Le calcul différentiel utilise le concept d'élément différentiel, qui, au premier ordre, dévoile l'aspect linéaire local des fonctions différentiables. C'est pourquoi les opérateurs de dérivée partielle sont étudiés en même temps que les opérateurs linéaires que sont les matrices et qui font partie du domaine du calcul matriciel.
La matrice est aux mathématiques ce que la programmation parallèle est à l'informatique. On entend par programmation parallèle, le parallélisme de calcul, c'est à dire un même calcul effectué sur des variables distinctes, et non simplement des calculs différents effectués en parallèle.
La formalisation du calcul différentiel comprend la formalisation d'un système de variables et de coordonnées, et la formalisation du corps des hyperréels `"*"RR`. (Voir aussi Introduction au calcul différentiel)
Qu'est ce qu'un système de variables et de coordonnées ? C'est un certain nombre de variables évoluant dans un domaine continu, qui satisfont un certain nombre de dépendances de calcul inconnus ou connus, et qui possèdent des arguments par défaut constituant un système de coordonnées propre à la variable. Dans un premier temps on ne traitera pas les bords ni les points singuliers, autrement dit, les variables évoluent d'une manières indéfiniment dérivable et de série de Taylor convergente dans le corps des réels `RR`.
On adopte une notation inspirée des réseaux de neurones. Etant donnée trois variables `f,x,y` représentant des valeurs réels. On définie un lien de dépendance de `f` aux variables `(x,y)` par la déclaration suivante que nous appellons neurone :
`f "←"(x,y)`
Dès lors, la variable `f` devient une fonction, pour l'instant inconnue, de `RR^2` vers `RR`, qui possède une forme d'appel `f"(.,.)"` et qui s'applique par défaut sur `(x,y)`. Ainsi l'expression `f`, apparaissant dans une équation où l'on attend une valeur réel, représentera la valeur `f(x,y)`. Tout se passe comme si nous étions dans un système physique possédant trois variables d'état `f,x,y`, et que nous affirmions d'une part, que la variable `f` est déterminée par les deux variables `x,y`, et d'autre part que les variables de nom `(x,y)` misent sous forme de vecteur constituent un système de coordonnées implicite pour la variable `f`, faisant que la valeur `f` est défini par défaut en `(x,y)`, ce qui s'écrit :
`f = f(x,y)`
La décalaration de dépendance `f "←"(x,y)` peut s'accompagner de la définition de la fonction associée qui permet concrètement de calculer `f` à partir de `x` et `y`. Par exemple :
`f "←"(x,y)`
`f(x,y)=1/(1+x^2+y^2)`
Les deux assertions sont nécessaires. La première donne à `f` un système de coordonnée avec des valeurs par défaut `f=f(x,y)`. Elle enrichie la syntaxe du langage des équations. La seconde est la contrainte complète qui permet de calculer `f` à partir de `(x,y)`. Dans l'exemple, la fonction `f` est :
`f : ((RR^2->RR),((x,y)|->1/(1+x^2+y^2) ))`
La fonction `f`, qu'elle soit explicite ou inconnue, s'appel un neurone. Notez qu'un neurone au sens classique est plus précis que cela. Le neurone classique est une fonction d'une somme de variables pondérées par des paramètres adaptables mémorisant l'apprentissage au niveau du neurone. Ici, le neurone est une fonction quelconque qui peut être inconnue. Et il ne fait pas que déterminer `f` à partir des variables auxquelles il est liées. Il fixe une forme d'appel telle que décrite dans le neurone `f"(.,.)"`. Il fixe un système de coordonnées par défaut. Et enrichie ainsi la syntaxe du langage des équations.
Puis la variable `f` peut avoir d'autres liens de dépendance. Etant donnée de nouvelles variables `u,v` réels. On définie par exemple un nouveau lien de dépendance de `f` en utilisant un autre type de parenthèse comme suit :
`f"←"[u,v]`
Délors il y a deux systèmes de coordonnées implicites pour `f`, que nous distinguons en utilisant un autre type de parenthèse dans la liste `"(, [, ❲, ⦅, ⟦"`, une autre forme d'appel, `"f[.,.]"`. Et nous avons de façon implicite les égalités suivantes sur le point de mesure par défaut :
`f = f(x,y)=f[u,v]`
Puis les liens de dépendances s'emboitent et se succèdent. Par exemple :
`h"←"(f,g)`
`f"←"(x,y)`
`g"←"(x,y)`
`x"←"(t)`
`y"←"(t)`
Et nous avons par exemple :
`h = h(f,g) = h(f(x,y),g) = h(f(x,y),g(x(t),y))`
Puis les liens de dépendances peuvent se boucler. Par exemple :
`p"←"(x)`
`x"←"(p,q)`
Et nous avons par exemple :
`p = p(x) = p(x(p,q))=p(x(p(x),q))`
Les variables qui ne sont pas liées dans le système tel que `t` et `q` par exemple, sont libres de parcourir toutes les valeurs réels, ce qui n'est pas le cas des variables liées qui ne peuvent parcourir que les valeurs images de leur dépendance.
Avant de parler du corps des hyperréels, il convient de parler du corps des réels et de la façon dont il est construit. Voir : Construction des nombre réels (A. Bechata) et Corps commutatif totalement ordonné - axiomes de définition de `RR` (G. Eguether).
Le corps des réels `RR` est construit à partir du corps des rationnels `QQ` formant un espace métrique que l'on complète `RR= barQQ`. On peut également le définir comme étant le seul corps commutatif totalement ordonné archimédien complet. Un corps totalement ordonné est nécessairement de caractéristique zéro, et donc contient nécessairement `QQ`.
À l'aide de l'addition, l'unité `1` engendre le semi-groupe des entiers naturels non nuls que nous noterons simplement par la lettre `sfN`, puis à l'aide de la soustraction, il engendre le groupe des entiers relatifs `ZZ`, puis à l'aide de la division, il engendre le corps des rationnels `QQ`, puis par complétion métrique, il engendre `RR`.
La notation d'origine de l'ensemble des entiers naturels proposée par Richard Dedekind en 1888 excluait le zéro. Nous pensons qu'il est judicieux de redonner à cet ensemble, qui trouve ses fondements dans l'histoire des mathématiques, qu'est l'ensemble des grandeurs entières, un symbole rudimentaire non composé plus amène à désigner un fondement. Ainsi `sfN` désignera le semi-groupe des entiers naturels non nuls tandis que `bbbN` désignera le monoïde des entiers naturels.
`sfN=bbbN-{0}`
Une grandeur est une valeur non nulle. Une grandeur arbitrairement grande dans un corps archimédien sera donnée par une grandeur entière arbitraire `n "∈"sfN`, tandis qu'une grandeur arbitrairement petite sera donnée par son inverse `1"/"n`.
Si on enlève la propriété d'être archimédien qui dit que tout élément peut être dépassé par un multiple entier de l'unité, on peut définir d'autres corps plus grands qui contiennent `RR` tel que le corps des hyperréels `"*"RR`.
