) = 0`
`P(y" et "z) = 0`
`P(x" et "y" et "z) = 0`
et un univers `V` où :
`P(AB) = P(A)P(B)`
`P(AC) = P(A)P(C)`
`P(BC) = P(B)P(C)`
`P(ABC) ≠ P(A)P(B)P(C)`
`P(x) = 2"/"4`
`P(y) = 2"/"4`
`P(z) = 2"/"4`
`P(x" et "y) = 1"/"4`
`P(x" et "z) = 1"/"4`
`P(y" et "z) = 1"/"4`
`P(x" et "y" et "z) = 0`
Et c'est ce qu'il fallait démontrer.
On remarque que :
| `P(ABC) = P(A)P(B)P(C)` | `<=> (P(ABC)) / (P(C)) = P(A)P(B)` |
| `<=> P(AB"/"C) = P(AB)` | |
| `<=> P(AB"/"C) = P(AB"/"barC)` | |
| `P(AB) = P(A)P(B)` | `<=> (P(AB)) / (P(B)) = P(A)` |
`<=> P(A"/"B) = P(A)` |
|
`<=> P(A"/"B) = P(A"/"barB)` |
Nous avons donc pour résumer, les 4 assertions suivantes qui sont équivalentes :
`P(x" et "z) = P(x)P(z)`
`P(y" et "z) = P(y)P(z)`
`P(x" et "y" et "z) = P(x)P(y)P(z)`
`P(x "/" z) = P(x)`
`P(y "/" z) = P(y)`
`P(x" et "y "/" z) = P(x" et "y)`
`P(x "/" z) = P(x "/" "¬"z)`
`P(y "/" z) = P(y "/" "¬"z)`
`P(x" et "y "/" z) = P(x" et "y "/" "¬"z)`
`P(x" et "y) = P(x" et "y" et "z) + P(x" et "y" et ""¬"z)`
Et donc en supposant que `{x,y,z}` soit indépendant, nous avons :
`P(x" et "y" et ""¬"z) = P(x" et "y) - P(x" et "y" et "z)`
`= P(x)P(y) - P(x)P(y)P(z)`
`= P(x)P(y)(1"-"P(z))`
`= P(x)P(y)P("¬"z)`
Ce qui entraine que `{x,y,"¬"z}` est indépendant. Et donc par symétrie, nous avons :
`{x,y,z}" indépendant" <=> (({x","y",""¬"z}" indépendant"),({x",""¬"y","z}" indépendant"),({"¬"x","y","z}" indépendant"),({x",""¬"y",""¬"z}" indépendant"),({"¬"x"," y",""¬"z}" indépendant"),({"¬"x",""¬"y","z}" indépendant"),({"¬"x",""¬"y",""¬"z}" indépendant"))`
Cette propriété peut s'exprimer ainsi : Etant donné un ensemble d'évènements indépendants `{x,y,z}`, la probabilité d'une conjonction d'évènements parmis ceux-ci ou leur négations, à condition de ne pas choisir à la fois un évènement et sa propre négation, est égale au produit des probabilités des évènements ou de leur négations qui la compose.
Si `{x,y,z}` indépendant, alors nous avons par exemples :
`P(x" et ""¬"y" et "z) = P(x)P("¬"y)P(z)`
`P(y" et ""¬"z) = P(y)P("¬"z)`
L'indépendance s'applique donc entre variables indépendament de leur affirmation ou de leur négation.
---- 14 juillet 2018 ----
En utilisant le symbole chapeau et le qualificatif constant relatif à chaque variable, on peut écrire `4` types d'expressions nouvelles :
`P(x "/" haty" et "z)` constant |
`P(x "/" y" et "z) = P(x "/" "¬"y" et "z)` | si `z=1` alors `{x,y}` indépendant. |
`P(x "/" haty" et "hatz)` constant |
`P(x "/" y" et "z) = P(x "/" "¬"y" et "z)` `P(x "/" y" et "z) = P(x "/" y" et ""¬"z)` `P(x "/" y" et "z) = P(x "/" "¬"y" et ""¬"z)` |
`x` est indépendant de `{y,z}` |
`P(hatx "/" haty" et "z)` constant |
`P(x "/" y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et "z) = 1"/"2` |
Nous n'avons pas de connaissance sur x et si z = 1, la connaissance de la valeur de y n'apporte aucune connaissance sur x. |
`P(hatx "/" haty" et "hatz)` constant |
`P(x "/" y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" y" et ""¬"z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et ""¬"z) = 1"/"2` |
Nous n'avons pas de connaissance sur x et la connaissance des valeurs de y et de z n'apportent aucune connaissance sur x. |
`P(hatx "/" haty" et "z)` constant en `x` |
`P(x "/" y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et "z) = 1"/"2` |
`P(hatx "/" haty" et "z)` constant |
`P(hatx "/" haty" et "z)` constant en `y` |
`P(x "/" y" et "z) = P(x "/" "¬"y" et "z)` `P("¬"x "/" y" et "z) = P("¬"x "/" "¬"y" et "z)` |
`P(x "/" haty" et "z)` constant `P(¬x "/" haty" et "z)` constant |
