La notion de groupe de transformations est à l'avant garde des sciences cognitives et de la psychogénétique, génèse de l'intélligence chez l'enfant. En effet qu'est-ce qui peut être perçu comme intélligible dans le chaos du monde où l'on nait ? l'invariant. C'est ainsi que la psychologie de l'être en développement va percevoir et découvrir les invariants qui l'entoure et dont il apprend constament à les reconnaitre pour s'y rattacher et donner un sens au monde. La psychologie se construit sur ses invariants qui constitueront la base du developpement de l'être.
L'invariant est ce que l'on retouve. Il peut appaître sous de multiple formes. Chaque transformation passant d'une forme à l'autre constitue un élément du groupe de transformation. Et c'est la propriété de groupe qui fait que ces transformations se réfèrent à un invariant. En effet, dans un groupe toute transformation peut se composer avec une autre et est réversible, et donc il est possible de retrouver chaque forme, ce qui dénote de l'existence d'un invariant, plus abstrait, pas immédiat, derrière une liberté de transformation restreint à un groupe de transformation.
On dit que les enfants des campagnes ont un sens logique et mathématique plus developpé que ceux des villes, car plus amène à jouer seul et à experimenter avec les objets les différentes configurations mathématiques et géométriques possibles. C'est ainsi qu'ils testeront l'invariance des nombres en remarquant que la façon de compter les objects ne dépend pas de l'ordre de comptage et que ce nombre constitue bien un invariant. Alors que les enfants des villes développeront une autre capacité, celle d'interagir en collectivité, au travers les liens avec autrui, de l'intersubjectivité, auquels ils seront davantage confrontés de par la surpopulation des villes.
Si on s'intéresse aux groupes finis, alors il faut commencer par étudier les groupes de permutations. En effet, tout groupe de cardinalité `n` opère sur lui-même par translation gauche de façon fidèle et en respectant la forme, faisant qu'il est isomorphe à un groupe de permutations s'appliquants dans un ensemble de `n` éléments, et constitue donc un sous-groupe du groupe des permutations de `n` éléments noté `frS_n`. Pour tout groupe `G` de `n` éléments , nous avons :
`|G|=n` `G <= frS_n` `|frS_n| = n!`
Nous utiliserons le symbole `<=` pour désigner une inclusion, non pas entre les ensembles, mais entre les formes. C'est à dire, étant donné deux groupes `A,B`, nous aurons `A<=B` si et seulement si il existe un plongement `A ↪ B`, ou autrement dit, si `A` est isomorphe à un sous-groupe de `B`.
Alan Debreil est ingénieur de l'Ecole Centrale Paris, aujourdhuis à la retraite. Il a effectué l'essentiel de son activité en recherche et développement chez Bull, aux Clayes-sous-Bois. Il a repertorié tous les groupes finis ayant au plus 32 éléments en nous en donnant une déscription trés minutieuse dans son livre "Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes". Il convient d'abord de trouver un langage adapté pour exprimer toutes ces informations.
Les groupes sont présenté en notation multiplicative. L'élément neutre est `1`. L'opération interne est la multiplication que l'on représente par absence de symbole. Les éléments générateurs sont désignés par les lettres minuscules prises dans l'ordre alphabétique, `a,b,c,...`
Par exemple, le groupe dihedral de `6` éléments, noté `D_3` se présente par :
`D_3 ~= "<"a,b"> / "{`
`a^3=1,`
`b^2=1,`
`ba=a^-1b`
`}`
Dans cette expression, les générateurs sont au numérateur entre crochet `< >` et la théorie est au dénominateur entre braquette `{ }`. La théorie de groupe est sous-entendu, c'est à dire qu'il faut ajouter comme opérateurs générateurs ; le produit `**"(.,.)"` que l'on note par absence de symbole `xy= x**y` , l'élément neutre `1`, l'opérateur d'inversion `x|->x^-1`, et qu'il faut ajouter à la théorie ; l'associativité `x(yz)=(xy)z`, l'élément neutre `x1=1x=x`, l'inversibilité `x x^-1= x^-1x=1`. Etant donné un groupe `G`, on note `Aut(G)` le groupe des automorphismes de `G`. Voici un premier tableau récaputilant les présentations classiques de chaque groupes et les générateurs de leur groupe d'automorphismes :
Voyons comment un calculateur pourrait utiliser ces données. Il manque un lien entre les générateurs du groupe d'automoprhisme et les générateurs de la présentation classique de son type.