Un espace métrique `(E,D)` est un ensemble de points `E` munie d'une distance `D` c'est à dire d'une application de `E^2"→"bbbK^+` où `bbbK` est un corps totalement ordonnée. Et cette application doit vérifier les trois axiomes suivants :
`AA(x,y,z)"∈"E^3,`
`D(x,y)=D(y,x)`
`D(x,y)"="0 <=> x"="y`
`D(x,y)⩽D(x,z)"+"D(z,y)`(Symétrie)
(Séparation)
(Inégalité triangulaire)
L'ensemble des valeurs positives du corps, `bbbK^"+"={x"∈"K "/" x"⩾"0}` regroupe l'ensemble des valeurs de distance possibles entre deux points.
La géométrie utilise des droites, des demi-droites, des segments de droite, des cercles, des angles et des points, en tant qu'éléments fondamentaux sans les définir autrement que par les rapports qu'ils ont entre eux, et qui forment l'axiomatique d'une géométrie.
Et c'est Descartes, en inventant les coordonnées cartésiennes, qui va plonger la géométrie euclidienne dans un espace vectorielle de dimension 3.
Mais il existe plusieurs géométries. Et il est possible de définir ce qu'est une droite sans opter pour une géométrie particulière. On plonge la droite non pas dans un espace vectoriel mais dans un espace métrique, objet mathématique beaucoup plus général. Et on commence par définir un objet un peu plus générale qu'est la ligne, un chemin continue qui se prolonge indéfiniment par les deux bouts et qui ne se recroise pas.
La ligne sera une droite si elle constitue le chemin le plus court, appelé géodésique, dans l'espace métrique où elle se situe.
On cherche une définition, de ce que nous appelerons une ligne, qui soit plus générale que celle d'une droite tout en s'y rapprochant. Une ligne est un cheminement indéfinie dans les deux sens, sans préciser de sens.
Qu'est ce que l'on entend par cheminement ? Ozanam en donne une définition : "La ligne est une étendue en longueur, sans largeur, ni profondeur." On en conclut qu'elle ne possède qu'une seule dimension. Elle définie un espace métrique unidimensionnelle. Mais que veut dire un espace métrique à une dimension ? Le terme de cheminement ou d'unique dimension se traduit par l'existence d'une relation d'ordre totale sur la ligne que l'on note `"≼"` et qui indique un sens de circulation sur la ligne. Un point `a` est plus petit que `b`, ce qui se note `a≼b`, si dans le sens de circulation sur la ligne, le point `a` se trouve avant le point `b`. Si on munie la ligne une telle relation d'ordre, on choisie un sens de circulation, et la ligne deviendra un objets plus sophistiquée et s'appelera une ligne orientée.
Mais cet ordre n'est pas arbitraire, il doit être compatible avec la métrique, et cette compatibilité va s'exprimer différemment selon que la ligne est continue ou discontinue. Nous la définirons dans les chapitres suivants.
L'approche la plus simple consiste à décomposer les objects en combinaisons d'objets plus simples. Procédons ainsi. Quelque soit un point `a` appartenant à une ligne `L`, ce point coupe la ligne en deux demi-lignes `A` et `B`, mais il nous est impossible de donner un ordre entre ces deux demi-lignes car la ligne initiale n'est pas orientée. C'est pourquoi on exprime le résultat sous forme d'un doublon `{A,B}`. Si la ligne est orientée, le problème de la perdurence de cette symétrie ne se pose plus. Etant donné une ligne orientée `(L, "⩽")`, Quelque soit un point `a` appartenant à la ligne, le point `a` définit deux demi-lignes (`{x "∈" L "\" x"⩽"a}`, `{x "∈" L "\" x"⩾"a}`)
Puis il existe plusieurs façons de concevoir un cheminement indéfini. Considérons une demi-ligne partant du point a. On peut exiger que quelque soit une grandeur `n"∈" sfN`, il existe un point `b` appartenant à la demi-ligne dont la distance à `a` est supérieur à `n`. On peut exiger mieux encore que le cheminement tendent vers un éloignement infini. Et on peut encore exiger davantage que cela, que le cheminiment tendent vers une direction à l'infini tel un point de fuite, s'il est possible de définir une telle direction, un tel point de fuite dans un espace métrique.
D'autre interprétation sont au contraire minimalistes, telle celle décrite par le paradoxe de Zénon, faisant qu'un intervalle ouvert de réels peut être considéré comme un cheminement indéfinie. Et on verra qu'il y a encore d'autres interprétations possibles de longueur durviligne infinie telle un spirale indéfinie circonscrite dans une boule de taille finie.
Une ligne-à-pas est d'abord une suite de points indéfinie par les deux bouts `(a_n)_(n in ZZ)` où l'indice suit l'ordre des points sur la ligne, mais sans préciser de point d'origine `a_0` ni de sens de circulation `(a_0, a_1)`. Cela défini un ordre, énumérable dans l'ordre.
Cette définitinon est évidement trop générale, et il nous faut trouver d'autres critères pour proposer une définition plus étroite et plus pertinente d'une ligne-à-pas. Quelle pourrait être les conditions pour être une ligne-à-pas ? Il semble y en avoir deux sortes, l'une concernant le pas entre chaque point, l'autre concernant l'infini, sur lequel contrairement à la première sorte, il peut s'appliquer un critère de continuité.
Le cheminement à pas peut être affiné autant que l'on veut en ajoutant des points intermédiaires en nombre fini mais arbitrairement grand. Délors l'inégalité triangulaire appliquée aux points successifs peut être affinée de tel sorte qu'elle deviennent presque une égalité. On peut donc imposer à la ligne-à-pas, une inégalité triangulaire sur ses points successifs qui soit plus restrictive telle que :
`D(a_n,a_(n+2)) ⩽ D(a_n,a_(n+1))+D(a_(n+1),a_(n+2)) ⩽ D(a_n,a_(n+2)) + epsilon`
où en rapport :
`1 ⩽ (D(a_n,a_(n+1))+D(a_(n+1),a_(n+2)))/(D(a_n,a_(n+2))) ⩽ zeta`
Et qui constitue le critère de compatibilté de l'ordre avec la métrique évoqué au chapitre précédent. Un cas particulier peut se produire, le cas où l'inégalité triangulaire appliquée aux points successifs est nulle. Dans ce cas l'inégalité triangulaire est nulle pour n'importe quel point appartenant à la ligne-à-pas, qui est alors qualifiée de droite et est appelé une droite-à-pas.
Sur une ligne-à-pas orientés et avec origine, on définie les coordonnées curvilignes. Le repère est composé d'un point origine `a_0` et d'un sens `(a_0,a_1)`. La coordonnée curviligne d'un point `a_n` est alors définie par :
Si `n">"0` l'abscisse curviligne de `a_n` est : `sum_(i=0)^(n-1) D(a_i,a_(i+1))`
Si `n"<"0` l'abscisse curviligne de `a_n` est : `sum_(i=n+1)^0 D(a_(i-1),a_i)`
Concernant l'infini, la ligne-à-pas doit s'éloigner continument vers l'infini pour chacun des deux sens. C'est à dire, quelque soit un point `a_0` sur la ligne-à-pas, la distance de `a_0` aux différents points de la ligne, pour chacun des deux sens de la ligne, doit tendre vers l'infini :
`lim_(n->oo) D(a_0,a_n) = oo` et `lim_(n->-oo) D(a_0,a_n) = oo`
Puis on pourra définir pour chaque sens, un point de fuite de façon analogue à une suite de Cauchy dans la limite nulle d'un rapport.