| `P(hatx "/" haty" et "hatz)` constant en `x` | `P(x "/" y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et "z) = 1"/"2` `P(x "/" y" et ""¬"z) = 1"/"2` `P(x "/" "¬"y" et ""¬"z) = 1"/"2` |
`P(hatx "/" haty" et "hatz)` constant |
| `P(hatx "/" haty" et "hatz)` constant en `y` | `P(x "/" y" et "z) = P(x "/" "¬"y" et "z)` `P("¬"x "/" y" et "z) = P("¬"x "/" "¬"y" et "z)` `P(x "/" y" et ""¬"z) = P(x "/" "¬"y" et ""¬"z)` `P("¬"x "/" y" et ""¬"z) = P("¬"x "/" "¬"y" et ""¬"z)` |
`P(x "/" haty" et "hatz)` constant |
Lorsque la proportion est la même sur chaque fraction alors elle est la même sur l'ensemble réuni des fractions. L'expression `P(x "/" haty et hatz)` constant est donc équivalante à :
`P(x) = P(x "/" y" et "z)`
`P(x) = P(x "/" "¬"y" et "z)`
`P(x) = P(x "/" y" et ""¬"z)`
`P(x) = P(x "/" "¬"y" et ""¬"z)`
et cela entraine aussi la même égalité pour chaque union de fractions. Il y a 8 fractions et donc 8 + 8*7/2 + 8*7*6/3! + 8*7*6*5/4! + 8*7*6*5*4/5! + 8*7*6*5*4*3/6! + 8*7*6*5*4*3*2/7! + 8!/8! = 255 unions possibles. Et par chaqu'une de ces unions, la prpobabilité conditionnelle à cette union vaut P(x).
Un ensemble de `n` évènements est dit indépendant si la probabilité de la conjonction de `2` évènements distincts est égale au produit des probabilités des `2` évènements, puis si la probabilité de la conjonction de `3` évènements distincts est égale au produit des probabilités des `3` évènements, puis si la probabilité de la conjonction de `4` évènements distincts est égale au produit des probabilités des `4` évènements, etc..., puis si la probabilité de la conjonction des `n` évènements est égale au produit des probabilités des `n` évènements.
Ainsi par exemple, `{x,y,z,t}` est indépendant si et seulement si :
`P(x" et "y) = P(x)P(y)`
`P(x" et "z) = P(x)P(z)`
`P(x" et "t) = P(x)P(t)`
`P(y" et "z) = P(y)P(z)`
`P(y" et "t) = P(y)P(t)`
`P(z" et "t) = P(z)P(t)`
`P(x" et "y" et "z) = P(x)P(y)P(z)`
`P(x" et "y" et "t) = P(x)P(y)P(t)`
`P(x" et "z" et "t) = P(x)P(z)P(t)`
`P(y" et "z" et "t) = P(y)P(z)P(t)`
`P(x" et "y" et "z" et "t) = P(x)P(y)P(z)P(t)`
L'indépendance de n évènements correspond à un système d'équation dont le nombre d'équation est :
`(n(n"-"1))/(2!) + (n(n"-"1)(n"-"2))/(3!) + (n(n"-"1)(n"-"2)(n"-"3))/(4!) + ... + (n!)/(n!)`
ce qui est égale à :
`2^n - n - 1`
P(x / @y et @z) constant
Cela fait 4 équations nécessaires. Et dans le cas de n évènements indépendants, il y a 2n - n - 1 équations.
Etant donné un ensemble d'évènements indépendants {x,y,z}, la probabilité d'une conjontion d'évènements parmis ceux-ci ou leur négations, à condition de ne pas choisir à la fois un évènement et sa négation, est égale au produit des probabilités des évènements ou de leur négations qui la compose. Par exemple nous avons :
P(x et ¬y et t) = P(x)*P(¬y)*P(t).
Il semble pertinent de définir une notion d'indépendance plus précise opérant entre deux séquences d'évènements non nécessairement indépendants. On dira que x,y sont indépendants de a,b et on notera x,y | a,b, si et seulement si la probabilité contingente de x sachant la valeur de a et de b est invariante, et qu'il en soit de même pour y, et reciproquement que la probabilité contingente de a sachant la valeur de x et de y est invariante, et qu'il en soit de même pour b. On transcrit cette définition à l'aide du symbole @ comme suit :
x,y | a,b <=> P(@x et @y / @a et @b) constant selon a et b
et P(@a et @b / @x et @y) constant selon x et y
Et cela ne présage pas du caractère indépendant ou non des ensembles d'évènements {x,y} et {a,b} pris isoléments.
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