Les anneaux commutatifs
Pour étudier les nombres premiers de façon classique et d'une manière générale, il convient de se placer dans une structure mathématique ne comprenant que les seuls opérations nécessaires à la décomposition en produit de facteurs premiers et à la division euclidienne qui est à la base de nombreux algorithmes. On se place ainsi dans un cadre général qui est celui des anneaux factoriels et des anneaux euclidiens. Mais avant de faire cette démarche, il convient de présenter ce qu'est un anneau. Et on commencera plus simplement encore en présentant ce qu'est un anneau commutatif.
On examine l'exemple de l'anneau des entiers relatifs `(bbbA,"+","∗")`, muni de l'addition et de la multiplication qui est bien un anneau commutatif. Et on ne s'intéresse qu'à quelques propriétées jugées fondamentales et suffisantes pour engendrer la structure. On note `bbbA^"∗" = bbbA"-"{0}`
Autrement dit :
Par contre nous n'avons pas nécessairement l'existence d'une fonction inverse, ce qui permet de donner de la matière à la notion de diviseur. Puis à partir de ces seules propriétés, on déploie la théorie d'engendrement, ce qui nous permet d'établir la liste exhaustive des anneaux libres constructibles (à isomorphisme près) dans l'article anneaux libres.
Pour éviter l'usage intensif des parenthèses, on fixe un ordre de priorité syntaxique des opérateurs, du plus prioritaire au moins prioritaire :
`"∗"` `+` `"∈"`,`"∉"` `"<","⩽",">","⩾"` `"∧", "∨"` `"⇒", "⇔"` `"=","≠"` `AA, EE`
Le "et" logique se note `"∧"` similairement au symbole de l'intersection, tandis que le "ou" logique se note `"∨"` similairement au symbole de l'union. Ces mêmes symboles sont utilisés pour désigner respectivement le plus petit commun diviseur (ppcm) `"∧"` et le plus grand commun multiple (pgcd) `"∨"`, le soin de lever l'ambiguité étant laissé au contexte.
Par exemples, pour tout élément `x,y,z`, pour tout prédicat unaire `A"(.)",B"(.)"` et pour tout booléen `P,Q,R`, nous avons :
L'expression `x"∗"y "+" z` signifie `(x"∗"y) "+" z` et non `x"∗"(y"+"z)`
L'expression `AA x, A(x) "⇒" B(x)` signifie `AA x, (A(x) "⇒" B(x))` et non `(AAx, A(x)) "⇒" B(x)`
L'expression `P"∧"Q "⇒" R` signifie `(P"∧"Q) "⇒" R` et non `P"∧"(Q "⇒" R)`
L'expression `P "⇒" Q"∨"R` signifie `P "⇒" (Q"∨"R)` et non `(P "⇒" Q)"∨"R`
L'expression `x "+" y "=" z` signifie `(x "+" y) "=" z` et non `x "+" (y "=" z)`
Le produit se note parfois par absence de symbole, par exemple `xyz = x"∗"y"∗"z`.
On utilise les opérations `"+"`, `"∗"`, indifféremment sur des éléments ou des ensembles d'éléments. Ainsi par exemples, pour un élément `a` et des ensembles `U` et `V`, nous avons :
`a"+"U = {a"+"u "/" u "∈" U}`
`aU = {au "/" u "∈" U}`
`U"+"V = {u"+"v "/" u "∈" U, v "∈" V}`
`UV={uv "/" u "∈" U, v "∈" V}`
On utilise une conversion implicite de type entre les booléans et les entiers, le vrai est transformé en `1` et le faux est transformé en `0`. Ainsi l'expression `(a"="b)"+"(a"="c)"+"(b"="c)` vaut `3` si `a` et `b` et `c` désignent le même élément.