Le terme discret autorise qu'il y ait des trous de taille mesurable dans la ligne, et affirme que l'ensemble des points de la ligne est dénombrable. Alors, cette dernière affirmation n'est pas d'un grand intérêt pour les élémentariens qui considèrent déjà que tout est dénombrable. C'est pourquoi la ligne discrète contient la ligne continue, ou plus compréhensiblement que la ligne continue est une ligne discrète particulière, partout dense.
L'ordre des points n'est pas forcement énumérable dans l'ordre de la ligne. Voyez l'exemple proposé par Zénon d'Élée qui considère sur la droite réel, le point `1` et la liste des points suivants qui tendent vers `1` sans jamais l'atteindre :
`1/2, 1/2"+"1/4, 1/2"+"1/4"+"1/8, ....,sum_(i=1)^n 1/2^i,...`
Il est impossible d'énumérer ces points dans l'ordre, car le processus d'énumération n'atteindra jamais `1`, et donc n'énumerera jamais `1`. La notion d'énumération respectant un ordre permet de définir des grandeurs transfinies dans des modèles toujours dénombrables, appelé ordinal. L'ordinal de l'ensemble de points évoqué par Zénon vaut `omega"+"1` où `omega` désigne l'ordinal de `sfN`. Mais notez que l'addition de nos ordinaux n'est pas commutative : `omega"+"1≠omega` tandis que `1"+"omega =omega`.
---- 13 janvier 2021 ----
Quelque soit un point `a` et une distance `r`, une boule de centre `a` et de rayon `r`, notée `"Boule"[a,r]` est l'ensemble des points de distance à `a` plus petite ou égale à `r`.
Une suite de points se note comme suit :
`e = (e_i)_(i in sfN)` avec `AAi "∈"sfN, e_i "∈" E`
C'est donc une application de `sfN"→"E`, Et l'ensemble des applications, qui associ à chaque grandeurs entières un point de l'espace métrique, se note parfois `E^sfN` :
`e : ((sfN->E),(i|->e_i))`
`e in (sfN"→"E)`
`e in E^sfN`
L'ensemble des suites de points de `E` se note donc `E^sfN`, ou encore `sfN"→"E`. Et selon que l'on applique ou non l'axiome du choix, cet ensemble n'a pas la même définition. Pour les élémentariens, tous les ensembles à considérer sont dénombrables, et donc, seules les suites calculables doivent être considérer, et donc, seules les applications de `sfN"→"E` correspondant à un programme (qui est par définition de taille finie, et qui représente donc une nombre de choix arbitraires finis) doivent être considérées, les autres étant considérés comme inexistant. Ainsi, pour les élémentariens, `E^sfN` est encore dénombrable.
Une suite est un chemin discret partant d'un point initial et ne se terminant pas. On l'appellera une demi-ligne discrète.
Une suite de points de `E` que l'on note `e = (e_i)_(i in sfN)` est convergente, ce qui se note par l'expression `e"⚞"`, si et seulement si quelque soit une grandeur arbitrairement petite égale à `1"/"n` où `n "∈" sfN`, il existe un entier `m` tel que quelque soit deux indices entiers `i` et `j` supérieurs à `m`, nous ayons toujours les deux points `e_i` et `e_j` rapprochés d'une distance inférieure à `1"/"n`. Cela se résume par l'expression logique suivante :
Parfois on exhibe la forme skolémizée, `EE m"∈"(sfN"→"sfN), AAm"∈"sfN,...` où `m` est remplacé par `m(n)`, une fonction appliquée à `n`, qui constitue alors une proposition un chouïa plus forte. Mais cette surenchère rend la formule plus simple à comprendre.
Notez que le terme de « suite convergente » a une signification classique plus étroite qui impose que la suite doit converger dans l'espace `E`. On ne retient pas cette définition. La suite sera dite convergente si et seulement si elle est de Cauchy, nom donné en hommage au mathématicien français, Augustin baron Cauchy (Paris, 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine, 1857). Car d'un point de vu intuitif, nous pensons qu'il convient de redonner à ces suites, leur dénomination commune de « suites convergentes ». Et nous pouvons alors dire qu'elles peuvent, le cas échéant, converger vers un point n'appartenant pas à `E` mais appartenant à un ensemble plus vaste noté `barE` appelé la complétude métrique de `E`.
Considérons une suite convergente `(a_i)_(i in N)`. Et affranchissons-nous de l'ordre en permuttant les éléments de la suite de façon arbitraire par une bijection `sigma"∈" (N"→"N)`. Considérons la suite `(a_(sigma(i)))_(i in N)`. On définie la fonction `f(i) = "Max"(sigma(1),sigma(2),sigma(3),...,sigma(i))` et on part de la propriété de convergence :
`AA n "∈"sfN, EE m "∈"sfN, AA(i,j)"∈"sfN^2, i"⩾"m "et" j"⩾"m => D(a_i , a_j)"⩽"1"/"n`
On remarque que en choisissant `m` suffisament grand on élimine les `m` premiers termes de la série `(e_i)_(i in sfN)` pour ne garder que les termes qui deux à deux sont de distance inférieure à `1"/"n`. Le principe de la démonstration consiste à éliminer les `f(m)` premiers termes de la suite `( a_sigma(i))_(i in sfN)`, ce qui éliminera de faite les `m` termes posant problème, et cela entraine :
`AA(i,j)"∈"sfN^2, i"⩾"f(m) "et" j"⩾"f(m) => D(a_(sigma(i)) , a_(sigma(j)))"⩽"1"/"n`
On en conclut que l'ordre des éléments de la suite ne change pas sa propriété d'être convergente. La propriété de convergence peut donc s'appliquer aux ensembles dénombrables, et dans l'exemple, à l'ensemble de base de la suite, `A = {x "/" EEi"∈"sfN, x"="a_i}`. La convergence se définit à partir d'un ensemble dénombrable comme suit :
La notion de continuité ne nécessite pas l'axiome du choix, elle n'utilise pas la notion de continuum et peut être décrite dans un modèle dénombrable.
Etant donné un ensemble de points `A sube E`. Un chemin discret dans `A` est une suite de points appartenant à `A`. On dit que l'ensemble `A` connecte deux points `x` et `y`, ou qu'il relie ces deux points de façon continue, si et seulement si quelque soit un pas arbitrairement petit égal à `1"/"n` où `n"∈"sfN`, il existe un chemin discret dans `A "∪" {x,y}` partant de `x` et allant sur `y`, où la distance entre deux points successifs est toujours inférieure à `1"/"n`. On dit que `x` est connecté à `y` par le médium `A`. On note cette propriété par l'expression `x underline A y` :
| `AAn"∈"sfN, EEm"∈"sfN, EE(s_1, s_2, ..., s_m)"∈"A^m, x "=" s_1, y"="s_m, AAi "∈" {1..m"-"1}, d(s_i,s_(i"+"1))"⩽"1/n` |
Ainsi `underline A` désigne une relation dans l'espace métrique `E`, la relation "être connecté par le medium `A`". On remarque que cette relation est transitive :
`AA(x,y,z)"∈"E,x underline A y "et" y underline A z => x underline A z`
La négation de `x underline A y` se note `¬ x underline A y` et affirme l'existence d'une grandeur suffisament petite, `1"/"n`, telle qu'il est nécessaire d'effectuer au moins un saut supérieure à cette distance pour pouvoir passer de `x` en `y` en utilisant les seuls points appartenant à `A`. On dit que `A` ne connecte pas `x` à `y`, ou que les deux points sont disconnectés dans le médium `A`.
Ces propriétés peuvent s'appliquer à tous les couples de points d'un ensemble. Si l'ensemble connecte tous ses points à tous ses point, il est dit connexe. Et on remarque que `A` est connexe si et seulement s'il existe un point `a` dans l'espace métrique `E` qui est connexe dans le médium `A` avec tous les points de `A`.
Et inversement si tous les couples de points distincts et appartenant à `A` sont disconnectés dans le médium `A`, l'ensemble est dit totalement disconnexe.
`A` est connexe : `EEx"∈"E, AAy"∈"A, x underline A y` `A` est totalement disconnexe : `AA(x,y)"∈"A^2, x underline A y => x"="y`
Cette notion de continuité va ouvrir un nouveau chapitre des mathématiques appelé topologie, et plus précisément la topologie des espaces métriques.
Un chemin continu `C` qui ne se recroise pas, est un ensemble de points totalement ordonné par un ordre `≼` qui respecte la continuité, c'est à dire tel que quelque soit deux points `x,y` sur ce chemin, le sous-ensemble `{u"∈"C "/" x"≼"u"≼"y}` relie continument `x` à `y`. En résumé, l'ensemble `C` constitue un chemin continu si et seulement si :
`EE"≼" sube C^2, AA(x,y,z)"∈"C^3,`
`xunderline({u"∈"C "/" x"≼"u"≼"y})y`
`x"≼"y "et" y"≼"x => x"="y`
`x"≼"y "et" y"≼"z => x"≼"z`
`x"≼"y "ou" y"≼"x`
`x"≼"x`(Antisymétrique)
(Transitif)
(Totale)
(Réflexif)
De la même façon qu'un intervalle, le chemin continu peut contenir un point de départ, au quel cas il est dit fermé à son début, ou ne pas contenir de point de départ, au quel cas il est dit ouvert à son début. Et il peut contenir un point d'arrivé, au quel cas il est dit fermé à sa fin, ou ne pas contenir de point d'arrivé, au quel cas il est dit ouvert à sa fin.
Une application `f "∈" (]0,1]"→"E)` est continue si et seulement si :
`AAa"∈]"0,1"]", AAn"∈"sfN, EEm"∈"sfN, AAx "∈]"0,1"]", |x-a|"⩽"1/m => D(f(x),f(a))"⩽"1/n`
On appelle arc paramétré dans un espace métrique `E`, toute application continue d'un segment (non réduit à un point) de `RR` vers `E`. On vérifit que l'image d'un arc paramétré constitue bien un chemin continue.
De la même façon qu'on définit un segment dans `RR` (corps totalement ordonné archimédien complet), on définit un chemin continu qui ne se croise pas dans un espace métrique sur `RR`.
Il existe un procédé canonique de construction de la complétion métrique d'un espace métrique. C'est pourquoi tout espace métrique se plonge canoniquement dans sa complétion métrique. Ce procédé va induire la bonne notation pour désigner les points de cet espace complet et les complétudes d'ensemble de points dans cet espace complet. Puis ce procédé va permettre de définir ce qu'est une fonction continue entre deux espaces métriques.
La complétude s'obtient en considérant les suites convergentes de points modulo la relation d'asymptoticité. On construit un espace métrique sur ces suites convergentes modulo la relation d'asymptoticité. L'espace métrique intitiale se plonge dans dans ce nouvel espace métrique complet en associant à chaque point la suite constante égale à ce point, (qui constitue évidement une suite convergente).
Deux suite convergentes `a"="(a_i)_(i in sfN)` et `b"="(b_i)_(i in sfN)` sont asymptotiques si et seulement si la suite `(D(a_i,b_i))_(i in sfN)` dans `K`, converge vers zéro. Autrement dit, `a` et `b` désignent le même point, ce que l'on note par `a"≃"b` si et seulement si :
`lim_(i->oo) D(a_i,b_i)=0`
La relation d'asymptoticité `"≃"` est reflexive, symétrique, et transitive. Elle constitue une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites de points convergentes que l'on note `E^N"⚞"` ou `(sfN"→"E)"⚞"`. L'espace complet `bar E` s'obtient en quotientant cet ensemble par la relation d'équivalence d'asymptoticité `"≃"` :
`bar E = (E^N"⚞") / "≃"`
Et on munit cet ensemble de la distance `bar D` suivante :
`bar D(a,b) = lim_(i->oo) D(a_i,b_i)`
Les valeurs de distance dans `E` appartiennent à `K^+`, et les valeurs de distance dans `barE` appartiennent à `bar K^+`.
Etant donné deux espaces métriques `(E_1,D_1)` et `(E_2,D_2)`, Quelque soit `A sube E_1`, une application `f "∈" (A"→"E_2)` est continue si et seulement si :
`AAa"∈"A, AAn"∈"sfN, EEm"∈"sfN, AAx "∈"E_1, D_1(x,a)"⩽"1/m => D_2(f(x),f(a))"⩽"1/n`
Les valeurs de distance servant de borne `1"/"n` et `1"/"m` appartiennent à `QQ`, qui est une strutcure incluse dans tout corps totalement ordonnés.
---- 9 janvier 2021 ----
Considérons un ensemble `A`, on dit qu'un point `e` adhère à `A` si et seulement si il existe une partie infinie de `A` qui converge vers `e` :
L'analyse est la branche des mathématiques qui traite de la notion de limite.
Une suite formelle de points `x = (x_1, x_2,...)` peut être vue comme une application de `NN` vers `E` qui à chaque indice entier `i` associe un point `x_i"∈"E`. La suite formelle est calculable si et seulement si cette application de `NN` vers `bbbE` est calculable.
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2, ...)` converge vers `h` si et seulement si pour une grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`AAq "∈" NN^"⁎", EE r "∈" NN, AAi "∈" NN, i">"r => d(x_i, h)"<"1"/"q`
Par skolémisation, on peut extraire la variable existentielle `r` et l'ajouter au langage en tant qu'opérateur unaire, c'est à dire comme une application, associant à chaque entier `q` un entier `r(q)`. La suite converge vers `h` si et seulement si il existe une application entière `r"(.)"` telle que, quelque soit `q` entier non nul, à partir de l'indice `r(q)` tous les points de la suites ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`EEr "∈"(NN"→"NN), AAq "∈" NN^"⁎", AAi "∈" NN, i">"r(q) => d(x_i , h)"<"1"/"q`
Dans l'approche intuitionniste, le choix de cette application `r"(.)"` est restreint aux seules applications calculables. Cette restriction à pour effet de durcire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible de réduire l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de l'augmenter.