L'anneau commutatif `(bbbA,"+","∗")` comprend un ensemble sous-jacent `bbbA` regroupant l'ensemble des éléments de l'anneau. Il est muni d'une addition `"+"` telle que `(bbbA,"+")` est un groupe abelien. Cette addition définie un élément neutre que l'on note `0` et une fonction opposée que l'on note `"-"`. Il est muni d'une multiplication `"∗"`, que l'on note par absence de symbole lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, et telle que `(bbbA,"∗")` est un monoïde commutatif. Cette multiplication définie un élément neutre que l'on note `1`. Et la multiplication doit être distributive sur l'addition. En résumé nous avons un langage d'opérateurs `"<+", "∗", "-", 0, 1">"` et une théorie d'égalité composée des 8 axiomes suivants :
`AA(x,y,z),`
groupe abelien
monoïde commutatif
par rapport à `"+"`
par rapport à `"+"`
La commutativité de la multiplication fait qu'il n'y a plus de distinction entre élément neutre à droite et élément neutre à gauche ni entre la distributivité à droite et la distributivité à gauche par rapport à l'addition.
On démontre que `0"∗"x "+" 1"∗"x = (0"+"1)"∗"x = 1"∗"x` et donc que `0"∗"x "=" 0`. Autrement dit, `0` est l'élément absorbant pour la multiplication, et il est nécessairement unique.
On se place dans l'anneau `bbbA`. Les quantificateurs `AA x` et `EE x` ont une portée par défaut sur `bbbA`, c'est à dire que pour une variable `x` quelconque, l'expression`AA x` signifie `AA x "∈" bbbA` et l'expression `EE x` signifie `EE x "∈" bbbA`.
Voici quelques définitions courantes :
Un élément inversible ou unité `u` est un élément qui possède un inverse pour la multiplication, et on notera cet inverse `u^(-1)`. L'ensemble des éléments inversibles se note `U(bbbA)` ou simplement `U` et est appelé le groupe des unités, car muni de la multiplication il forme un groupe.
On dit que `a` et `b` sont associés et on note `a"="_**b` si et seulement si il existe un élément inversible `u` tel que `a "=" ub`. La relation `"="_**` est une relation d'équivalence. Les unités ou éléments inversibles sont les éléments associés à `1`. On note `a"≠"_**b` lorsque `a` et `b` ne sont pas associés. Cette notation met en avant l'égalité entre classes d'équivalences. La classe d'équivalence de `x` est l'ensemble `xU`, nous avons `a"="_**b` si et seulement si `aU"="bU`
On dit que `a` divise `b` ou que `a` est un diviseur de `b` ou que `b` est un multiple de `a` et on note `a"⩽"_**b`, si et seulement si il existe un élément `c` tel que `ca "=" b`. On dit que `a` est un diviseur propre de `b` ou que `b` est un multiple propre de `a` et on note `a"<"_**b`, si et seulement si `a` divise `b` sans être associé à `b`, c'est à dire si et seulement si `a"⩽"_**b` et `a"≠"_**b`. On remarque que si `a"⩽"_**b` et `b"⩽"_**a` alors `a"="_**b`. La relation `"⩽"_**` qui signifie « est un diviseur de » est une relation d'ordre partiel. Par commodité on utilisera aussi les relations symétriques `"⩾"_**` qui signifie « est un multiple de » et `">"_**` qui signifie « est un multiple propre de ».
On dit que `a` est un plus grand commun diviseur de `x` et `y`, et on note `a "∈"(x"∨"y)`, si et seulement si `a` est à la fois un diviseur de `x` et un diviseur de `y` et que tout élément qui divise à la fois `x` et `y`, divise `a`. Autrement dit :
La conjonction de propositions est ici notée sous forme de vecteur. Notez que le terme de plus grand commun diviseur fait référence à une relation d'ordre qui doit être interprété comme la relation d'ordre partielle `"⩾"_**` et non comme la relation d'ordre `"⩾"` telle qu'elle peut exister sur `ZZ` par exemple, bien que pour cet exemple cela revient au même. L'ensemble `x"∨"y` est écrit à l'aide du symbole `"∨"` qui évoque de manière large l'ensemble des diviseurs communs, mais qui représente en faite l'ensemble de ses leadere, l'ensemble des plus grands communs diviseurs (selon la relation d'ordre divise).