On note cette propriété par `lim_(i->oo) x_i = h`
Étant donné deux suites `(a, b)"∈"(E^NN)^2`. Elles sont dites asymptotiques, ou simplement égale, ce qui se note `a"≐"b`, si et seulement si la suite `(D(a_i,b_i))_(i in NN)` converge vers zéro, c'est à dire si et seulement si quelque soit une valeurs de distance `epsilon in bbbK` arbitrairement petite mais strictement positive, il existe un entier `n` tel que quelque soit l'indices entiers `i` supérieurs à `n`, nous ayons toujours les deux points `a_i` et `b_i` rapprochés d'une distance inférieure à `epsilon`. Cela se note par l'expression suivante :
Et cela se résume par l'expression logique suivante :
La relation `"≐"` est une relation d'équivalence, c'est à dire reflexive, symétrique et transitive. Ainsi, étant donné trois suites, `(a,b,c)"∈"(E^NN)^3`, si `a"≐"b` et `a"≐"c` alors `b"≐"c`. La classe d'équivalence de `a` se note `a ["≐"]`, et se prononce, `a` modulo `"≐"`, ou encore, `a` à équivalence `"≐"` près.
La relation d'équivalence `"≐"` restreinte à `E^"⚞"` est aussi une relation d'équivalence, c'est à dire reflexive, symétrique et transitive. Ainsi, étant donné trois suites convergentes, `(a,b,c)"∈"(E^"⚞")^3`, si `a"≐"b` et `a"≐"c` alors `b"≐"c`.
La classe d'équivalence de `a`, que l'on note `a ["≐"]`, et qui se prononce, `a` modulo `"≐"`, ou encore, `a` à équivalence `"≐"` près, représente un élément limite appartenant à la complétude métrique de `E` que l'on note `barE`.
`barE = E^"⚞" "/" "≐"`
On plonge `E` dans `barE` en associant à chaque élément `x` de `E`, la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près.
`E↪barE`
Puis on procéde à une identification c'est à dire que l'on pose que chaque élément `x` de `E` est égale la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près.
`E sube barE`
La complétude, comme son nom l'indique, constitue une opération idempotente. Elle transforme un espace métrique en un espace plus grand ou égal, où chaque point `x` est renommé comme étant la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près, et où d'autre points peuvent ainsi apparaîtres.
L'espace métrique `E` est dit complet si l'application transformant les éléments `x` appartenant à `K`, en suites constantes `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près constitue un isomorphisme de `E` vers `barE`.
On démontre facilement que l'application transformant les éléments `x` appartenant à `barE` en suites constantes `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près, définie un isomorphisme de `barE` vers `barbarE`. Ainsi la complétude de la complétude n'apporte rien de plus.
Le corps des réels se définie comme étant la complétude métrique du corps des rationnels :
`RR = barQQ`
Ainsi l'ensemble des réels `RR` se définie comme étant l'ensemble des suites convergentes d'éléments de `QQ` à équivalence `"≐"` près :
`RR = barQQ = (QQ^"⚞")/"≐"`
Pour les élémentariens, qui ne tiennent compte parmis les suites que des seules suites calculables, l'ensemble `RR` est l'ensemble des seuls nombres calculables à une précision arbitraire, à partir de `QQ`.
pppp
Et par complétude métrique nous verrons que la définition des points irrationnelles se fait de la même manière que la définition des nombres irrationnelles, faisant que la ligne continue `e` se note `e = (e_x)_(x in RR)`.
Le corps des hyperréels `"*"RR` est commutatif et totalement ordonné comme l'est `RR` et `QQ` et `ZZ`. C'est pourquoi on s'intéresse à ce type de corps, un corps commutatif muni d'une relation d'ordre total, invariante par translation, et dont les éléments positifs forment un ensemble stable par multiplication.
La struture `(bbbK,"+","∗","⩽")` est un corps commutatif totalement ordonné si et seulement si elle vérifient les 15 axiomes suivants :
`AA(x,y,z)"∈"bbbK^3,`
groupe abelien
groupe abelien
par rapport à `"+"`
par rapport à `"+"`
relation d'ordre totale
invariant par translation
et dont les éléments
positifs forme un
ensemble stable par
multiplication.
On note :
`bbbK^"*" = bbbK-{0}` Les éléments inversibles du corps.
`bbbK^"+" = {x"∈"bbbK "/" 0"⩽"x}` Les éléments positifs du corps.
`bbbK^"-" = {x"∈"bbbK "/" x"⩽"0}` Les éléments négatifs du corps.
`bbbK^"+"∩bbbK^"-" ={0}`
`bbbK^"+"∪bbbK^"-" =bbbK`La norme d'un élément `x` de `bbbK` se note `|x| = max{x,"-"x}`
La struture `(bbbK,"+","∗","⩽")` est de plus, dite archimédienne si et seulement si :
On note `1_bbbK` et `0_bbbK`, les éléments neutres et absorbants de `bbbK`, lorqu'il y a un risque de confusion avec les entiers.
La notation différentielle se forrmalise grâce aux corps des hyperréels `"*"RR`. C'est un corps commutatif totalement ordonné et complet qui a la particularité de posséder des nombres infiniments grands et donc aussi des nombres infiniments petits, mais d'une manière récurcive très abouti. Pour le construire sans utiliser l'axiome du choix, on commence par construire un corps plus petit qu'est le corps `RR[omega]`. Celui-ci s'obtient en effectuant une extension élémentaire du corps commutatif totalement ordonnée des réels `RR`, en lui ajoutant un nouvel élément noté `omega` qui possède la propriété d'être plus grand que tous les réels.
`AA r "∈" RR, r "<" omega`
`omega` est ce que l'on appelle un nombre transfini, qui va au delà de la finitude, et qui représente un infiniment grand particulier, celui posé par le constructeur de `RR[omega]`. Il constitue l'infiniment grand du premier ordre.
` RR[omega]"/"{AA r "∈" RR, r "<" omega}`
Le quotientage est omis dans les expressions car il est considéré comme faisant partie des propriétés de `omega`. Ainsi l'expression `RR[omega]` ne doit pas être considérée comme un extension anonyme mais comme l'extension de `RR` par ajout d'un élément spécifique appelé `omega` qui représente l'infini du premier ordre, un infini du premier ordre certe arbitraire mais choisie par le constructeur.
Les éléments de ce corps sont calculables par toutes les combinaisons finies de nombres réels, de l'élément `omega` et des opérations `+ , - , **, "/"` . Ce corps ainsi définie, contient `RR` comme sous-corps, et constitue donc un `RR`-espace vectoriel de dimension infinie dont une base est donnée par la suite suivante :
`..., 1/(omega^n), ..., 1/(omega^3), 1/(omega^2), 1/omega, 1, omega, omega^2, omega^3, ..., omega^n, ... = (omega^i)_(i in ZZ)`
Mais l'élément étant le résultat d'un calcul de taille finie, il admet seulement un nombre fini de composantes non nulles. Donc pour tout élément `a` de `R[omega]` il existe un entier `m` tel que
`A = sum_(i=-m)^m A_i omega^i `
où les éléments `A_i` appartiennent à `RR` et sont appelé les composantes de `A`. On parlera d'espace vectoriel de dimension infinie et de support fini. Autrement dit :
`R[omega] = { sum_(i=-m)^m A_i omega^i "/" m"∈"NN, A_i "∈"RR}`
Et les lois `+, **, ⩽` du corps commutatif totalement ordonné `RR[omega]` sont :
`(A_i)_(i in ZZ) + (B_i)_(i in ZZ) = (A_i+B_i)_(i in ZZ)`
`(A_i)_(i in ZZ) ** (B_i)_(i in ZZ) = (sum_(i in ZZ) A_j B_(i-j))_(j in ZZ)`
`(A_i)_(i in ZZ) ⩽ (B_i)_(i in ZZ) iff EEk "∈" ZZ AAi"⩾"k, A_i"⩽"B_i`
L'infiniment petit du premier ordre se note `epsilon` :
`epsilon = 1"/"omega`
Les éléments de `RR[omega]` sont regroupés dans des classes appelées ordres. L'ordre de `A` est désigné par une puissance entière de `omega`. Cet entier est l'indice de la composante non nulle de `A`, le plus élevé. Un ordre constitue une classe d'équivalence. Un ordre est désignable par n'importe quel de ses membres. L'ordre de `A` se note `Theta(A)` :
`Theta(A) = omega^("max"{i "/" A_i != 0})`
Deux éléments `A` et `B` sont de même ordre si et seulement si ils sont archimédiens entre eux, c'est à dire s'il existe un entier `n` tel que `n|A|"⩾"|B|` et s'il existe un entier `m` tel que `m|B|"⩾"|A|`.
Ce corps commutatif totalement ordonné `R[omega]` ne permet pas de définir par exemple `sqrt(w)`. Pour obtenir un espace plus complet comprenant par exemple `sqrt(w)`, on devra en prendre la complétude métrique, et obtenir `bar(R[omega])` qui constitue encore un corps totalement ordonnné.
Pour passer du support fini au support infini tout en restant dénombrable, on utilise ainsi le concept de suite calculable, calculable par un programme de taille par principe finie.
Pour construire ce corps `bar(R[omega])`, on va d'abord étudier les suites d'éléments de `R[omega]` et la notation de Landau et la relation d'ordre de Hardy.
La notation de Landau, `O`, inventée par le mathématicien allemand Edmund Landau (Berlin, 1877 - Berlin, 1938), et la relation d'ordre de Hardy, `"≼"`, inventée par le mathématicien britannique Godfrey Hardy (Cranleigh, 1877 - Cambridge, 1947), permettent de comparer des suites de grandeurs et leurs façons dont elles convergent mutuellement. Ces notations peuvent s'introduire de façon s'implifier comme outils de classification des éléments de n'importe quel corps commutatif totalement ordonné, et donc peuvent s'appliquer aux éléments de `RR[omega]`.
Étant donné deux éléments `A,B` appartenant à `RR[omega]`, on définie trois notations : `Theta` appelée « grand théta », `O` appelée « grand O », et `o` appelée « petit o », qui correspondent exactement à la relation d'ordre de Hardy : `"≍"` qui signifie de même ordre, `"≼"` qui signifie d'ordre inférieur ou égal, et `"≺"` qui signifie d'ordre strictement inférieur.
On dit que `A` appartient à `Theta(B)`, ou `A "=" Theta(B)`, ou que l'ordre de `A` est égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≍"B`, si et seulement si la norme de `A` est inférieure à un multiple entier de la norme de `B` et la norme de `B` est inférieure à un multiple entier de la norme de `A`.
On dit que `A` appartient à `O(B)`, ou `A "=" O(B)`, ou que l'ordre de `A` est inférieur ou égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≼"B`, si et seulement si la norme de `A` est inférieure à un nombre entier de fois la norme de `B`.
On dit que `A` appartient à `o(B)`, ou `A "=" o(B)`, ou que l'ordre de `A` est strictement inférieur à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≺"B`, si et seulement si tout multiple entier de la norme de `A` est inférieure à la norme de `B`.
Ainsi quelque soit `A` et `B` appartenant à `RR[omega]` nous avons les définitions suivantes :
de Hardy
de Laudau
`A` et `B` sont du même ordre.
`|A|"⩽"n|B| "et" |B|"⩽"m|A|`
`A` est d'un ordre strictement inférieur à `B`.
`n|A|"<"|B|`
`|A|"⩽"n|B|`
Et nous avons :
`(A "≼" B "et" B "≼" A) <=> A "≍" B`
ou dit autrement :
`(A"="O(B) "et" B"="O(A)) <=> A "=" Theta(B)`
On constate alors que dans `O(B)`, il existe une approximation dite « exacte » qui est l'égalité à `o(B)` près.
Le calcul différentiel est rendu facile grace au corps des hyperréels qui permet de manipuler les infiniment grands et les infiniment petits comme des nombres. Une égalité dans le corps des hyperréels doit toujours préciser l'ordre près à la quelle l'égalité s'applique. Voici les notations de Landau et Hardy qui permettent de préciser cela :
de Laudau
de Hardy`{r "/" |r| "≺"|u|}` Ensemble des valeurs négligeables devant `u`. `{r "/" |r| "≼" |u|}` Ensemble des valeurs d'ordre inférieur ou égal à `u`. `{r "/" |r| "≍" |u|}` Ensemble des valeurs d'ordre de `u`.
de Laudau
de Hardy`{r "/" |r| "≺"|u|}` `{r "/" |r| "≼" |u|}` `{r "/" |r| "≍" |u|}` `{r "/" EE(n,m)"∈"NN^2,|r|"⩽"n|u| "et" |u|"⩽"m|r|}`
L'espace complet s'obtient en considèrant les suites convergentes asymptotes :
`bar(RR[omega]) = (RR[omega]^"⚞")/"≐"`
Étant donné deux éléments `A,B` appartenant à `bar(RR[omega])`.
`A = (A_i)_(iinNN)`
`B = (B_i)_(iinNN)`
Nous avons `A"⚞"` et `B"⚞"`, et nous considérons l'égalité entre de telles suites modulo `"≐"`.
Nous identifions chaque élément `x` de `RR[omega]` avec la suite constante `(x)_(iinNN)` modulo `"≐"` qui constitue un élément de `bar(RR[omega])`. C'est pourquoi nous avons :
`RR[omega] sube bar(RR[omega])`.
Les trois notations de Landau et la relation d'ordre de Hardy se redéfinissent comme suit :
On dit que `A` appartient à `Theta(B)`, ou `A "=" Theta(B)`, ou que l'ordre de `A` est égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≍"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, la norme de `A_i` est inférieure à un multiple entier de la norme de `B_i` et la norme de `B_i` est inférieure à un multiple entier de la norme de `A_i`.
On dit que `A` appartient à `O(B)`, ou `A "=" O(B)`, ou que l'ordre de `A` est inférieur ou égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≼"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, la norme de `A_i` est inférieure à un nombre entier de fois la norme de `B_i`.
On dit que `A` appartient à `o(B)`, ou `A "=" o(B)`, ou que l'ordre de `A` est strictement inférieur à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≺"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, tout multiple entier de la norme de `A_i` est inférieure à la norme de `B_i`.
Ainsi quelque soit `A` et `B` appartenant à `bar(RR[omega])` nous avons les définitions suivantes :
`A "=" Theta(B)`
`A` est de l'ordre de `B`.
`A` et `B` sont du même ordre.
`(|A_i|"⩽"n|B_i| "et" |B_i|"⩽"m|A_i|)`
`A` est négligeable devant `B`.
`A` est d'un ordre strictement inférieur à `B`.
`n|A_i|"<"|B_i|`
`A "=" O(B)`
`A` est d'un ordre inférieur ou égal à `B`.