On dit que `a` est un plus petit commun multiple de `x` et `y`, et on note `a "∈" (x"∧"y)`, si et seulement si `a` est à la fois un multiple de `x` et un multiple de `y` et que tout élément qui est à la fois un multiple de `x` et un multiple de `y`, est un multiple de `a`. Autrement dit :
L'ensemble `x"∧"y` est écrit à l'aide du symbole `"∧"` qui évoque de manière large l'ensemble des multiples communs, mais qui représente en faite l'ensemble de ses leaders, l'ensemble des plus petits communs multiples (selon la relation d'ordre divise).
On dit que `a` et `b` sont premiers entre eux si et seulement si les seuls diviseurs communs de `a` et de `b` sont les éléments inversibles. C'est à dire que `a` et `b` sont premiers entre eux si et seulement si `(a"∨"b) = U`.
`a` et `b` sont premiers entre eux `<=> AA x, (x"⩽"_**a "et" x"⩽"_**b) => x "∈" U`
Un élément `a` est irréductible ou premier si et seulement si il n'est pas inversible et que tout diviseur de `a` est soit inversible ou soit associé à `a`. Autrement dit, un élément premier ne possède pas de diviseur autre que lui même et que les unités de l'anneau, et ne doit pas être lui-même une unitée de l'anneau. Autrement dit, il est premier si et seulement si l'ensemble de ses diviseurs propres correspond à l'ensemble des unités de l'anneau.
L'ensemble des diviseurs de `a` se note `{x "/" x"⩽"_**a}`, et l'ensemble des diviseurs propre de `a` se note `{x "/" x"<"_**a}`.
L'ensemble des éléments irréductibles (ou premiers) se note `frI(bbbA)` ou simplement `frI`
L'anneau `bbbA` est dit intègre si et seulement si il n'existe pas de diviseur de `0` :
`AA(x,y), xy"="0 => (x"="0 "ou" y"="0)`
L'anneau `(bbbA,"+","∗")` est factoriel si et seulement si tout élément non inversible et non nul, peut s'écrire comme produit d'éléments irréductibles.
`AAx, x"="0 "ou" x"∈"U "ou" EEn"∈"NN^"*", EE (p_1,p_2,p_3,...,p_n)"∈"frI^n, x"="prod_(i=1)^n p_i`
L'anneau `(bbbA,"+","∗")` est euclidien si et seulement si il existe une division euclidienne, autrement dit s'il existe un stathme `v`, une application croissante de `(bbbA^"∗","∗")->(bbbN, "+")` tel que la valuation du reste soit toujours strictement plus petite que la valuation du dénominateur ou alors nulle.
`EE v in "("bbbA^"*""→"bbbN")"`
`AAa "∈" A, AAb "∈" A^"*", EE(q,r)"∈"A^2, a"="qb"+"r "et" (r"="0 "ou" v(r)"<"v(b))`
`AA(a,b), a"⩽"_**b => v(a)"⩽"v(b)`
La division euclidienne de `a` par `b` peut donner plusieurs résultat `(q,r)` telle que `a"="qb"+"r "et" (r"="0 "ou" v(r)"<"v(b))`
Étant donné des opérateurs `"+(.,.)","∗(.,.)", f"(.)"` opérant dans un ensemble `E` c'est à dire prenant comme arguments des éléments de `E` pour produire un élément de `E`. Étant donné des éléments `a,b,c` appartenant à `E`. On note, `"<"a,b,c,"+","∗",f">"`, l'ensemble des éléments engendrées par composition close de taille finie des opérateurs et éléments énumérés entre crohet `"< >"`.
Etant donné des éléments `a,b,c` appartenant à une structure `bbbS`. On note, `"<"a,b,c">"_bbbS`, la sous structure engendrée par les éléments `a,b,c` et les éléments et opérateurs générateurs de la structure `bbbS` qui sont définis comme appartennant à la présentation programmative de la structure `bbbS` autres que les éventuels éléments générateurs officiels.
---- 28 mai 2019 ----