`|A_i|"⩽"n|B_i|`
----- 3 février 2018 -----
---- 10 septembre 2017 ----
Remarquez qu'entre `1` et `omega`, il existe des ordres de grandeurs intermédiaires. En effet, on peut calculer la racine carré d'un réel `c` par la méthode de Héron (Héron d'Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du Ier siècle apr. J.-C). Cette méthode ce met sous la forme d'une suite de cauchy calculable :
`(f^i(0))_(i=0)^oo`
où `f` est la fonction suivante :
`f : x|->x + (c-x^2)/(2x)`
Et on remarquera que `sqrt(omega)` constitue bel et bien un infini d'un ordre plus petit que `omega`.
L'ensemble des ordres de grandeurs dans `bar("*"RR)` forme un coprs ordonné, mais n'est pas archimédien :
`AA n "∈" NN, omega^n < omega^omega`
L'ensemble des ordres de grandeurs de `bar("*"RR)` forme encore un corps ordonné isomorphe à `bar("*"RR)` .
Pour définir formellement les éléments différentiels, on se place dans le corps des hyperréels `bar("*"RR)` qui est une extension du corps ordonné en ajoutant l'élément `omega`, et désignant l'infini du premier ordre, le tout complété métriquement. :
`bar("*"RR) = bar(RR[omega]"/"{AA r "∈" RR, r < omega})`
Étant donné des variables `(h,f,g,x,y,t)` hyperréels, dite `O(1)`, c'est à dire telle que leurs dépendances explicites seront définies à `o(1)` près, une approximation exacte pour les valeurs réels, car elle ne n'églige que les seuls infiniments petits devant les réels. Notez qu'un infiniment petit est nul à `o(1)` près.
Étant donné les liens de dépendance par exemple suivants :
`h"←"(f,g)`
`f"←"(x,y)`
`g"←"(x,y)`
`x"←"t`
`y"←"t`
Pour chaque variable, on définie sa variable différentielle comme une nouvelle variable `(dh,df,dg,dx,dy,dt)`, de valeur infiniment petite, dite `O(epsilon)`, c'est à dire telle que leurs dépendances explicites seront définies à `o(epsilon)` près, une approximation exacte pour les valeurs de `O(epsilon)`.
Puis on les lie comme correspondant à une variation de la variable. Les liens de dépendances étant supposés différentiables, pour chaque lien de dépendance des variables, il existe un lien de dépendance explicite des variables différentielles :
`dh"←"(f,g,df,dg)`
`df"←"(x,y, dx,dy)`
`dg"←"(x,y,dx,dy)`
`dx"←"(t,dt)`
`dy"←"(t,dt)``dh(f,g,df,dg) = h(f+df,g+dg) - h + o(epsilon)`
`df(x,y, dx,dy) =f(x+dx,y+dy) -f + o(epsilon)`
`dg(x,y,dx,dy)=g(x+dx,t+dy)-g + o(epsilon)`
`dx(t,dt)=x(t+dt)-x + o(epsilon)`
`dy(t,dt)=y(t+dt)-y + o(epsilon)`
L' approxiamtion à `o(epsilon)` près est nécessaire. C'est cette approximation exacte qui fait que l'opérateur de dérivée est linéaire. Sans cette approximation exacte, il n'y a pas de linéarité.
Les variables différentielles ainsi définies sont appelées éléments différentiels.
Étant donné un système de variables `(h,f,g,x,y,t)`. Chaque neurone permet de définir les dérivées partielles de la variable lié par les variables liantes. Ces dérivées partielles, d'une variable liée par rapport à une autre liante, constitue de nouvelles variables satisfaisant ces liens de dépendance explicites correspondant à chaque neurone :
`dh = (delh)/(delf)df + (delh)/(delg)dg`
`df = (delf)/(delx)dx + (delf)/(dely)dy`
`dg = (delg)/(delx)dx + (delg)/(dely)dy` `dx = (delx)/(delt)dt` `dx = (dely)/(delt)dt`
Dans les deux dernières lignes on remarque que la dérivée partielle est en faite une dérivée exacte car `x` et `y` de dépendent que de `t` :
`x"←"t => (delx)/(delt) "=" dx/dt` `y"←"t => (dely)/(delt) "=" dy/dt`
Puis à partir de cette définition des dérivées partielles, on constate qu'une dérivée partielle de `h` par rapport à une variable `u` n'a de sens que si `h` dépend de `u` et cela peut être une dépendance indirecte. Par exemple `h` dépend indirectement de `t`. Et le moyen de calculer cette dérivée partielle ce fait par rétropropagation neuronale :
`(delh)/(delu) = (delh)/(delf) (delf)/(delu) + (delh)/(delg) (delg)/(delu)`
Etant donné des fonctions différentiables `f,g,h`. Les éléments différentielles `df,dg,dh`, qui se définissent par le biais des hyperréels à `o(epsilon)` près comme suit :
`dh(f,g,df,dg) = h(f+df,g+dg) - h`
`df(x,y,dx,dy) =f(x+dx,y+dy) -f `
`dg(x,y,dx,dy)=g(x+dx,t+dy)-g`
On ne rappel par l'ordre `o(epsilon)` car celui-ci est implicite dès qu'apparait un élément différentiel non multiplié par un transfinie :
Ces fonctions, à l'ordre de `o(epsilon)` sont linéaires, ou plus exactement multilinéaires.
On étend notre langage afin de pouvoir définir d'autre type de lien. Une variable `f` peut être lié à une liste de variables notée `x"*"`
`f"←"(x"*")`
où `x"*"` désigne une liste finie de variables toutes réels et inconnues, mais la taille de la liste est également inconnue et peut même être nul. La taille est néanmoins fixe (pour de simple raison de continuité), et elle peut être égale à au moins deux variables par exemple auquel cas on notera :
`f"←"(x,y,z"*")`
---- 20 Août 2017 ----
metaheuristiques/optimisation-continue.htm
physique/variationnel/variationnel.htm
physique/cinematique.htm
physique/mercure.htm
physique/maxwel.htm
physique/maxwel0.htm
physique/modeleonde.htm
physique/tome1.htm
statistique/distribution.htm
statistique/distribution2.htm
statistique/distribution3.htm
statistique/distribution4.htm
statistique/stat.htm
Mathematique/statistique.htm
Mathematique/neurone.htm
Mathematique/resolution_equation.htm
Mathematique/probabilite_information.htm
Mathematique/probabilite2_information.htm
Mathematique/probabilite2bis_information.htm
Mathematique/probabilite3_information.htm
physique/tenseur.htm
physique/analyse-vectorielle-algebre.htm
physique/analyse-vectorielle-operation.htm
---- 23 Août 2017 ----
L'ensemble des suites de points se note `E^NN` tandis que l'ensemble des suites convergentes de points se note `E^⚞` :
Augustin Louis, baron Cauchy, mathématicien français, (Paris en 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine en 1857).
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` est de Cauchy si et seulement si pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance entre eux inférieur à `1"/"q`.
`AAq "∈" NN^"⁎", EEr "∈" NN, AA(i,j)"∈" NN^2, (i">"r "et" j">"r) => d(x_i, x_j)"<"1"/"q`
Cela définie un critère de convergence sans préciser sur quoi cela converge. Et cela peut converger sur un point qui n'est pas dans l'espace métrique initial. Les suites de Cauchy vont ainsi permettre de compléter les espaces métriques, et en premier lieu, de compléter `QQ` pour définir `RR`.
Une suite de Cauchy est simplement appelée une suite convergente sans préciser sur quoi elle converge, sachant que le point de convergence peut ne pas être dans l'espace métrique initial.
Un espace métrique est dit complet si et seulement si toute les suites de Cauchy dans cet espace convergent vers des points dans cet espace.
Étant donné un espace métrique `(E,d)`. Étant donné deux suites de Cauchy sur cette espace `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)`. La suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` est également une suite de Cauchy sur l'espace métriques des valeurs `(D,d)` (cela est une conséquence de l'inégalité triangulaire de la distance) et converge donc vers une valeur dans l'espace complet des valeurs. L'espace des valeurs est l'ensemble des rationnels positifs, `D=Q"+"`, et l'espace complet des valeurs est l'ensemble des réels positifs `RR"+"`
Deux suites de Cauchy `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)` sont dites équivalentes si et seulement si la suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` converge vers `0`.
La complétude de l'espace métrique `(E,d)`, notée `(barE,bard)`, est l'espace des suites de Cauchy modulo cette équivalence, et munie de la distance `bard(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)`. Noter que `bard(x,y)` ainsi définie est également une classe d'équivalence de suite de Cauchy sur `(QQ+,(a,b)"→"|a"-"b|)` c'est à dire un réel positif `RR"+"`
La complétude de l'espace métrique des rationnels `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` est l'espace métrique des réels `(RR,(a,b)"→"|a"-"b|)`. C'est l'espace métrique des suites de Cauchy sur `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` modulo l'équivalence, et que l'on munie de la distance `bard(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)` et cette distance limite correspond à une classe d'équivalence de suites de Cauchy sur `(QQ,(a,b)"→"|a"-"b|)` c'est à dire à un élément de `RR`.
Considérons une partie `A` de `E`. C'est à dire un ensemble de points appartenant à l'espace métrique `(E,d)`.
Point adhérant : Un point `x` est adhérant à `A` si et seulement s'il existe une suite de points appartenants à `A` convergeant vers `x`.
Fermeture : La fermeture d'une partie `A` consiste à ajouter tous les points adhérants à `A`.
Partie fermée : Une partie `A` est fermée si et seulement si pour toute suite de points de `A` convergeant vers un point `x` de l'espace métrique, le point `x` appartient à `A`.
Partie ouverte : Les parties ouvertes sont définies comme étant les complémentaires des parties fermées dans l'espace métrique.
Voisinage : Un voisinage de `x` est un ouvert qui contient `x`.
Intérieur : Un point `x` est à l'intérieur de `A` si et seulement si il existe un ouvert contenant `x` qui soit inclus dans `A`.
L'intérieur d'une partie constitue une partie ouverte. La fermeture de l'interieur de `A` redonne la fermeture de `A`.
Frontière : La frontière d'une partie `A` est égale à la fermeture de `A` moins l'interieur de `A`. C'est aussi l'intersection de la fermeture de `A` et de la fermeture du complémentaire de `A`. C'est l'ensemble des points `x` tel que pour tout ouvert contenant `x`, celui-ci contient au moins un point appartenant à `A` et au moins un point n'appartenant pas à `A`.
Une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière. Une partie est ouverte si et seulement si elle est disjointe de sa frontière. Une partie est à la fois ouverte et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
Boule fermée : La boule fermée `B(x,r]` de centre `x` et de rayon r regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur ou égale à `r`, c'est à dire `B(x,r] = {y "∈" E "/" d(x,y) "⩽" r}`. On utilise un crochet fermé `]` pour spécifier que la boule est fermée.
Boule ouverte : La boule ouverte `B(x,r)` de centre `x` et de rayon `r` regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur à `r`, c'est à dire `B(x,r) = {y "∈" E "/" d(x,y) "<" r}`.
Pour tout voisinage de `x`, il existe un rayon suffisamment petit `1"/"q`, tel que la boule `B(x,1"/"q)` soit incluse dans le voisinage en question. Et toute boule de centre `x` et de rayon strictement positif constitue un voisinage de `x`. On en déduit que :
Les propriétés topologiques peuvent se définir uniquement avec la notion d'ouvert sans utiliser la notion de boule et réciproquement.
L'ensemble de toutes les parties ouvertes de l'espace est noté `ccT` et constitue la topologie de l'espace `E`.
Aussi on peut redéfinir ce qu'est la convergence vers `h`. Une suite `(x_0, x_1, x_2,...)`, converge vers `h` si et seulement si pour tout voisinage `V` de `h`, il n'existe qu'un nombre fini de points de la suite en dehors de `V`. Cette propriété s'applique donc de la même façon à un ensemble dénombrable `X={x_0, x_1, x_2,...}`. Une partie dénombrable `X` converge vers `h` si et seulement si la différence entre elle et n'importe quelle voisinage de `x` est toujours un ensemble fini :
`AAV"∈"ccT, h"∈"V => X"\"V` est fini
Dans l'approche intuitionniste, le domaine des parties ouvertes `V` considérées est restreint aux seules parties ouvertes énumérables. Cette restriction à pour effet d'assouplire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible d'augmenter l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de le diminuer.
Comme nous avons remarqué l'inverse au chapitre 8. On en conclu que la topologie n'est pas modifiée lorsqu'on se restreint aux ensembles énumérables.
On remarque que l'ordre des points dans une suite de Cauchy `(x_0, x_1, x_2,...)` n'a pas d'influence sur sa convergence ni sur sa limite. Aussi pouvons nous appliquer cette notion de suite de Cauchy à un ensemble énumérable. On parlera alors d'ensemble énumérable de Cauchy.
Un ensemble énumérable `X` est de Cauchy si et seulement si pour toutes grandeurs arbitrairment petite `1"/"q`, il existe un sous-ensemble de `X`, de complément fini, dans lequel toutes les distances sont inférieures à `1"/"q`.
`AAq"∈"NN^"⁎", EEY"⊆"X, "Card"(X"-"Y) "fini", AA(a,b)"∈"Y^2, d(a, b)"<"1"/"q`
Et donc comme pour les suites de Cauchy, un ensemble énumérable `X` de Cauchy admet un et un seul point limite dans l'espace complet.
| `AAn"∈"sfN, EEB"⊆"A, B "infini" "et" EE P "⊂" B, P "fini" "et" AA (x,y) "∈" (B-P)^2, D(x,y)"⩽"1"/"n` |
L'adhérence d'une partie `A` notée `"adhérence"(A)`, est l'ensemble des points de l'espace `E` qui sont adhérants à cette partie.
La limite d'une partie `A` notée `lim A` est l'ensemble des points de l'espace complet `barE` qui sont adhérents à cette partie.
Donc nous avons : `"adhérence"(A) = (lim A) nn E`
On dira que deux parties sont équivalentes dans `E` si et seulement si elles ont même adhérence, et donc qu'elle sont équivalente dans `barE` si et seulement si elles ont même limite.
Un ensemble `A` possédant une limite `B`, se partitionne en un ensemble d'ensembles : Un ensemble pour chaque élément de `B` et convergeant vers cet élément.